专题04 机械能守恒定律（期末真题汇编-天津专用）高一物理下学期

**基本信息** 天津高一下期末机械能专题真题汇编，覆盖功和功率、动能定理、机械能守恒三大高频考点，精选风扇车、复兴号、卫星发射等真实情境题，基础题与综合应用题梯度分布。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|16题|功的计算（驴拉磨）、功率（起重机）、动能定理（卫星发射）|结合生活生产情境，考查基础概念辨析| |多选|12题|机械能守恒条件（弹簧小球）、动能定理综合（传送带）|多过程问题分析，培养科学推理能力| |解答|18题|卫星轨道转移（动能定理）、滑板运动（机械能守恒）|融合科技前沿，综合考查模型建构与运算能力|

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题04机械能守恒定律 目地城道点1 功和功率 一、单选题 题号 2 3 4 5 答案 B e c A C 二、多选题 题号 6 答案 BD 三、解答题 7.(1)225J (2)300W 目地 城诗点02 动能定理 一、 单选题 题号 1 2 3 5 答案 B C D D C 二、多选题 题号 6 7 8 答案 ABD CD ACD 三、解答题 GM 9.(1)VR 7R 3GMm 3)- TR 10.(1)4m/s (2)1m 3)-720J 11.()=6m/s 1/3 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2P=1.8x10w (3)420J 12.'=lm/s (2)24N 3)L=6m 13.a)VgR (2)45° 32+2R (3)2(1-4)） gR 14.(1)2 1 8)2r 15.(1)10m/s、60N (2)40J (3)2m 16.1)42.5N (2)17J 目地 城诗点03 机械能守恒定律 一、单选题 题号 1 2 3 4 5 答案 B A D c D D 二、多选题 题号 7 8 9 10 11 12 答案 AB BC BC ABD CD CD 三、 实验题 2/3 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 13.(1)AB (2)BC (3)BD 14.1)D 2)> 3)C 15.1)mgL ( 3) 16.(1)C d (2) mgL 2 (m+4M)d2 3)4mg 四、解答题 .0=2R@,OF=m4Ro+8,6)H=M+16m)R2o 2Mg 18.(1)10N (2)3.6m 3)1.5J 3/3 专题04 机械能及其守恒定律 3大高频考点概览 考点01 功和功率 考点02 动能定理 考点03 机械能守恒定律 地 城 考点01 功和功率 一、单选题 1．（天津市河西区2024-2025学年高一下学期期末物理试题）手拿球拍托着乒乓球跑是校运动会的一项常见的趣味项目，如图所示。假设某段时间内乒乓球相对球拍静止一起水平向右做匀速直线运动，不计空气阻力，则此过程中（    ） A．乒乓球受到的摩擦力不做功 B．乒乓球受到的支持力做正功 C．乒乓球受到的重力做负功 D．乒乓球所受合外力做正功 【答案】B 【详解】乒乓球受到竖直向下的重力，垂直球拍向上的支持力以及沿球拍向上的摩擦力，位移方向向右，可知摩擦力做负功，支持力做正功，重力不做功；因乒乓球速度不变，则动能不变，则所受合外力不做功。 故选B。 2．（天津市2024-2025学年高一下学期7月期末物理试题）用水平恒力作用于质量为的物体，使之在光滑的水平面上沿力的方向移动一段距离，恒力做功为，再用该恒力作用于质量为（）的物体，使之在粗糙的水平面上移动同样的距离，恒力做功为，则两次恒力做功的关系是（　　） A． B． C． D．无法判断 【答案】C 【详解】物体沿力的方向运动，根据W=Fxcosα，两次做功中的F、x、α均相同，所以两次F做功相同，即W1=W2，故选C。 3．（24-25高一下·天津南开·期末）一台起重机匀加速地将质量为的货物从静止开始竖直吊起，若2s末货物的速度为4m/s，不计空气阻力，，则在起重机匀加速吊起货物的过程中（　　） A．起重机对货物的拉力大小为 B．2s内起重机拉力对货物做的功为 C．2s末起重机对货物拉力的瞬时功率为 D．2s内起重机对货物拉力的平均功率为 【答案】C 【详解】A．货物的加速度大小为 根据牛顿第二定律有 解得，故A错误； B．2s内货物上升的高度为 2s内起重机拉力对货物做的功为，故B错误； C．2s末起重机对货物拉力的瞬时功率为，故C正确； D．2s内起重机对货物拉力的平均功率为，故D错误。 故选C。 4．（24-25高一下·天津河西·期末）图（a）为记载于《天工开物》的风扇车，它是用来去除水稻等农作物子实中杂质的木制传统农具。风扇车的工作原理可简化为图（b）模型：杂质与子实仅在水平恒定风力和重力的作用下，从同一位置P静止释放，若杂质的质量小于子实的质量，杂质与子实受到的风力大小相等。下列说法正确的是（　　） A．杂质与子实在空中运动的时间相等 B．杂质与子实在空中做曲线运动 C．从释放到落地的过程中，子实和杂质的重力做功相等 D．从释放到落地的过程中，风力对子实做功大于对杂质做功 【答案】A 【详解】A．杂质与子实在空中运动的时间相等，因为竖直方向两者均做自由落体运动，高度相同，故A正确； B．在水平恒定风力和重力的作用下，从同一位置P静止释放，所以杂质与子实在空中做初速度为零的匀变速直线运动，故B错误； C．从释放到落地的过程中，子实和杂质的重力做功 因为质量不同，所以重力做功不相等，故C错误； D．杂质的水平加速度较大，水平方向位移较大，根据可知从释放到落地的过程中，风力对杂质做功大于对子实做功，故D错误。 故选A。 5．（24-25高一下·天津滨海新区·期末）如图所示，二十世纪六七十年代我国有些地方利用驴拉磨加工粮食，假设驴对磨杆的拉力大小为，拉力的方向始终与速度方向相同，驴对磨杆的拉力作用点的转动半径为，匀速转动一圈的时间为，驴的重力为，下列判断正确的是（　　） A．驴转动一圈的过程中驴的重力的冲量 B．驴转动一圈的过程中位移为零，故拉力做的功 C．驴转动一圈的过程中拉力做的功 D．驴转动一圈的过程中拉力的平均功率 【答案】C 【详解】A．驴的重力的方向始终竖直向下，驴转动一圈的过程中驴的重力的冲量，故A错误 BC．驴转动一圈的过程中位移为零，但是拉力作用点的方向时刻沿着圆弧切线的方向，即与速度方向相同，可知，驴转动一圈过程中拉力作用点运动的路程等于周长，即 故驴转动一圈的过程中拉力做的功，故B错误，C正确 D．驴转动一圈的过程中拉力的平均功率，故D错误。 故选C。 二、多选题 6．（24-25高一下·天津西青·期末）如图所示，可视为质点、质量为1kg的物块静止在水平地面上。用水平向右、大小为8N的恒力F作用在物块上，物块运动了2m、速度大小为4m/s时撤去F，物块继续运动一段距离后停下来，物块与水平地面动摩擦因数不变，。对于物块由静止开始运动到最终停下来的过程，下列说法正确的是（　　） A．物块运动的路程为8m B．物块与水平地面动摩擦因数为0.4 C．力F对物块做功的平均功率为32W D．物块受到的滑动摩擦力做的功为-16J 【答案】BD 【详解】B．根据题意，由运动学公式可得，撤去F前物块的加速度大小为 由牛顿第二定律有 解得物块与水平地面动摩擦因数为，故B正确； A．撤去F后，物块的加速度大小为 物块继续运动的距离为 则物块运动的路程为，故A错误； C．力F对物块做的功为 物块加速阶段所用时间为 则力F对物块做功的平均功率为，故C错误； D．物块受到的滑动摩擦力做的功为，故D正确。 故选BD。 三、解答题 7．（24-25高一下·天津·期末）如图所示，工程队向峡谷对岸平台抛射重物，重物质量m=2kg，初速度v0方向水平，大小为10m/s，抛出点P和落点Q的连线与水平方向夹角为37°，重力加速度大小取10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，忽略空气阻力。求： (1)从P到Q重物重力做的功； (2)刚要落到Q时，重物重力的瞬时功率。 【答案】(1)225J (2)300W 【详解】（1）设小球从P到Q所用时间为，根据几何关系可得 根据平抛运动规律有， 联立解得t=1.5s，y=11.25m 则从P到Q重物重力做的功为W=mgy 解得W=225J （2）刚要落到Q时，竖直分速度为 重物重力的瞬时功率为P=mgvy 解得P=300W 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 地 城 考点02 动能定理 一、单选题 1．（24-25高一下·天津和平·期末）质量为1kg的物块静置于光滑水平地面上，设物块静止时的位置为x轴零点。现给物块施加一沿x轴正方向的水平力F，其大小随位置x变化的关系如图所示，则物块运动到x=12m处，F做功的瞬时功率为（　　） A．8W B．16W C．32W D．64W 【答案】B 【详解】设物块运动到x=12m处的速度为v全过程运用动能定理得 代入数据解得v=8m/s 物块运动到x=12m处，F做功的瞬时功率。 故选B。 2．（24-25高一下·天津和平·期末）我国于2025年5月20日19时50分成功发射“中星3B卫星”，主要用于为用户提供话音、数据、广播电视传输业务。设“中星3B卫星”质量为m，发射升空过程中其速度由v1增大到v2。则此过程中关于“中星3B卫星”说法正确的是（　　） A．平均速度一定为 B．动能增量为 C．合外力对它做功为 D．推力对它做功为 【答案】C 【详解】A．根据题意，若卫星做匀变速直线运动，则平均速度等于 但卫星的运动状态未知，则平均速度不一定等于，故A错误； B．根据题意可知，卫星动能的变化量为，故B错误； C．根据动能定理，合外力做功等于动能增量，即为，故C正确； D．推力需克服重力等其他力做功，推力做的功大于动能增量，故D错误。 故选C。 3．（天津市南开区2024-2025学年高一下学期7月期末物理试题）如图所示，质量为m的子弹以水平初速度射入静止在光滑水平面上的质量为M的木块中，子弹未从木块中射出，最后共同速度为v，在此过程中，木块在地面上滑动的距离为s，子弹射入木块的深度为d，子弹与木块间的相互作用力为f，以下关系式中不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A. 对子弹由动能定理可知 即 选项A正确，不符合题意； B. 对子弹和木块的系统由能量关系可知 选项B正确，不符合题意； C. 对子弹和木块系统由动量守恒定律可知 选项C正确，不符合题意； D. 对木块由动能定理 选项D错误，符合题意。 故选D。 4．（24-25高一下·天津·期末）复兴号动车在世界上首次实现速度350km/h自动驾驶功能，成为我国高铁自主创新的又一重大标志性成果。一列质量为m的动车，从静止开始以恒定功率P在平直轨道上运动，经时间t达到该功率下的最大速度，设动车行驶过程所受到的阻力f保持不变。动车在时间t内（　　） A．做匀加速直线运动 B．复兴号动车的功率 C．牵引力做功 D．复兴号动车通过的位移 【答案】D 【详解】A．动车从静止开始以恒定功率P在平直轨道上运动，根据 可知，速度增大，牵引力减小，根据牛顿第二定律可知，动车开始做加速度减小的变加速直线运动，当加速度减为0时，速度达到最大值，动车做匀速直线运动，故A错误； B．结合上述可知，速度达到最大值时，加速度为0，此时牵引力与阻力平衡，则有，故B错误； C．动车从静止开始以恒定功率P在平直轨道上运动，牵引力做功，故C错误； D．根据动能定理有 解得，故D正确。 故选D。 5．（天津市耀华中学2024-2025学年高一下学期7月期末物理试题）放在粗糙水平地面上质量为0.8 kg的物体受到水平拉力的作用，在0~6 s内其速度与时间的关系图像和该拉力的功率与时间的关系图像分别如图甲、乙所示，g取10m/s2。下列说法中正确的是（　　） A．0~6 s内拉力做的功为120 J B．物体在0~2 s内所受的拉力为4 N C．物体与粗糙水平地面间的动摩擦因数为0.25 D．合外力在0~6 s内做的功与0~2 s内做的功不相等 【答案】C 【详解】A．0~6 s内拉力做的功为P－t图线下所围的面积 A错误； B．在0~2 s内拉力恒定不变，在2s末，拉力的功率为60W，而运动速度为10m/s，根据 可得拉力大小 F＝6 N B错误； C．在2s~6 s内物体匀速运动，因此 由滑动摩擦力公式 f＝μN 得 μ＝0.25 C正确； D．由于在2s~6 s内物体匀速运动，合外力做功为0，因此合外力在0~6 s内做的功与0~2 s内做的功相等，D错误。 故选C。 二、多选题 6．（天津市南开中学2024-2025学年高一下学期7月期末物理试题）一辆汽车由静止开始沿平直公路行驶，汽车所受车引力F随时间t变化的关系如图所示，时汽车功率达到最大值，此后保持此功率继续行驶，后可视为匀速行驶。若汽车的质量为，阻力大小恒定，则以下说法正确的是（    ）    A．汽车的最大功率为 B．汽车匀加速行驶阶段的加速度大小为 C．汽车先做匀加速直线运动，然后再做匀速直线运动 D．骑车从静止开始运动15s内的位移是150m 【答案】ABD 【详解】C．由图可知，汽车在前5s内受到的牵引力不变，所以做匀加速直线运动；5s～15s内受到的牵引力逐渐减小，则车的加速度逐渐减小，汽车做加速度减小的加速运动，直到车的速度达到最大值，汽车做匀速直线运动，故C错误； B．汽车的速度达到最大值后牵引力等于阻力，所以阻力 前5s内汽车的牵引力 由牛顿第二定律有 解得匀加速阶段的加速度大小 故B正确； A．5s末汽车的速度 在5s末汽车的功率达到最大值，所以汽车的最大功率 故A正确； D．汽车在前5s内的位移大小为 汽车的最大速度为 设汽车在5s～15s内的位移为，根据动能定理可得 解得 所以汽车的总位移 故D正确。 故选ABD。 7．（天津市耀华中学2024-2025学年高一下学期7月期末物理试题）如图所示，质量为M、长度为l的小车静止在光滑的水平面上，质量为m 的小物块（可视为质点）放在小车的最左端，现有一水平恒力F作用在小物块上，使物块从静止开始做匀加速直线运动，物块和小车之间的摩擦力为f，经过时间t，小车运动的位移为s，物块刚好滑到小车的最右端，以下判断中正确的是（　　） A．此时物块的动能变化为 B．此时小车的动能变化为 C．这一过程中，物块和小车间产生的内能为 D．这一过程中，物块和小车增加的机械能为 【答案】CD 【详解】A．对物块，根据动能定理有 所以物块动能变化为，A错误； B．物块对小车有摩擦力作用，对小车有 所以小车的动能变化为，B错误； C．系统产生的内能Q等于系统克服摩擦力做功，为，C正确； D．由能量守恒定律，有 则物块和小车增加的机械能为 D正确。 故选CD。 8．（天津市滨海新区2024-2025学年高一下学期期末联考）在机场和火车站可以看到对行李进行安全检查用的水平传送带如题图所示，当旅客把行李放在正在匀速运动的传送带上后，传送带和行李之间的滑动摩擦力使行李开始运动，随后它们保持相对静止，行李随传送带一起匀速通过检测仪器接受检查，设某机场的传送带匀速前进的速度为0.4m/s，某行李箱的质量为5kg，行李箱与传送带之间的动摩擦因数为0.2，当旅客把这个行李箱小心地放在传送带上，通过安全检查的过程中，g取10m/s2，则（　　） A．开始时行李的加速度为2m/s2 B．行李到达B点时间为2s C．传送带对行李做的功为0.4J D．传送带上将留下一段摩擦痕迹，该痕迹的长度是0.04m 【答案】ACD 【详解】行李开始运动时由牛顿第二定律有：μmg=ma，所以得：a=2 m/s2，故A正确；由于传送带的长度未知，故不能求出运动的时间，故B错误；行李最后和传送带最终一起匀速运动，根据动能定理知，传送带对行李做的功为：W=mv2=0.4 J，故C正确；行李和传送带相对滑动的时间为：，则在传送带上留下的痕迹长度为：s=vt-vt=vt=0.04 m，故D正确．故选ACD． 三、解答题 9．（24-25高一下·天津·期末）发射地球同步卫星一般是把它先送入较低的圆形轨道，如图中Ⅰ轨道，再经过两次“点火”，即先在图中a点处启动燃气发动机，向后喷出高压燃气，卫星得到加速，进入图中的椭圆轨道Ⅱ，在轨道Ⅱ的远地点b处第二次“点火”，卫星再次被加速，此后，沿图中的圆形轨道Ⅲ（即同步轨道）运动。轨道Ⅰ距地面非常近，其半径近似看作地球半径；设地球半径为R，质量为M，同步卫星的质量为m，运算中轨道Ⅲ半径取7R，引力常量为G。每次点火经历的时间都极短，点火过程中卫星的质量减少可以忽略。求： (1)卫星在轨道Ⅰ上运动的速度大小； (2)卫星在轨道Ⅲ上运动的周期； (3)从轨道Ⅰ转移到轨道Ⅲ的过程中，合力对卫星所做的总功。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）卫星在轨道Ⅰ上运动时，由万有引力提供向心力得 解得速度大小为 （2）卫星在轨道Ⅲ上运动时，由万有引力提供向心力得 解得周期为 （3）卫星在轨道Ⅲ上运动时，由万有引力提供向心力得 解得速度大小为 从轨道Ⅰ转移到轨道Ⅲ的过程中，根据动能定理可得 解得合力对卫星所做的总功为 10．（24-25高一下·天津河北·期末）如图所示，运动员腰系轻绳拖着轮胎在跑道上进行训练。绳子对轮胎施加的恒力，方向与水平方向成。轮胎被拖着从静止开始沿水平直跑道移动后，绳子突然断了，轮胎又往前移动了一段距离停下。已知轮胎的质量为，跑道与轮胎间的动摩擦因数为。忽略空气阻力，g取，，。求： (1)绳断时轮胎的速度； (2)绳断后轮胎移动的距离； (3)从轮胎开始运动到停下的全过程，摩擦力对轮胎所做的功W。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设绳断前跑道对轮胎的摩擦力为，支持力为；绳断后跑道对轮胎的摩擦力为，支持力为。 绳断前，对于轮胎由动能定理得；； 解得 （2）绳断后，对于轮胎由动能定理得，， 解得 （3）绳断前，摩擦力对轮胎所做的功 绳断后，摩擦力对轮胎所做的功 全过程，摩擦力对轮胎所做的功 解得 11．（天津市河东区2024-2025学年高一下学期7月期末物理试题）滑板运动由冲浪运动演变而来，已被列为奥运会正式比赛项目。如图所示，某滑板爱好者从斜坡上距平台高处由静止开始下滑，水平离开A点后越过壕沟落在水平地面的B点，A、B两点高度差，水平距离。已知人与滑板的总质量，取重力加速度，不计空气阻力，求：    (1)人与滑板从A点离开时的速度大小； (2)人与滑板从A点运动到B点重力做功的平均功率； (3)人与滑板从斜坡下滑到A点过程克服阻力做的功。 【答案】(1) (2) (3)420J 【详解】（1）设人与滑板从A点到B点所用的时间为，根据平抛运动规律，在竖直方向上位移 解得 在水平方向上位移 解得 （2）人与滑板从A点运动到B点重力做功为 平均功率 解得 （3）人与滑板从斜坡下滑过程中，由动能定理 解得 故克服阻力做功为420J 12．（24-25高一下·天津河西·期末）某校物理兴趣小组决定举行遥控赛车比赛，如图所示，比赛路径由水平直线轨道AC和竖直固定圆轨道平滑连接组成。可视为质点的赛车从起点A由静止出发，沿固定轨道AC以恒功率运动，经过刚好到达B点，此时关闭发动机，B点右侧所有轨道均视为光滑轨道。赛车经C点进入半径的竖直圆轨道，恰好能够经过圆轨道最高点D。已知赛车质量，在AB段受到的阻力，g取，忽略空气阻力。求： (1)赛车通过D点时的速度大小； (2)赛车通过圆轨道的C点时对轨道的压力大小； (3)水平直线轨道AB的长度L。 【答案】(1) (2)24N (3) 【详解】（1）赛车恰好经过D点，重力提供向心力有 解得 （2）赛车从C点运动到D点，由机械能守恒 赛车在C点，合外力提供向心力有 解得 （3）赛车从A点运动到B点，由动能定理 解得 13．（24-25高一下·天津河北·期末）如图所示，一粗糙斜面AB与半径为R的竖直光滑圆弧轨道BCD相切，C为圆弧轨道的最低点。已知质量为m的小物块（可视为质点）从斜面顶端A点处由静止开始沿斜面下滑，经B点进入圆弧轨道，恰能通过圆弧轨道的最高点D。小物块从D点飞出后又落到斜面上，在斜面上的落点与圆心O等高。已知重力加速度为g，求： (1)小物块通过D点时速度大小； (2)BC圆弧所对圆心角θ； (3)若小物块与粗糙斜面AB间的动摩擦因数为μ，为使物体能到达圆弧轨道的最高点D，AB长度L至少多大？ 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由于物块恰能通过圆弧轨道的最高点D，故在最高点处，物块的重力提供向心力，即 解得 （2）设小物块从D点飞出后落到斜面上的点为E，根据题意小物块从D点飞出后做平抛运动，且在斜面上的落点E与圆心O等高，则其平抛竖直位移 水平位移 如上图所示，由几何关系可知 方程联立，联立解得 （3）小物块由A运动到B的过程由动能定理得 小物块由B运动到D的过程由动能定理得 方程联立联立解得 14．（天津市和平区2024-2025学年高一下学期7月期末物理试题）如图所示，粗糙水平桌面上固定一半圆形竖直挡板，其半径为2R、内表面光滑，挡板的两端A、B在桌面边缘，B与半径为R的固定圆管轨道在同一竖直平面内，ED是竖直直径，C、E是管口，管的内壁粗糙。现让质量为m的小物块（可视为质点）以的水平初速度由A点切入挡板内侧，从B点飞出桌面后，经过时间正好从管口C（与管口无碰撞）进入圆管，然后沿着管壁运动到E点，此时小物块对下管壁的压力，已知，重力加速度为g，忽略空气阻力。求小物块： (1)到达E点时的速度大小； (2)沿轨道运动过程中阻力所做的功； (3)与桌面之间的动摩擦因数。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）在E点对小物块受力分析，由牛顿第二定律得 解得 （2）小物体从B到C，做平抛运动在C点有 解得 小物块从C到E的过程，根据动能定理可得 解得 （3）由 解得 小物块从A到B的过程，根据动能定理可得 解得 15．（24-25高一下·天津滨海新区·期末）如图所示，水平轨道的左端与固定的光滑竖直四分之一圆弧轨道相切与点，右端与一倾角的光滑斜面轨道在点平滑连接，物体经过点时速率不变。斜面顶端固定一轻质弹簧，一质量的滑块从圆弧轨道的顶端点由静止释放，经水平轨道后滑上斜面并压缩弹簧，第一次可将弹簧压缩至点。已知光滑圆弧轨道的半径，水平轨道长，滑块与水平轨道之间的动摩擦因数，光滑斜面轨道上长，取。求： (1)滑块第一次经过点时速度大小以及轨道对它的支持力大小； (2)滑块第一次滑上斜面将弹簧压缩至点的过程中克服弹力做的功； (3)滑块最后停止的位置离点的距离。 【答案】(1)10m/s、60N (2)40J (3)2m 【详解】（1）滑块从到机械能守恒，则有 解得 对滑块在点应用牛顿第二定律可得 代入数据解得 （2）滑块第一次滑上斜面将弹簧压缩至点的过程由动能定理可得 其中 解得 （3）结合滑块受力情况，滑块最终将停在水平轨道上。 设滑块在上通过的总路程s，从开始到最终停下来的全过程，由动能定理可得 代入数据解得 故滑块最后停下的位置离点距离 16．（24-25高一下·天津河东·期末）如图所示，光滑曲面轨道AB、光滑竖直圆轨道、水平轨道BD、水平传送带DE各部分平滑连接，圆轨道最低点B处的出入口靠近且相互错开，现将一质量的滑块从AB轨道上距水平轨道高度处由静止释放、经圆轨道、水平轨道、水平传送带，从E点抛出。已知圆轨道半径，水平轨道BD的长度，传送带长度，以恒定速度逆时针转动，滑块与水平轨道和传送带间的动摩擦因数均为，不考虑传送带轮的半径对运动的影响，重力加速度，求滑块： (1)运动至C点时对圆弧轨道压力的大小； (2)从释放到飞出传送带的过程中，摩擦产生的热量Q。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）滑块由释放到C点，据机械能守恒定律 在C点，据牛顿第二定律 解得 据牛顿第三定律，滑块对圆弧轨道的压力 （2）滑块从释放到传送带左端，根据动能定理有 根据牛顿第二定律有 根据速度与位移的关系有 根据平均速度规律有 传送带位移 相对位移 摩擦产生的热量 解得 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 地 城 考点03 机械能守恒定律 一、单选题 1．（24-25高一下·天津西青·期末）有关机械能的理解，下列说法中正确的是（　　） A．一定质量的物体，速度变化时，动能一定变化 B．处于平衡状态的物体，机械能不一定守恒 C．机械能守恒时，物体一定只受重力的作用 D．沿粗糙、固定斜面上滑的物块机械能一定增加 【答案】B 【详解】A．一定质量的物体，速度方向变化大小不变时，动能不变，故A错误； B．处于平衡状态的物体，机械能不一定守恒，比如匀速上升的物体，动能不变，重力势能增加，机械能增加，故B正确； C．机械能守恒时，系统内只有重力或者弹力做功，物体受其他作用力，其它力不做功，机械能同样守恒，故C错误； D．沿粗糙、固定斜面上滑的物块由于摩擦力做功，机械能转化为内能，机械能减小，故D错误。 故选B。 2．（24-25高一下·天津河西·期末）下列实例（均不计空气阻力）中的运动物体，机械能守恒的是（    ） A．做平抛运动的物体 B．物体沿固定斜面匀速下滑 C．吊车将物体向上匀速吊起 D．在竖直平面内做匀速圆周运动的物体 【答案】A 【详解】A．平抛运动中物体仅受重力，且不计空气阻力，只有重力做功，动能与重力势能相互转化，机械能守恒，A正确； B．匀速下滑时动能不变，但重力势能减少，机械能减少。若斜面粗糙，摩擦力做功导致机械能转化为内能；若斜面光滑，匀速下滑需外力平衡重力分力，此时外力做功，机械能不守恒。无论哪种情况，机械能均不守恒，B错误； C．匀速上升时动能不变，重力势能增加，机械能增大。吊车的拉力对物体做功，机械能不守恒，C错误； D．匀速圆周运动速率不变（动能不变），但高度变化导致重力势能周期性改变，总机械能变化，机械能不守恒，D错误。 故选A。 3．（天津市五区县重点校2024-2025学年高一下学期7月期末物理试题）2024年3月29日全国室内田径锦标赛在天津开赛，女子铅球决赛中，河北队选手巩立姣投出19米35，并摘到金牌．已知铅球的质量为m，铅球出手瞬间距离地面的高度为h，铅球的速度大小为，经过一段时间铅球落地，落地瞬间的速度大小为，重力加速度用g表示，铅球克服空气阻力做功为．则下列说法正确的是（    ） A．人推铅球的瞬间，人对铅球做功为 B．铅球从离手到落地，铅球动能的增加量为 C．铅球从离手到落地，铅球的机械能减少 D． 【答案】D 【详解】A．人推铅球的瞬间，人对铅球做功为 A错误； B．铅球从离手到落地，对铅球由动能定理得铅球动能的增加量为 B错误； C．由功能关系可知，铅球从离手到落地，铅球机械能的减少量等于除铅球的重力外其余力对铅球所做的功，则 C错误； D．铅球从离手到落地的过程，由动能定理得 解得 D正确。 故选D。 4．（天津市南开中学2024-2025学年高一下学期7月期末物理试题）如图（甲）所示，质量不计的弹簧竖直固定在水平面上，t=0时刻，将一金属小球从弹簧正上方某一高度处由静止释放，小球落到弹簧上压缩弹簧到最低点，然后又被弹起离开弹簧，上升到一定高度后再下落，如此反复．通过安装在弹簧下端的压力传感器，测出这一过程弹簧弹力F随时间t变化的图像如图（乙）所示，则 A．时刻小球动能最大 B．时刻小球动能最大 C．~这段时间内，小球的动能先增加后减少 D．~这段时间内，小球增加的动能等于弹簧减少的弹性势能 【答案】C 【详解】小球在接触弹簧之前做自由落体．碰到弹簧后先做加速度不断减小的加速运动，当加速度为0即重力等于弹簧弹力时加速度达到最大值，而后往下做加速度不断增大的减速运动，与弹簧接触的整个下降过程，小球的动能和重力势能转化为弹簧的弹性势能．上升过程恰好与下降过程互逆．由乙图可知时刻开始接触弹簧，但在刚开始接触后的一段时间内，重力大于弹力，小球仍做加速运动，所以此刻小球的动能不是最大，A错误；时刻弹力最大，小球处在最低点，动能最小，B错误；时刻小球往上运动恰好要离开弹簧；这段时间内，小球的先加速后减速，动能先增加后减少，弹簧的弹性势能转化为小球的动能和重力势能，C正确D错误． 5．（24-25高一下·天津河西·期末）如图所示，在一竖直放置的光滑管内有一轻质弹簧，一个质量为m的小球，从管口A点由静止下落，将弹簧压缩至最低点B，最大压缩量为x，其中O点为弹簧原长位置，不计空气阻力，弹簧始终在弹性限度内。已知，重力加速度为g，小球从A到B的运动过程中，下列描述正确的是（    ） A．小球的最大速度为 B．该过程中小球的机械能守恒 C．从O到B过程中，小球的重力势能和弹簧的弹性势能之和一直减小 D．弹簧在最短时具有的弹性势能为 【答案】D 【详解】A．小球在AO阶段做自由落体运动，则有 可得小球在O点的速度大小为 由于一开始弹簧弹力小于重力，小球从O点向下仍要做加速运动，当弹力等于重力时，小球速度达到最大，则小球的最大速度大于，故A错误； B．由于存在弹簧弹力对小球做负功，所以小球的机械能不守恒，故B错误； C．小球和弹簧组成的系统满足机械能守恒，从O到B过程中，小球的动能先增大后减小，则小球的重力势能和弹簧的弹性势能之和先减小后增大，故C错误； D．弹簧在最短时，小球处于最低点，小球的动能为0，根据系统机械能守恒可知弹簧具有的弹性势能为，故D正确。 故选D。 6．（天津市滨海新区2024-2025学年高一下学期期末6月物理）一个倾角的斜面固定于水平地面，斜边长5m，一物块从斜面顶端由静止开始沿斜面下滑，其重力势能和动能随下滑距离s的变化如图中两直线所示，设斜面底端所在的水平面为零势能面，，，重力加速度取，则（   ） A．物块的质量m=2kg B．物块与斜面间的动摩擦因数为0.4. C．物块下滑到斜面底端时速度大小为 D．当物块下滑3.0m时机械能损失了12J 【答案】D 【详解】A．物块在最高点时重力势能为 EP=mgLsin37°=30J 可得物块的质量 m=1kg 选项A错误； B．根据动能定理 可得物块下滑的加速度为 根据 可得与斜面间的动摩擦因数为 μ=0.5 选项B错误； C．物块下滑到斜面底端时动能为10J，则 根据速度大小为 选项C错误； D．当物块下滑3.0m时机械能损失了 选项D正确。 故选D。 二、多选题 7．（24-25高一下·天津河北·期末）如图所示，一个小球在真空中做自由落体运动，另一个同样的小球在黏性较大的油中由静止开始下落。它们都由高度为h₁的地方下落到高度为h₂的地方。关于这两种情况的比较，下列说法正确的是（　　） A．重力对小球做的功相等 B．小球重力势能的变化相等 C．小球动能的变化相等 D．小球机械能均守恒 【答案】AB 【详解】AB．相同的两球下落高度相同，由可知，重力做功相等；根据可知，重力势能的变化量相等，故AB正确； C．甲球下落过程中只有重力做功，乙球下落过程中除重力做功外，还克服阻力做功，根据动能定理，合力对两球做功不相等，所以两球动能变化不相等，故C错误； D．在真空中，小球甲只受重力作用，小球甲的机械能守恒；在液体中，阻力对小球乙做负功，小球乙机械能不守恒，故D错误。 故选AB。 8．（天津市耀华中学2024-2025学年高一下学期7月期末物理试题）如图所示，竖直平面内有一个半径为R，固定的光滑四分之一圆弧轨道，质量为m的小球从圆弧上与圆心等高的顶端由静止自由滑下，以圆心所在的水平面为零势能面，忽略小球半径的影响，下列说法中正确的是（　　） A．小球滑到轨道的底端时重力势能为 B．小球滑到轨道的底端时速度大小为 C．小球在最低点的机械能为零 D．小球在最低点时重力瞬时功率最大 【答案】BC 【详解】A．以圆心所在的水平面为零势能面，小球滑到轨道的底端时重力势能为 故A错误； B．由机械能守恒定律的 则小球滑到轨道的底端时速度大小为 故B正确； C．小球在圆弧上与圆心等高的顶端时机械能为零，根据机械能守恒定律可知，小球在最低点的机械能为零，故C正确； D．小球在最低点时，速度方向与重力方向垂直，所以重力瞬时功率为零，故D错误。 故选BC。 9．（24-25高一下·天津和平·期末）如图所示，轻质弹簧的左端固定，并处于自然状态。小物块的质量为m，从A点向左沿水平地面运动，压缩弹簧后被弹回，运动到A点恰好静止。物块向左运动的最大距离为s，与地面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，弹簧未超出弹性限度。在上述过程中（　　） A．弹簧的最大弹力为μmg B．摩擦力对物块做的功为-2μmgs C．弹簧的最大弹性势能为μmgs D．物块在A点的初速度为 【答案】BC 【详解】A．小物块压缩弹簧时，当弹簧的弹力为时物块的加速度为零，此时速度最大，弹簧此时的压缩量不是最大，则弹簧的最大弹力大于μmg，故A错误； B．在整个运动过程中，摩擦力对小物块一直做负功，全程小物块通过的路程为2s，摩擦力对物块做的功为-2μmgs，故B正确； C．物块被弹回的过程弹簧的弹性势能等于克服摩擦力做功，则弹簧的最大弹性势能为，故C正确； D．物块在整个过程中由动能定理 解得物块在A点的初速度为，故D错误。 故选BC。 10．（天津市红桥区2024-2025学年高一下学期7月期末物理试题）如图所示，在地面上方的水平匀强电场中，一个质量为m、带正电的电荷量为q的小球，系在一根长为R的绝缘细线的一端，可以在竖直平面内绕O点做圆周运动。AB为圆周的水平直径，CD为竖直直径。已知重力加速度的大小为g，电场强度。若小球恰能在竖直平面内绕O点做圆周运动，不计空气阻力，则下列说法正确的是（　　） A．小球运动到B点时的机械能最大 B．小球运动过程中的最小速度为 C．小球在最高点D点绳子的拉力为零 D．小球在最低点C点绳子的拉力为9mg 【答案】ABD 【详解】A．从小球从A到B过程，电场力对小球一直做正功，小球电势能减小，小球从B到A过程，电场力对小球一直做负功，小球电势能增大，则小球运动到B点时的电势能最小，小球运动到B点时的机械能最大，故A正确； BC．带正电的电荷量为q的小球受到的电场力大小为 则重力和电场力的合力大小为 重力和电场力的合力方向与竖直方向的夹角满足 可得 如图所示 可知小球运动等效最低点时速度最大，细线的拉力最大；小球运动等效最高点时速度最小，则有 解得小球运动过程中的最小速度为 由于D点不是等效最高点，则绳子存在拉力，故B正确，C错误； D．小球从H点运动到C点，根据动能定理有 根据牛顿第二定律有 解得 故D正确； 故选ABD。 11．（天津市耀华中学2024-2025学年高一下学期7月期末物理试题）如图所示，质量为m的物体（可视为质点）以某一速度从A点冲上倾角为30°的固定斜面，其运动的加速度大小为g，g为重力加速度，此物体在斜面上上升的最大高度为h，则在这个过程中物体（　　） A．重力势能增加了mgh B．克服摩擦力做功mgh C．动能损失了mgh D．机械能损失了mgh 【答案】CD 【详解】A．这个过程中物体上升的高度为h，则重力势能增加了mgh，故A错误； B．加速度 则摩擦力 Ff=mg 物体在斜面上能够上升的最大高度为h，发生的位移为2h，则克服摩擦力做功 故B错误； C．由动能定理可知，动能损失量为 故C正确； D．机械能的损失量为 故D正确。 故选CD。 12．（天津市滨海新区2024-2025学年高一下学期期末）如图所示，竖直固定的光滑直杆上套有一个质量为m的小滑块，一原长为l的轻质弹簧左端固定在O点，右端与滑块相连。直杆上有a、b、c、d四个点，b点与O点在同一水平线上且Ob＝l，Oa、Oc与Ob的夹角均为37°，Od与Ob的夹角为53°。现将滑块从a点静止释放，在滑块下滑到最低点d的过程中，弹簧始终处于弹性限度内，重力加速度为g，。在此过程中滑块（　　） A．在b点时动能最大 B．在c点的速度大小为 C．从a点到c点的过程中，弹簧弹力做功为零 D．从c点下滑到d点的过程中机械能的减少量为 【答案】CD 【详解】A．从a到b的过程，弹簧处于伸长状态，弹簧对滑块有沿弹簧向下的弹力，弹簧弹力和滑块的重力都做正功，滑块动能增大，从b之后，弹簧还是处于伸长状态，弹簧对滑块有沿弹簧向上的弹力，弹簧弹力做负功，重力做正功，但开始时，弹簧弹力竖直向上的弹力小于滑块的重力，合力还是先做正功，所以动能还会继续增大，b点不是动能最大点，A错误； B．a点和c点弹簧长度相同，形变量相同，所以从a到c的过程弹簧弹力做功为零，只有重力做功，根据动能定理 可得 B错误； C．a点和c点弹簧长度相同，形变量相同，所以从a到c的过程弹簧弹力做功为零，C正确； D．从c到d滑块机械能的减少量等于动能减少量与重力势能减少量之和，滑块在最低点d处速度为0 ，从c到d下降高度 所以有 D正确。 故选CD。 三、实验题 13．（24-25高一下·天津河东·期末）如图所示，打点计时器固定在铁架台上，使重物带动纸带从静止开始自由下落，利用此装置验证机械能守恒定律。 (1)对于该实验，下列操作中对减小实验误差有利的是________。 A．重物选用质量和密度较大的金属锤 B．两限位孔在同一竖直面内上下对正 C．精确测量出重物的质量 D．用手托稳重物，接通电源后，撤手释放重物 (2)某实验小组利用上述装置将打点计时器接到频率为50Hz的交流电源上，按正确操作得到了一条完整的纸带，由于纸带较长，图中有部分未画出，如图所示。纸带上各点是打点计时器打出的计时点，其中O点为纸带上打出的第一个点。重物下落高度应从纸带上计时点间的距离直接测出，利用下列测量值能完成验证机械能守恒定律的选项有________。 A．OA、AD和EG的长度 B．OC、BC和CD的长度 C．BD、CF和EG的长度 D．AC、BD和EG的长度 (3)实验发现重物重力势能的减少量通常略大于动能的增加量，关于这个误差下列说法正确的是________。 A．属于偶然误差 B．属于系统误差 C．可以通过多次测量取平均值的方法来减小 D．可以通过减小空气阻力和摩擦阻力来减小 【答案】(1)AB (2)BC (3)BD 【详解】（1）A．为了减小空气阻力的影响，重物应选用质量和密度较大的金属锤，故A正确； B．两限位孔在同一竖直面内上下对正，可以减少纸带与限位孔间的摩擦，故B正确； C．验证机械能守恒定律的原理是，重物质量可以消掉，因此无需精确测量出重物的质量，故C错误； D．实验时应用手捏住纸带上端，而不是托住重物，接通电源后，撒手释放纸带，故D错误。 故选AB。 （2）A．当OA、AD和EG的长度时，只有求得F点与BC的中点的瞬时速度，从而确定两者的动能变化，却无法求解重力势能的变化，故A错误； B．根据这段时间内的平均速度等于中时刻瞬时速度，结合动能与重力势能表达式，当有OC、BC和CD的长度时，依据BC和CD的长度，可求得C点的瞬时速度，从而求得O到C点的动能变化，因知道OC间距，则可求得重力势能的变化，可以验证机械能守恒，故B正确； C．当BD、CF和EG的长度时，依据BD和EG的长度，可分别求得C点与F点的瞬时速度，从而求得动能的变化，再由CF确定重力势能的变化，进而得以验证机械能守恒，故C正确； D．当AC、BD和EG的长度时，依据AC和EG长度，只能求得B点与F点的瞬时速度，从而求得动能的变化，而BF间距不知道，则无法验证机械能守恒，故D错误。 故选BC。 （3）由于阻力作用，使重物重力势能的减少量略大于动能的增加量，该误差属于系统误差，可以通过减小空气阻力和摩擦阻力来减小该误差；通过多次测量取平均值的方法只能减小偶然误差，不能减小该误差。 故选BD。 14．（24-25高一下·天津·期末）“验证机械能守恒定律”实验中，采用如图甲所示的实验装置。    (1)以下提供的实验中的重物，最合适的是________； A．20g的砝码 B．50g的砝码 C．200g的木球 D．500g的铅制重锤 (2)由于存在阻力，比较重物对应纸带上相距较远的某两点间的重力势能变化量和动能变化量的大小关系，总是存在_______（选填“>”“=”或“<”）； (3)某同学依据打出的纸带求得各点的瞬时速度v，以及与此对应的重物下落的距离s，以为纵轴，以s为横轴，建立坐标系，描点后画出图线，若所有操作均正确，则得到的图线最接近图乙中的________。 【答案】(1)D (2)> (3)C 【详解】（1）为了减小空气的阻力，重物应选择质量较大、密度较大、体积较小的。 故选D。 （2）由于存在阻力，重力势能的减少量有一部分转化为内能，使得总是存在。 （3）根据机械能守恒可得 可得 可知图像为过原点的倾斜直线，则得到的图线最接近图乙中的C。 15．（24-25高一下·天津河北·期末）下图为一种利用气垫导轨“验证机械能守恒定律”的实验装置。 主要实验步骤如下： A．将气垫导轨放在水平桌面上，将导轨调至水平； B．测出遮光条的宽度d； C．将滑块移至图示位置，测出遮光条到光电门的距离L； D．释放滑块，读出遮光条通过光电门的遮光时间t； E．用天平称出托盘和砝码的总质量m、滑块和遮光条的总质量M。 F.… (1)在滑块从静止释放到运动到光电门的过程中，系统的重力势能减少了________； (2)遮光条通过光电门的速率为________； (3)若要符合机械能守恒定律的结论，以上测量的物理量应该满足的关系________（用测量的物理量的字母表示） 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）在滑块从静止释放到运动到光电门的过程中，系统的重力势能的减少量为 （2）遮光条通过光电门的速率为 （3）根据系统机械能守恒可得 联立可得若要符合机械能守恒定律的结论，以上测量的物理量应该满足的关系为 16．（24-25高一下·天津和平·期末）某同学用如图甲所示的实验装置验证系统机械能守恒定律。实验操作步骤如下： ①用天平测出滑块和遮光条的质量M、钩码的质量m； ②调整气垫导轨水平，按图连接好实验装置，固定滑块； ③测量遮光条与光电门光源之间距离L及遮光条宽度d，将滑块由静止释放，光电门记录遮光条遮光时间t； ④重复以上实验多次。已知重力加速度为g，根据上述实验操作过程，回答下列问题： (1)下列关于该实验的说法正确的是（　　） A．本实验可以不用测量M和m B．滑块运动过程中速度大小始终与钩码相等 C．实验中不需要保证m远小于M (2)滑块通过光电门速度大小v=_________；遮光条通过光电门时，测量过程中系统重力势能的减少量为_________。（物理量用题中所给字母表示） (3)该同学改变遮光条中点与光电门光源之间距离L，记录每次遮光条遮光时间t，重复以上实验多次，作出如图乙所示图像，如果图像斜率k=_________（物理量用题中所给字母表示），则可验证系统机械能守恒。 【答案】(1)C (2) (3) 【详解】（1）A．实验中需要验证的关系为 可知本实验必须要测量M和m，故A错误； B．滑块运动过程中速度大小始终是钩码速度的2倍，故B错误； C．本实验不需要用钩码的重力代替绳的拉力，实验中不需要保证m远小于M，故C正确。 故选C。 （2）[1]遮光条通过光电门时的速度为 [2]测量过程中系统重力势能的减少量 （3）若系统机械能守恒，则有 又因为 联立，整理可得 所以，在图像中，图像斜率 所以，在图像中，图像斜率 四、解答题 17．（天津市和平区2024-2025学年高一下学期7月期末物理试题）如图所示，鼓形轮的半径为R，可绕固定的光滑水平轴O转动。在轮上沿相互垂直的直径方向固定四根直杆，杆上分别固定有质量为m的小球，球与O的距离均为。在轮上绕有长绳，绳上悬挂着质量为M的重物。重物由静止下落，带动鼓形轮转动。重物落地后鼓形轮匀速转动，转动的角速度为。绳与轮之间无相对滑动，忽略鼓形轮、直杆和长绳的质量，不计空气阻力，重力加速度为g。求： (1)重物落地后，小球线速度的大小v； (2)重物落地后一小球转到水平位置A，此时该球受到杆的作用力的大小F； (3)重物下落的高度H。 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】(1)由题意可知当重物落地后鼓形轮转动的角速度为ω，则根据线速度与角速度的关系可知小球的线速度为 (2)小球匀速转动，当在水平位置时设杆对球的作用力为F，合力提供向心力，则有 结合(1)可解得杆对球的作用力大小为 (3)设重物下落高度为H，重物下落过程中对重物、鼓形轮和小球组成的系统，根据系统机械能守恒可知 而重物的速度等于鼓形轮的线速度，有 联立各式解得 18．（24-25高一下·天津西青·期末）如图所示，轻质非弹性细线的一端固定在O'点，另一端系一小球，小球静止时恰好与水平面接触但无相互作用力，BC为粗糙水平面，CD为半径为的内壁光滑的四分之一圆管，管口D正下方直立一根劲度系数为的轻弹簧，弹簧下端固定，上端恰好与D端齐平。现将小球拉至图中的A位置由静止开始释放，当小球运动到最低点 B 处，细线刚好被拉断，小球进入管口C端时与圆管恰好无压力作用，通过CD后压缩弹簧。已知细线长，，小球质量为，可视为质点，与水平面BC间的动摩擦因数为0.25，小球与水平面的摩擦可视为滑动摩擦，g取10m/s2。求： (1)细线能承受的最大拉力的大小； (2)水平面BC的距离s； (3)若小球压缩弹簧过程中，小球速度最大时弹簧弹性势能为，则小球向下压缩弹簧过程中的最大动能Ekm为多大。 【答案】(1)10N (2)3.6m (3)1.5J 【详解】（1）当小球由A到B，由动能定理得 解得 由牛顿第二定律可得 可得 （2）小球进入管口C端时与圆管恰好无压力作用，由牛顿第二定律有 解得 当小球由B到C点，由动能定理得 解得 （3）小球速度最大时，加速度为0，设此时弹簧压缩量为x，由 得 由C点到速度最大时，小球和弹簧、地球组成的系统机械能守恒。选速度最大时所在的水平面为参考平面，有 解得 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 机械能及其守恒定律 3大高频考点概览 考点01 功和功率 考点02 动能定理 考点03 机械能守恒定律 地 城 考点01 功和功率 一、单选题 1．（天津市河西区2024-2025学年高一下学期期末物理试题）手拿球拍托着乒乓球跑是校运动会的一项常见的趣味项目，如图所示。假设某段时间内乒乓球相对球拍静止一起水平向右做匀速直线运动，不计空气阻力，则此过程中（    ） A．乒乓球受到的摩擦力不做功 B．乒乓球受到的支持力做正功 C．乒乓球受到的重力做负功 D．乒乓球所受合外力做正功 2．（天津市2024-2025学年高一下学期7月期末物理试题）用水平恒力作用于质量为的物体，使之在光滑的水平面上沿力的方向移动一段距离，恒力做功为，再用该恒力作用于质量为（）的物体，使之在粗糙的水平面上移动同样的距离，恒力做功为，则两次恒力做功的关系是（　　） A． B． C． D．无法判断 3．（24-25高一下·天津南开·期末）一台起重机匀加速地将质量为的货物从静止开始竖直吊起，若2s末货物的速度为4m/s，不计空气阻力，，则在起重机匀加速吊起货物的过程中（　　） A．起重机对货物的拉力大小为 B．2s内起重机拉力对货物做的功为 C．2s末起重机对货物拉力的瞬时功率为 D．2s内起重机对货物拉力的平均功率为 4．（24-25高一下·天津河西·期末）图（a）为记载于《天工开物》的风扇车，它是用来去除水稻等农作物子实中杂质的木制传统农具。风扇车的工作原理可简化为图（b）模型：杂质与子实仅在水平恒定风力和重力的作用下，从同一位置P静止释放，若杂质的质量小于子实的质量，杂质与子实受到的风力大小相等。下列说法正确的是（　　） A．杂质与子实在空中运动的时间相等 B．杂质与子实在空中做曲线运动 C．从释放到落地的过程中，子实和杂质的重力做功相等 D．从释放到落地的过程中，风力对子实做功大于对杂质做功 5．（24-25高一下·天津滨海新区·期末）如图所示，二十世纪六七十年代我国有些地方利用驴拉磨加工粮食，假设驴对磨杆的拉力大小为，拉力的方向始终与速度方向相同，驴对磨杆的拉力作用点的转动半径为，匀速转动一圈的时间为，驴的重力为，下列判断正确的是（　　） A．驴转动一圈的过程中驴的重力的冲量 B．驴转动一圈的过程中位移为零，故拉力做的功 C．驴转动一圈的过程中拉力做的功 D．驴转动一圈的过程中拉力的平均功率 二、多选题 6．（24-25高一下·天津西青·期末）如图所示，可视为质点、质量为1kg的物块静止在水平地面上。用水平向右、大小为8N的恒力F作用在物块上，物块运动了2m、速度大小为4m/s时撤去F，物块继续运动一段距离后停下来，物块与水平地面动摩擦因数不变，。对于物块由静止开始运动到最终停下来的过程，下列说法正确的是（　　） A．物块运动的路程为8m B．物块与水平地面动摩擦因数为0.4 C．力F对物块做功的平均功率为32W D．物块受到的滑动摩擦力做的功为-16J 三、解答题 7．（24-25高一下·天津·期末）如图所示，工程队向峡谷对岸平台抛射重物，重物质量m=2kg，初速度v0方向水平，大小为10m/s，抛出点P和落点Q的连线与水平方向夹角为37°，重力加速度大小取10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，忽略空气阻力。求： (1)从P到Q重物重力做的功； (2)刚要落到Q时，重物重力的瞬时功率。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 地 城 考点02 动能定理 一、单选题 1．（24-25高一下·天津和平·期末）质量为1kg的物块静置于光滑水平地面上，设物块静止时的位置为x轴零点。现给物块施加一沿x轴正方向的水平力F，其大小随位置x变化的关系如图所示，则物块运动到x=12m处，F做功的瞬时功率为（　　） A．8W B．16W C．32W D．64W 2．（24-25高一下·天津和平·期末）我国于2025年5月20日19时50分成功发射“中星3B卫星”，主要用于为用户提供话音、数据、广播电视传输业务。设“中星3B卫星”质量为m，发射升空过程中其速度由v1增大到v2。则此过程中关于“中星3B卫星”说法正确的是（　　） A．平均速度一定为 B．动能增量为 C．合外力对它做功为 D．推力对它做功为 3．（天津市南开区2024-2025学年高一下学期7月期末物理试题）如图所示，质量为m的子弹以水平初速度射入静止在光滑水平面上的质量为M的木块中，子弹未从木块中射出，最后共同速度为v，在此过程中，木块在地面上滑动的距离为s，子弹射入木块的深度为d，子弹与木块间的相互作用力为f，以下关系式中不正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·天津·期末）复兴号动车在世界上首次实现速度350km/h自动驾驶功能，成为我国高铁自主创新的又一重大标志性成果。一列质量为m的动车，从静止开始以恒定功率P在平直轨道上运动，经时间t达到该功率下的最大速度，设动车行驶过程所受到的阻力f保持不变。动车在时间t内（　　） A．做匀加速直线运动 B．复兴号动车的功率 C．牵引力做功 D．复兴号动车通过的位移 5．（天津市耀华中学2024-2025学年高一下学期7月期末物理试题）放在粗糙水平地面上质量为0.8 kg的物体受到水平拉力的作用，在0~6 s内其速度与时间的关系图像和该拉力的功率与时间的关系图像分别如图甲、乙所示，g取10m/s2。下列说法中正确的是（　　） A．0~6 s内拉力做的功为120 J B．物体在0~2 s内所受的拉力为4 N C．物体与粗糙水平地面间的动摩擦因数为0.25 D．合外力在0~6 s内做的功与0~2 s内做的功不相等 二、多选题 6．（天津市南开中学2024-2025学年高一下学期7月期末物理试题）一辆汽车由静止开始沿平直公路行驶，汽车所受车引力F随时间t变化的关系如图所示，时汽车功率达到最大值，此后保持此功率继续行驶，后可视为匀速行驶。若汽车的质量为，阻力大小恒定，则以下说法正确的是（    ）    A．汽车的最大功率为 B．汽车匀加速行驶阶段的加速度大小为 C．汽车先做匀加速直线运动，然后再做匀速直线运动 D．骑车从静止开始运动15s内的位移是150m 7．（天津市耀华中学2024-2025学年高一下学期7月期末物理试题）如图所示，质量为M、长度为l的小车静止在光滑的水平面上，质量为m 的小物块（可视为质点）放在小车的最左端，现有一水平恒力F作用在小物块上，使物块从静止开始做匀加速直线运动，物块和小车之间的摩擦力为f，经过时间t，小车运动的位移为s，物块刚好滑到小车的最右端，以下判断中正确的是（　　） A．此时物块的动能变化为 B．此时小车的动能变化为 C．这一过程中，物块和小车间产生的内能为 D．这一过程中，物块和小车增加的机械能为 8．（天津市滨海新区2024-2025学年高一下学期期末联考）在机场和火车站可以看到对行李进行安全检查用的水平传送带如题图所示，当旅客把行李放在正在匀速运动的传送带上后，传送带和行李之间的滑动摩擦力使行李开始运动，随后它们保持相对静止，行李随传送带一起匀速通过检测仪器接受检查，设某机场的传送带匀速前进的速度为0.4m/s，某行李箱的质量为5kg，行李箱与传送带之间的动摩擦因数为0.2，当旅客把这个行李箱小心地放在传送带上，通过安全检查的过程中，g取10m/s2，则（　　） A．开始时行李的加速度为2m/s2 B．行李到达B点时间为2s C．传送带对行李做的功为0.4J D．传送带上将留下一段摩擦痕迹，该痕迹的长度是0.04m 三、解答题 9．（24-25高一下·天津·期末）发射地球同步卫星一般是把它先送入较低的圆形轨道，如图中Ⅰ轨道，再经过两次“点火”，即先在图中a点处启动燃气发动机，向后喷出高压燃气，卫星得到加速，进入图中的椭圆轨道Ⅱ，在轨道Ⅱ的远地点b处第二次“点火”，卫星再次被加速，此后，沿图中的圆形轨道Ⅲ（即同步轨道）运动。轨道Ⅰ距地面非常近，其半径近似看作地球半径；设地球半径为R，质量为M，同步卫星的质量为m，运算中轨道Ⅲ半径取7R，引力常量为G。每次点火经历的时间都极短，点火过程中卫星的质量减少可以忽略。求： (1)卫星在轨道Ⅰ上运动的速度大小； (2)卫星在轨道Ⅲ上运动的周期； (3)从轨道Ⅰ转移到轨道Ⅲ的过程中，合力对卫星所做的总功。 10．（24-25高一下·天津河北·期末）如图所示，运动员腰系轻绳拖着轮胎在跑道上进行训练。绳子对轮胎施加的恒力，方向与水平方向成。轮胎被拖着从静止开始沿水平直跑道移动后，绳子突然断了，轮胎又往前移动了一段距离停下。已知轮胎的质量为，跑道与轮胎间的动摩擦因数为。忽略空气阻力，g取，，。求： (1)绳断时轮胎的速度； (2)绳断后轮胎移动的距离； (3)从轮胎开始运动到停下的全过程，摩擦力对轮胎所做的功W。 11．（天津市河东区2024-2025学年高一下学期7月期末物理试题）滑板运动由冲浪运动演变而来，已被列为奥运会正式比赛项目。如图所示，某滑板爱好者从斜坡上距平台高处由静止开始下滑，水平离开A点后越过壕沟落在水平地面的B点，A、B两点高度差，水平距离。已知人与滑板的总质量，取重力加速度，不计空气阻力，求：    (1)人与滑板从A点离开时的速度大小； (2)人与滑板从A点运动到B点重力做功的平均功率； (3)人与滑板从斜坡下滑到A点过程克服阻力做的功。 12．（24-25高一下·天津河西·期末）某校物理兴趣小组决定举行遥控赛车比赛，如图所示，比赛路径由水平直线轨道AC和竖直固定圆轨道平滑连接组成。可视为质点的赛车从起点A由静止出发，沿固定轨道AC以恒功率运动，经过刚好到达B点，此时关闭发动机，B点右侧所有轨道均视为光滑轨道。赛车经C点进入半径的竖直圆轨道，恰好能够经过圆轨道最高点D。已知赛车质量，在AB段受到的阻力，g取，忽略空气阻力。求： (1)赛车通过D点时的速度大小； (2)赛车通过圆轨道的C点时对轨道的压力大小； (3)水平直线轨道AB的长度L。 13．（24-25高一下·天津河北·期末）如图所示，一粗糙斜面AB与半径为R的竖直光滑圆弧轨道BCD相切，C为圆弧轨道的最低点。已知质量为m的小物块（可视为质点）从斜面顶端A点处由静止开始沿斜面下滑，经B点进入圆弧轨道，恰能通过圆弧轨道的最高点D。小物块从D点飞出后又落到斜面上，在斜面上的落点与圆心O等高。已知重力加速度为g，求： (1)小物块通过D点时速度大小； (2)BC圆弧所对圆心角θ； (3)若小物块与粗糙斜面AB间的动摩擦因数为μ，为使物体能到达圆弧轨道的最高点D，AB长度L至少多大？ 14．（天津市和平区2024-2025学年高一下学期7月期末物理试题）如图所示，粗糙水平桌面上固定一半圆形竖直挡板，其半径为2R、内表面光滑，挡板的两端A、B在桌面边缘，B与半径为R的固定圆管轨道在同一竖直平面内，ED是竖直直径，C、E是管口，管的内壁粗糙。现让质量为m的小物块（可视为质点）以的水平初速度由A点切入挡板内侧，从B点飞出桌面后，经过时间正好从管口C（与管口无碰撞）进入圆管，然后沿着管壁运动到E点，此时小物块对下管壁的压力，已知，重力加速度为g，忽略空气阻力。求小物块： (1)到达E点时的速度大小； (2)沿轨道运动过程中阻力所做的功； (3)与桌面之间的动摩擦因数。 15．（24-25高一下·天津滨海新区·期末）如图所示，水平轨道的左端与固定的光滑竖直四分之一圆弧轨道相切与点，右端与一倾角的光滑斜面轨道在点平滑连接，物体经过点时速率不变。斜面顶端固定一轻质弹簧，一质量的滑块从圆弧轨道的顶端点由静止释放，经水平轨道后滑上斜面并压缩弹簧，第一次可将弹簧压缩至点。已知光滑圆弧轨道的半径，水平轨道长，滑块与水平轨道之间的动摩擦因数，光滑斜面轨道上长，取。求： (1)滑块第一次经过点时速度大小以及轨道对它的支持力大小； (2)滑块第一次滑上斜面将弹簧压缩至点的过程中克服弹力做的功； (3)滑块最后停止的位置离点的距离。 16．（24-25高一下·天津河东·期末）如图所示，光滑曲面轨道AB、光滑竖直圆轨道、水平轨道BD、水平传送带DE各部分平滑连接，圆轨道最低点B处的出入口靠近且相互错开，现将一质量的滑块从AB轨道上距水平轨道高度处由静止释放、经圆轨道、水平轨道、水平传送带，从E点抛出。已知圆轨道半径，水平轨道BD的长度，传送带长度，以恒定速度逆时针转动，滑块与水平轨道和传送带间的动摩擦因数均为，不考虑传送带轮的半径对运动的影响，重力加速度，求滑块： (1)运动至C点时对圆弧轨道压力的大小； (2)从释放到飞出传送带的过程中，摩擦产生的热量Q。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 地 城 考点03 机械能守恒定律 一、单选题 1．（24-25高一下·天津西青·期末）有关机械能的理解，下列说法中正确的是（　　） A．一定质量的物体，速度变化时，动能一定变化 B．处于平衡状态的物体，机械能不一定守恒 C．机械能守恒时，物体一定只受重力的作用 D．沿粗糙、固定斜面上滑的物块机械能一定增加 2．（24-25高一下·天津河西·期末）下列实例（均不计空气阻力）中的运动物体，机械能守恒的是（    ） A．做平抛运动的物体 B．物体沿固定斜面匀速下滑 C．吊车将物体向上匀速吊起 D．在竖直平面内做匀速圆周运动的物体 3．（天津市五区县重点校2024-2025学年高一下学期7月期末物理试题）2024年3月29日全国室内田径锦标赛在天津开赛，女子铅球决赛中，河北队选手巩立姣投出19米35，并摘到金牌．已知铅球的质量为m，铅球出手瞬间距离地面的高度为h，铅球的速度大小为，经过一段时间铅球落地，落地瞬间的速度大小为，重力加速度用g表示，铅球克服空气阻力做功为．则下列说法正确的是（    ） A．人推铅球的瞬间，人对铅球做功为 B．铅球从离手到落地，铅球动能的增加量为 C．铅球从离手到落地，铅球的机械能减少 D． 4．（天津市南开中学2024-2025学年高一下学期7月期末物理试题）如图（甲）所示，质量不计的弹簧竖直固定在水平面上，t=0时刻，将一金属小球从弹簧正上方某一高度处由静止释放，小球落到弹簧上压缩弹簧到最低点，然后又被弹起离开弹簧，上升到一定高度后再下落，如此反复．通过安装在弹簧下端的压力传感器，测出这一过程弹簧弹力F随时间t变化的图像如图（乙）所示，则 A．时刻小球动能最大 B．时刻小球动能最大 C．~这段时间内，小球的动能先增加后减少 D．~这段时间内，小球增加的动能等于弹簧减少的弹性势能 5．（24-25高一下·天津河西·期末）如图所示，在一竖直放置的光滑管内有一轻质弹簧，一个质量为m的小球，从管口A点由静止下落，将弹簧压缩至最低点B，最大压缩量为x，其中O点为弹簧原长位置，不计空气阻力，弹簧始终在弹性限度内。已知，重力加速度为g，小球从A到B的运动过程中，下列描述正确的是（    ） A．小球的最大速度为 B．该过程中小球的机械能守恒 C．从O到B过程中，小球的重力势能和弹簧的弹性势能之和一直减小 D．弹簧在最短时具有的弹性势能为 6．（天津市滨海新区2024-2025学年高一下学期期末6月物理）一个倾角的斜面固定于水平地面，斜边长5m，一物块从斜面顶端由静止开始沿斜面下滑，其重力势能和动能随下滑距离s的变化如图中两直线所示，设斜面底端所在的水平面为零势能面，，，重力加速度取，则（   ） A．物块的质量m=2kg B．物块与斜面间的动摩擦因数为0.4. C．物块下滑到斜面底端时速度大小为 D．当物块下滑3.0m时机械能损失了12J 二、多选题 7．（24-25高一下·天津河北·期末）如图所示，一个小球在真空中做自由落体运动，另一个同样的小球在黏性较大的油中由静止开始下落。它们都由高度为h₁的地方下落到高度为h₂的地方。关于这两种情况的比较，下列说法正确的是（　　） A．重力对小球做的功相等 B．小球重力势能的变化相等 C．小球动能的变化相等 D．小球机械能均守恒 8．（天津市耀华中学2024-2025学年高一下学期7月期末物理试题）如图所示，竖直平面内有一个半径为R，固定的光滑四分之一圆弧轨道，质量为m的小球从圆弧上与圆心等高的顶端由静止自由滑下，以圆心所在的水平面为零势能面，忽略小球半径的影响，下列说法中正确的是（　　） A．小球滑到轨道的底端时重力势能为 B．小球滑到轨道的底端时速度大小为 C．小球在最低点的机械能为零 D．小球在最低点时重力瞬时功率最大 9．（24-25高一下·天津和平·期末）如图所示，轻质弹簧的左端固定，并处于自然状态。小物块的质量为m，从A点向左沿水平地面运动，压缩弹簧后被弹回，运动到A点恰好静止。物块向左运动的最大距离为s，与地面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，弹簧未超出弹性限度。在上述过程中（　　） A．弹簧的最大弹力为μmg B．摩擦力对物块做的功为-2μmgs C．弹簧的最大弹性势能为μmgs D．物块在A点的初速度为 10．（天津市红桥区2024-2025学年高一下学期7月期末物理试题）如图所示，在地面上方的水平匀强电场中，一个质量为m、带正电的电荷量为q的小球，系在一根长为R的绝缘细线的一端，可以在竖直平面内绕O点做圆周运动。AB为圆周的水平直径，CD为竖直直径。已知重力加速度的大小为g，电场强度。若小球恰能在竖直平面内绕O点做圆周运动，不计空气阻力，则下列说法正确的是（　　） A．小球运动到B点时的机械能最大 B．小球运动过程中的最小速度为 C．小球在最高点D点绳子的拉力为零 D．小球在最低点C点绳子的拉力为9mg 11．（天津市耀华中学2024-2025学年高一下学期7月期末物理试题）如图所示，质量为m的物体（可视为质点）以某一速度从A点冲上倾角为30°的固定斜面，其运动的加速度大小为g，g为重力加速度，此物体在斜面上上升的最大高度为h，则在这个过程中物体（　　） A．重力势能增加了mgh B．克服摩擦力做功mgh C．动能损失了mgh D．机械能损失了mgh 12．（天津市滨海新区2024-2025学年高一下学期期末）如图所示，竖直固定的光滑直杆上套有一个质量为m的小滑块，一原长为l的轻质弹簧左端固定在O点，右端与滑块相连。直杆上有a、b、c、d四个点，b点与O点在同一水平线上且Ob＝l，Oa、Oc与Ob的夹角均为37°，Od与Ob的夹角为53°。现将滑块从a点静止释放，在滑块下滑到最低点d的过程中，弹簧始终处于弹性限度内，重力加速度为g，。在此过程中滑块（　　） A．在b点时动能最大 B．在c点的速度大小为 C．从a点到c点的过程中，弹簧弹力做功为零 D．从c点下滑到d点的过程中机械能的减少量为 三、实验题 13．（24-25高一下·天津河东·期末）如图所示，打点计时器固定在铁架台上，使重物带动纸带从静止开始自由下落，利用此装置验证机械能守恒定律。 (1)对于该实验，下列操作中对减小实验误差有利的是________。 A．重物选用质量和密度较大的金属锤 B．两限位孔在同一竖直面内上下对正 C．精确测量出重物的质量 D．用手托稳重物，接通电源后，撤手释放重物 (2)某实验小组利用上述装置将打点计时器接到频率为50Hz的交流电源上，按正确操作得到了一条完整的纸带，由于纸带较长，图中有部分未画出，如图所示。纸带上各点是打点计时器打出的计时点，其中O点为纸带上打出的第一个点。重物下落高度应从纸带上计时点间的距离直接测出，利用下列测量值能完成验证机械能守恒定律的选项有________。 A．OA、AD和EG的长度 B．OC、BC和CD的长度 C．BD、CF和EG的长度 D．AC、BD和EG的长度 (3)实验发现重物重力势能的减少量通常略大于动能的增加量，关于这个误差下列说法正确的是________。 A．属于偶然误差 B．属于系统误差 C．可以通过多次测量取平均值的方法来减小 D．可以通过减小空气阻力和摩擦阻力来减小 14．（24-25高一下·天津·期末）“验证机械能守恒定律”实验中，采用如图甲所示的实验装置。    (1)以下提供的实验中的重物，最合适的是________； A．20g的砝码 B．50g的砝码 C．200g的木球 D．500g的铅制重锤 (2)由于存在阻力，比较重物对应纸带上相距较远的某两点间的重力势能变化量和动能变化量的大小关系，总是存在_______（选填“>”“=”或“<”）； (3)某同学依据打出的纸带求得各点的瞬时速度v，以及与此对应的重物下落的距离s，以为纵轴，以s为横轴，建立坐标系，描点后画出图线，若所有操作均正确，则得到的图线最接近图乙中的________。 15．（24-25高一下·天津河北·期末）下图为一种利用气垫导轨“验证机械能守恒定律”的实验装置。 主要实验步骤如下： A．将气垫导轨放在水平桌面上，将导轨调至水平； B．测出遮光条的宽度d； C．将滑块移至图示位置，测出遮光条到光电门的距离L； D．释放滑块，读出遮光条通过光电门的遮光时间t； E．用天平称出托盘和砝码的总质量m、滑块和遮光条的总质量M。 F.… (1)在滑块从静止释放到运动到光电门的过程中，系统的重力势能减少了________； (2)遮光条通过光电门的速率为________； (3)若要符合机械能守恒定律的结论，以上测量的物理量应该满足的关系________（用测量的物理量的字母表示） 16．（24-25高一下·天津和平·期末）某同学用如图甲所示的实验装置验证系统机械能守恒定律。实验操作步骤如下： ①用天平测出滑块和遮光条的质量M、钩码的质量m； ②调整气垫导轨水平，按图连接好实验装置，固定滑块； ③测量遮光条与光电门光源之间距离L及遮光条宽度d，将滑块由静止释放，光电门记录遮光条遮光时间t； ④重复以上实验多次。已知重力加速度为g，根据上述实验操作过程，回答下列问题： (1)下列关于该实验的说法正确的是（　　） A．本实验可以不用测量M和m B．滑块运动过程中速度大小始终与钩码相等 C．实验中不需要保证m远小于M (2)滑块通过光电门速度大小v=_________；遮光条通过光电门时，测量过程中系统重力势能的减少量为_________。（物理量用题中所给字母表示） (3)该同学改变遮光条中点与光电门光源之间距离L，记录每次遮光条遮光时间t，重复以上实验多次，作出如图乙所示图像，如果图像斜率k=_________（物理量用题中所给字母表示），则可验证系统机械能守恒。 四、解答题 17．（天津市和平区2024-2025学年高一下学期7月期末物理试题）如图所示，鼓形轮的半径为R，可绕固定的光滑水平轴O转动。在轮上沿相互垂直的直径方向固定四根直杆，杆上分别固定有质量为m的小球，球与O的距离均为。在轮上绕有长绳，绳上悬挂着质量为M的重物。重物由静止下落，带动鼓形轮转动。重物落地后鼓形轮匀速转动，转动的角速度为。绳与轮之间无相对滑动，忽略鼓形轮、直杆和长绳的质量，不计空气阻力，重力加速度为g。求： (1)重物落地后，小球线速度的大小v； (2)重物落地后一小球转到水平位置A，此时该球受到杆的作用力的大小F； (3)重物下落的高度H。 18．（24-25高一下·天津西青·期末）如图所示，轻质非弹性细线的一端固定在O'点，另一端系一小球，小球静止时恰好与水平面接触但无相互作用力，BC为粗糙水平面，CD为半径为的内壁光滑的四分之一圆管，管口D正下方直立一根劲度系数为的轻弹簧，弹簧下端固定，上端恰好与D端齐平。现将小球拉至图中的A位置由静止开始释放，当小球运动到最低点 B 处，细线刚好被拉断，小球进入管口C端时与圆管恰好无压力作用，通过CD后压缩弹簧。已知细线长，，小球质量为，可视为质点，与水平面BC间的动摩擦因数为0.25，小球与水平面的摩擦可视为滑动摩擦，g取10m/s2。求： (1)细线能承受的最大拉力的大小； (2)水平面BC的距离s； (3)若小球压缩弹簧过程中，小球速度最大时弹簧弹性势能为，则小球向下压缩弹簧过程中的最大动能Ekm为多大。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $