培优20 概率与统计综合大题全归纳10大题型（期末复习讲义）高一数学下学期人教A版

培优20 概率与统计的综合大题全归纳 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 统计图表与样本数字特征的综合应用 题型02 古典概型、互斥事件、相互独立事件的概率的综合 题型03 频率与概率的综合（跨章节） 题型04 样本数字特征与概率的综合（跨章节） 题型05 统计图表与古典概型的综合（跨章节） 题型06 统计图表与互斥事件的综合（跨章节） 题型07 统计图表与相互独立事件的综合(跨章节) 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 统计间知识的综合 会结合条形、折线、扇形等统计图表，综合分析数据，计算频数、频率，理解统计量间的联系. 常以图表信息题出现，考查从多类统计图表中提取、整合数据的能力，多为基础题. 概率间知识的综合 理解古典概型、互斥事件、对立事件、相互独立事件的关系，会用加法公式、对立事件公式及乘法公式计算综合概率. 试题难度中等或难，着重考查古典概型、互斥事件、对立事件、相互独立事件的综合应用. 频率与概率的综合 理解频率与概率的关系，会用频率估计概率，能用样本频率估计总体概率，解决实际应用问题. 常以应用题形式考查，结合试验数据或统计图表，用频率估计概率，整体难度较低. 样本数字特征与概率的综合 会计算样本的平均数、众数、中位数，结合古典概型，利用样本数据计算事件发生的概率. 多为中档题，先通过样本数据统计数字特征，再以此为基础计算概率，考查数据处理能力. 统计图表与古典概型的综合 能从统计图表中提取频数、总数，用古典概型公式计算事件概率，做到不重不漏计数. 常以解答题形式考查，以图表为载体，结合古典概型，考查数据提取和概率计算的综合能力. 统计图表与互斥事件的综合 能从统计图表中提取各组事件的概率，利用互斥事件的加法公式计算复杂事件的概率. 多为中档题，以图表数据为基础，考查互斥事件的判定与概率加法公式的应用. 统计图表与相互独立事件的综合 能从统计图表中提取单个事件的概率，利用相互独立事件的乘法公式计算联合事件的概率. 常以实际问题为背景，结合统计图表数据，考查独立事件的判定与乘法公式的应用. 知识点01 常用统计图表 1.常见的统计图表有条形统计图、扇形统计图、频率折线图、频率分布直方图、频率分布表等. 2.作频率分布直方图的步骤 【说明】(1)纵轴表示，即小长方形的高＝. (2)小长方形的面积＝组距×＝频率. (3)各小长方形的面积的总和等于1. 知识点02 利用样本估计总体 1.总体集中趋势的估计 名称 概念 平均数 如果有n个数x1，x2，…，xn，那么就是这组数据的平均数，用表示，即＝ 中位数 将一组数据按从小到大的顺序排列后，处在“中间”的那个数据为这组数据的中位数(“中间”指最中间一个(数据奇数个)或最中间两个数据的平均数(数据偶数个)) 众数 一组数据中出现次数最多的数据叫作这组数据的众数 【注意】平均数反映了数据取值的平均水平. 2.总体离散程度的估计 假设一组数据是x1，x2，…，xn，用表示这组数据的平均数，那么这n个数的 (1)标准差s＝. (2)方差s2＝. 【注意】方差和标准差反映了数据波动程度的大小. 3.总体百分位数的估计 (1)百分位数 一般地，当总体是连续变量时，给定一个百分数p∈(0，1)，总体的p分位数有这样的特点：总体数据中的任意一个数小于或等于它的可能性是p. (2)百分位数的意义 反映该组数中小于或等于该百分位数的分布特点. (3)计算一组n个数据的p分位数的一般步骤： 第1步，按照从小到大排列原始数据； 第2步，计算i＝np； 第3步，若i不是整数，大于i的最小整数为j，则p分位数为第j项数据；若i是整数，则p分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数. 【注意】常用的百分位数有第25百分位数，第50百分位数(即中位数)，第75百分位数.这三个百分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数. 4.分层随机抽样的均值与方差 分层随机抽样中，如果样本量是按比例分配，记总的样本平均数为，样本方差为s2. 以分两层抽样的情况为例.假设第一层有m个数，分别为x1，x2，…，xm，平均数为，方差为；第二层有n个数，分别为y1，y2，…，yn，平均数为，方差为.则(1)＝xi，＝，＝yi， ＝. ＝＋. (3)s2＝{m[＋]＋n[＋]}. 知识点03 频率与概率 1.频率的稳定性：在相同条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率通常会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有稳定性. 2.频率稳定性的作用：可以用频率估计概率P(A). 知识点04 古典概型 1.古典概型的特点 ①有限性：试验E的样本空间Ω的样本点总数有限； ②等可能性：每次试验中，样本空间Ω的各个样本点出现的可能性相等. 2.古典概型的概率计算公式 对古典概型来说，如果样本空间Ω包含的样本点总数为n，随机事件A包含的样本点个数为m，那么事件A发生的概率为P(A)＝＝. 知识点05 互斥事件与对立事件 1.从集合的角度理解互斥事件和对立事件 ①几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集. ②事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集. 2.概率加法公式的推广：当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An). 知识点06 事件的相互独立性 1.概念：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响. 2.公式：两个相互独立事件同时发生的概率，等于这两个事件发生的概率的积，即P(AB)＝P(A)P(B). 3.性质：若事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立. 题型一 统计图表与样本数字特征的综合应用 解｜题｜技｜巧 首先识别图表类型（频率分布直方图、茎叶图、条形图等）.对于频率分布直方图，注意纵轴是“频率/组距”，每个小矩形面积等于该组频率，所有矩形面积之和为1.求中位数时，找到累计频率达到0.5的对应数值；求平均数时，用每组组中值乘以该组频率再求和.对于茎叶图，可直接还原数据再计算.样本数字特征包括平均数、方差、标准差、中位数、众数.遇到“根据图表估计总体”时，常用样本估计总体. 易｜错｜点｜拨 1.误将频率分布直方图的纵轴当作频率，导致面积计算错误. 2.计算平均数时错用组中值或漏乘频率. 3.方差公式中分母是还是需看清题目要求（高中通常用）. 【典例1】（2026·河南周口3月·联考）某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成，，，，这五组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）估计样本成绩的平均数及方差；（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表） （2）已知落在内的平均成绩是80分，方差是4分，落在内的平均成绩是88分，方差是6分，求两组成绩合并后的平均数和方差. 附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为m，，；n，，，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差. 【变式1-1】（25-26高二下·上海·阶段检测）本市某区对全区高中生的身高(单位：厘米)进行统计，得到如下的频率分布直方图． (1)若数据分布均匀， 用频率估计概率，则在全市随机取一名高中生，求其身高不低于180厘米的概率； (2)现从身高在区间的高中生中分层抽样抽取一个80人的样本，若身高在区间中样本的均值为176厘米，方差为10；身高在区间[180， 190)中样本的均值为184 厘米，方差为16，试求这80人的方差. 【变式1-2】（2026·四川成都·二模）“十五五规划”是中共中央关于制定国民经济和社会发展第十五个五年规划．成都市为了解市民对“十五五规划”的认知程度，对不同年龄、不同职业的市民举办了一次“十五五规划”知识竞赛，满分为100分（90分及以上为认知程度高），现从参赛者中抽取了x人，按年龄大小分成5组，第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有6人，从该市大学生、军人、医务人员、工人、个体户五种人群中用分层抽样的方法依次抽取6人，42人，36人，24人，12人，分别记为组，从这5个按年龄分的组和5个按职业分的组中每组各选派1人参加“十五五规划”知识竞赛，分别代表相应组的成绩，年龄组中组的成绩分别为93，96，97，94，90，职业组中组的成绩分别为93，98，94，95，90． (1)求抽取的x人的年龄的中位数（结果保留整数）； (2)分别求5个年龄组和5个职业组成绩的平均数和方差，并以上述数据为依据，评价5个年龄组和5个职业组对“十五五规划”的认知程度． 题型二 古典概型、互斥事件、相互独立事件的概率的综合 解｜题｜技｜巧 古典概型、互斥事件、相互独立事件的概率的综合问题求解策略 （1）拆分法.将复杂事件拆为若干互斥简单事件的和，分别计算各简单事件概率，再用互斥事件概率加法公式求和；若事件含先后流程，拆为相互独立事件分步计算，用乘法公式求解. （2）对立事件法.正面情况繁杂时，先求其对立事件概率，再利用对立事件的概率公式快速运算，大幅简化计算.解题先判断事件关系，再匹配对应公式. 【典例2】（25-26高二上·广东佛山·期中）现有一个质地均匀的正面体骰子，个面分别标有数字1到. (1)当时，设计一种“点数游戏”：任意抛掷两次这个骰子，观察骰子与桌面接触的面上的数字的乘积，这个乘积记为游戏结果.甲、乙两人玩这种“点数游戏”，规定每次游戏结果大于5时甲获胜，游戏结果小于5时乙获胜. ①写出此试验的样本空间； ②试判断这种游戏是否公平？并说明理由； ③若约定先获胜3次“点数游戏”者赢得比赛，并获得100元奖金.当甲获胜2次，乙获胜1次时，“点数游戏”因意外而中止，现决定将100元奖金分给甲、乙两人.请以此时甲和乙最终获胜的概率之比为标准，分配两人的奖金数量； (2)当时，任意抛掷一次这个骰子，以它与桌面接触的面上的数字为试验结果.请构造适当的事件，使成立，但不满足两两独立.请说明理由. 【变式2-1】（2026·广东东莞3月·质量检测）甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有2道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，每位面试者共有两次机会，若答对第一次抽到的题目，则面试通过，结束答题；否则继续第2次答题，答对则面试通过，未答对则面试不通过，甲、乙两人对抽到的不同题目能否答对是独立的，且两人答题互不影响，求甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率； 【变式2-2】（25-26高一下·福建厦门·期中）某商场开展促销活动，每消费调500元可获得一次抽奖机会.抽奖箱装有3个红球、2个白球、1个蓝球，这些球除颜色外完全相同.抽奖规则如下：一次性随机摸出2个球，若摸出2个红球，可获得一等奖；若摸出1个红球和1个蓝球，可获得二等奖. (1)已知甲在该商场消费了500元，求甲获得一等奖的概率； (2)为加大促销力度，在原规则的基础上，当顾客在该商场消费满1000元时，若顾客两次抽奖均摸出蓝球，则额外获得一个二等奖.已知乙在该商场消费了1000元，记“乙至少获得一个一等奖”为事件，“乙恰好获得一个二等奖”为事件.判断事件与是否相互独立，并说明理由. 题型三 频率与概率的综合 解｜题｜技｜巧 利用频率估计概率求解策略 1.核心依据：当试验次数足够大时，事件发生的频率会逐渐稳定在对应概率附近，可用稳定频率近似当作概率. 2.基础计算：频率 = 事件发生次数 ÷ 总试验次数，多次试验取稳定值作为估计概率. 3.拓展应用：已知概率与总数量，用 “总数 × 估计概率” 估算事件发生的理论次数. 4.解题要点：区分频率（试验值）与概率（理论值），试验次数越多，估计结果越准确. 【典例3】（24-25高一下·江苏盐城·期末）对200个电子元件的寿命（单位：h）进行追踪调查，情况如下： 寿命 个数 20 30 80 40 30 (1)估计元件的寿命在（单位：h）内的概率； (2)估计元件的寿命在以上的概率． 【变式3-1】（2026·江苏南通·检测）对200个电子元件的寿命（单位：）进行追踪调查，情况如下： 寿命 个数 20 30 80 40 30 (1)如果按照使用寿命大于或等于300h的记为耐用型，小于300h的记为合格型，现按分层抽样，要抽取一个容量为8的样本，那么耐用型、合格型各应抽取多少个？ (2)估计元件的寿命在400h及以上的概率． 【变式3-2】（25-26高二上·云南昭通·期末）对200个电子元件的寿命（单位：）进行追踪调查，情况如下： 寿命 个数 20 30 80 40 30 (1)如果按照使用寿命大于或等于300h的记为耐用型，小于300h的记为合格型，现按分层抽样，要抽取一个容量为8的样本，那么耐用型、合格型各应抽取多少个？ (2)估计元件的寿命在400h及以上的概率． 题型四 样本数字特征与概率的综合 解｜题｜技｜巧 计算样本的平均数、方差、众数、中位数等数字特征，提取数据规律.再结合古典概型、互斥或独立事件分析问题.若涉及取值概率，先确定随机变量所有可能结果，结合样本数据统计对应频数，计算概率.求解时分清统计量与概率的关联，以样本数据为依据列式计算. 【典例1】（2026·河北秦皇岛·阶段检测）某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的运行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，制成如图所示的频率分布直方图. (1)求图中的值； (2)求这组数据的平均数与方差； (3)已知满意度评分值在内的男性人数与女性人数的比为.若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求恰有1名女性的概率. 【变式4】（25-26高一上·北京·期末）为践行五育并举，增强学生体质，某校拟开设课外体育活动课．现从全校高一学生中分层随机抽样出100名男生和80名女生，对其选课意愿作调查统计，得到数据如下： 男生 女生 选择 不选择 选择 不选择 排球 50 50 50 30 篮球 25 75 15 65 足球 75 25 5 75 乒乓球 10 90 10 70 假设所有学生是否选择排球、篮球、足球、乒乓球相互独立，用频率估计概率． (1)假设全校共有1800名高一学生，直接判断下列结论的正误． 结论：根据样本数据估计全校有800名高一学生有选择足球课的意愿； 结论：样本中男生对排球课和篮球课都不选择的人数可以为20． (2)若从该校全体高一男生中随机抽取2人，全体高一女生中随机抽取1人，求这3人中选择排球课的人数恰为2的概率； (3)记样本中男生选择排球、篮球、足球、乒乓球课的频率依次为，其方差为；样本中男生不选择这四个活动课的频率依次为，其方差为．写出与的大小关系．（结论不要求证明） 题型五 统计图表与古典概型的综合 解｜题｜技｜巧 先读懂统计图、表，提取频数、总数、分组数据等关键信息，统计出基本事件总数与符合条件的事件数.再套用古典概型公式：概率 = 符合条件事件数 ÷ 总基本事件数.若涉及抽取问题，结合图表数据枚举或计数，注意区分有序、无序抽取，准确计数避免漏算、重算. 【典例5】（25-26高二下·上海·阶段检测）某高中随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：），按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图（如下图所示）． (1)求身高在区间的学生人数； (2)将身高在，，区间内的学生依次记为，，三个组，用分层抽样的方法从三个组中抽取6人． ①求从这三个组分别抽取的学生人数； ②若要从6名学生中抽取2人，求B组中至少有1人被抽中的概率． 【变式5-1】（2026·陕西宝鸡·阶段检测）市有关部门为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成，这五组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)估计样本成绩的平均数及方差；（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表) (2)某工作人员使用简单随机抽样从中抽取部分再研究，其中成绩的答卷有2份，成绩的答卷有3份，再从这5份中随机抽取2份进行详细分析，求从这5份答卷中取2份时，既有的答卷也有的答卷的概率． 【变式5-2】（25-26高一上·重庆云阳·开学考试）“校园手机”现象越来越受到社会的关注，暑假期间，小明随机调查了城区若干名同学和家长对中学生带手机现象的看法，统计整理并制作了如下统计图： (1)这次的调查对象中，家长有多少人？并补全图①. (2)求图②中表示家长“赞成”的圆心角的度数，并补全图②. (3)从这次接受调查的同学中，随机抽查一个学生恰好抽到持“无所谓”态度的概率是多少？ 题型六 统计图表与互斥事件的综合 解｜题｜技｜巧 先从图表提取各组频数、频率，算出对应事件概率.判断事件是否互斥，互斥事件同时发生概率为 0.利用互斥事件加法公式，将所求事件拆为若干互斥子事件，分别求概率后相加.正面情况复杂时，可借助对立事件简化计算，注意不重不漏划分事件. 【典例6】（2026·广东东莞·模拟）某校对2024年高一上学期期末数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照，，，，，分成6组，绘制成如下图所示的频率分布直方图： (1)求频率分布直方图中的值： (2)估计该校高一上学期期末数学考试成绩的平均数： (3)为了进一步了解学生数学学科学习的情况，在成绩位于的学生中用分层随机抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生的分数不在同一组内的概率． 【变式6】（25-26高一上·北京·月考）随着时代和科技的进步，人工智能在学习生活中越来越重要.为此北京市第十四中学高一年级数学组特命制了一套与人工智能的专题训练卷（满分为100分），并对整个高一年级的学生进行了测试.现从这些学生中随机抽取了50名学生的成绩，按照成绩为，，…，分成了5组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于50分）. (1)求频率分布直方图中的的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数､中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表，中位数请用分数表示）； (2)若高一年级共有480名学生，试估计高一学生中这次测试成绩不低于70分的人数； (3)若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的三组学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人参加这次考试的考后分析会，试求后两组中至少有1人被抽到的概率. 题型七 统计图表与相互独立事件的综合 解｜题｜技｜巧 先从图表提取数据，计算单个事件的概率.判定事件相互独立后，运用独立事件概率乘法公式计算联合概率.若事件分多阶段、多组别，按分组依次求解.可结合互斥、对立事件拆分复杂问题，计算时准确提取图表频率、频数，保证概率取值无误. 【典例7】（25-26高三上·上海徐汇·期中）人工智能正在逐渐改变着我们的日常生活，不过，它所涉及的数学知识并非都是遥不可及的高深理论．为了解“拼音输入法”的背后原理，随机选取甲类题材“新闻稿”中1200字作为样本语料库A，其中“一”出现了30次，统计“一”与其后面一个字（或标点）的搭配情况，数据如下： “一”与其后面一个字（或标点）的搭配情况 频数 “一个” 6 “一些” 4 “一群” 2 “一条” 2 其他 假设用频率估计概率． (1)求的值，并估计甲类题材中“一”出现的概率； (2)在甲类题材“新闻稿”中随机抽取2个“一”，其中搭配“一个”出现的次数仅为1次，求它的概率； (3)另外随机选取甲类题材“新闻稿”中800字作为样本语料库B进行统计，“一”出现了24次，“一格”出现了2次，若在甲类题材“新闻稿”的撰写中，输入拼音“yige”时，“一个”和“一格”谁在前面更合适?（结论不要求证明） 【变式7-1】（24-25高一下·河南鹤壁·期末）为探究某药物对小白鼠的生长抑制作用，将生长情况相同的80只小白鼠随机均分为两组：对照组（不添加药物）和实验组（添加药物），饲养相同时间后，分别测量这两组小白鼠的体重增加量（单位：g），这些小白鼠的体重增加量都在内，按照，，，，，分组，得到如下频率分布直方图. (1)估计对照组小白鼠体重增加量的平均数（每组以该组所在区间的中点值为代表）及中位数； (2)求a的值及实验组中体重增加量不大于20g的小白鼠的只数； (3)现从实验组和对照组中各随机抓取1只小白鼠，用事件A表示“所取2只小白鼠体重增加量均超过20g”，事件B表示“2只小白鼠仅有1只体重增加量不超过25g”，求，，并判断A，B是否相互独立. 【变式7-2】（25-26高一下·广东深圳·期中）由甲、乙两个人组成的团队参加某项闯关游戏，第一关解密码锁，规则如下： ①一共2道相同的密码锁，每一道密码锁都必须在1分钟以内解锁完毕才算解锁成功，否则视为解锁失败； ②第一关开始前，2人需决定由谁先开始解锁，且第一位解锁人有2次连续解锁机会，第二位解锁人也有2次连续解锁机会，第一位用完2次机会后若仍然有密码锁未被解锁成功，则替换为下一位解锁人解锁； ③若2道密码锁均被解锁成功，团队立刻进入下一关，否则视为该团队失败，淘汰出局.现根据以往100次的测试，分别获得如下甲、乙解开1道密码锁所需时间的频率分布直方图，其中 (1)求a、b的值，并求出甲解开1道密码锁的时间在1分钟以内的频率； (2)以甲、乙解开1道密码锁所需时间位于各区间的频率代替概率，且甲、乙2人每次是否成功解开密码锁相互独立，解答下列问题： （i）若2人决定由甲先开始解锁，求团队使用的解锁机会不超过3次就进入下一关的概率； （ii）你认为甲、乙两人进入下一关的概率是否与他们的出场顺序有关?试通过计算说明理由. 期末基础通关练（测试时间：20分钟） 1.（25-26高二下·重庆·期中）某校法联社团组织高一年级所有学生参加“感受法治内涵，争做法治宣传人”的主题知识比赛，旨在引导同学们深入学习法治知识，争当法治精神的传播者.比赛分为初赛和决赛两个环节，现从所有初赛成绩（满分分，最低分分）中，随机调查了位同学的测试成绩，按、、、、分组，并绘制出了如图所示的频率分布直方图. (1)若规定成绩排名前的同学可入围决赛，请估计进入决赛的同学成绩应不低于多少分？ (2)已知落在内的平均成绩是分，方差是分，落在内的平均成绩是分，方差是分，求两组成绩合并后的平均数和方差. 附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为、、；、、，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差. 2．（25-26高一下·江苏无锡·期末）某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～六组区间分别为，，，，，）． (1)求选取的市民年龄在内的人数及a的值； (2)利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的平均数和第80百分位数； (3)若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率． 3.（25-26高一上·北京西城·期末）运动会上，甲、乙、丙三名运动员最终进入跳高决赛，决赛成绩达到以上（含）的运动员将获得优胜奖.为预测获得优胜奖的情况及冠军得主.收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：）： 甲：181   180   179   178   173   172   170   168 乙：180   179   175   171   170   169 丙：183   176   165 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立. (1)估计甲在决赛中获得优胜奖的概率； (2)估计乙、丙两人在决赛中至少有一人获得优胜奖的概率； (3)甲、乙、丙三人中谁夺冠的概率最大？（结论不要求证明） 4．（25-26高二下·北京平谷·阶段检测）某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试．为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75．假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率． (1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率 (2)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取名，设为这名学生中该题选择正确的人数，分别估计的概率． 期末重难突破练（测试时间：25分钟） 1．（25-26高二上·云南保山·期末）近日，“滇超”联赛（云南省城市足球联赛）正如火如荼进行．某校团委组织了一次“足球知识问答”竞赛，现从全校参赛的1000名学生中随机抽取了100名统计他们的竞赛成绩（单位：分，满分100分），并绘制了如图所示的频率分布直方图： 已知成绩在的频数是30，则： (1)求图中的值，并估计这100名学生成绩的平均数； (2)根据频率分布直方图，估计样本数据的第85百分位数； (3)学校拟从竞赛成绩在和两组内的学生中，按分层抽样抽取5人进行详细访谈，再从这5人中随机抽取2人进行“全民健身”主题演讲，求这2人来自不同组的概率． 2.（25-26高一上·贵州遵义·期末）为了了解某校高二年级学生的体育成绩（满分100分）选取40名学生参加考核，考核成绩的频率分布直方图如图所示： (1)求频率分布直方图中的的值，并估计所抽取的40名学生成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)为了提升同学们的体育成绩，校方准备招聘高水平的教练进行授课．现采用分层抽样的方法（样本量按比例分配），从得分在内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求至少有一人分数不低于80的概率； (3)现有体育成绩在90分以上的甲、乙两名同学要参加文旅部门组织的国庆营考试，已知考试分为两轮，第一轮为笔试，需要考两门学科，每科笔试成绩从高到低依次有共四个等级，若两科笔试成绩均为，则直接参加国庆营；若一科成绩为．另一科成绩不是但不低于，则要参加第二轮面试，面试通过参加国庆营，否则不能参加．若两人考试互不影响，且甲在每科笔试中取得四个等级的概率分别是；乙在每科笔试中取得四个等级的概率分别是，甲、乙面试通过的概率都为，求甲、乙能同时参加国庆营的概率．（结果用分数表示） 3．（24-25高三下·北京·阶段检测）某地区教育研究部门为了解当前本地区中小学教师在教育教学中运用人工智能的态度、经验、困难等情况，从该地区2000名中小学教师中随机抽取100名进行了访谈.在整理访谈结果的过程中，统计他们对“人工智能助力教学”作用的认识，得到的部分数据如下表所示： 没有帮助 有一些帮助 很有帮助 合计 性别 男 2 10 20 女 35 40 80 年龄 40岁以下（含40岁） 1 35 40岁以上 6 26 45 假设用频率估计概率，且每位教师对“人工智能助力教学”作用的认识相互独立. (1)估计该地区中小学教师中认为人工智能对于教学“没有帮助”的人数； (2)现按性别进行分层抽样，从该地区抽取了5名教师，求这5名教师中恰有1人认为人工智能对于教学“很有帮助”的概率； (3)对受访教师关于“人工智能助力教学”的观点进行赋分：“没有帮助”记0分，“有一些帮助”记2分，“很有帮助”记4分.统计受访教师的得分，将这100名教师得分的平均值记为，其中年龄在40岁以下（含40岁）教师得分的平均值记为，年龄在40岁以上教师得分的平均值记为，通过计算比较的大小关系. 4．（24-25高一下·北京·开学考试）某保险公司为了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同保险期限届满的保单中随机抽取份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表： 索赔次数 保单份数 已知：一份保单的保费为万元；前三次索赔时，保险公司每次赔偿万元；第四次索赔时，保险公司赔偿万元. (1)从抽取的份保单中，随机抽取一份保单其索赔次数不少于的概率； (2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差． （i）记为抽取的份保单的毛利润平均值，求的值； （ii）如果无索赔的保单的保费减少，有索赔的保单的保费增加，试比较这种情况下抽取的份保单毛利润的平均值与（i）中的大小. 期末综合拓展练（测试时间：30分钟） 1.（24-25高一上·江西景德镇·期末）随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”证件之一.若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试.在每一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试，或5次都没有通过，则需要重新报名），其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费.某驾校通过几年的资料统计，得到如下结论：男性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为，女性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为.现有一对夫妻同时报名参加驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止. (1)设这对夫妻中，“丈夫在科目二考试中第次通过”记为事件，事件“丈夫参加科目二考试不需要交补考费”，试用或的运算表示，并求的大小； (2)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率； (3)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元的概率. 2．（24-25高一下·安徽合肥·期末）新高考模式下，学生是否选择物理作为高考考试科目对大学专业选择有着非常重要的意义．合肥六中为了解高一年级1800名学生物理科目的学习情况，将他们某次物理测试成绩（满分100分）按照分成6组，制成如图所示的频率分布直方图． (1)求1800名学生中物理测试成绩在内的频数并补全频率分布直方图． (2)学校建议，本次物理测试成绩不低于分的学生选择物理为高考考试科目，若学校希望高一年级恰有的学生选择物理为高考考试科目，试求的估计值（结果精确到）． (3)已知落在的学生成绩的平均数为，方差，落在的学生成绩的平均数为，方差，若两组学生成绩的平均数之差不大于6，求落在的学生成绩的方差的最大值． 3．（24-25高一下·安徽六安·期末）不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的3个黑球、2个白球，其中黑球编号为1，2，3，白球编号为4，5. (1)现从盒子里随机取出2个小球，记事件“有放回地依次取出时，取到两个白球”，事件“不放回地依次取出时，取出小球编号之和为n”，当时，分别求事件A，B的概率； (2)某班级为活跃班级氛围，组织了玩游戏送书签的活动.该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响，连胜两个游戏可以获得一张书签，连胜三个游戏可以获得两张书签. 游戏一：从盒子中随机取出一个球，取到白球时获胜； 游戏二：从盒子中有放回地依次取出2个球，取出两个白球时获胜； 游戏三：从盒子中无放回地依次取出2个球，取出球编号之和为n时获胜. 小明同学决定先玩游戏一，当n为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书签的概率更大？ 4．（25-26高一上·湖南邵阳·期末）1934年-1936年红军完成伟大长征，该壮举实现了中国革命事业从挫折到胜利的伟大转折，是中华民族复兴进程中的丰碑.2026年恰逢红军长征胜利90周年，为传承长征精神，某校计划开展以“传承长征精神，续写时代华章”为主题的观影活动.同学们通过参加三个不同的游戏可以获得观影票，每个游戏需各玩一次且结果互不影响，每位同学可以自主安排参加这三个游戏的先后顺序，连胜两个游戏可以获得一张观影票，连胜三个游戏可以获得两张观影票，否则无法获得观影票.已知一个盒子中有5个大小质地完全相同的小球（编号为“”），这三个游戏的规则如下： 游戏一：从盒子中随机摸出一个小球，若这个小球的编号为“4”或“5”，则获胜； 游戏二：从盒子中有放回地依次随机摸出两个小球，若这两个小球的编号均不小于“4”，则获胜； 游戏三：从盒子中不放回地依次随机摸出两个小球，若这两个小球的编号之和为，则获胜. (1)分别求出同学参加游戏一，游戏二获胜的概率； (2)当时，同学如何安排游戏顺序，获得观影票的概率最大? (3)根据的不同取值，同学如何安排游戏顺序，获得观影票的概率最大？ 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优20 概率与统计的综合大题全归纳 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 统计图表与样本数字特征的综合应用 题型02 古典概型、互斥事件、相互独立事件的概率的综合 题型03 频率与概率的综合（跨章节） 题型04 样本数字特征与概率的综合（跨章节） 题型05 统计图表与古典概型的综合（跨章节） 题型06 统计图表与互斥事件的综合（跨章节） 题型07 统计图表与相互独立事件的综合(跨章节) 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 统计间知识的综合 会结合条形、折线、扇形等统计图表，综合分析数据，计算频数、频率，理解统计量间的联系. 常以图表信息题出现，考查从多类统计图表中提取、整合数据的能力，多为基础题. 概率间知识的综合 理解古典概型、互斥事件、对立事件、相互独立事件的关系，会用加法公式、对立事件公式及乘法公式计算综合概率. 试题难度中等或难，着重考查古典概型、互斥事件、对立事件、相互独立事件的综合应用. 频率与概率的综合 理解频率与概率的关系，会用频率估计概率，能用样本频率估计总体概率，解决实际应用问题. 常以应用题形式考查，结合试验数据或统计图表，用频率估计概率，整体难度较低. 样本数字特征与概率的综合 会计算样本的平均数、众数、中位数，结合古典概型，利用样本数据计算事件发生的概率. 多为中档题，先通过样本数据统计数字特征，再以此为基础计算概率，考查数据处理能力. 统计图表与古典概型的综合 能从统计图表中提取频数、总数，用古典概型公式计算事件概率，做到不重不漏计数. 常以解答题形式考查，以图表为载体，结合古典概型，考查数据提取和概率计算的综合能力. 统计图表与互斥事件的综合 能从统计图表中提取各组事件的概率，利用互斥事件的加法公式计算复杂事件的概率. 多为中档题，以图表数据为基础，考查互斥事件的判定与概率加法公式的应用. 统计图表与相互独立事件的综合 能从统计图表中提取单个事件的概率，利用相互独立事件的乘法公式计算联合事件的概率. 常以实际问题为背景，结合统计图表数据，考查独立事件的判定与乘法公式的应用. 知识点01 常用统计图表 1.常见的统计图表有条形统计图、扇形统计图、频率折线图、频率分布直方图、频率分布表等. 2.作频率分布直方图的步骤 【说明】(1)纵轴表示，即小长方形的高＝. (2)小长方形的面积＝组距×＝频率. (3)各小长方形的面积的总和等于1. 知识点02 利用样本估计总体 1.总体集中趋势的估计 名称 概念 平均数 如果有n个数x1，x2，…，xn，那么就是这组数据的平均数，用表示，即＝ 中位数 将一组数据按从小到大的顺序排列后，处在“中间”的那个数据为这组数据的中位数(“中间”指最中间一个(数据奇数个)或最中间两个数据的平均数(数据偶数个)) 众数 一组数据中出现次数最多的数据叫作这组数据的众数 【注意】平均数反映了数据取值的平均水平. 2.总体离散程度的估计 假设一组数据是x1，x2，…，xn，用表示这组数据的平均数，那么这n个数的 (1)标准差s＝. (2)方差s2＝. 【注意】方差和标准差反映了数据波动程度的大小. 3.总体百分位数的估计 (1)百分位数 一般地，当总体是连续变量时，给定一个百分数p∈(0，1)，总体的p分位数有这样的特点：总体数据中的任意一个数小于或等于它的可能性是p. (2)百分位数的意义 反映该组数中小于或等于该百分位数的分布特点. (3)计算一组n个数据的p分位数的一般步骤： 第1步，按照从小到大排列原始数据； 第2步，计算i＝np； 第3步，若i不是整数，大于i的最小整数为j，则p分位数为第j项数据；若i是整数，则p分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数. 【注意】常用的百分位数有第25百分位数，第50百分位数(即中位数)，第75百分位数.这三个百分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数. 4.分层随机抽样的均值与方差 分层随机抽样中，如果样本量是按比例分配，记总的样本平均数为，样本方差为s2. 以分两层抽样的情况为例.假设第一层有m个数，分别为x1，x2，…，xm，平均数为，方差为；第二层有n个数，分别为y1，y2，…，yn，平均数为，方差为.则(1)＝xi，＝，＝yi， ＝. ＝＋. (3)s2＝{m[＋]＋n[＋]}. 知识点03 频率与概率 1.频率的稳定性：在相同条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率通常会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有稳定性. 2.频率稳定性的作用：可以用频率估计概率P(A). 知识点04 古典概型 1.古典概型的特点 ①有限性：试验E的样本空间Ω的样本点总数有限； ②等可能性：每次试验中，样本空间Ω的各个样本点出现的可能性相等. 2.古典概型的概率计算公式 对古典概型来说，如果样本空间Ω包含的样本点总数为n，随机事件A包含的样本点个数为m，那么事件A发生的概率为P(A)＝＝. 知识点05 互斥事件与对立事件 1.从集合的角度理解互斥事件和对立事件 ①几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集. ②事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集. 2.概率加法公式的推广：当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An). 知识点06 事件的相互独立性 1.概念：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响. 2.公式：两个相互独立事件同时发生的概率，等于这两个事件发生的概率的积，即P(AB)＝P(A)P(B). 3.性质：若事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立. 题型一 统计图表与样本数字特征的综合应用 解｜题｜技｜巧 首先识别图表类型（频率分布直方图、茎叶图、条形图等）.对于频率分布直方图，注意纵轴是“频率/组距”，每个小矩形面积等于该组频率，所有矩形面积之和为1.求中位数时，找到累计频率达到0.5的对应数值；求平均数时，用每组组中值乘以该组频率再求和.对于茎叶图，可直接还原数据再计算.样本数字特征包括平均数、方差、标准差、中位数、众数.遇到“根据图表估计总体”时，常用样本估计总体. 易｜错｜点｜拨 1.误将频率分布直方图的纵轴当作频率，导致面积计算错误. 2.计算平均数时错用组中值或漏乘频率. 3.方差公式中分母是还是需看清题目要求（高中通常用）. 【典例1】（2026·河南周口3月·联考）某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成，，，，这五组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）估计样本成绩的平均数及方差；（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表） （2）已知落在内的平均成绩是80分，方差是4分，落在内的平均成绩是88分，方差是6分，求两组成绩合并后的平均数和方差. 附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为m，，；n，，，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差. 【答案】（1）平均数100，方差104 （2）， 【详解】（1）由频率分布直方图得， 平均数， 方差 . （2）第一组的样本容量，， 第二组的样本容量，， 所以合并后的平均数， 则. 【变式1-1】（25-26高二下·上海·阶段检测）本市某区对全区高中生的身高(单位：厘米)进行统计，得到如下的频率分布直方图． (1)若数据分布均匀， 用频率估计概率，则在全市随机取一名高中生，求其身高不低于180厘米的概率； (2)现从身高在区间的高中生中分层抽样抽取一个80人的样本，若身高在区间中样本的均值为176厘米，方差为10；身高在区间[180， 190)中样本的均值为184 厘米，方差为16，试求这80人的方差. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由频率分布直方图可得：解得 则在全市随机取一名高中生，求其身高不低于180厘米的概率为. （2）由于身高在区间，的人数之比为，所以分层抽样抽取80人，区间，内抽取的人数分别为50人与30人． 设在区间中抽取的50个样本为，其均值为176，方差为，即． 设区间中抽取的30个样本为．其均值为，方差为，即； 所以这80人身高的均值为． 从而这80人身高的方差为 因此，这80人身高的方差为 【变式1-2】（2026·四川成都·二模）“十五五规划”是中共中央关于制定国民经济和社会发展第十五个五年规划．成都市为了解市民对“十五五规划”的认知程度，对不同年龄、不同职业的市民举办了一次“十五五规划”知识竞赛，满分为100分（90分及以上为认知程度高），现从参赛者中抽取了x人，按年龄大小分成5组，第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有6人，从该市大学生、军人、医务人员、工人、个体户五种人群中用分层抽样的方法依次抽取6人，42人，36人，24人，12人，分别记为组，从这5个按年龄分的组和5个按职业分的组中每组各选派1人参加“十五五规划”知识竞赛，分别代表相应组的成绩，年龄组中组的成绩分别为93，96，97，94，90，职业组中组的成绩分别为93，98，94，95，90． (1)求抽取的x人的年龄的中位数（结果保留整数）； (2)分别求5个年龄组和5个职业组成绩的平均数和方差，并以上述数据为依据，评价5个年龄组和5个职业组对“十五五规划”的认知程度． 【答案】(1)32岁 (2)94，6，94，6.8，从平均数来看两组的认知程度相同，从方差来看年龄组的认知程度更稳定 【详解】（1）设中位数为a，∵第一组的频率为， 第二组的频率为，第三组的频率为， 又，，． 则，，则中位数为32岁． （2）5个年龄组成绩的平均数为， 方差． 5个职业组成绩的平均数为， 方差为． 所以从平均数来看两组的认知程度相同，从方差来看年龄组的认知程度更稳定． 题型二 古典概型、互斥事件、相互独立事件的概率的综合 解｜题｜技｜巧 古典概型、互斥事件、相互独立事件的概率的综合问题求解策略 （1）拆分法.将复杂事件拆为若干互斥简单事件的和，分别计算各简单事件概率，再用互斥事件概率加法公式求和；若事件含先后流程，拆为相互独立事件分步计算，用乘法公式求解. （2）对立事件法.正面情况繁杂时，先求其对立事件概率，再利用对立事件的概率公式快速运算，大幅简化计算.解题先判断事件关系，再匹配对应公式. 【典例2】（25-26高二上·广东佛山·期中）现有一个质地均匀的正面体骰子，个面分别标有数字1到. (1)当时，设计一种“点数游戏”：任意抛掷两次这个骰子，观察骰子与桌面接触的面上的数字的乘积，这个乘积记为游戏结果.甲、乙两人玩这种“点数游戏”，规定每次游戏结果大于5时甲获胜，游戏结果小于5时乙获胜. ①写出此试验的样本空间； ②试判断这种游戏是否公平？并说明理由； ③若约定先获胜3次“点数游戏”者赢得比赛，并获得100元奖金.当甲获胜2次，乙获胜1次时，“点数游戏”因意外而中止，现决定将100元奖金分给甲、乙两人.请以此时甲和乙最终获胜的概率之比为标准，分配两人的奖金数量； (2)当时，任意抛掷一次这个骰子，以它与桌面接触的面上的数字为试验结果.请构造适当的事件，使成立，但不满足两两独立.请说明理由. 【答案】(1)①答案见解析；②公平，理由见解析；③甲分配奖金元，乙分配奖金元 (2)答案见解析 【分析】（1）①用列举法写出样本空间即可得；②由古典概型概率公式计算两者获胜的概率是否相等即可判断；③按甲、乙继续比赛赢得比赛的概率比值进行奖金分配，由于甲、乙要分出比赛输赢至多需要再进行2次“点数游戏”，即可确认输赢，由列举法写出样本空间计算概率后可得； （2）当时，任意抛掷一次这个骰子的样本空间，所以，构造事件，然后计算概率检验. 【详解】（1）①； ②记“游戏结果大于5”为事件，则事件包含的样本点包括： ，所以， 又，则甲获胜的概率为， 故乙获胜的概率为， 所以甲、乙获胜的概率相等，这种游戏是公平的； ③由于甲、乙要分出比赛输赢至多需要再进行2次“点数游戏”， 假设再进行2次“点数游戏”， 则2次“点数游戏”比赛结果的样本空间： （甲胜，甲胜），（甲胜，乙胜），（乙胜，甲胜），（乙胜，乙胜）， 所以， 记“甲赢得比赛”为事件，则事件包含的样本点包括： （甲胜，甲胜），（甲胜，乙胜），（乙胜，甲胜），所以， 则， 所以“乙赢得比赛”的概率为， 所以甲分配奖金元，乙分配奖金元； （2）当时，任意抛掷一次这个骰子的样本空间， 所以， 构造事件， 则， 则， ，， 所以， ， 即且不满足两两独立，满足题意． 【变式2-1】（2026·广东东莞3月·质量检测）甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有2道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，每位面试者共有两次机会，若答对第一次抽到的题目，则面试通过，结束答题；否则继续第2次答题，答对则面试通过，未答对则面试不通过，甲、乙两人对抽到的不同题目能否答对是独立的，且两人答题互不影响，求甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率； 【答案】（1） 【详解】（1）设事件为“甲通过面试”，事件为“乙通过面试”， （或） （或） 所以甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率 . 【变式2-2】（25-26高一下·福建厦门·期中）某商场开展促销活动，每消费调500元可获得一次抽奖机会.抽奖箱装有3个红球、2个白球、1个蓝球，这些球除颜色外完全相同.抽奖规则如下：一次性随机摸出2个球，若摸出2个红球，可获得一等奖；若摸出1个红球和1个蓝球，可获得二等奖. (1)已知甲在该商场消费了500元，求甲获得一等奖的概率； (2)为加大促销力度，在原规则的基础上，当顾客在该商场消费满1000元时，若顾客两次抽奖均摸出蓝球，则额外获得一个二等奖.已知乙在该商场消费了1000元，记“乙至少获得一个一等奖”为事件，“乙恰好获得一个二等奖”为事件.判断事件与是否相互独立，并说明理由. 【答案】(1) (2)不相互独立，理由见解析 【分析】（1）写出所有的样本点，再根据古典概率公式即可得出答案； （2）利用独立性事件同时发生的乘法公式及互斥事件发生的加法公式计算，再验证与是否相等即可判断. 【详解】（1）记三个红球分别为，，，两个白球分别为，，蓝球为， 则6个球中一次摸出两球的样本空间为： ， 则，且每个样本点出现的可能性相等，所以这是一个古典概型.     记事件“甲获得一等奖”，则，，     所以，所以甲获得一等奖的概率为. （2）记事件“乙第次摸得两个红球”，事件“乙第次摸得一红一蓝两个球”， 事件“乙第次摸得一白一蓝两个球”，事件“乙第次未摸到蓝球”，其中，2. 由（1）知； ，；     ，；     ，.     则，，与相互独立. 所以.     因为，且事件，，两两互斥，两次抽奖相互独立， 所以 .     因为，且，互斥，两次抽奖相互独立， 所以.     所以，所以事件与事件不相互独立. 题型三 频率与概率的综合 解｜题｜技｜巧 利用频率估计概率求解策略 1.核心依据：当试验次数足够大时，事件发生的频率会逐渐稳定在对应概率附近，可用稳定频率近似当作概率. 2.基础计算：频率 = 事件发生次数 ÷ 总试验次数，多次试验取稳定值作为估计概率. 3.拓展应用：已知概率与总数量，用 “总数 × 估计概率” 估算事件发生的理论次数. 4.解题要点：区分频率（试验值）与概率（理论值），试验次数越多，估计结果越准确. 【典例3】（24-25高一下·江苏盐城·期末）对200个电子元件的寿命（单位：h）进行追踪调查，情况如下： 寿命 个数 20 30 80 40 30 (1)估计元件的寿命在（单位：h）内的概率； (2)估计元件的寿命在以上的概率． 【答案】(1);(2) 【详解】（1）因表中200个电子元件的寿命在（单位：h）内的频率为， 故由此估计元件的寿命在（单位：h）内的概率为； （2）因表中200个电子元件的寿命在以上的频率为， 故由此估计元件的寿命在以上的概率为. 【变式3-1】（2026·江苏南通·检测）对200个电子元件的寿命（单位：）进行追踪调查，情况如下： 寿命 个数 20 30 80 40 30 (1)如果按照使用寿命大于或等于300h的记为耐用型，小于300h的记为合格型，现按分层抽样，要抽取一个容量为8的样本，那么耐用型、合格型各应抽取多少个？ (2)估计元件的寿命在400h及以上的概率． 【答案】(1)耐用型抽取6个，合格型抽取2个 (2) 【详解】（1）因为耐用型总共有个，合格型总共有个， 抽取一个容量为8的样本，每个电子元件被抽到的可能性相同为. 所以耐用型抽取个，合格型抽取个． （2）因表中200个电子元件的寿命在400h及以上的频率为， 故由此估计元件的寿命在400h及以上的概率为． 【变式3-2】（25-26高二上·云南昭通·期末）对200个电子元件的寿命（单位：）进行追踪调查，情况如下： 寿命 个数 20 30 80 40 30 (1)如果按照使用寿命大于或等于300h的记为耐用型，小于300h的记为合格型，现按分层抽样，要抽取一个容量为8的样本，那么耐用型、合格型各应抽取多少个？ (2)估计元件的寿命在400h及以上的概率． 【答案】(1)耐用型抽取6个，合格型抽取2个;(2) 【详解】（1）因为耐用型总共有个，合格型总共有个， 抽取一个容量为8的样本，每个电子元件被抽到的可能性相同为. 所以耐用型抽取个，合格型抽取个． （2）因表中200个电子元件的寿命在400h及以上的频率为， 故由此估计元件的寿命在400h及以上的概率为． 题型四 样本数字特征与概率的综合 解｜题｜技｜巧 计算样本的平均数、方差、众数、中位数等数字特征，提取数据规律.再结合古典概型、互斥或独立事件分析问题.若涉及取值概率，先确定随机变量所有可能结果，结合样本数据统计对应频数，计算概率.求解时分清统计量与概率的关联，以样本数据为依据列式计算. 【典例1】（2026·河北秦皇岛·阶段检测）某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的运行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，制成如图所示的频率分布直方图. (1)求图中的值； (2)求这组数据的平均数与方差； (3)已知满意度评分值在内的男性人数与女性人数的比为.若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求恰有1名女性的概率. 【答案】(1) (2)77；106 (3) 【详解】（1）由频率分布直方图可知各组频率依次为， 由，解得. （2）用每组区间的中点值为代表， 则平均数， 方差. （3）在的人数有人，其中男生3人，女生2人， 记三个男生分别为，两个女生分别为， 则从5人中随机抽取2人进行座谈所有样本点： ，，共10个； 恰有1名女生的样本点：，共6个； 所以从5人中随机抽取2人进行座谈恰有1名女生的概率为. 【变式4】（25-26高一上·北京·期末）为践行五育并举，增强学生体质，某校拟开设课外体育活动课．现从全校高一学生中分层随机抽样出100名男生和80名女生，对其选课意愿作调查统计，得到数据如下： 男生 女生 选择 不选择 选择 不选择 排球 50 50 50 30 篮球 25 75 15 65 足球 75 25 5 75 乒乓球 10 90 10 70 假设所有学生是否选择排球、篮球、足球、乒乓球相互独立，用频率估计概率． (1)假设全校共有1800名高一学生，直接判断下列结论的正误． 结论：根据样本数据估计全校有800名高一学生有选择足球课的意愿； 结论：样本中男生对排球课和篮球课都不选择的人数可以为20． (2)若从该校全体高一男生中随机抽取2人，全体高一女生中随机抽取1人，求这3人中选择排球课的人数恰为2的概率； (3)记样本中男生选择排球、篮球、足球、乒乓球课的频率依次为，其方差为；样本中男生不选择这四个活动课的频率依次为，其方差为．写出与的大小关系．（结论不要求证明） 【答案】(1)结论正确，结论错误；(2)(3) 【详解】（1）由题意可知，选择足球课的频率为， 则全校高一学生有选择足球课的意愿的人数为，故结论正确； 设不选择排球的男生集合为，不选择篮球的男生集合为， 则集合和中的人数分别为，,都不选择的人数为， 根据且， 可得， 所以都不选择的人数至少为25人，故结论B错误. （2）由题意可知，男生选择排球课的概率为，女生选择排球课的概率为， 假设表示3人中选择排球课的人数，则选择排球课的人数恰为2的概率 . （3）由题意知，， 设男生选择和不选择这四个活动课的平均值分别为， 则 根据方差定义可得 所以. 题型五 统计图表与古典概型的综合 解｜题｜技｜巧 先读懂统计图、表，提取频数、总数、分组数据等关键信息，统计出基本事件总数与符合条件的事件数.再套用古典概型公式：概率 = 符合条件事件数 ÷ 总基本事件数.若涉及抽取问题，结合图表数据枚举或计数，注意区分有序、无序抽取，准确计数避免漏算、重算. 【典例5】（25-26高二下·上海·阶段检测）某高中随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：），按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图（如下图所示）． (1)求身高在区间的学生人数； (2)将身高在，，区间内的学生依次记为，，三个组，用分层抽样的方法从三个组中抽取6人． ①求从这三个组分别抽取的学生人数； ②若要从6名学生中抽取2人，求B组中至少有1人被抽中的概率． 【答案】(1)30人 (2)①3人，2人，1人；② 【详解】（1）设的频率为， 由频率分布直方图可知，解得． 所以身高在区间的学生人数为（人）． （2）①，，三组的人数分别为30人，20人，10人． 因此三组中每组各抽取（人），（人），（人）． ②设组的3位同学为，，，组的2位同学为，，组的1位同学为， 则从6名学生中抽取2人有15种可能： ，，，，， ，，，，，，，，，． 其中组的2位学生至少有1人被抽中有9种可能： ，，，，，，，，． 所以组中至少有1人被抽中的概率为． 【变式5-1】（2026·陕西宝鸡·阶段检测）市有关部门为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成，这五组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)估计样本成绩的平均数及方差；（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表) (2)某工作人员使用简单随机抽样从中抽取部分再研究，其中成绩的答卷有2份，成绩的答卷有3份，再从这5份中随机抽取2份进行详细分析，求从这5份答卷中取2份时，既有的答卷也有的答卷的概率． 【答案】(1)平均数为100，方差为104 (2) 【详解】（1）由频率分布直方图得， 平均数， 方差 . （2）记这组三份答卷的编号为这组两份答卷的编号为， 故从5份答卷中随机抽取2份，共10种情况，为： 设事件“既有的答卷也有的答卷” 则，共6种情况． 故, 【变式5-2】（25-26高一上·重庆云阳·开学考试）“校园手机”现象越来越受到社会的关注，暑假期间，小明随机调查了城区若干名同学和家长对中学生带手机现象的看法，统计整理并制作了如下统计图： (1)这次的调查对象中，家长有多少人？并补全图①. (2)求图②中表示家长“赞成”的圆心角的度数，并补全图②. (3)从这次接受调查的同学中，随机抽查一个学生恰好抽到持“无所谓”态度的概率是多少？ 【答案】(1)400 (2) (3) 【详解】（1）由条形图可知，无所谓的家长有80人，根据扇形统计图可知，无所谓的家长占，家长总人数为人；反对的人数为人. 如图所示： （2）表示“赞成”所占圆心角的度数为：； （3）由样本知，持“无所谓”态度的学生人数有30人，所以抽到的概率为：. 题型六 统计图表与互斥事件的综合 解｜题｜技｜巧 先从图表提取各组频数、频率，算出对应事件概率.判断事件是否互斥，互斥事件同时发生概率为 0.利用互斥事件加法公式，将所求事件拆为若干互斥子事件，分别求概率后相加.正面情况复杂时，可借助对立事件简化计算，注意不重不漏划分事件. 【典例6】（2026·广东东莞·模拟）某校对2024年高一上学期期末数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照，，，，，分成6组，绘制成如下图所示的频率分布直方图： (1)求频率分布直方图中的值： (2)估计该校高一上学期期末数学考试成绩的平均数： (3)为了进一步了解学生数学学科学习的情况，在成绩位于的学生中用分层随机抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生的分数不在同一组内的概率． 【答案】(1) (2)93分 (3) 【详解】（1）由题， 解得：． （2）由（1）可知，数学成绩在： 频率， 频率， 频率， 频率， 频率， 频率， 样本平均值为：， 可以估计样本数据中数学成绩均值为93分， 据此可以估计该校高一上学期期中数学考试成绩的平均分是93分； （3）由题意可知，分数段的人数为（人）， 分数段的人数为（人）． 用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，则需在［50，70）分数段内抽2人，分别记为，需在分数段内抽3人，分别记为，，， 设“从样本中任取2人，抽取的这2名学生的分数不在同一组内”为事件， 则样本空间共包含10个样本点， 所以事件的对立事件为包含4个样本点 所以， 所以， 即抽取的这2名学生的分数不在同一组内的概率为． 【变式6】（25-26高一上·北京·月考）随着时代和科技的进步，人工智能在学习生活中越来越重要.为此北京市第十四中学高一年级数学组特命制了一套与人工智能的专题训练卷（满分为100分），并对整个高一年级的学生进行了测试.现从这些学生中随机抽取了50名学生的成绩，按照成绩为，，…，分成了5组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于50分）. (1)求频率分布直方图中的的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数､中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表，中位数请用分数表示）； (2)若高一年级共有480名学生，试估计高一学生中这次测试成绩不低于70分的人数； (3)若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的三组学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人参加这次考试的考后分析会，试求后两组中至少有1人被抽到的概率. 【答案】(1)； 平均数为74（分）；中位数为分；(2)288；(3) 【详解】（1）由频率分布直方图可得第4组的频率为，故， 故可估计所抽取的50名学生成绩的平均数为（分）. 由于前两组的频率之和为，前三组的频率之和为，故中位数在第3组中.设中位数为分，则有，所以，即所求的中位数为分. （2）由（1）可知，50名学生中成绩不低于70分的频率为，由以上样本的频率，可以估计高一年级480名学生中成绩不低于70分的人数为. （3）由（1）可知，后三组中的人数分别为，故这三组中所抽取的人数分别为， 记成绩在这组的3名学生分别为，成绩在这组的2名学生分别为，成绩在这组的1名学生为， 则从中任取3人的所有可能结果为， ， ， ，，，，，，，，，，，，，，， 共20种. 其中后两组中没有人被抽到的可能结果为，只有1种，故后两组中至少有1人被抽到的概率为. 题型七 统计图表与相互独立事件的综合 解｜题｜技｜巧 先从图表提取数据，计算单个事件的概率.判定事件相互独立后，运用独立事件概率乘法公式计算联合概率.若事件分多阶段、多组别，按分组依次求解.可结合互斥、对立事件拆分复杂问题，计算时准确提取图表频率、频数，保证概率取值无误. 【典例7】（25-26高三上·上海徐汇·期中）人工智能正在逐渐改变着我们的日常生活，不过，它所涉及的数学知识并非都是遥不可及的高深理论．为了解“拼音输入法”的背后原理，随机选取甲类题材“新闻稿”中1200字作为样本语料库A，其中“一”出现了30次，统计“一”与其后面一个字（或标点）的搭配情况，数据如下： “一”与其后面一个字（或标点）的搭配情况 频数 “一个” 6 “一些” 4 “一群” 2 “一条” 2 其他 假设用频率估计概率． (1)求的值，并估计甲类题材中“一”出现的概率； (2)在甲类题材“新闻稿”中随机抽取2个“一”，其中搭配“一个”出现的次数仅为1次，求它的概率； (3)另外随机选取甲类题材“新闻稿”中800字作为样本语料库B进行统计，“一”出现了24次，“一格”出现了2次，若在甲类题材“新闻稿”的撰写中，输入拼音“yige”时，“一个”和“一格”谁在前面更合适?（结论不要求证明） 【答案】(1)16； (2)； (3)“一个”在前面更合适. 【详解】（1）由题可得， 因为随机选取甲类题材“新闻稿”中1200字作为样本语料库A，其中“一”出现了30次， 所以估计甲类题材中“一”出现的概率为； （2）由题意可得在甲类题材“新闻稿”中随机抽取1个“一”，搭配“一个”出现的概率为， 则在甲类题材“新闻稿”中随机抽取1个“一”，不搭配“一个”出现的概率为， 所以在甲类题材“新闻稿”中随机抽取2个“一”，其中搭配“一个”出现的次数仅为1次的概率为. （3）甲类题材“新闻稿”中随机抽取1个“一”，搭配“一个”出现的概率为， 甲类题材“新闻稿”中随机抽取1个“一”，搭配“一格”出现的概率为， 所以“一个”出现的概率更高，则输入拼音“yige”时，“一个”在前面更合适. 【变式7-1】（24-25高一下·河南鹤壁·期末）为探究某药物对小白鼠的生长抑制作用，将生长情况相同的80只小白鼠随机均分为两组：对照组（不添加药物）和实验组（添加药物），饲养相同时间后，分别测量这两组小白鼠的体重增加量（单位：g），这些小白鼠的体重增加量都在内，按照，，，，，分组，得到如下频率分布直方图. (1)估计对照组小白鼠体重增加量的平均数（每组以该组所在区间的中点值为代表）及中位数； (2)求a的值及实验组中体重增加量不大于20g的小白鼠的只数； (3)现从实验组和对照组中各随机抓取1只小白鼠，用事件A表示“所取2只小白鼠体重增加量均超过20g”，事件B表示“2只小白鼠仅有1只体重增加量不超过25g”，求，，并判断A，B是否相互独立. 【答案】(1)平均数为19，中位数为20 (2)24 (3)，，A，B不相互独立. 【详解】（1）估计对照组小白鼠体重增加量的平均数为 . 因为， 所以估计对照组小白鼠体重增加量的中位数为20. （2）由， 得， 估计实验组中体重增加量不大于20g的小白鼠只数为. （3）由题意知，从对照组中随机抓取1只小白鼠，体重增加量超过20g的概率为0.5，超过25g的概率为0.3，从实验组中随机抓取1只小白鼠，体重增加量超过20g的概率为0.4，超过25g的概率为0.15， 所以， ， ， ， 因为，所以A，B不相互独立. 【变式7-2】（25-26高一下·广东深圳·期中）由甲、乙两个人组成的团队参加某项闯关游戏，第一关解密码锁，规则如下： ①一共2道相同的密码锁，每一道密码锁都必须在1分钟以内解锁完毕才算解锁成功，否则视为解锁失败； ②第一关开始前，2人需决定由谁先开始解锁，且第一位解锁人有2次连续解锁机会，第二位解锁人也有2次连续解锁机会，第一位用完2次机会后若仍然有密码锁未被解锁成功，则替换为下一位解锁人解锁； ③若2道密码锁均被解锁成功，团队立刻进入下一关，否则视为该团队失败，淘汰出局.现根据以往100次的测试，分别获得如下甲、乙解开1道密码锁所需时间的频率分布直方图，其中 (1)求a、b的值，并求出甲解开1道密码锁的时间在1分钟以内的频率； (2)以甲、乙解开1道密码锁所需时间位于各区间的频率代替概率，且甲、乙2人每次是否成功解开密码锁相互独立，解答下列问题： （i）若2人决定由甲先开始解锁，求团队使用的解锁机会不超过3次就进入下一关的概率； （ii）你认为甲、乙两人进入下一关的概率是否与他们的出场顺序有关?试通过计算说明理由. 【答案】(1)；； (2)（i）（ii）无关，理由见解析. 【详解】（1）由，又，解得：，， 甲解锁试卷在分钟时正好位于中间， 所以甲在分钟内解开锁的频率为：. （2）由题可知乙在分钟内解开锁的频率为：， 设甲开锁成功为事件，则，乙开锁成功为事件，则， （i）若甲先开始解锁，求团队使用的解锁机会不超过3次就进入下一关总共有：，，共种情况， 所以其概率为：. （ii）假设甲先开锁乙后开锁进入下一关的情况有：，，，,共6种情况， 则甲先开锁乙后开锁进入下一关的概率为: ； 假设乙先开锁甲后开锁进入下一关的情况有：，，，共种情况， 则乙先开锁甲后开锁进入下一关的概率为： ， 因，所以与他们的出场顺序无关. 期末基础通关练（测试时间：20分钟） 1.（25-26高二下·重庆·期中）某校法联社团组织高一年级所有学生参加“感受法治内涵，争做法治宣传人”的主题知识比赛，旨在引导同学们深入学习法治知识，争当法治精神的传播者.比赛分为初赛和决赛两个环节，现从所有初赛成绩（满分分，最低分分）中，随机调查了位同学的测试成绩，按、、、、分组，并绘制出了如图所示的频率分布直方图. (1)若规定成绩排名前的同学可入围决赛，请估计进入决赛的同学成绩应不低于多少分？ (2)已知落在内的平均成绩是分，方差是分，落在内的平均成绩是分，方差是分，求两组成绩合并后的平均数和方差. 附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为、、；、、，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差. 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）由题意可知，进入决赛的同学成绩的分数线为样本数据的第百分位数， 设样本数据的第百分位数为， 由频率分布直方图中所有矩形的面积之和为可得， 解得， 前三个矩形的面积之和为， 前四个矩形的面积之和为，所以， 由百分位数的定义可得，解得， 故进入决赛的同学成绩应不低于分. （2）由题意可知，成绩落在的频率为， 成绩落在的频率为， 所以，， . 2．（25-26高一下·江苏无锡·期末）某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～六组区间分别为，，，，，）． (1)求选取的市民年龄在内的人数及a的值； (2)利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的平均数和第80百分位数； (3)若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率． 【答案】(1)， (2)平均数为，第80百分位数为. (3) 【详解】（1）由题意可知，年龄在内的频率为， 故年龄在内的市民人数为. 由图可得：，解得； （2）平均数为 前三组的频率和为， 第四组的频率为，所以第80百分位数在第四组， 第80百分位数为. （3）易知，第3组的人数，第4组人数都多于20，且频率之比为， 所以用分层抽样的方法从第3、4两组市民中抽取5名参加座谈， 所以应从第3，4组中分别抽取3人，2人. 记第3组的3名分别为，，，第4组的2名分别为，， 则从5名中选取2名作重点发言的所有情况为，，，，， ，，，，，共有10种. 其中第4组的2名，至少有一名被选中的有：，，，， ，，，共有7种， 所以至少有一人的年龄在内的概率为. 3.（25-26高一上·北京西城·期末）运动会上，甲、乙、丙三名运动员最终进入跳高决赛，决赛成绩达到以上（含）的运动员将获得优胜奖.为预测获得优胜奖的情况及冠军得主.收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：）： 甲：181   180   179   178   173   172   170   168 乙：180   179   175   171   170   169 丙：183   176   165 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立. (1)估计甲在决赛中获得优胜奖的概率； (2)估计乙、丙两人在决赛中至少有一人获得优胜奖的概率； (3)甲、乙、丙三人中谁夺冠的概率最大？（结论不要求证明） 【答案】(1)；(2)；(3)丙 【详解】（1）由甲：181   180   179   178   173   172   170   168 8组数据中成绩达到以上（含）有4组， 甲在决赛中获得优胜奖的概率为； （2）由乙：180   179   175   171   170   169 6组数据中成绩达到以上（含）有3组， 故乙在决赛中获得优胜奖的概率为； 由丙：183   176   165 3组数据中成绩达到以上（含）有2组， 故丙在决赛中获得优胜奖的概率为； 则乙、丙两人在决赛中都没获得优胜奖的概率为：， 故乙、丙两人在决赛中至少有一人获得优胜奖的概率为； （3）甲的成绩达到以上（含）的数量为2， 概率（频率）为，最大值为181； 乙的成绩达到以上（含）的数量为1， 概率（频率）为，最大值为180； 丙的成绩达到以上（含）的数量为1， 概率（频率）为，最大值为183； 可判断丙获得冠军的概率最大. 4．（25-26高二下·北京平谷·阶段检测）某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试．为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75．假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率． (1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率 (2)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取名，设为这名学生中该题选择正确的人数，分别估计的概率． 【答案】(1) (2)，，. 【详解】（1）因为甲校所抽查的100名学生中选择正确的人数为80， 所以甲校所抽查的学生该题选择正确的频率为， 故估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率； （2）设事件为“从甲校抽取1人做对”，则，， 设事件为“从乙校抽取1人做对”，则，， 依题意可知， ， . 期末重难突破练（测试时间：25分钟） 1．（25-26高二上·云南保山·期末）近日，“滇超”联赛（云南省城市足球联赛）正如火如荼进行．某校团委组织了一次“足球知识问答”竞赛，现从全校参赛的1000名学生中随机抽取了100名统计他们的竞赛成绩（单位：分，满分100分），并绘制了如图所示的频率分布直方图： 已知成绩在的频数是30，则： (1)求图中的值，并估计这100名学生成绩的平均数； (2)根据频率分布直方图，估计样本数据的第85百分位数； (3)学校拟从竞赛成绩在和两组内的学生中，按分层抽样抽取5人进行详细访谈，再从这5人中随机抽取2人进行“全民健身”主题演讲，求这2人来自不同组的概率． 【答案】(1)，平均数为73； (2)87.5； (3). 【详解】（1）由成绩在的频数是30，得成绩在的频率为，则， 由，得， 这100名学生成绩的平均数为. （2）由频率分布直方图知，样本数据在的频率为， 在的频率为，则样本数据的第85百分位数， 由，解得， 所以样本数据的第85百分位数为87.5. （3）竞赛成绩在和的频率分别为0.3和0.2，则按分层抽样抽取5人中， 成绩在中的有人，记为，成绩在中的有2人，记为， 从这5人中随机抽取2人的样本空间，共10个， 这2人来自不同组的事件，共6个， 所以所求概率. 2.（25-26高一上·贵州遵义·期末）为了了解某校高二年级学生的体育成绩（满分100分）选取40名学生参加考核，考核成绩的频率分布直方图如图所示： (1)求频率分布直方图中的的值，并估计所抽取的40名学生成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)为了提升同学们的体育成绩，校方准备招聘高水平的教练进行授课．现采用分层抽样的方法（样本量按比例分配），从得分在内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求至少有一人分数不低于80的概率； (3)现有体育成绩在90分以上的甲、乙两名同学要参加文旅部门组织的国庆营考试，已知考试分为两轮，第一轮为笔试，需要考两门学科，每科笔试成绩从高到低依次有共四个等级，若两科笔试成绩均为，则直接参加国庆营；若一科成绩为．另一科成绩不是但不低于，则要参加第二轮面试，面试通过参加国庆营，否则不能参加．若两人考试互不影响，且甲在每科笔试中取得四个等级的概率分别是；乙在每科笔试中取得四个等级的概率分别是，甲、乙面试通过的概率都为，求甲、乙能同时参加国庆营的概率．（结果用分数表示） 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）由题可得， 所以所抽取的40名学生成绩的平均数约为. （2）由题可得两组各抽2人和3人，分别记为和， 则从5人中挑出两人进行试课，则样本空间为，共有10个样本点， 记事件“至少有一人分数不低于80”，则，共有9个样本点， 所以至少有一人分数不低于80的概率为； （3）由题可得甲能参加国庆营情况有以下三种情况： 第一种情况是甲笔试两科成绩均为A； 第二种情况是甲两科笔试成绩分别为A和B且第二轮面试通过； 第三种情况是甲两科笔试成绩分别为A和C且第二轮面试通过. 所以甲能参加国庆营的概率为， 同理乙能参加国庆营的概率， 所以甲、乙能同时参加国庆营的概率为. 3．（24-25高三下·北京·阶段检测）某地区教育研究部门为了解当前本地区中小学教师在教育教学中运用人工智能的态度、经验、困难等情况，从该地区2000名中小学教师中随机抽取100名进行了访谈.在整理访谈结果的过程中，统计他们对“人工智能助力教学”作用的认识，得到的部分数据如下表所示： 没有帮助 有一些帮助 很有帮助 合计 性别 男 2 10 20 女 35 40 80 年龄 40岁以下（含40岁） 1 35 40岁以上 6 26 45 假设用频率估计概率，且每位教师对“人工智能助力教学”作用的认识相互独立. (1)估计该地区中小学教师中认为人工智能对于教学“没有帮助”的人数； (2)现按性别进行分层抽样，从该地区抽取了5名教师，求这5名教师中恰有1人认为人工智能对于教学“很有帮助”的概率； (3)对受访教师关于“人工智能助力教学”的观点进行赋分：“没有帮助”记0分，“有一些帮助”记2分，“很有帮助”记4分.统计受访教师的得分，将这100名教师得分的平均值记为，其中年龄在40岁以下（含40岁）教师得分的平均值记为，年龄在40岁以上教师得分的平均值记为，通过计算比较的大小关系. 【答案】(1)140 (2) (3) 【详解】（1）根据表格中数据，完善表格， 没有帮助 有一些帮助 很有帮助 合计 性别 男 2 10 8 20 女 5 35 40 80 年龄 40岁以下（含40岁） 1 19 35 55 40岁以上 6 26 13 45 可以得到100名教师中，认为人工智能对于教学“没有帮助”的频率为， 用频率估计概率，估计该地区中小学教师中认为人工智能对于教学“没有帮助”的人数为； （2）男女比例为，故抽取的5名教师，有1名男教师，4名女教师， 用频率估计概率，估计该地区中小学教师中男教师认为对于教学“很有帮助”的概率为， 女教师认为对于教学“很有帮助”的概率为， 抽取的5名教师中，恰有1人认为人工智能对于教学“很有帮助”， 则1名男教师认为人工智能对于教学“很有帮助”的概率为， 1名女教师认为人工智能对于教学“很有帮助”的概率为， 故这5名教师中恰有1人认为人工智能对于教学“很有帮助”的概率为； （3）， ， ， 因为，所以. 4．（24-25高一下·北京·开学考试）某保险公司为了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同保险期限届满的保单中随机抽取份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表： 索赔次数 保单份数 已知：一份保单的保费为万元；前三次索赔时，保险公司每次赔偿万元；第四次索赔时，保险公司赔偿万元. (1)从抽取的份保单中，随机抽取一份保单其索赔次数不少于的概率； (2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差． （i）记为抽取的份保单的毛利润平均值，求的值； （ii）如果无索赔的保单的保费减少，有索赔的保单的保费增加，试比较这种情况下抽取的份保单毛利润的平均值与（i）中的大小. 【答案】(1) (2)（i）0.122；（ii） 【分析】（1）用频率估计概率，根据题设中的数据可求赔偿次数不少2的概率； （2）（i）用频率估计概率后可求得分布列及数学期望，从而可求毛利润平均值；（ii）先算出下一期保单的毛利润，结合（i）的结果可求． 【详解】（1）根据题中数据，在份保单中，索赔次数不少于2的保单份数为，故一份保单索赔次数不少于2的概率可估计为． （2）（i）由题设， 索赔次数 保单份数 毛利润(单位：万元) 所以． （ii）这种情况下抽取的份保单毛利润的平均值大于（i）中的估计值. 如果无索赔的保单的保费减少，有索赔的保单的保费增加， 份保单毛利润变化为， . 因此. 期末综合拓展练（测试时间：30分钟） 1.（24-25高一上·江西景德镇·期末）随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”证件之一.若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试.在每一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试，或5次都没有通过，则需要重新报名），其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费.某驾校通过几年的资料统计，得到如下结论：男性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为，女性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为.现有一对夫妻同时报名参加驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止. (1)设这对夫妻中，“丈夫在科目二考试中第次通过”记为事件，事件“丈夫参加科目二考试不需要交补考费”，试用或的运算表示，并求的大小； (2)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率； (3)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元的概率. 【答案】(1)，；(2)；(3) 【详解】（1）这对夫妻中，“丈夫在科目二考试中第次通过”记为事件，事件“丈夫参加科目二考试不需要交补考费” 则 （2）设这对夫妻中，“妻子在科目二考试中第次通过”为事件，则. 设事件“妻子参加科目二考试不需要交补考费”，事件“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费”. 则. 因此，这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率为； （3）设事件“丈夫参加科目二考试需交补考费200元”，事件“妻子参加科目二考试需交补考费200元”， 事件“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元”，则 ， . 因此，这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元的概率为 2．（24-25高一下·安徽合肥·期末）新高考模式下，学生是否选择物理作为高考考试科目对大学专业选择有着非常重要的意义．合肥六中为了解高一年级1800名学生物理科目的学习情况，将他们某次物理测试成绩（满分100分）按照分成6组，制成如图所示的频率分布直方图． (1)求1800名学生中物理测试成绩在内的频数并补全频率分布直方图． (2)学校建议，本次物理测试成绩不低于分的学生选择物理为高考考试科目，若学校希望高一年级恰有的学生选择物理为高考考试科目，试求的估计值（结果精确到）． (3)已知落在的学生成绩的平均数为，方差，落在的学生成绩的平均数为，方差，若两组学生成绩的平均数之差不大于6，求落在的学生成绩的方差的最大值． 【答案】(1)图见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图各小矩形面积和为1及频率、频数的关系求解. （2）根据频率分布直方图求第70百分位数可得； （3）根据方差的求法，方差转化为，进而可得. 【详解】（1）由频率分布直方图可得物理测试成绩在的频率为 ， 频数为， 所以1800名学生中物理测试成绩在内的频数为270，补全频率分布直方图如图所示． （2）易得前两段频率之和为，前三段频率之和， 则有 满足，所以（分） （3）成绩在的频数为270人，， 成绩在的频数为540人，， 所以的学生成绩的平均值为， 由方差公式知，， 所以该班成绩的方差为： 所以的最大值为． 3．（24-25高一下·安徽六安·期末）不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的3个黑球、2个白球，其中黑球编号为1，2，3，白球编号为4，5. (1)现从盒子里随机取出2个小球，记事件“有放回地依次取出时，取到两个白球”，事件“不放回地依次取出时，取出小球编号之和为n”，当时，分别求事件A，B的概率； (2)某班级为活跃班级氛围，组织了玩游戏送书签的活动.该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响，连胜两个游戏可以获得一张书签，连胜三个游戏可以获得两张书签. 游戏一：从盒子中随机取出一个球，取到白球时获胜； 游戏二：从盒子中有放回地依次取出2个球，取出两个白球时获胜； 游戏三：从盒子中无放回地依次取出2个球，取出球编号之和为n时获胜. 小明同学决定先玩游戏一，当n为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书签的概率更大？ 【答案】(1)， (2)n的取值为5，6，7 【详解】（1）对于事件A，有放回地依次取出两个球的样本空间，则， 因为，所以， 所以， 对于事件B，不放回地依次取出两个球的样本空间 ，则，因为， 所以，所以； （2）设“先玩游戏二时，获得书签”，“先玩游戏三时，获得书签”， 记事件“从盒子中随机取出一个球，取到白球”， 从盒子中随机取出一个球的样本空间为， 则，，，所以. 则，，，互斥，A，B，C相互独立， 所以 . 同理，. 因为，所以，解得. 综合（1）知，，对应的均为，比大，所以满足题意； ，对应的均为，小于，不满足题意. 因此，符合题意的n的取值为5，6，7. 4．（25-26高一上·湖南邵阳·期末）1934年-1936年红军完成伟大长征，该壮举实现了中国革命事业从挫折到胜利的伟大转折，是中华民族复兴进程中的丰碑.2026年恰逢红军长征胜利90周年，为传承长征精神，某校计划开展以“传承长征精神，续写时代华章”为主题的观影活动.同学们通过参加三个不同的游戏可以获得观影票，每个游戏需各玩一次且结果互不影响，每位同学可以自主安排参加这三个游戏的先后顺序，连胜两个游戏可以获得一张观影票，连胜三个游戏可以获得两张观影票，否则无法获得观影票.已知一个盒子中有5个大小质地完全相同的小球（编号为“”），这三个游戏的规则如下： 游戏一：从盒子中随机摸出一个小球，若这个小球的编号为“4”或“5”，则获胜； 游戏二：从盒子中有放回地依次随机摸出两个小球，若这两个小球的编号均不小于“4”，则获胜； 游戏三：从盒子中不放回地依次随机摸出两个小球，若这两个小球的编号之和为，则获胜. (1)分别求出同学参加游戏一，游戏二获胜的概率； (2)当时，同学如何安排游戏顺序，获得观影票的概率最大? (3)根据的不同取值，同学如何安排游戏顺序，获得观影票的概率最大？ 【答案】(1)游戏一，游戏二获胜的概率分别为， (2)答案见解析 (3)答案见解析 【详解】（1）记事件“同学参加游戏一获胜”，事件“同学参加游戏二获胜”，事件“同学参加游戏三获胜”. 因为游戏一为从盒子中随机摸出一个小球，这个小球的编号为“4”或“5”，则获胜， 所以； 游戏二：从盒子中有放回地依次随机摸出两个小球，这两个小球的编号均不小于“4”，则获胜，即第一次摸出“4”或“5”，第二次也摸出“4”或“5”， 所以. （2）游戏三的所有样本点为共个， 当时，获胜的样本点为，有2个， 所以， 记事件“同学按自己选定的顺序参加三个游戏，获得观影票”， 事件“同学按自己选定的顺序参加第一个游戏，获胜”， 事件“同学按自己选定的顺序参加第二个游戏，获胜”， 事件“同学按自己选定的顺序参加第三个游戏，获胜”，且第一个游戏、第二个游戏、第三个游戏为游戏一、二、三的一个排列， 则事件，依次表示这位同学按自己选定的顺序参加第一个游戏、第三个游戏没有获胜. 所以，其中，，相互独立，，，两两互斥， 则 , 无论同学参加这三个游戏的先后顺序如何，都有. 所以. 所以，根据乘法交换律，第一个游戏和第三个游戏的位置不影响获得观影票的概率的大小， 其大小取决于第二个游戏的选择，下面以第二个游戏的选择为研究对象分三种情况进行讨论： ①若第二个游戏选择游戏一，则获得观影票的概率为 ； ②若第二个游戏选择游戏二，则获得观影票的概率为 ； ③若第二个游戏选择游戏三，则获得观影票的概率为 . 因为， 所以为使获得观影票的概率最大，同学应将游戏一放在第二个游戏的位置，第一个游戏可在游戏二、三中任选，进而确定第三个游戏. （3）考虑游戏三中的所有取值情况，如下表所示： 第一次第二次 1 2 3 4 5 1 3 4 5 6 2 3 5 6 7 3 4 5 7 8 4 5 6 7 9 5 6 7 8 9 由表格知，， ， 当时，同学按（2）将游戏一放在第二个游戏的位置，第一个游戏可在游戏二、三中任选，进而确定第三个游戏. 当时，， ①若第二个游戏选择游戏一，则获得观影票的概率为 ； ②若第二个游戏选择游戏二，则获得观影票的概率为 ； ③若第二个游戏选择游戏三，则获得观影票的概率为 . 因为，所以为使获得观影票的概率最大，同学仍应将游戏一放在第二个游戏的位置（中间位置），第一个游戏可在游戏二、三中任选，进而确定第三个游戏. 综上，无论取何值，都应将游戏一置于第二个游戏的位置（中间位置），第一个游戏可在游戏二、三中任选，进而确定第三个游戏. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $