专题08 随机变量及其分布全章10大题型（期末复习讲义）高二年级数学下学期人教A版

专题08 随机变量及其分布全章10大题型 （期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 条件概率 题型02 全概率公式 题型03 离散型随机变量分布列及数学期望 题型04 离散型随机变量分布列及其性质 题型05 离散型随机变量均值的应用 题型06 离散型随机变量的方差及其性质 题型07 求离散型随机变量的方差 题型08 两点分布与二项分布 题型09 超几何分布 题型10 正态分布及其性质与实际应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 题型01：条件概率 能利用条件概率公式 求解事件在给定条件下的概率，掌握缩小样本空间的方法 基础考点，常以小题或解答题第一问出现，易错点在于混淆 与 （事件独立时才相等） 题型02：全概率公式 能识别完备事件组，运用全概率公式 求解复杂事件的概率 中档考点，常与贝叶斯公式结合，易错点在于划分事件组不重不漏或条件概率计算错误 题型03：离散型随机变量分布列及数学期望 能正确列出离散型随机变量的所有可能取值及对应概率，形成分布列，并利用期望公式 计算期望 基础核心考点，常以解答题第1问出现，易错点在于概率之和不为1或取值对应错误 题型04：离散型随机变量分布列及其性质 能掌握分布列的两条基本性质： 且 ，并能利用性质求参数或判断分布列是否正确 基础必考点，常与期望方差结合，易错点在于忽略概率非负及和为一的检验 题型05：离散型随机变量均值的应用 能运用期望解决实际决策问题（如期望收益、成本最小化、比赛胜负等），理解期望的线性性质： 中档应用考点，常以实际问题背景出现，易错点在于实际意义理解偏差或线性性质误用 题型06：离散型随机变量的方差及其性质 能掌握方差定义 及性质 ，理解方差刻画随机变量的波动程度 基础理解考点，常与期望对比考查，易错点在于方差性质中系数平方易漏 题型07：求离散型随机变量的方差 能根据分布列或常见分布公式（如二项分布 ，超几何分布等）准确计算方差 高频计算考点，常出现在解答题第2问，易错点在于公式记忆混淆或计算失误 题型08：两点分布与二项分布 能区分两点分布与二项分布（独立重复试验），掌握二项分布的概率公式 及期望 、方差 高频核心考点，常以实际背景（如投篮、抽检）出现，易错点在于未判断是否为独立重复试验 题型09：超几何分布 能识别超几何分布模型（不放回抽取），掌握其概率公式及期望 ，理解与二项分布的区别 中档考点，常与二项分布对比考查，易错点在于放回与不放回混淆导致分布选错 题型10：正态分布及其性质与实际应用 能认识正态分布密度曲线，掌握 中 和 的意义，会利用 原则求概率。能运用正态分布解决实际生产、测量中的概率估算问题（如产品质量、考试成绩），会查表或利用标准正态分布转化 小题高频考点，常以选择题形式考查，易错点在于对称性应用及区间概率计算。应用考点，常与统计结合，易错点在于非标准正态的标准化处理 知识点01 条件概率、全概率公式、贝叶斯公式 （1）条件概率 ①定义：一般地，设A，B为两个随机事件，且P（A）>0，我们称P（B|A）＝________为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称___条件概率_____. ②概率的乘法公式：由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P（A）>0，则____ P（AB）＝P（A）P（B|A）____. （2）条件概率的性质：设P（A）>0，则 ①P（Ω|A）＝1； ②如果B和C是两个互斥事件，则P（（B∪C）|A）＝____ P（B|A）＋P（C|A）____； ③设和B互为对立事件，则P（|A）＝___ 1－P（B|A）_____. （3）全概率公式：一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P（Ai）>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P（B）＝________，我们称这个公式为全概率公式. （4）贝叶斯公式 设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意事件， ，有_________＝_________，． 知识点02 二项分布 （1）伯努利试验：我们把只包含____两个_____可能结果的试验叫做伯努利试验. 我们将一个伯努利试验重复进行n次所组成的随机试验称为____n重伯努利试验_____. 显然， n重伯努利试验具有共同特征：同一个伯努利试验重复做n次，且各次试验的结果____相互独立_____. （2）二项分布：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为__________，.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～_______，且有_______，_________. 注：①n次独立重复试验中恰好发生k次的概率与第k次才发生的概率计算公式分别是 与. （3）二项分布的增减性与最大值 记，则当时，，pk递增；当时，，递减. 故最大值在时取得（此时，两项均为最大值；若 非整数，则k取的整数部分时，最大且唯一）. 知识点03 超几何分布 分布列：如果且，则的分布列如下表所示，其中为的最大取值． 0 1 … … … ________ … ________ 知识点04 离散型随机变量的数字特征 （1）离散型随机变量的均值 ①定义：一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称E（X）＝_________________为随机变量X的均值或___数学期望_____，数学期望简称___期望___. ②意义：均值是随机变量可能取值关于取值概率的____加权平均数____，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的___平均水平_____. ③性质：若X为离散型随机变量，则Y＝aX＋b（其中a，b为常数）也是随机变量，且E（Y）＝E（aX＋b）＝________. （2）离散型随机变量的方差 ①定义：设离散型随机变量X的分布列为， X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 我们称D（X）＝____________＝为随机变量X的方差，有时也记为Var（X），并称为随机变量X的___标准差___，记为σ（X）. ②意义：随机变量的方差，即是用偏差的平方（xi－E（X））2关于取值概率的加权平均. 随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的_____离散程度_____. 方差或标准差越小，随机变量的取值越___集中____；方差或标准差越大，随机变量的取值越___分散____. ③性质：D（X）＝＝－（E（X））2＝E（X2）－（E（X））2；D（aX＋b）＝a2D（X）. （3）关于均值、方差的几个结论 ①E（k）＝k，D（k）＝0，其中k为常数； ②E（X1＋X2）＝E（X1）＋E（X2）； ③若X1，X2相互独立，则E（X1X2）＝E（X1）·E（X2）. 知识点05 正态分布曲线及其性质 （1）正态曲线：我们称，，其中，时为参数，为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线． （2）正态分布：若随机变量X的概率分布密度函数为，则称随机变量X服从正态分布，记为_________．特别地，当，时，称随机变量X服从____标准____正态分布． （3）正态分布的期望与方差：若，则______， _______. （4）正态曲线的特点： ①非负性：对，，它的图象在x轴的上方． ②定值性：曲线与x轴之间的面积为1. ③对称性：曲线是单峰的，它关于直线________对称． ④最大值：曲线在处达到峰值. ⑤当无限增大时，曲线无限接近x轴． ⑥当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移，如图①. ⑦当一定时，曲线的形状由确定，较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②. （5）正态分布的几何意义：若，如图所示，X取值不超过的概率为图中区域A的面积，而为区域B的面积．    （6）正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 . 题型一 条件概率 解｜题｜技｜巧 条件概率 （）。计算方法：① 直接代入公式，先求 和 ；② 缩减样本空间法：已知 发生后，新的样本空间为 ，计算 在 中占的比例。注意区分 与 ，切勿混淆。 【典例1】（24-25高二下·广东东莞·期末）记试验的样本空间，事件，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求，再求，利用条件概率公式即可求解. 【详解】由题意有，，， 所有， 故选：A. 【典例2】（24-25高二下·广东深圳·期末）学校开展数学学科周活动，从高二（1）、（2）、（3）、（4）班各选两名同学组成一个名同学的志愿者小队，老师从中随机选择四名同学协助工作，已知有两名同学来自同一个班级，则另外两名同学不是来自同一个班级的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】记事件老师选择的四名同学有两名同学来自同一个班级，记事件老师选择的四名同学有两名同学不在同一个班级，求出、的值，结合条件概率公式可求得的值. 【详解】记事件老师选择的四名同学有两名同学来自同一个班级， 记事件老师选择的四名同学有两名同学不在同一个班级， 故，， 由条件概率公式可得. 故选：D. 【典例3】（24-25高二下·福建福州·期末）若，则在“函数的定义域为R”的条件下，“函数为奇函数”的概率为______. 【答案】 【分析】记“函数的定义域为R”为事件A，“函数为奇函数”为事件B，求出，再结合条件概率公式求解即可. 【详解】有序实数对表示的所有结果有种情况， 记“函数的定义域为R”为事件A， ，即， 满足这个条件有，，，，，，，，共9种情况， 所以. 记“函数为奇函数”为事件B， 因为，，， 所以，或， 经检验此时为奇函数，满足或的有，，，共4种情况， 所以， 同时满足AB的有，，共3种情况， 所以，所以. 故答案为：. 【典例4】（24-25高二下·安徽合肥·期末）（多选）若A，B是一次随机试验中的两个事件，，，，则下列结论正确的有（   ） A．A与B相互独立 B． C． D． 【答案】BC 【分析】先根据已知条件结合求出，，然后根据独立事件的定义，条件概率公式逐个分析判断即可. 【详解】因为，所以， 因为，，， 所以，所以，得， 对于A，因为，所以A与B不相互独立，故A错误， 对于B，因为，所以，故B正确， 对于C，因为，故C正确， 对于D，，故D错误. 故选：BC. 【变式1】（24-25高二下·四川广元·期末）已知事件和满足，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用概率的乘法公式求出的值，再利用条件概率公式可求得的值. 【详解】由概率的乘法公式可得， 由条件概率公式可得. 故选：B. 【变式2】（24-25高二下·福建莆田·期末）已知随机事件与相互独立，且，，则下列错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据事件独立、条件概率公式等逐项判断即可. 【详解】因为随机事件相互独立，所以. 则，， 所以，所以A正确； ， 所以，B正确； ，， 所以，所以C正确； ，所以D错误. 故选：D. 【变式3】（24-25高二下·江苏·期末）（多选）设事件，满足，则（    ） A．与可能独立 B．与可能互斥 C． D． 【答案】BCD 【分析】结合根据根据独立事件概率的性质判断A；举例判断B；结合已知根据条件概率公式和对立事件概率公式判断C；结合选项C，根据全概率公式及条件概率公式、对立事件概率公式判断D. 【详解】若独立，则也相互独立，则与题设矛盾，所以A错误； 当与对立（必互斥）时，满足，成立，所以B正确； 因为，所以，所以， 所以，则，所以C正确； 所以，所以， 所以，D正确． 故选：BCD 【变式4】（24-25高二下·河北石家庄·期末）在学校趣味运动会上，有一个限时通过障碍的项目，闯关者在规定的时间内到达终点视为闯关成功，否则视为闯关失败.甲、乙两班各有3人参加此项目，已知甲班3名队员闯关成功的概率分别为，，，乙班每名队员闯关成功的概率均为，且各个队员闯关是否成功互不影响. (1)若，求在甲、乙两班共有4人闯关成功的条件下，甲、乙两班闯关成功的人数相同的概率； (2)记甲、乙两班闯关成功的人数分别是，，若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）“甲、乙两班共有4人闯关成功”为事件，“甲、乙两班闯关成功的人数相同”为事件，分别计算，， （2）分别计算，令，解出p的范围即可. 【详解】（1）设“甲、乙两班共有4人闯关成功”为事件，“甲、乙两班闯关成功的人数相同”为事件. 事件可以分为以下三种情况：甲班1人，乙班3人；甲班2人，乙班2人（即事件）；甲班3人，乙班1人.1分 甲班有1人，乙班有3人闯关成功的概率是， 甲班有2人，乙班有2人闯关成功的概率是， 甲班有3人，乙班有1人闯关成功的概率是， 所以. 又，所以，即在甲、乙两班共有4人闯关成功的条件下，甲、乙两班闯关成功的人数相同的概率为. （2）的可能取值为0，1，2，3， ， ， ， ， 所以， 由题意知，所以. 因为，所以，解得， 又，所以的取值范围是. 题型二 全概率公式 解｜题｜技｜巧 若 为完备事件组（互斥且并集为 ），则 。解题步骤：① 找出所有导致 发生的互斥“原因” ；② 求每个原因的概率 及该原因下 发生的概率 ；③ 求和。常用于分阶段试验或由因求果问题。 【典例1】（24-25高二下·四川达州·期末）已知甲组有3名男生2名女生，乙组有2名男生4名女生，如果随机选1个组，再从该组中随机选1名学生，则该学生是男生的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据全概率公式计算即可. 【详解】依题意，选甲组概率为，选乙组概率为， 甲组里男生概率为，乙组里男生概率为， 所以该学生是男生的概率. 故选：A. 【典例2】（24-25高二下·上海浦东新·期末）某校桥牌社每个月要和兄弟学校的桥牌社进行一次友谊赛，为此要从5名社员中随机选择3名参加友谊赛．新学年友谊赛从10月份开始，此时5名社员中有2名新社员没有参加过此前的友谊赛． (1)设10月份参加比赛的新社员的人数为，求的分布与期望； (2)求11月份参加比赛的社员中，恰有1个没有友谊赛经验的概率． 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【分析】（1）使用古典概型方法求解分布列，再用数学期望的定义求出期望； （2）利用（1）的结果，并使用全概率公式求解. 【详解】（1）的可能取值是0、1、2， ，，， 故的分布列是 数学期望. （2）设事件、、分别表示“10月份的友谊赛中恰有0、1、2名新社员参加比赛”． 事件表示“11月参加比赛的社员中恰有1个没有参加友谊赛经验”． 由（1），可知，，． 发生时，5名社员中有2名没有比赛经验，故． 发生时，5名社员中有1名没有比赛经验，故． 发生时，7名社员中有0名没有比赛经验，故． 由全概率公式，得 ． 【变式1】（24-25高二下·陕西西安·期末）现有8道四选一的单选题，甲对其中6道题有思路，2道题完全没有思路．有思路的题做对的概率为，没有思路的题只能任意猜一个答案，猜对答案的概率为．甲从这8道题中随机选择1道题，则甲做对这道题的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全概率公式结合题意求解. 【详解】记事件表示“考生答对题”，事件表示“考生选到有思路的题”， 则该学生从这8道题中随机选择1道题，则他做对此题的概率为 . 故选：B 【变式2】（24-25高二下·江苏苏州·期末）在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．由于随机因素的干扰，发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为．假设发送信号0和1是等可能的，则接收到0的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题知接收到0有两种情况，发射0或发射1，再利用全概率公式求解即可. 【详解】根据题意接收到0有两种情况，发射0或发射1， 所以接收到0的概率为. 故选：C. 【变式3】（2025·吉林·模拟预测）某游戏有三个骰子，其面数如下：骰子：四个面，分别标有数字1，1，3，4；骰子：四个面，分别标有数字2，4，5，6；骰子：六个面，分别标有数字1，3，5，7，9，11；玩家按骰子面数比例随机选择一个骰子（即选择概率等于其面数占总面数的比例），然后掷该骰子两次，记录两次结果的最大值．请解答以下问题： (1)若玩家选择骰子，求两次投掷的最大值为4的概率； (2)求两次投掷的最大值为4的概率； (3)设奖金为最大值的平方（单位：元），若玩家获得的奖金超过16元，求玩家选择骰子的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由独立事件乘法公式及对立事件概率计算求解即可； （2）由全概率公式代入数据即可求解； （3）由全概率公式及条件概率公式求解即可. 【详解】（1）骰子的面为1，1，3，4，每个面出现的概率为，两次投掷共有16种可能的结果组合， 最大值是4的情况包括至少有一次掷出4，两次都不出现4的概率为， 因此至少有一次出现4的概率为． （2）玩家选择骰子的概率分别为（骰子）、（骰子）和（骰子）； 计算各骰子最大值为4的概率：骰子：概率为； 骰子：两次投掷共有个结果，两次投掷的最大值为4的情况是两次结果都不超过4且至少有一次为4， 共有3种情况（（2，4），（4，2），（4，4）），故概率为； 骰子：没有数字4，因此概率为0． 总概率为：． （3）奖金超过16元意味着最大值超过4， 计算各骰子最大值超过4的概率： 骰子：不可能超过4，概率为0； 骰子：至少有一次掷出5或6共有种，故概率为； 骰子：共有个结果，至少有一次掷出超过4，共有，故概率为． 设最大值超过4为事件，选择骰子为事件， 计算全概率：， 则． 题型三 离散型随机变量分布列及数学期望 解｜题｜技｜巧 先确定随机变量 的所有可能取值，再计算每个值的概率（注意概率和为1），列表得分布列。数学期望 。对于常见分布直接套用公式（如二项分布 ）。复杂问题可先利用期望线性性质简化。 【典例1】（24-25高二下·安徽蚌埠·期末）袋子里有除颜色外完全相同的个小球，其中个白球，个黑球，个红球. (1)若不放回的抽取个小球，求既抽到白球也抽到黑球的概率； (2)若有放回的抽取次小球，每抽到一次红球得分，抽到白球或黑球不得分.求积分的分布列，以及的期望和方差. 【答案】(1) (2)分布列见解析；； 【分析】（1）先求出从个球中不放回抽取个球的所有情况数，再求出既抽到白球也抽到黑球的事件的情况数，进而求出既抽到白球也抽到黑球的概率； （2）先确定积分的可能取值，再分别求出每个取值的概率，列出分布列，最后根据期望和方差的公式计算的期望和方差. 【详解】（1）既抽到白球也抽到黑球的概率； （2）记抽到红球的次数为， ， 由题知，，， 的分布列为                                         ， . 【典例2】（24-25高二下·福建福州·期末）福州一中举行数学文化知识竞赛，比赛规定：主持人每公布一题，甲、乙两人就立刻抢答，先抢答者，若答对，可得1分；若答错，则对手得1分；谁先得3分，谁就胜出，比赛结束．假设两人每一次抢到题的概率均为，甲、乙两人答对每道题的概率分别为，，且两人答题正确与否互不影响． (1)在某次抢答中，求甲得1分的概率； (2)在某次抢答中，在乙得1分的条件下，求乙答对这个题的概率； (3)比赛进行中，若甲、乙暂时各得1分，两人继续抢答了题后比赛结束，求的分布列及数学期望． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）应用独立事件乘法公式、互斥事件加法求概率； （2）应用独立事件乘法公式、互斥事件加法求相关概率，再由条件概率公式求目标概率； （3）根据题意有的可能值为，求出对应概率，即可得分布列，进而求期望. 【详解】（1）由题意，某次抢答中甲得1分的情况有甲抢到题且答对，或乙抢到题且答错， 所以某次抢答中甲得1分的概率为； （2）由题意，某次抢答中乙得1分的情况有甲抢到题且答错，或乙抢到题且答对， 所以某次抢答中乙得1分的概率为， 其中乙抢到题且答对的概率为， 所以某次抢答中，在乙得1分的条件下乙答对这个题的概率为； （3）由题设，的可能值为，且每次甲、乙得1分的概率分别为、， 所以，， 的分布列如下， 2 3 所以. 【变式1】（24-25高二下·甘肃白银·期末）如图，转盘被分成8个均匀的扇形区域，其转盘游戏规则：用力旋转转盘，转盘停止时箭头所指区域的数字就是游戏所得的点数（转盘停留的位置是随机的），由于分界线较粗，假设箭头指到区域分界线的概率为0.2，同时规定所得点数为0．某同学进行了一次游戏，记所得点数为． (1)求； (2)求的分布列及数学期望． 【答案】(1)； (2)分布列见解析，. 【分析】（1）利用几何概型的概率公式求相应概率即可； （2）根据题意，利用几何概型的概率公式求出相应概率，写出随机变量的分布列，再利用期望公式计算. 【详解】（1）依题意有． （2）随机变量的可能取值是0，1，2，3， 则． 则的分布列为 0 1 2 3 0.2 0.4 0.2 0.2 故． 【变式2】（24-25高二下·天津·期末）已知甲盒中有2个红球，3个蓝球，乙盒中有4个红球，1个蓝球，这些球除了颜色外完全相同．现从甲、乙两盒中各任取2个球. (1)求取出的4个球颜色相同的概率； (2)求取出的4个球中共有3个红球和1个蓝球的概率； (3)记取出的4个球中红球的个数为X，求X的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析， 【分析】（1）先结合组合数的计算，根据题意得出从甲、乙两盒中各任取2个球及事件A各包含的不同取法；再根据古典概型的概率公式可求解. （2）先根据题意分析所求事件包含的可能情况，并求出其包含的不同取法；再根据古典概型的概率公式可求解. （3）先根据题意得出根据题意可得：X的可能取值及相应的概率，从而可得出X的分布列；再根据数学期望公式即可求解. 【详解】（1）记事件A表示“取出的4个球颜色相同”. 因为从甲、乙两盒中各任取2个球，不同的取法有种， 取出的4个球颜色相同指的是从甲、乙两盒中各任取2个红球，不同的取法有种 则， 所以取出的4个球颜色相同的概率为． （2）记事件B表示“取出的4个球中共有3个红球和1个蓝球”， 则事件B包含两种情况：从甲盒中取出2个红球，从乙盒中取出1个红球和1个蓝球；从甲盒中取出1个红球和1个蓝球，从乙盒中取出2个红球，不同的取法有种， 所以 所以取出的4个球中共有3个红球和1个蓝球的概率为． （3）根据题意可得：X的可能取值为1，2，3，4， ， . 所以X的分布列为： X 1 2 3 4 P ∴ 题型四 离散型随机变量分布列及其性质 解｜题｜技｜巧 分布列满足：① ；② 。利用性质可求未知参数或验证概率。常见题型：已知 ，通过归一化求常数 ；或已知部分概率关系（如 ）列方程求解。 【典例1】（24-25高二下·河北邢台·期末）设随机变量的分布列如下表所示，则（    ） 1 2 A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据分布列概率之和为1即可求解. 【详解】由题意可得解得． 故选：C. 【典例2】（24-25高二下·福建泉州·期末）（多选）已知，均为正数，随机变量的分布列如下表，则下列结论一定成立的是（   ） 0 1 2 A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】AB，根据概率之和为1得到，且，进而判断AB选项，C，根据期望公式计算即可；D选项，利用方差的性质计算得到，故D错误. 【详解】AB选项，由题意，且， 而，大小不确定，故A正确，B错误； C选项，，故C正确； D选项，由， 所以， 与的大小有关，不一定小于1，故D错误； 故选：AC 【变式1】（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）设离散型随机变量的分布列如表，若随机变量，则（    ） X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 【答案】D 【分析】根据分布列的性质，求得，再根据的关系可得，结合分布列即可求得结果. 【详解】由分布列性质可得：，解得； 因为，故. 故选：D. 【变式2】（2025·四川成都·模拟预测）（多选）已知随机变量X的分布列如下表： X 1 2 3 4 5 其中成等比数列，则下列结论正确的是（    ） A．成等差数列 B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据给定数表，利用分布列的性质及等比数列、等差数列意义求解判断ABC；求出期望判断D. 【详解】对于A，由，得，则成等差数列，A正确； 对于B，由成等比数列，得，而，解得，B错误； 对于C，，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：AD 题型五 离散型随机变量均值的应用 解｜题｜技｜巧 均值反映随机变量的平均水平，常用于决策（比较期望收益/损失）、保险定价、产品抽检等。解题时先明确随机变量及其分布，计算期望，再结合实际意义判断（如期望利润最大、期望成本最小）。有时需结合方差衡量风险。 【典例1】（24-25高二下·四川乐山·期末）若随机变量服从二项分布且，则（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】由二项分布的概率公式结合，求得，利用二项分布的期望公式和性质求解. 【详解】由，解得， 又，， 所以. 故选：C. 【典例2】（24-25高二下·山东东营·期末）一个箱子里有10个除颜色外完全相同的小球，其中红色小球4个，黄色小球3个，蓝色小球2个，绿色小球1个，现从中有放回地抽取三次，记取出球的颜色种数为X，则________，数学期望________. 【答案】 / / 【分析】①把四种情况对应概率相加即可 ②（方法一）用表示红色，黄色，蓝色，绿色小球被取到，分别求出各自对应概率及数学期望，最后相加即可 （方法二）分别列出的所有可能取值，分别计算出，，，再计算期望即可. 【详解】①：. ②：（方法一） 设，则服从两点分布，，，, 设，则也从两点分布，，，, 设，则也从两点分布，，， 设，则也从两点分布，，， ， （方法二）， ， ， . 故答案为： ； 【典例3】（24-25高二下·河北保定·期末）某商场设置了两种促销方案：方案一，直接赠送消费金额的代金券（例如：消费200元，则赠送元的代金券）；方案二，消费每满100元可进行一次抽奖（例如：消费370元可进行三次抽奖），每次抽奖抽到10元代金券的概率为，抽到4元代金券的概率为，每次抽奖结果互不影响．每人只能选择一种方案． (1)若甲的消费金额为210元，他选择方案二且抽到14元代金券的概率为，求； (2)若乙消费了一定的金额并选择方案二，设他抽到的代金券总额为元，当最大时，求； (3)若，请你根据顾客消费金额（消费金额大于0）的不同，以代金券的数学期望为决策依据，帮助顾客选择方案． 【答案】(1)或； (2)； (3)答案见解析. 【分析】（1）根据独立性乘法公式得到方程，解出即可； （2）根据二项分布的 均值和期望公式得到，最后根据二次函数性质即可得到答案； （3）对消费金额进行合理分段讨论即可. 【详解】（1）甲的消费金额为210元，选择方案二可进行两次抽奖， 则抽到14元代金券的概率为，解得或. （2）设抽奖次数为，抽到10元代金券的次数为，则， 得． 因为， 所以． . 当时，取得最大值，所以． （3）①当消费金额（单位：元）在内时，不能参与方案二，只能选择方案一． 由（2）可得，当时，． 设消费金额为， 方案一的代金券的数学期望为． ②当消费金额（单位：元）在或或或或内时， ，选择方案二． ③当消费金额（单位：元）为120或240或360或480时，，选择方案一、方案二都可以． ④当消费金额（单位：元）在或或或内时，，选择方案一． 综上，当消费金额（单位：元）在或或或或内时，选择方案一； 当消费金额（单位：元）在或或或或内时，选择方案二； 当消费金额（单位：元）为120或240或360或480时，选择方案一、方案二都可以． 【典例4】（24-25高二下·陕西咸阳·期末）随机选取某市6所小学调研“徒步走”活动的参加情况，统计各校参加学生人数，所得数据如下表所示： 学校 甲 乙 丙 丁 戊 己 参加“徒步走”人数 50 55 45 48 60 56 (1)现从这6所小学中随机选出3所，记其中参加“徒步走”人数不低于55的学校数量为X，求X的分布列和数学期望. (2)在“徒步走”活动的终点设置挑战游戏，每位“徒步走”活动参与者都可参与挑战，每次挑战都需要闯3关，且参与者每次挑战至少通过其中2关，才视为挑战成功，每关是否通过互不影响.已知参与者小明每关通过的概率均为. ①求小明1次挑战成功的概率； ②若小明进行多次挑战，且希望挑战成功总次数的期望大于3，则理论上他至少需挑战多少次？ 【答案】(1)分布列见解析， (2)①；②12次 【分析】（1）写出所有的可能取值，再计算出分布列，最后利用期望公式即可； （2）①利用组合数和独立事件的乘法公式即可； ②利用二项分布的期望公式得到不等式，解出即可. 【详解】（1）参加“徒步走”人数不低于55的学校共3所，则X的所有可能取值为0，1，2，3. ，， ，， 则X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以. （2）①小明1次挑战成功的概率为. ②小明在n轮挑战中挑战成功总次数服从二项分布，即， 由题意可得，因为，所以解得， 所以理论上小明至少需挑战12次. 【变式1】（24-25高二下·山西·期末）已知随机变量，若随机变量，则（   ） A．14.6 B．18.8 C．21.8 D．30.8 【答案】B 【分析】先根据二项分布的公式，求出和，再利用期望和方差的性质，，求出和，即可得解. 【详解】因为随机变量 所以，， 又因为随机变量， 所以，， 所以. 故选：B. 【变式2】（24-25高二下·山东菏泽·期末）离散型随机变量的取值为0，1，2，若，，，，则（   ） A． B．0.6 C．0.8 D．1.6 【答案】D 【分析】 由题意得到，从而得到，计算方差得到，再计算即可. 【详解】由题知： . 所以， 所以. 故选：D 【变式3】（24-25高二下·陕西汉中·期末）为了更好地普及科学知识，某班举行了科技知识竞赛活动，制定了两种竞赛规则方案.①方案一：共设置4道题，参加比赛的同学从第1题开始答题，答对进入下一题，答错则终止答题，第题对应分，答对获得相应的分数，答错得0分.②方案二：共设置4道题，参加比赛的同学从第1题开始答题，无论是否答对都可以回答下一题，直到4道题答完为止，每题2分，答对获得相应的分数，答错得0分.已知小明答对每道题的概率均为，且每次回答正确与否都相互独立. (1)若小明选择方案一，记X为小明的累计得分，求X的分布列； (2)为使累计得分的期望最大，小明应选择哪个方案？说明理由. 【答案】(1)分布列见解析 (2)小明应选择方案二，理由见解析 【分析】（1）由题意可得X的可能取值为0，1，4，9，16，然后分别求得其对应概率，即可得到分布列； （2）根据期望公式分别求出方案一和方案二的期望，进行比较即可. 【详解】（1）X的可能取值为0，1，4，9，16. ， . X 0 1 4 9 16 P （2）由（1）可知若小明选择方案一， 则. 若小明选择方案二，记Y为小明的累计得分，Z为小明答对题目的数量，则， 又，所以， 则. 因为，所以小明应选择方案二. 【变式4】（24-25高二下·天津滨海新区·期末）继2025年4月天津滨海新区中新生态城半程马拉松之后，为推动全民健身活动，组委会随机选取8个马拉松训练营调研“长跑耐力训练”的参与情况，统计各训练营参与学员人数，得到数据如下表： 训练营 A B C D E F G H 参与人数（人） 45 53 23 37 33 18 24 48 (1)若参与人数超过30人的训练营为“特色训练营”，现从这8个训练营中随机选出3个，记选出“特色训练营”的数量为随机变量，求的分布列和均值； (2)在长跑训练中，学员需掌握“匀速跑”“间歇跑”“冲刺跑”三项基础技能．在一轮测试中，这三项至少有两项成绩达到“90分及以上”，该轮测试才被记为“优秀”.已知甲学员每项成绩达到“90分及以上”的概率均为，每项测试及每轮测试相互独立． （i）求甲学员单轮测试“优秀”的概率； （ii）若甲学员进行多轮独立测试，希望“优秀”次数的平均值不低于2次，那么理论上至少要进行多少轮测试？ 【答案】(1)分布列见解析， (2)（i）；（ii）6轮 【分析】（1）由题意得到随机变量的可能取值，利用古典概率和组合数求出相应的概率，列出分布列，由公式可得期望； （2）（i）由二项分布的概率公式可得； （ii）由二项分布的期望公式计算可得. 【详解】（1）由题意得，参与人数超过30人的共有5个，未超过30人的共有3个，则随机变量的可能取值为 ， . 故的分布列如下所示： 0 1 2 3 则随机变量的均值为 （2）（i）设甲学员单轮测试“优秀”的事件为， 则 （ii）设理论上至少需测试轮， 记甲学员在测试中获得“优秀”的次数为，则 则 又因为，所以的最小值是6. 所以理论上至少需要测试6轮. 题型六 离散型随机变量的方差及其性质 解｜题｜技｜巧 方差 ，衡量离散程度。性质：；若 独立，则 。常见分布方差：两点分布 ；二项分布 ；超几何分布 。 【典例1】（24-25高二下·辽宁抚顺·期中）已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则（    ） 2 4 7 A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据随机变量分布列的性质列式求出，计算，再根据期望，方差的性质计算求解. 【详解】由离散型随机变量的性质可得，解得， 则，， 所以，． 故选：A. 【典例2】设，随机变量X的分布列是： X -1 1 2 P 则当最大时的a的值是 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得，，得到，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】根据随机变量的分布列和数学期望与方差的计算公式， 可得， 又由 可得， 因为，所以当最大时的的值为. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的期望与方差的计算及应用，其中解答中熟记离散型随机变量的分布列的期望与方差的计算公式，准确运算是解答的关键，着重考查运算求解能力，属于中档试题. 【变式1】（24-25高二下·山西·期末）已知随机变量的分布列如下表，则“”是“”的（   ） 0 1 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据期望和方差的计算公式即可结合充分必要条件的定义求解. 【详解】由分布列可得，， 若，则，此时，故充分性成立， 若，则，解得或，故必要性不成立， 因此“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 【变式2】（24-25高二下·江苏南通·期末）随机变量．若，则____________；若，则p的最大值为____________． 【答案】 4 /0.75 【分析】根据给定条件，利用方差的性质求出，再利用二项分布的期望、方差公式求解. 【详解】由，得，，又， 因此； 又，，则， 解得，而，所以当时，. 故答案为：4； 【变式3】）已知随机变量的分布列如下，则下列说法中正确的是（    ）． x y P y x A．存在x， B．对任意x， C．对任意x， D．存在x， 【答案】C 【分析】表示出期望与方差，利用基本不等式判断不等关系即可． 【详解】由题意得， 则． 因为所以，即，故A，B错误． 因为，所以，即， 因为， 所以，即，故C正确． 因为，故D错误． 故选：C． 题型七 求离散型随机变量的方差 解｜题｜技｜巧 方法一：先求分布列和 ，再计算 ，最后用 。方法二：若随机变量可分解为独立同分布变量之和（如二项分布），则方差直接相加。注意计算时避免粗心，尤其是 的求解。 【典例1】为激发学习数学的兴趣，高二年级举行数学知识竞赛，赛制规定：共进行5轮比赛，每轮比赛每个班可以从、两个题库中任选1题作答，在前两轮比赛中每个班的题目必须来自同一题库，后三轮比赛中每个班的题目必须来自同一题库，题库每题20分，题库每题30分，一班能正确回答、题库每题的概率分别为、，且每轮答题结果互不影响. (1)若一班前两轮选题库，后三轮选题库，求其总分不少于100分的概率； (2)若一班在前两轮比赛中选了题库，而且两轮得分60分，后三轮换成题库，设一班最后的总分为，求的分布､期望及方差. 【答案】(1) (2)分布列见解析，， 【分析】（1）由概率的乘法公式与加法公式求解； （2）随机变量的可能取值为，，，，求出相应的概率，即可求出分布列、期望与方差. 【详解】（1）由条件知，若一班在前两轮得分，后三轮得分，总分为分， 其概率为， 若一班在前两轮得分，后三轮得分或分，总分为或分， 其概率为， 于是一班总分不少于分的概率为 . （2）依题意随机变量的可能取值为，，，， 所以，， ，． 所以的分布列为： 60 80 100 120 所以， . 【典例2】（25-26高二下·河北承德·阶段检测）数学试卷中的多项选择题是考查考生数学素养的一个重要载体，每道多项选择题设有A，B，C，D四个选项，正确答案只能是2个选项或3个选项，题目要求：“在每道多项选择题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．” 其中“部分选对的得部分分”的规则为：若正确答案有2个选项，则只选1个选项且正确得3分； 若正确答案有3个选项，则只选1个选项且正确得2分，只选2个选项且正确得4分．现作以下规定：多项选择题的正确答案选项个数是2个还是3个出现的概率均为；若考生随机选择（盲选），则每个选项被选中的可能性相同． 现有一道难度极大的多项选择题，某考生完全没有思路，其采用盲选方式作答． (1)求该考生得6分的概率； (2)假设该考生可选择“盲选1个选项”或“盲选2个选项”，若想得分最大化，应如何选择最优答题方式？并说明理由． 【答案】(1)； (2)应选择“盲选1个选项”作为最优答题方式，理由见解析. 【分析】（1）由全概率公式求出考生盲选得6分的概率； （2）分别求出“盲选1个选项”和“盲选2个选项”的期望，比较大小，若期望一样大，再求方差，比较大小. 【详解】（1）该考生得6分的概率； （2）设该考生“盲选1个选项”得分为，可取0，2，3， ； ； ． 所以的期望； 的方差 设该考生“盲选2个选项”得分为，则可取0，4，6， ； ； . 所以的期望； 的方差 所以“盲选1个选项”和“盲选2个选项”虽然得分期望值相同，但是， 所以应选择“盲选1个选项”作为最优答题方式． 【变式1】甲、乙两个班级的同学进行目测数学教科书长度的游戏，令甲班同学目测的误差为（单位：），乙班同学目测的误差为（单位：）．根据游戏记录，统计结果为，，，，；，，，， (1)分别列出随机变量、的分布列； (2)哪个班目测的数据更接近教科书的真实长度？解释你的理由（可以通过观察给出答案，但必需包含必要的计算过程）． 【答案】(1)分布列见解析 (2)乙班目测的数据更接近教科书的真实长度，理由见解析 【分析】（1）通过题干已知概率即可列出随机变量、的分布列； （2）先计算两个班的期望，可反应平均误差，如果期望一样，再计算方差比较大小即可. 【详解】（1）根据已知条件，的分布列是： 0 1 2 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 的分布列是： 0 1 2 0.05 0.15 0.6 0.15 0.05 （2）直观观察的分布离散程度较大，所以乙班目测的数据更接近教科书的真实长度． 由（1）知，，， ，， 即要通过两个班数据的方差比较，说明哪个班更接近教科书的真实长度． 所以，， ， 则，故乙班的情况波动情况小， 所以，乙班目测的数据更接近教科书的真实长度． 【变式2】（25-26高二下·辽宁沈阳·开学考试）DeepSeek是我国自主研发的人工智能模型．某公司为提升其应用能力，组织两个部门全体员工共60人参加培训． (1)此次培训的员工中有5名部门领导，其中有3人来自A部门．从这5名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自部门的人数，求随机变量的分布列和数学期望； (2)若每位员工是否合格相互独立，且经过培训后合格的概率均为，经预测，培训合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，培训未合格的员工每人每年平均为公司创造利润10万元，若该公司A，B两部门经培训后创造的年利润为万元，且，求． 【答案】(1)分布列见解析，期望为. (2) 【分析】（1）首先确定，根据超几何分布求概率，写出分布列和数学期望； （2）每位职工培训合格与否相互独立，计算一位职工的期望与方差，可得总的期望与方差，利用方差公式求解. 【详解】（1）由题意可知，， ，，， 所以随机变量的分布列如下， 0 1 2 ； （2）由题意一个职工培训合格的概率为，不合格的概率为， 设为第个职工创造的年利润， 则， 所以， 解得， 所以，， 所以， 所以. 题型八 两点分布与二项分布 解｜题｜技｜巧 两点分布：，取值0或1，，，。二项分布：，表示 次独立重复试验成功次数，，，。判断标准：试验独立、结果两种、概率恒定。 【典例1】（24-25高二下·福建宁德·期末）随机变量服从两点分布，其分布列如下表所示： 0 1 则（   ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】由概率之和为1即可列方程求解. 【详解】由题意，解得或（舍去）. 故选：B. 【典例2】（25-26高三上·云南·期中）有一个翻牌游戏，规则如下：每一轮翻牌两次，每次翻出花色牌的概率为，且每次翻牌相互独立.若参与者在一轮翻牌游戏中，翻出的花色牌数不少于1，则获得一份精美礼品（多次参与可获得多份精美礼品）. (1)若甲参与一轮翻牌游戏，求甲获得一份精美礼品的概率； (2)若乙参与三轮翻牌游戏，设乙获得的精美礼品数量为，求的分布列与期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）应用独立事件概率乘积公式及对立事件概率公式计算求解； （2）应用二项分布写出概率，再写出分布列，最后应用公式计算数学期望即可. 【详解】（1）甲获得一份精美礼品的概率为. （2）由题意得， 则， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 . 【变式1】（24-25高二下·广东揭阳·阶段检测）已知随机变量服从两点分布，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由与是对立事件可列方程求出、，再根据离散型随机变量的均值公式求出，最后利用公式进行求解. 【详解】因为，所以， 所以， 因为， 所以. 故选：B 【变式2】（24-25高二下·福建泉州·期末）一批产品的一等品率为，从这批产品中每次抽取一件，有放回地抽取次，用表示抽到的一等品的件数，若，，则满足条件的的最小值为_____. 【答案】9 【分析】题给条件符合n次独立重复试验的条件，即服从参数为n和的二项分布，根据二项分布公式计算即可. 【详解】已知，则 ，， 又，， 所以是9的倍数，的最小值为9. 故答案为：9. 【变式3】（24-25高二下·重庆·期末）某影城举办周年庆典抽奖活动，具体规则如下：在一个不透明的容器内，共有8个颜色大小相同的小球，每个小球上都标有一个字，其中标有“悟”“空”字样的小球共3个，标有“哪”“吒”字样的小球共5个．每位观众将从容器中一次性抽取2个小球，若所抽小球上的文字组合为“悟空”则获一等奖，若组合为“哪吒”则获二等奖．已知每位观众获二等奖的概率是其获一等奖概率的两倍． (1)其中标有“哪”字样的小球可能有多少个？ (2)若有三位观众参加抽奖活动，求中二等奖人数的分布列和数学期望； (3)为提高观众的参与度，影城允许观众一次性抽3个小球，获奖规则不变．若已知某位观众抽到了一个“哪”，求他获奖的概率． 【答案】(1)1个或4个 (2)分布列见解析，数学期望为 (3)答案见解析 【分析】（1）设标有“悟”字样的小球有个，标有“哪”字样的小球有个，由古典概率概率计算公式构造等式求解即可； （2）设三位观众中二等奖的人数为X，由题意确定，即可求解； （3）分有1个“哪”和4个“吒”，或有4个“哪”和1个“吒”，两类情况讨论求解. 【详解】（1）设标有“悟”字样的小球有个，标有“哪”字样的小球有个， 一位观众获一等奖为事件A，获二等奖为事件B， 则由题意得，， 所以， 因为或2；解得或4．所以标有“哪”字样的小球可能有1个或4个． （2）由（1）知，某一位观众中二等奖的概率为，设三位观众中二等奖的人数为， 则，， ， ， ， 则X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以． （3）①若有1个“哪”和4个“吒”，在已经抽到了一个“哪”的条件下，仍能获奖，那么另外抽到的2个小球，要么是组成“悟空”，或者是至少1个“吒”， 此时获奖的概率为． ②若有4个“哪”和1个“吒”，在已经抽到了一个“哪”的条件下，仍能获奖，那么另外抽到的2个小球，要么是组成“悟空”，或者是有1个“吒”， 此时获奖的概率为． 题型九 超几何分布 解｜题｜技｜巧 描述不放回抽样中成功次数。总体 件，其中 件成功，抽取 件，则成功数 服从超几何分布：，，。当 很大时，可近似为二项分布。 【典例1】（24-25高二下·河南郑州·期末）一个袋子中装有5个白球，3个黑球，从中任选4个球，取到一个白球得1分，取到一个黑球得3分，设得分为随机变量，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合组合、古典概型的概率公式，超几何分布，由进行求解即可. 【详解】由题意，从中任选4个球，除取到4个白球得4分外，其他取法的得分都不小于6， 故. 故选：C. 【典例2】（24-25高二下·安徽合肥·期末）3月14日某中学进行了以“数学对”为主题的知识竞赛，分初赛和决赛两个环节进行.初赛环节规则如下：每位选手从10道题中随机抽取3道题作答，3道题全部答对的选手晋级决赛.决赛环节进行三轮抢答，规则如下：每位选手每轮抢到题目且回答正确得10分，抢到题目但回答错误扣5分，该轮未参与抢答或未抢到题目不得分，每轮抢答情况相互独立，最终按照决赛中三轮抢答的总得分进行排名并表彰． (1)若某选手对于初赛环节中的10道题目，只有4道能回答正确，求他在初赛环节中答对题目数量的分布列和期望； (2)已知甲晋级决赛，甲在决赛中每轮抢到题目的概率为，能回答正确的概率为，求甲在决赛中总得分大于10分的概率． 【答案】(1)分布列见解析； (2) 【分析】（1）由条件确定随机变量的可能取值，再求取各值的概率，由此可得其分布列； （2）所求事件可表示为事件得15分，得20分，得30分的和，再求每轮比赛抢到题目答对，抢到题目答错，没抢到题目的概率，结合概率乘法公式概率加法公式求结论. 【详解】（1）设该选手初赛中答对题目数量为，的所有可能取值为， 所以，， 所以的分布列为 0 1 2 3 所以； （2）甲在决赛中总得分大于10分的情况有以下三种情况： 得15分（抢到3次且答对2次，答错1次），得20分（抢到2次且答对2次，1次没抢到），得30分（抢到3次且答对3次）， 令甲每轮抢到题目且答对为事件，则， 令抢到题目且答错的概率为事件，则， 令没抢到题目为事件，则， 得15分的概率，得20分的概率， 得30分的概率， 所以甲在决赛中总得分大于10分的概率. 【变式1】（24-25高二下·广东潮州·期末）某不透明纸箱中共有6个小球，其中2个白球，4个红球，它们除颜色外均相同.一次性从纸箱中摸出3个小球，记摸出红球个数为，则_______. 【答案】/0.6 【分析】根据给定条件，可得服从超几何分布，再利用超几何分布的概率公式即可求解. 【详解】依题意得，摸出红球个数服从超几何分布，所以. 故答案为：. 【变式2】（24-25高二下·福建福州·期末）“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学和物理学科夏令营活动． (1)若参加数学学科夏令营的7名中学生中恰有3人来自中学，从这7名中学生中选取3名中学生，求选取的中学生中来自中学的人数的分布列和数学期望； (2)在夏令营活动中，物理学科举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利．已知甲乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，．假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响． （i）求甲、乙两位同学所在组每轮答题中取胜的概率； （ii）当时，求的最大值． 【答案】(1)分布列见解析， (2)（i）；（ii） 【分析】（1）由题意知，的可能取值有，，，，根据超几何分布列列出分布列计算期望即可； （2）（i）由题知甲、乙两人每次答题相互独立，设甲答对题数为，则，设乙答对题数为，则，然后计算取胜的概率； （ii）由，令，，然后求最值即可. 【详解】（1）由题意知，的可能取值有，，，， ，， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 （2）（i）因为甲、乙两人每次答题相互独立，设甲答对题数为，则， 设乙答对题数为，则， 设“甲、乙两位同学在每轮答题中取胜”， 则 （ii）因为，所以 由，又，所以， 则，又，所以， 设，所以，因， 由二次函数的性质可知，当时取最大值， 故甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值为． 题型十 正态分布及其性质与实际应用 解｜题｜技｜巧 正态分布 ，密度曲线关于 对称，在 处取最大值。标准正态分布 ，其中 。性质：，，（3 原则）。 应用场景：产品质量、考试成绩、测量误差等。解题步骤：① 将实际问题转化为正态分布概率问题，确定 和 ；② 标准化为 ；③ 利用标准正态分布表或 原则求概率；④ 反向问题（已知概率求临界值）则通过分位数求解。注意单位统一及近似处理。 【典例1】（24-25高二下·河南商丘·期末）某初级中学对本校八年级的500名男生进行1000米跑步体能测试，据统计，500名男生跑完1000米所用的时间（分钟）服从正态分布，若，则这500名男生跑完1000米所用的时间不少于6分钟的人数大约为（   ） A．1 B．5 C．9 D．50 【答案】B 【分析】由正态分布的性质求出的概率，即可得答案. 【详解】解：因为， 所以， 故500名学生跑完1000米所用的时间不少于6分钟的人数大约为. 故选：B. 【典例2】（24-25高二下·河南·阶段检测）在一条生产铜棒的生产线上，生产的成品铜棒的直径为（单位：，以下同），且. (1)分别写出，的值； (2)若生产这样的成品铜棒10000根，试估计直径在内的铜棒根数； (3)若质检员从这些铜棒中随机抽取1根铜棒，求这根铜棒的直径在内的概率. 参考数据：若，则，，. 【答案】(1)，； (2)； (3). 【分析】（1）由正态分布概念可确定，； （2）注意到，由题利用可得答案； （3）由，结合题意可得答案. 【详解】（1）, 则，； （2）， 因，则直径在内概率约为， 则直径在内的铜棒根数估计为； （3）， 因，， 则， ， 则. 【变式1】（24-25高二下·甘肃临夏·期末）（多选）已知随机变量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由正态分布定义和对称性质即可求解判断. 【详解】因为随机变量，， 所以，故A错误，BC正确； 因为，所以，故D错误. 故选：BC 【变式2】（24-25高二下·云南昆明·期中）某商场在五一假期间开展了一项有奖闯关活动，并对每一关根据难度进行赋分，已知甲、乙、丙三人都参加了该项闯关活动.每个人闯关活动累计得分服从正态分布，且满分为450分，现要根据得分给共2500名参加者中得分前400名发放奖励. (1)假设该闯关活动平均分数为171分，351分以上共有57人，已知甲的得分为270分，问甲能否获得奖励，请说明理由； (2)丙得知他的分数为430分，而乙告诉丙：“这次闯关活动平均分数为201分，351分以上共有57人”，请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪. 附：若随机变量，则；；. 【答案】(1)甲能够获得奖励，理由见详解 (2)乙所说为假 【分析】（1）由，且，计算，求出前400名参赛者的最低得分，与甲的得分比较即可； （2）假设乙所说为真，由计算，求出，利用小概率事件即可得出结论． 【详解】（1）甲能够获得奖励，理由如下： 设此次闯关活动的分数记为. 由题意可知，因为， 且， 所以，则；而， 且， 可知前400名参赛者的最低得分高于，而甲的得分为270分， 所以甲能够获得奖励. （2）假设乙所说为真，则， ， 而，所以，从而， 而， 所以为小概率事件，即丙的分数为430分是小概率事件，可认为其一般不可能发生，但却又发生了，所以可认为乙所说为假. 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高二下·安徽·期末）已知随机变量X服从正态分布，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，，对比选项可知，只有D正确. 2．（2026·湖北随州·模拟预测）已知随机事件A，B，，，，则＝（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件概率公式计算判断各个选项. 【详解】因为，，， 所以，则， 所以. 3．（25-26高二下·河北衡水·期中）已知随机变量的分布列如下： 1 2 3 4 则常数（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】随机变量的所有取值的概率之和等于1，即，解得. 4．（2026·浙江·三模）若随机变量，随机变量且，则（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【详解】由题意得，， 因为，所以，则，则 5．（25-26高二下·北京·期中）设是两个随机事件，且，如果，那么事件与是（    ） A．互斥事件 B．对立事件 C．独立事件 D．包含事件 【答案】C 【详解】若，则，即， 则事件与是独立事件. 期末重难突破练（测试时间：30分钟） 6．（2026·山东菏泽·二模）已知甲袋中有3个红球和2个白球，乙袋中有2个红球和3个白球.从甲袋中随机摸出一个球放入乙袋，再从乙袋中摸出一个球，则从乙袋中摸到红球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考虑从甲袋中取出的球是白球还是红球，根据全概率公式，即可求得答案. 【详解】设事件表示“从甲袋取出又放入乙袋中的球是红球”，则事件表示“从甲袋中取出又放入乙袋中的球是白球”， 事件表示“最后从乙袋中取出的球是红球”， 所以，故，， 故，故A正确. 7．（25-26高二下·山东潍坊·期中）已知 ，，且和的分布密度曲线如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由密度曲线结合正态分布性质求解即可. 【详解】由题图可知，，则，即，所以A错误； 根据正态曲线的性质，越大图象越矮胖，则，即，所以B错误； 由图可知，，所以C正确； 由图可知，，所以D错误． 8．（25-26高二下·浙江·阶段检测）（多选）小明的书包里有语文书、数学书、英语书各一本，现从中依次无放回地取出2本，记“第一次取到语文书”为事件E，“第二次取到数学书”为事件F，“取到语文书”为事件G，则（   ） A． B． C． D．与G相互独立 【答案】ACD 【分析】列举法写出样本空间.利用古典概型公式可判断A、B；根据条件概率公式计算，可判断C；验证是否成立，可判断D. 【详解】样本空间{（语文，数学），（语文，英语），（数学，语文），（数学，英语），（英语，语文），（英语，数学）}． 对于A，，A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，，， 故，所以D正确． 9．（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）（多选）西汉刘向编著的《战国策》中记录了一个“三人成虎”的故事：庞葱与太子质于邯郸，谓魏王曰：“今一人言市有虎，王信之乎？”王曰：“否．”“二人言市有虎，王信之乎？”王曰：“寡人疑之矣．”“三人言市有虎，王信之乎？”王曰：“寡人信之矣．”在没有实际调研的情况下，为什么魏王会相信集市上有老虎呢？假设集市上真有老虎的概率为0.05，每个人选择说出实情的概率为0.9，选择说谎的概率为0.1，每个人是否选择说出实情相互独立．用表示事件“第i人说看见一只老虎在集市上”，，2，3，用B表示事件“真有老虎在集市上”．则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】先设事件表示“真有老虎在集市上”， 设表示事件“第i人说看见一只老虎在集市上”，，2，3，再根据条件概率和全概率公式对选项进行分析即可. 【详解】设事件表示“真有老虎在集市上”，则 ， 设表示事件“第i人说看见一只老虎在集市上”，，2，3， ， 选项A：，A正确； 选项B：由全概率公式：，B错误； 选项C：，C正确； 选项D： ， ， ，D正确． 10．（25-26高二下·河北沧州·期中）某医院一科室共有包括甲、乙、丙在内的7名医生，其中男医生4人，女医生3人，现从中任选3名医生参加义诊． (1)求医生甲、乙、丙3人中至少有1人被选中的概率； (2)设选中的女医生人数为X，求X的分布列和数学期望； (3)已知甲为男医生，设“男医生甲被选中”为事件A，“至多有m名女医生被选中”（）为事件B（当时，事件B即为“没有女医生被选中”），若，求的最小值． 【答案】(1) (2)分布列见解析，数学期望为 (3)2 【分析】（1）利用对立事件概率计算公式求得正确答案. （2）利用超几何分布的分布列求法求得分布列并计算出数学期望. （3）对进行分类讨论，结合条件概率计算公式求得正确答案. 【详解】（1）医生甲、乙、丙3人均未被选中的概率为， 所以医生甲、乙、丙3人至少有1人被选中的概率为； （2）X的可能取值为0，1，2，3，从7人中任选3人，共有＝35种选法， ，， ，， 则X的分布列为： X 0 1 2 3 P 所以； （3）当时，，， ； 当时，，， ； 当时，，， ， 当时，，， ，故m的最小值为2． 期末综合拓展练（测试时间：30分钟） 11．（2026·河南安阳·模拟预测）（多选）投掷一枚正方体骰子3次，所得点数依次为.设事件“”，事件“”，事件“”，则（    ） A． B． C．事件和相互独立 D． 【答案】AD 【分析】由古典概率及条件概率的知识进行判断． 【详解】投掷一枚正方体骰子3次，所得点数依次为的基本事件的总数有种， 对于选项A，事件“”包含： 当时，有6种， 当时，有种， 共有种， 则，故A项正确； 对于B项，事件“”包含： 当时，有6种， 当时，有种， 当时，有种， 当时，有种， 共有种，所以，故B项错误； 对于C项，因为，， 则，故事件和不相互独立，故C项错误； 对于D项，， 事件“且”包含：对每个，有都，有种， 求和：种， 所以， 事件“且”包含：对每个，有都，有种， 求和：种， 所以， 因此且相同，故，故D项正确． 12．（25-26高二下·贵州黔南·阶段检测）（多选）事件A，B是样本空间的子集，若，则下列结论正确的是（   ） A．事件A，B相互独立 B．若，则恒成立 C．若，则 D． 【答案】BCD 【分析】设事件的概率分别为a，b，c，d，得到，且，由，得，再由得，进而，．对于A，由事件A，B相互独立，与d是可变数不符；对于B，即可判断；对于C，由求得，进而求解即可判断；对于D，，由利用基本不等式求得，进而得即可判断. 【详解】样本空间，并且两两互斥， 设事件的概率分别为a，b，c，d，则，且， 用表格表示如下： B 合计 A a b c d 合计 由，得，化简得． 由，得，所以，． 对于A，由，即 ，化简得，从而， 而事实上d只要满足，即可，即d是可以变化的数，故A错误． 对于B，若，则， 所以，则，故B正确． 对于C，若，即，则， 而 ，故C正确． 对于D，因为，所以， 所以，故D正确． 13．（25-26高二下·山东烟台·期中）已知甲盒中有2个白球和3个黑球；乙盒中有2个白球和2个黑球，所有小球除颜色外完全相同.定义一次“双向置换”操作：先从甲盒中随机取出1个球放入乙盒，搅拌均匀后，再从乙盒中随机取出1个球放入甲盒. (1)完成1次“双向置换”后，求甲盒中恰有2个白球的概率； (2)若已连续完成2次“双向置换”. （ⅰ）求此时乙盒中白球个数的分布列和数学期望； （ⅱ）已知此时乙盒中有白球，求乙盒中恰有2个白球的概率. 【答案】(1) (2) （i）分布列见解析，；（ii） 【分析】（1）根据甲盒中白球不变，分析出从甲拿出白（黑）球，再从乙拿回白（黑）球，进而求出概率. （2）（i）分析2次“双向置换”之后乙盒的白球个数，再求出相应的概率得到分布列，再求出数学期望. （ii）根据条件概率求解即可. 【详解】（1）甲盒白球数不变，分两种情况： ①从甲拿出白球，再从乙拿回白球：概率. ②从甲拿出黑球，再从乙拿回黑球：概率. 故所求概率. （2）（i）总白球数为，次操作后乙盒白球数的可能取值为， 其概率为，，. 设两次操作后乙盒中白球个数为，的可能取值为. ，， ，， . 分布列如下： 0 1 2 3 4 数学期望：. （ii）由条件概率公式. 14．（25-26高二下·江苏南京·期中）已知甲、乙两个乒乓球队之间组织友谊赛，比赛规则如下：①每个队各组织五名队员进行五场单打比赛，每场单打比赛获胜的一方得1分，失败的一方不得分；②若其中一队的累计得分先达到5分及以上，则赢得比赛的最终胜利，比赛结束；③若单打比赛结束后还未决出最终的胜负，则进行双打比赛，每场双打比赛获胜的一方得2分，失败的一方不得分．已知每场单打比赛中，甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为；每场双打比赛中，甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为． (1)设5场单打比赛后，甲队的累计得分为随机变量，求的概率分布列和数学期望； (2)求决出最终胜负时，共进行了6场比赛的概率． (3)求甲队赢得最终胜利的概率． 【答案】(1)的分布列为： 0 1 2 3 4 5 (2) (3) 【分析】（1）先确定甲队得分服从二项分布，再应用二项分布的概率公式求解每个概率值，最后计算期望即可； （2）分情况讨论5场单打后的比分，计算每种情况的概率，再求和即可； （3）甲队获胜分三类：单打获胜、单打未获胜后又赢一场双打或第一场双打未赢第二场双打赢或两场双打赢，将三种情况概率相加即可. 【详解】（1）由已知可得，则的可能取值为0，1，2，3，，4，5，对应的概率为： ，， ，， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 5 数学期望. （2）决出最终胜负时，共进行了6场比赛，则进行5场比赛后，可能的比分为， 最后一场的获胜者一定是原来的领先方，可分为以下两种： ①前5场比赛中，乙队:甲队是或，第六场乙获胜，结束比赛， 则； ②前5场比赛中，甲队:乙队是或，第六场甲获胜，结束比赛， 则； 则决出最终胜负时，共进行了6场比赛的概率为. （3）甲队赢得最终胜利分为以下几种： ①甲前5场直接获胜，则； ②甲在前5场未决出胜负，进行一场双打即可获胜， 则； ③甲在前5场未决出胜负，进行两场双打中需连续打赢两场或第一场未赢第二场赢即可获胜， 则 ， 依题意可知，最多进行两场双打即可分出胜负， 则甲队赢得最终胜利的概率为. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 随机变量及其分布全章10大题型 （期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 条件概率 题型02 全概率公式 题型03 离散型随机变量分布列及数学期望 题型04 离散型随机变量分布列及其性质 题型05 离散型随机变量均值的应用 题型06 离散型随机变量的方差及其性质 题型07 求离散型随机变量的方差 题型08 两点分布与二项分布 题型09 超几何分布 题型10 正态分布及其性质与实际应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 题型01：条件概率 能利用条件概率公式 求解事件在给定条件下的概率，掌握缩小样本空间的方法 基础考点，常以小题或解答题第一问出现，易错点在于混淆 与 （事件独立时才相等） 题型02：全概率公式 能识别完备事件组，运用全概率公式 求解复杂事件的概率 中档考点，常与贝叶斯公式结合，易错点在于划分事件组不重不漏或条件概率计算错误 题型03：离散型随机变量分布列及数学期望 能正确列出离散型随机变量的所有可能取值及对应概率，形成分布列，并利用期望公式 计算期望 基础核心考点，常以解答题第1问出现，易错点在于概率之和不为1或取值对应错误 题型04：离散型随机变量分布列及其性质 能掌握分布列的两条基本性质： 且 ，并能利用性质求参数或判断分布列是否正确 基础必考点，常与期望方差结合，易错点在于忽略概率非负及和为一的检验 题型05：离散型随机变量均值的应用 能运用期望解决实际决策问题（如期望收益、成本最小化、比赛胜负等），理解期望的线性性质： 中档应用考点，常以实际问题背景出现，易错点在于实际意义理解偏差或线性性质误用 题型06：离散型随机变量的方差及其性质 能掌握方差定义 及性质 ，理解方差刻画随机变量的波动程度 基础理解考点，常与期望对比考查，易错点在于方差性质中系数平方易漏 题型07：求离散型随机变量的方差 能根据分布列或常见分布公式（如二项分布 ，超几何分布等）准确计算方差 高频计算考点，常出现在解答题第2问，易错点在于公式记忆混淆或计算失误 题型08：两点分布与二项分布 能区分两点分布与二项分布（独立重复试验），掌握二项分布的概率公式 及期望 、方差 高频核心考点，常以实际背景（如投篮、抽检）出现，易错点在于未判断是否为独立重复试验 题型09：超几何分布 能识别超几何分布模型（不放回抽取），掌握其概率公式及期望 ，理解与二项分布的区别 中档考点，常与二项分布对比考查，易错点在于放回与不放回混淆导致分布选错 题型10：正态分布及其性质与实际应用 能认识正态分布密度曲线，掌握 中 和 的意义，会利用 原则求概率。能运用正态分布解决实际生产、测量中的概率估算问题（如产品质量、考试成绩），会查表或利用标准正态分布转化 小题高频考点，常以选择题形式考查，易错点在于对称性应用及区间概率计算。应用考点，常与统计结合，易错点在于非标准正态的标准化处理 知识点01 条件概率、全概率公式、贝叶斯公式 （1）条件概率 ①定义：一般地，设A，B为两个随机事件，且P（A）>0，我们称P（B|A）＝________为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称________. ②概率的乘法公式：由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P（A）>0，则________. （2）条件概率的性质：设P（A）>0，则 ①P（Ω|A）＝1； ②如果B和C是两个互斥事件，则P（（B∪C）|A）＝________； ③设和B互为对立事件，则P（|A）＝________. （3）全概率公式：一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P（Ai）>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P（B）＝________，我们称这个公式为全概率公式. （4）贝叶斯公式 设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意事件， ，有_________＝_________，． 知识点02 二项分布 （1）伯努利试验：我们把只包含_________可能结果的试验叫做伯努利试验. 我们将一个伯努利试验重复进行n次所组成的随机试验称为_________. 显然， n重伯努利试验具有共同特征：同一个伯努利试验重复做n次，且各次试验的结果_________. （2）二项分布：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为__________，.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～_______，且有_______，_________. 注：①n次独立重复试验中恰好发生k次的概率与第k次才发生的概率计算公式分别是 与. （3）二项分布的增减性与最大值 记，则当时，，pk递增；当时，，递减. 故最大值在时取得（此时，两项均为最大值；若 非整数，则k取的整数部分时，最大且唯一）. 知识点03 超几何分布 分布列：如果且，则的分布列如下表所示，其中为的最大取值． 0 1 … … … ________ … ________ 知识点04 离散型随机变量的数字特征 （1）离散型随机变量的均值 ①定义：一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称E（X）＝_________________为随机变量X的均值或________，数学期望简称______. ②意义：均值是随机变量可能取值关于取值概率的________，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的________. ③性质：若X为离散型随机变量，则Y＝aX＋b（其中a，b为常数）也是随机变量，且E（Y）＝E（aX＋b）＝________. （2）离散型随机变量的方差 ①定义：设离散型随机变量X的分布列为， X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 我们称D（X）＝____________＝为随机变量X的方差，有时也记为Var（X），并称为随机变量X的______，记为σ（X）. ②意义：随机变量的方差，即是用偏差的平方（xi－E（X））2关于取值概率的加权平均. 随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的__________. 方差或标准差越小，随机变量的取值越_______；方差或标准差越大，随机变量的取值越_______. ③性质：D（X）＝＝－（E（X））2＝E（X2）－（E（X））2；D（aX＋b）＝a2D（X）. （3）关于均值、方差的几个结论 ①E（k）＝k，D（k）＝0，其中k为常数； ②E（X1＋X2）＝E（X1）＋E（X2）； ③若X1，X2相互独立，则E（X1X2）＝E（X1）·E（X2）. 知识点05 正态分布曲线及其性质 （1）正态曲线：我们称，，其中，时为参数，为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线． （2）正态分布：若随机变量X的概率分布密度函数为，则称随机变量X服从正态分布，记为_________．特别地，当，时，称随机变量X服从________正态分布． （3）正态分布的期望与方差：若，则______， _______. （4）正态曲线的特点： ①非负性：对，，它的图象在x轴的上方． ②定值性：曲线与x轴之间的面积为1. ③对称性：曲线是单峰的，它关于直线________对称． ④最大值：曲线在处达到峰值. ⑤当无限增大时，曲线无限接近x轴． ⑥当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移，如图①. ⑦当一定时，曲线的形状由确定，较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②. （5）正态分布的几何意义：若，如图所示，X取值不超过的概率为图中区域A的面积，而为区域B的面积．    （6）正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 . 题型一 条件概率 解｜题｜技｜巧 条件概率 （）。计算方法：① 直接代入公式，先求 和 ；② 缩减样本空间法：已知 发生后，新的样本空间为 ，计算 在 中占的比例。注意区分 与 ，切勿混淆。 【典例1】（24-25高二下·广东东莞·期末）记试验的样本空间，事件，，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高二下·广东深圳·期末）学校开展数学学科周活动，从高二（1）、（2）、（3）、（4）班各选两名同学组成一个名同学的志愿者小队，老师从中随机选择四名同学协助工作，已知有两名同学来自同一个班级，则另外两名同学不是来自同一个班级的概率为（    ） A． B． C． D． 【典例3】（24-25高二下·福建福州·期末）若，则在“函数的定义域为R”的条件下，“函数为奇函数”的概率为______. 【典例4】（24-25高二下·安徽合肥·期末）（多选）若A，B是一次随机试验中的两个事件，，，，则下列结论正确的有（   ） A．A与B相互独立 B． C． D． 【变式1】（24-25高二下·四川广元·期末）已知事件和满足，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二下·福建莆田·期末）已知随机事件与相互独立，且，，则下列错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高二下·江苏·期末）（多选）设事件，满足，则（    ） A．与可能独立 B．与可能互斥 C． D． 【变式4】（24-25高二下·河北石家庄·期末）在学校趣味运动会上，有一个限时通过障碍的项目，闯关者在规定的时间内到达终点视为闯关成功，否则视为闯关失败.甲、乙两班各有3人参加此项目，已知甲班3名队员闯关成功的概率分别为，，，乙班每名队员闯关成功的概率均为，且各个队员闯关是否成功互不影响. (1)若，求在甲、乙两班共有4人闯关成功的条件下，甲、乙两班闯关成功的人数相同的概率； (2)记甲、乙两班闯关成功的人数分别是，，若，求的取值范围. 题型二 全概率公式 解｜题｜技｜巧 若 为完备事件组（互斥且并集为 ），则 。解题步骤：① 找出所有导致 发生的互斥“原因” ；② 求每个原因的概率 及该原因下 发生的概率 ；③ 求和。常用于分阶段试验或由因求果问题。 【典例1】（24-25高二下·四川达州·期末）已知甲组有3名男生2名女生，乙组有2名男生4名女生，如果随机选1个组，再从该组中随机选1名学生，则该学生是男生的概率为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高二下·上海浦东新·期末）某校桥牌社每个月要和兄弟学校的桥牌社进行一次友谊赛，为此要从5名社员中随机选择3名参加友谊赛．新学年友谊赛从10月份开始，此时5名社员中有2名新社员没有参加过此前的友谊赛． (1)设10月份参加比赛的新社员的人数为，求的分布与期望； (2)求11月份参加比赛的社员中，恰有1个没有友谊赛经验的概率． 【变式1】（24-25高二下·陕西西安·期末）现有8道四选一的单选题，甲对其中6道题有思路，2道题完全没有思路．有思路的题做对的概率为，没有思路的题只能任意猜一个答案，猜对答案的概率为．甲从这8道题中随机选择1道题，则甲做对这道题的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二下·江苏苏州·期末）在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．由于随机因素的干扰，发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为．假设发送信号0和1是等可能的，则接收到0的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·吉林·模拟预测）某游戏有三个骰子，其面数如下：骰子：四个面，分别标有数字1，1，3，4；骰子：四个面，分别标有数字2，4，5，6；骰子：六个面，分别标有数字1，3，5，7，9，11；玩家按骰子面数比例随机选择一个骰子（即选择概率等于其面数占总面数的比例），然后掷该骰子两次，记录两次结果的最大值．请解答以下问题： (1)若玩家选择骰子，求两次投掷的最大值为4的概率； (2)求两次投掷的最大值为4的概率； (3)设奖金为最大值的平方（单位：元），若玩家获得的奖金超过16元，求玩家选择骰子的概率． 题型三 离散型随机变量分布列及数学期望 解｜题｜技｜巧 先确定随机变量 的所有可能取值，再计算每个值的概率（注意概率和为1），列表得分布列。数学期望 。对于常见分布直接套用公式（如二项分布 ）。复杂问题可先利用期望线性性质简化。 【典例1】（24-25高二下·安徽蚌埠·期末）袋子里有除颜色外完全相同的个小球，其中个白球，个黑球，个红球. (1)若不放回的抽取个小球，求既抽到白球也抽到黑球的概率； (2)若有放回的抽取次小球，每抽到一次红球得分，抽到白球或黑球不得分.求积分的分布列，以及的期望和方差. 【典例2】（24-25高二下·福建福州·期末）福州一中举行数学文化知识竞赛，比赛规定：主持人每公布一题，甲、乙两人就立刻抢答，先抢答者，若答对，可得1分；若答错，则对手得1分；谁先得3分，谁就胜出，比赛结束．假设两人每一次抢到题的概率均为，甲、乙两人答对每道题的概率分别为，，且两人答题正确与否互不影响． (1)在某次抢答中，求甲得1分的概率； (2)在某次抢答中，在乙得1分的条件下，求乙答对这个题的概率； (3)比赛进行中，若甲、乙暂时各得1分，两人继续抢答了题后比赛结束，求的分布列及数学期望． 【变式1】（24-25高二下·甘肃白银·期末）如图，转盘被分成8个均匀的扇形区域，其转盘游戏规则：用力旋转转盘，转盘停止时箭头所指区域的数字就是游戏所得的点数（转盘停留的位置是随机的），由于分界线较粗，假设箭头指到区域分界线的概率为0.2，同时规定所得点数为0．某同学进行了一次游戏，记所得点数为． (1)求； (2)求的分布列及数学期望． 【变式2】（24-25高二下·天津·期末）已知甲盒中有2个红球，3个蓝球，乙盒中有4个红球，1个蓝球，这些球除了颜色外完全相同．现从甲、乙两盒中各任取2个球. (1)求取出的4个球颜色相同的概率； (2)求取出的4个球中共有3个红球和1个蓝球的概率； (3)记取出的4个球中红球的个数为X，求X的分布列和数学期望． 题型四 离散型随机变量分布列及其性质 解｜题｜技｜巧 分布列满足：① ；② 。利用性质可求未知参数或验证概率。常见题型：已知 ，通过归一化求常数 ；或已知部分概率关系（如 ）列方程求解。 【典例1】（24-25高二下·河北邢台·期末）设随机变量的分布列如下表所示，则（    ） 1 2 A． B． C． D．或 【典例2】（24-25高二下·福建泉州·期末）（多选）已知，均为正数，随机变量的分布列如下表，则下列结论一定成立的是（   ） 0 1 2 A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）设离散型随机变量的分布列如表，若随机变量，则（    ） X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 【变式2】（2025·四川成都·模拟预测）（多选）已知随机变量X的分布列如下表： X 1 2 3 4 5 其中成等比数列，则下列结论正确的是（    ） A．成等差数列 B． C． D． 题型五 离散型随机变量均值的应用 解｜题｜技｜巧 均值反映随机变量的平均水平，常用于决策（比较期望收益/损失）、保险定价、产品抽检等。解题时先明确随机变量及其分布，计算期望，再结合实际意义判断（如期望利润最大、期望成本最小）。有时需结合方差衡量风险。 【典例1】（24-25高二下·四川乐山·期末）若随机变量服从二项分布且，则（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【典例2】（24-25高二下·山东东营·期末）一个箱子里有10个除颜色外完全相同的小球，其中红色小球4个，黄色小球3个，蓝色小球2个，绿色小球1个，现从中有放回地抽取三次，记取出球的颜色种数为X，则________，数学期望________. 【典例3】（24-25高二下·河北保定·期末）某商场设置了两种促销方案：方案一，直接赠送消费金额的代金券（例如：消费200元，则赠送元的代金券）；方案二，消费每满100元可进行一次抽奖（例如：消费370元可进行三次抽奖），每次抽奖抽到10元代金券的概率为，抽到4元代金券的概率为，每次抽奖结果互不影响．每人只能选择一种方案． (1)若甲的消费金额为210元，他选择方案二且抽到14元代金券的概率为，求； (2)若乙消费了一定的金额并选择方案二，设他抽到的代金券总额为元，当最大时，求； (3)若，请你根据顾客消费金额（消费金额大于0）的不同，以代金券的数学期望为决策依据，帮助顾客选择方案． 【典例4】（24-25高二下·陕西咸阳·期末）随机选取某市6所小学调研“徒步走”活动的参加情况，统计各校参加学生人数，所得数据如下表所示： 学校 甲 乙 丙 丁 戊 己 参加“徒步走”人数 50 55 45 48 60 56 (1)现从这6所小学中随机选出3所，记其中参加“徒步走”人数不低于55的学校数量为X，求X的分布列和数学期望. (2)在“徒步走”活动的终点设置挑战游戏，每位“徒步走”活动参与者都可参与挑战，每次挑战都需要闯3关，且参与者每次挑战至少通过其中2关，才视为挑战成功，每关是否通过互不影响.已知参与者小明每关通过的概率均为. ①求小明1次挑战成功的概率； ②若小明进行多次挑战，且希望挑战成功总次数的期望大于3，则理论上他至少需挑战多少次？ 【变式1】（24-25高二下·山西·期末）已知随机变量，若随机变量，则（   ） A．14.6 B．18.8 C．21.8 D．30.8 【变式2】（24-25高二下·山东菏泽·期末）离散型随机变量的取值为0，1，2，若，，，，则（   ） A． B．0.6 C．0.8 D．1.6 【变式3】（24-25高二下·陕西汉中·期末）为了更好地普及科学知识，某班举行了科技知识竞赛活动，制定了两种竞赛规则方案.①方案一：共设置4道题，参加比赛的同学从第1题开始答题，答对进入下一题，答错则终止答题，第题对应分，答对获得相应的分数，答错得0分.②方案二：共设置4道题，参加比赛的同学从第1题开始答题，无论是否答对都可以回答下一题，直到4道题答完为止，每题2分，答对获得相应的分数，答错得0分.已知小明答对每道题的概率均为，且每次回答正确与否都相互独立. (1)若小明选择方案一，记X为小明的累计得分，求X的分布列； (2)为使累计得分的期望最大，小明应选择哪个方案？说明理由. 【变式4】（24-25高二下·天津滨海新区·期末）继2025年4月天津滨海新区中新生态城半程马拉松之后，为推动全民健身活动，组委会随机选取8个马拉松训练营调研“长跑耐力训练”的参与情况，统计各训练营参与学员人数，得到数据如下表： 训练营 A B C D E F G H 参与人数（人） 45 53 23 37 33 18 24 48 (1)若参与人数超过30人的训练营为“特色训练营”，现从这8个训练营中随机选出3个，记选出“特色训练营”的数量为随机变量，求的分布列和均值； (2)在长跑训练中，学员需掌握“匀速跑”“间歇跑”“冲刺跑”三项基础技能．在一轮测试中，这三项至少有两项成绩达到“90分及以上”，该轮测试才被记为“优秀”.已知甲学员每项成绩达到“90分及以上”的概率均为，每项测试及每轮测试相互独立． （i）求甲学员单轮测试“优秀”的概率； （ii）若甲学员进行多轮独立测试，希望“优秀”次数的平均值不低于2次，那么理论上至少要进行多少轮测试？ 题型六 离散型随机变量的方差及其性质 解｜题｜技｜巧 方差 ，衡量离散程度。性质：；若 独立，则 。常见分布方差：两点分布 ；二项分布 ；超几何分布 。 【典例1】（24-25高二下·辽宁抚顺·期中）已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则（    ） 2 4 7 A．， B．， C．， D．， 【典例2】设，随机变量X的分布列是： X -1 1 2 P 则当最大时的a的值是 A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二下·山西·期末）已知随机变量的分布列如下表，则“”是“”的（   ） 0 1 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】（24-25高二下·江苏南通·期末）随机变量．若，则____________；若，则p的最大值为____________． 【变式3】）已知随机变量的分布列如下，则下列说法中正确的是（    ）． x y P y x A．存在x， B．对任意x， C．对任意x， D．存在x， 题型七 求离散型随机变量的方差 解｜题｜技｜巧 方法一：先求分布列和 ，再计算 ，最后用 。方法二：若随机变量可分解为独立同分布变量之和（如二项分布），则方差直接相加。注意计算时避免粗心，尤其是 的求解。 【典例1】为激发学习数学的兴趣，高二年级举行数学知识竞赛，赛制规定：共进行5轮比赛，每轮比赛每个班可以从、两个题库中任选1题作答，在前两轮比赛中每个班的题目必须来自同一题库，后三轮比赛中每个班的题目必须来自同一题库，题库每题20分，题库每题30分，一班能正确回答、题库每题的概率分别为、，且每轮答题结果互不影响. (1)若一班前两轮选题库，后三轮选题库，求其总分不少于100分的概率； (2)若一班在前两轮比赛中选了题库，而且两轮得分60分，后三轮换成题库，设一班最后的总分为，求的分布､期望及方差. 【典例2】（25-26高二下·河北承德·阶段检测）数学试卷中的多项选择题是考查考生数学素养的一个重要载体，每道多项选择题设有A，B，C，D四个选项，正确答案只能是2个选项或3个选项，题目要求：“在每道多项选择题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．” 其中“部分选对的得部分分”的规则为：若正确答案有2个选项，则只选1个选项且正确得3分； 若正确答案有3个选项，则只选1个选项且正确得2分，只选2个选项且正确得4分．现作以下规定：多项选择题的正确答案选项个数是2个还是3个出现的概率均为；若考生随机选择（盲选），则每个选项被选中的可能性相同． 现有一道难度极大的多项选择题，某考生完全没有思路，其采用盲选方式作答． (1)求该考生得6分的概率； (2)假设该考生可选择“盲选1个选项”或“盲选2个选项”，若想得分最大化，应如何选择最优答题方式？并说明理由． 【变式1】甲、乙两个班级的同学进行目测数学教科书长度的游戏，令甲班同学目测的误差为（单位：），乙班同学目测的误差为（单位：）．根据游戏记录，统计结果为，，，，；，，，， (1)分别列出随机变量、的分布列； (2)哪个班目测的数据更接近教科书的真实长度？解释你的理由（可以通过观察给出答案，但必需包含必要的计算过程）． 【变式2】（25-26高二下·辽宁沈阳·开学考试）DeepSeek是我国自主研发的人工智能模型．某公司为提升其应用能力，组织两个部门全体员工共60人参加培训． (1)此次培训的员工中有5名部门领导，其中有3人来自A部门．从这5名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自部门的人数，求随机变量的分布列和数学期望； (2)若每位员工是否合格相互独立，且经过培训后合格的概率均为，经预测，培训合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，培训未合格的员工每人每年平均为公司创造利润10万元，若该公司A，B两部门经培训后创造的年利润为万元，且，求． 题型八 两点分布与二项分布 解｜题｜技｜巧 两点分布：，取值0或1，，，。二项分布：，表示 次独立重复试验成功次数，，，。判断标准：试验独立、结果两种、概率恒定。 【典例1】（24-25高二下·福建宁德·期末）随机变量服从两点分布，其分布列如下表所示： 0 1 则（   ） A． B． C． D．或 【典例2】（25-26高三上·云南·期中）有一个翻牌游戏，规则如下：每一轮翻牌两次，每次翻出花色牌的概率为，且每次翻牌相互独立.若参与者在一轮翻牌游戏中，翻出的花色牌数不少于1，则获得一份精美礼品（多次参与可获得多份精美礼品）. (1)若甲参与一轮翻牌游戏，求甲获得一份精美礼品的概率； (2)若乙参与三轮翻牌游戏，设乙获得的精美礼品数量为，求的分布列与期望. 【变式1】（24-25高二下·广东揭阳·阶段检测）已知随机变量服从两点分布，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二下·福建泉州·期末）一批产品的一等品率为，从这批产品中每次抽取一件，有放回地抽取次，用表示抽到的一等品的件数，若，，则满足条件的的最小值为_____. 【变式3】（24-25高二下·重庆·期末）某影城举办周年庆典抽奖活动，具体规则如下：在一个不透明的容器内，共有8个颜色大小相同的小球，每个小球上都标有一个字，其中标有“悟”“空”字样的小球共3个，标有“哪”“吒”字样的小球共5个．每位观众将从容器中一次性抽取2个小球，若所抽小球上的文字组合为“悟空”则获一等奖，若组合为“哪吒”则获二等奖．已知每位观众获二等奖的概率是其获一等奖概率的两倍． (1)其中标有“哪”字样的小球可能有多少个？ (2)若有三位观众参加抽奖活动，求中二等奖人数的分布列和数学期望； (3)为提高观众的参与度，影城允许观众一次性抽3个小球，获奖规则不变．若已知某位观众抽到了一个“哪”，求他获奖的概率． 题型九 超几何分布 解｜题｜技｜巧 描述不放回抽样中成功次数。总体 件，其中 件成功，抽取 件，则成功数 服从超几何分布：，，。当 很大时，可近似为二项分布。 【典例1】（24-25高二下·河南郑州·期末）一个袋子中装有5个白球，3个黑球，从中任选4个球，取到一个白球得1分，取到一个黑球得3分，设得分为随机变量，则为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高二下·安徽合肥·期末）3月14日某中学进行了以“数学对”为主题的知识竞赛，分初赛和决赛两个环节进行.初赛环节规则如下：每位选手从10道题中随机抽取3道题作答，3道题全部答对的选手晋级决赛.决赛环节进行三轮抢答，规则如下：每位选手每轮抢到题目且回答正确得10分，抢到题目但回答错误扣5分，该轮未参与抢答或未抢到题目不得分，每轮抢答情况相互独立，最终按照决赛中三轮抢答的总得分进行排名并表彰． (1)若某选手对于初赛环节中的10道题目，只有4道能回答正确，求他在初赛环节中答对题目数量的分布列和期望； (2)已知甲晋级决赛，甲在决赛中每轮抢到题目的概率为，能回答正确的概率为，求甲在决赛中总得分大于10分的概率． 【变式1】（24-25高二下·广东潮州·期末）某不透明纸箱中共有6个小球，其中2个白球，4个红球，它们除颜色外均相同.一次性从纸箱中摸出3个小球，记摸出红球个数为，则_______. 【变式2】（24-25高二下·福建福州·期末）“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学和物理学科夏令营活动． (1)若参加数学学科夏令营的7名中学生中恰有3人来自中学，从这7名中学生中选取3名中学生，求选取的中学生中来自中学的人数的分布列和数学期望； (2)在夏令营活动中，物理学科举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利．已知甲乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，．假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响． （i）求甲、乙两位同学所在组每轮答题中取胜的概率； （ii）当时，求的最大值． 题型十 正态分布及其性质与实际应用 解｜题｜技｜巧 正态分布 ，密度曲线关于 对称，在 处取最大值。标准正态分布 ，其中 。性质：，，（3 原则）。 应用场景：产品质量、考试成绩、测量误差等。解题步骤：① 将实际问题转化为正态分布概率问题，确定 和 ；② 标准化为 ；③ 利用标准正态分布表或 原则求概率；④ 反向问题（已知概率求临界值）则通过分位数求解。注意单位统一及近似处理。 【典例1】（24-25高二下·河南商丘·期末）某初级中学对本校八年级的500名男生进行1000米跑步体能测试，据统计，500名男生跑完1000米所用的时间（分钟）服从正态分布，若，则这500名男生跑完1000米所用的时间不少于6分钟的人数大约为（   ） A．1 B．5 C．9 D．50 【典例2】（24-25高二下·河南·阶段检测）在一条生产铜棒的生产线上，生产的成品铜棒的直径为（单位：，以下同），且. (1)分别写出，的值； (2)若生产这样的成品铜棒10000根，试估计直径在内的铜棒根数； (3)若质检员从这些铜棒中随机抽取1根铜棒，求这根铜棒的直径在内的概率. 参考数据：若，则，，. 【变式1】（24-25高二下·甘肃临夏·期末）（多选）已知随机变量，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二下·云南昆明·期中）某商场在五一假期间开展了一项有奖闯关活动，并对每一关根据难度进行赋分，已知甲、乙、丙三人都参加了该项闯关活动.每个人闯关活动累计得分服从正态分布，且满分为450分，现要根据得分给共2500名参加者中得分前400名发放奖励. (1)假设该闯关活动平均分数为171分，351分以上共有57人，已知甲的得分为270分，问甲能否获得奖励，请说明理由； (2)丙得知他的分数为430分，而乙告诉丙：“这次闯关活动平均分数为201分，351分以上共有57人”，请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪. 附：若随机变量，则；；. 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高二下·安徽·期末）已知随机变量X服从正态分布，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·湖北随州·模拟预测）已知随机事件A，B，，，，则＝（　　） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·河北衡水·期中）已知随机变量的分布列如下： 1 2 3 4 则常数（   ） A． B． C． D． 4．（2026·浙江·三模）若随机变量，随机变量且，则（   ） A． B． C．2 D．4 5．（25-26高二下·北京·期中）设是两个随机事件，且，如果，那么事件与是（    ） A．互斥事件 B．对立事件 C．独立事件 D．包含事件 期末重难突破练（测试时间：30分钟） 6．（2026·山东菏泽·二模）已知甲袋中有3个红球和2个白球，乙袋中有2个红球和3个白球.从甲袋中随机摸出一个球放入乙袋，再从乙袋中摸出一个球，则从乙袋中摸到红球的概率为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·山东潍坊·期中）已知 ，，且和的分布密度曲线如图所示，则（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·浙江·阶段检测）（多选）小明的书包里有语文书、数学书、英语书各一本，现从中依次无放回地取出2本，记“第一次取到语文书”为事件E，“第二次取到数学书”为事件F，“取到语文书”为事件G，则（   ） A． B． C． D．与G相互独立 9．（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）（多选）西汉刘向编著的《战国策》中记录了一个“三人成虎”的故事：庞葱与太子质于邯郸，谓魏王曰：“今一人言市有虎，王信之乎？”王曰：“否．”“二人言市有虎，王信之乎？”王曰：“寡人疑之矣．”“三人言市有虎，王信之乎？”王曰：“寡人信之矣．”在没有实际调研的情况下，为什么魏王会相信集市上有老虎呢？假设集市上真有老虎的概率为0.05，每个人选择说出实情的概率为0.9，选择说谎的概率为0.1，每个人是否选择说出实情相互独立．用表示事件“第i人说看见一只老虎在集市上”，，2，3，用B表示事件“真有老虎在集市上”．则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高二下·河北沧州·期中）某医院一科室共有包括甲、乙、丙在内的7名医生，其中男医生4人，女医生3人，现从中任选3名医生参加义诊． (1)求医生甲、乙、丙3人中至少有1人被选中的概率； (2)设选中的女医生人数为X，求X的分布列和数学期望； (3)已知甲为男医生，设“男医生甲被选中”为事件A，“至多有m名女医生被选中”（）为事件B（当时，事件B即为“没有女医生被选中”），若，求的最小值． 期末综合拓展练（测试时间：30分钟） 11．（2026·河南安阳·模拟预测）（多选）投掷一枚正方体骰子3次，所得点数依次为.设事件“”，事件“”，事件“”，则（    ） A． B． C．事件和相互独立 D． 12．（25-26高二下·贵州黔南·阶段检测）（多选）事件A，B是样本空间的子集，若，则下列结论正确的是（   ） A．事件A，B相互独立 B．若，则恒成立 C．若，则 D． 13．（25-26高二下·山东烟台·期中）已知甲盒中有2个白球和3个黑球；乙盒中有2个白球和2个黑球，所有小球除颜色外完全相同.定义一次“双向置换”操作：先从甲盒中随机取出1个球放入乙盒，搅拌均匀后，再从乙盒中随机取出1个球放入甲盒. (1)完成1次“双向置换”后，求甲盒中恰有2个白球的概率； (2)若已连续完成2次“双向置换”. （ⅰ）求此时乙盒中白球个数的分布列和数学期望； （ⅱ）已知此时乙盒中有白球，求乙盒中恰有2个白球的概率. 14．（25-26高二下·江苏南京·期中）已知甲、乙两个乒乓球队之间组织友谊赛，比赛规则如下：①每个队各组织五名队员进行五场单打比赛，每场单打比赛获胜的一方得1分，失败的一方不得分；②若其中一队的累计得分先达到5分及以上，则赢得比赛的最终胜利，比赛结束；③若单打比赛结束后还未决出最终的胜负，则进行双打比赛，每场双打比赛获胜的一方得2分，失败的一方不得分．已知每场单打比赛中，甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为；每场双打比赛中，甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为． (1)设5场单打比赛后，甲队的累计得分为随机变量，求的概率分布列和数学期望； (2)求决出最终胜负时，共进行了6场比赛的概率． (3)求甲队赢得最终胜利的概率． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $