精品解析：广东广州市育才中学2026届高三下学期考前综合测试数学试卷

2026年广州市育才中学高三级综合测试（三） 数学 满分150分，考试时间：120分钟 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱，假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊，己6名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱安排2人，梦天实验舱安排1人. 若安排甲、乙两人同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（ ） A. 12种 B. 16种 C. 20种 D. 24种 4. 将编号为的4个小球随机放入编号为的4个凹槽中，每个凹槽放一个小球，则至少有2个凹槽与其放入小球编号相同的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，圆台的上、下底面半径分别为，，且，半径为4的球与圆台的上、下底面及每条母线均相切，则圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 6. 设抛物线的焦点为，过抛物线上点作其准线的垂线，设垂足为，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知球的直径为是球面上两点，且，则三棱锥的体积（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数其中为自然对数的底数.若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 连续抛掷一枚质地均匀的硬币3次，每次结果要么正面向上，要么反面向上，且两种结果等可能．记事件A表示“3次结果中有正面向上，也有反面向上”，事件B表示“3次结果中最多一次正面向上”，事件C表示“3次结果中没有正面向上”，则（ ） A. 事件B与事件C互斥 B. C. 事件A与事件B独立 D. 记C的对立事件为，则 10. 记为数列的前项和，已知则（ ） A. 2026是数列中的项 B. 数列是公比为2的等比数列 C. D. 若，则数列的前项和小于 11. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，过右焦点的直线交的右支于两点，的内切圆圆心为，且该圆与轴相切于点，则下列说法正确的是（ ） A. 点到轴的距离为 B. 若，则的渐近线方程为 C. 若，且轴恰好和的内切圆相切，则的离心率为 D. 若的周长为，则的离心率的取值范围是 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 展开式中项的系数为___________. 13. 函数在上的最大值点为________. 14. 某校数学建模兴趣小组收集了一组恒温动物体重（单位：克）与脉搏率（单位：心跳次数/分钟）的对应数据，根据生物学常识和散点图得出与近似满足（为参数）.令，，计算得，，.由最小二乘法得经验回归方程为，则的值为___________；为判断拟合效果，通过经验回归方程求得预测值，若残差平方和，则决定系数___________.（参考公式：决定系数） 四、解答题 15. 的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）若，，求的面积； （2）若角为钝角，求的取值范围． 16. 已知函数，其中为常数. （1）过原点作图象的切线，求直线的方程； （2）若，使成立，求的最小值. 17. 如图1，在直角梯形中，分别为的中点，沿将平面折起，使二面角的大小为，如图2所示，设分别为的中点，为线段上的动点（不包括端点）． （1）求证：； （2）若直线与平面所成角的正弦值是，求． 18. 已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，焦距为． （1）求的标准方程； （2）设，是上关于轴对称的两点，是上一点，直线，与轴分别交于，两点． （i）设为坐标原点，证明：为定值； （ii）若，求的面积的最大值． 19. 某从业资格考试共分3级，考生必须从第1级考试开始，每级考试次数不限，通过后即进入下一级考试，直至第3级考试通过，考试终止并取得从业资格．已知甲参加一次第1，2，3级考试通过的概率分别为，，，且每次考试相互独立．记甲第次考试后取得从业资格为事件． （1）求，； （2）求的表达式； （3）甲第次考试恰通过2级为事件，比较与的大小，并根据你的理解说明其含义． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年广州市育才中学高三级综合测试（三） 数学 满分150分，考试时间：120分钟 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合并补运算即可求得. 【详解】，，所以， 所以， 故选：B. 2. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数除法运算法则直接计算，结合复数的虚部的概念即可求解. 【详解】因为，所以， 所以的虚部为. 故选：A. 3. 如图，中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱，假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊，己6名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱安排2人，梦天实验舱安排1人. 若安排甲、乙两人同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（ ） A. 12种 B. 16种 C. 20种 D. 24种 【答案】B 【解析】 【分析】按照元素甲、乙所在舱位进行讨论，特殊元素优先考虑即可求解. 【详解】按照甲、乙两人同时在天和核心舱或问天实验舱两种情况讨论： ①若甲、乙两人同时在天和核心舱，则需要从剩余4人中再选1人， 剩下的3人去剩下的两个舱位，则有种可能； ②若甲、乙两人同时在问天实验舱，则剩下的4人选3人去天和核心舱即可， 共有种可能， 根据分类加法计算原理，共有种可能， 故选：B. 4. 将编号为的4个小球随机放入编号为的4个凹槽中，每个凹槽放一个小球，则至少有2个凹槽与其放入小球编号相同的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用排列组合，先求出将编号为的4个小球随机放入编号为的4个凹槽中的放法数，再求出至少有2个凹槽与其放入小球编号相同的放法数，再利用古典概率公式，即可求出结果. 【详解】将编号为的4个小球随机放入编号为的4个凹槽中，共有种放法， 恰有2个凹槽与其放入小球编号相同的有种放法，4个凹槽与其放入小球编号相同的有1种放法， 所以至少有2个凹槽与其放入小球编号相同的概率是， 故选：B. 5. 如图，圆台的上、下底面半径分别为，，且，半径为4的球与圆台的上、下底面及每条母线均相切，则圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆台的轴截面图，结合圆台和球的结构特征求解，然后代入圆台的侧面积公式求解即可. 【详解】如图所示，作出轴截面， 分别为上下底面圆的圆心，为侧面切点，为内切球球心， 则为的中点， ， 因为，所以， 则 过点作，垂足为， 则， 在中，由勾股定理得， 即，解得或， 因为，所以，，故， 所以圆台的侧面积为. 故选：D. 6. 设抛物线的焦点为，过抛物线上点作其准线的垂线，设垂足为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得，结合正切定义以及可得，进一步即可求解. 【详解】如图所示： 为准线与轴的交点， 因为，且，所以， 因为，所以， 而，所以， 所以. 故选：A. 7. 已知球的直径为是球面上两点，且，则三棱锥的体积（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用球体的性质先计算球心到平面的距离，再根据棱锥的体积公式计算即可. 【详解】由题意可知为正三角形，设其外接圆圆心为M，半径为r， 则，且平面， 所以，故C到平面的距离为， 所以三棱锥的体积为. 故选：C 8. 已知函数其中为自然对数的底数.若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】当时，由解出的值，函数只有两个零点，舍去；当时，对求导，讨论的单调性和最值，可知数至多两个零点，舍去；当时，当只有一个零点，当，令，要使函数有三个零点，需使函数有两个零点，即即可求出实数的取值范围. 【详解】①当时， 所以由得或， 解得或，函数只有两个零点，舍去； ②当时，当， ；当至多两个零点， 即函数至多两个零点，舍去； ③当时，当只有一个零点， 当， 令， 因此当时， 当时，， 因为要使函数有三个零点，需使函数有两个零点，因此. 综上，取值范围为. 故选：B. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 连续抛掷一枚质地均匀的硬币3次，每次结果要么正面向上，要么反面向上，且两种结果等可能．记事件A表示“3次结果中有正面向上，也有反面向上”，事件B表示“3次结果中最多一次正面向上”，事件C表示“3次结果中没有正面向上”，则（ ） A. 事件B与事件C互斥 B. C. 事件A与事件B独立 D. 记C的对立事件为，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，根据事件B包含事件C判断即可； 对B，根据概率的性质，用1减去全为正面和全为反面的情况概率即可； 对C，根据相互独立事件的公式判断即可； 对D，先求得，再利用条件概率公式求解即可 【详解】选项A：显然B发生的情况中包含C，故可同时发生，错误； 选项B：，正确； 选项C：， 故A与B独立，正确； 选项D：，，正确； 故选：BCD． 10. 记为数列的前项和，已知则（ ） A. 2026是数列中的项 B. 数列是公比为2的等比数列 C. D. 若，则数列的前项和小于 【答案】AD 【解析】 【分析】根据是奇数还是偶数，分类讨论的解的情况可判断A；根据等比数列的定义，由的比值即可判断B；根据的通项公式可求出，进而判断C；根据的表达式，可得到的通项公式，通过裂项相消法求和可判断D. 【详解】对于A，当是奇数时，，因为，所以方程无正整数解，即2026不是数列的奇数项； 当是偶数时，，令，解得，即，所以2026是数列中的偶数项，故A正确. 对于B，由数列的通项公式可知，且，为非零常数， 所以数列是公比为4的等比数列，故B错误. 对于C，由数列的通项公式可知，故C错误. 对于D，因为，所以， 所以数列的前项和为，小于，故D正确. 11. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，过右焦点的直线交的右支于两点，的内切圆圆心为，且该圆与轴相切于点，则下列说法正确的是（ ） A. 点到轴的距离为 B. 若，则的渐近线方程为 C. 若，且轴恰好和的内切圆相切，则的离心率为 D. 若的周长为，则的离心率的取值范围是 【答案】AD 【解析】 【分析】对A根据圆的切线长相等及双曲线的定义可得；对B由A选项解析及条件得，再由双曲线的性质可得，进而可得渐近线方程；对C由垂直解得，，再由等面积法得内切圆半径，再结合A选项结果可得离心率；对D根据双曲线的定义可得焦点三角形的周长，进而可得，再由焦点弦的性质可得离心率的范围. 【详解】对于A项，设点的横坐标为，的焦距为，作，， 垂足分别为点，连接，则， 所以，， ， 又，所以，即， 所以，即，所以点到轴的距离为，故A项正确． 对于B项，由A项知，．又， 所以，所以，所以，所以， 则，所以C的渐近线方程为，故B项错误． 对于C项，因为，，所以， 解得，， 所以内切圆半径， 由A项知，即，则， 即，解得或（舍），所以C的离心率为，故C项错误． 对D项，由双曲线的定义可得，， 两式相加可得， 则的周长为，即， 又因为，所以，解得，所以，故D项正确． 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 展开式中项的系数为___________. 【答案】42 【解析】 【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可得. 【详解】对，有， 则有. 故答案为：. 13. 函数在上的最大值点为________. 【答案】## 【解析】 【分析】求出函数的导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出函数的极值点，即可求出函数最大值点. 【详解】由题意得， 当时，，所以在和上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以在处取得极小值，在处取得极大值， 当时，； 当时，函数取得极大值； 因为，所以最大值点为. 故答案为：. 14. 某校数学建模兴趣小组收集了一组恒温动物体重（单位：克）与脉搏率（单位：心跳次数/分钟）的对应数据，根据生物学常识和散点图得出与近似满足（为参数）.令，，计算得，，.由最小二乘法得经验回归方程为，则的值为___________；为判断拟合效果，通过经验回归方程求得预测值，若残差平方和，则决定系数___________.（参考公式：决定系数） 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据回归直线方程必过样本中心点求出，即可求出，再根据决定系数公式求出. 【详解】因为，两边取对数可得， 又，， 依题意回归直线方程必过样本中心点， 所以，解得，所以， 又. 故答案为：； 四、解答题 15. 的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）若，，求的面积； （2）若角为钝角，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用正、余弦定理以及三角恒等变换可得，利用余弦定理可得，代入三角形面积公式求解即可. （2） 利用正弦定理得到，结合角为钝角求解即可. 【小问1详解】 由余弦定理得，原式可化为， 由正弦定理得， 即， 又，所以， 又，所以，所以，即. 又，所以. 由余弦定理得， 即，解得. 所以的面积. 【小问2详解】 在中，，所以. 因为角为钝角，所以， 所以，所以. 由正弦定理得，所以， 则的取值范围为． 16. 已知函数，其中为常数. （1）过原点作图象的切线，求直线的方程； （2）若，使成立，求的最小值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）设切点，求导得出切线方程，代入原点，求出参数即得切线方程； （2）由题意，将其等价转化为在有解，即只需求在上的最小值，利用导数分析推理即得的最小值. 【小问1详解】 设切点坐标为，则切线方程为， 因为切线经过原点，所以，解得， 所以切线的斜率为，所以的方程为. 【小问2详解】 ，，即成立， 则得在有解， 故有时，. 令，，， 令得；令得， 故在单调递减，单调递增， 所以， 则，故的最小值为. 17. 如图1，在直角梯形中，分别为的中点，沿将平面折起，使二面角的大小为，如图2所示，设分别为的中点，为线段上的动点（不包括端点）． （1）求证：； （2）若直线与平面所成角的正弦值是，求． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由已知可证得平面，进而可证得，通过证出，证得平面，即可证得结果； （2）以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，以及，即可利用线面角的向量公式解出． 【小问1详解】 分别为的中点，． 平面 平面，平面，， 是二面角的平面角，． ，为等边三角形， ． 平面， 平面， 又平面，. 【小问2详解】 设中点为，由（1）知两两垂直，以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系． ，， ， ， 设平面的法向量为，则 即， 取，则， 设， ， 设与平面所成的角为，则 ， 解得或（舍） . 18. 已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，焦距为． （1）求的标准方程； （2）设，是上关于轴对称的两点，是上一点，直线，与轴分别交于，两点． （i）设为坐标原点，证明：为定值； （ii）若，求的面积的最大值． 【答案】（1） （2） （i）证明：由椭圆的对称性，不妨设，，， 设，，则直线方程为， 令得，，同理可得，， 因为，， 所以， 所以为定值． （ii） 【解析】 【分析】（1）根据长轴与短轴的关系及焦距，结合即可求解； （2）（i）设，，表示出直线方程，进而表示出，计算即可证明；（ii）法一：由已知得出和，再由及基本不等式即可证明；法二：设与交于点，由几何关系得出和，再由及基本不等式即可求解． 【小问1详解】 依题意，，即， 又焦距为，所以， 解得，，所以的标准方程为． 【小问2详解】 （i）略 （ii）法1：因为，所以， 又因为，， 所以， 所以， 所以， 因为，所以， 所以，显然， 所以，所以， 所以， （当且仅当，即时，等号成立）， 所以的面积的最大值为． 法2：设与交于点，由椭圆的对称性知， 因为，所以， 又因为，， 所以. 所以，所以，显然， 所以，所以， 所以， （当且仅当，即时，等号成立）， 所以的面积的最大值为． 19. 某从业资格考试共分3级，考生必须从第1级考试开始，每级考试次数不限，通过后即进入下一级考试，直至第3级考试通过，考试终止并取得从业资格．已知甲参加一次第1，2，3级考试通过的概率分别为，，，且每次考试相互独立．记甲第次考试后取得从业资格为事件． （1）求，； （2）求的表达式； （3）甲第次考试恰通过2级为事件，比较与的大小，并根据你的理解说明其含义． 【答案】（1）， （2） （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据独立事件的乘法公式即可求解； （2）分析出事件发生分两步：第次考试后恰好通过第2级考试，概率为，第次至次参加第3级考试没有通过，第次通过，概率为，由全概率公式及错位相减法即可求解； （3）由题意表示出，由条件概率公式及作差法得出，构造数列，得出的大小情况，进而得出与的大小． 【小问1详解】 依题意，， ． 【小问2详解】 事件发生分两步： 第一步，第次考试后恰好通过第2级考试，概率为， 第二步，第次至次参加第3级考试没有通过，第次通过，概率为； 由全概率公式得，， 设， 则， 两式相减得， ， 所以，所以． 【小问3详解】 依题意，， 又因为，， 所以， 令，则， 因为，所以， 故数列在时递增，又，， 故当，4时，， 故，即， 说明甲取得从业资格的前一次考试2级刚过的概率较大， 当时，，故，即， 说明甲取得从业资格的前一次考试2级刚过的概率较小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $