6.3 等比数列(实战册)-【实战高考】2026年高考数学总复习（山东专版）

答案 实战高考·数学 又S3=S9=6,所以6，S6-6,6-S6,S12一6成等差数列， 由①②得b+1-bn=2,n∈N*,所以{bn}是公差为2的 则6十S12-6=S6-6+6-S6,则S12=0. 等差数列 ⑤24解析因为a4十a5=6,所以a1十a2十a3十…十a8 (2)因为b1=a1-2=1,所以bn=2n-1, =4(a4十a5)=24. 1 1/1 6证明：(1)由S+2-2S+1+Sm=2+1+2,得 (S+2-S+1)-(S+1-Sm)=2+1+2, 即a+2-a+1=2n+1+2, 所以+a十叶6 因为bm=an-2n,所以(b+2十2n+2)-(b+1十2m+1)= =是×(1-)+是×（分-）+是×（传-号）+… 2m+1+2,所以bn+2一bm+1=2,① 由a3-2a2+a1=2,得(bg+23)-2(b2十22)+ +}×(3282)+x(123》 (b1十2)=2. 整理得b3-2b2+b1=0,即b3-b2=b2一b1,② 6.3等比数列 山东新高考全练 ①士2解析设该等比数列为{am},Snm是其前n项和，则 =128,所以b1对应的区间为(0,1]，则b1=0; S4=4,S8=68, b2,bg对应的区间分别为(0,2]，(0,3]，则b2=bg=1,即 设{an}的公比为q, 有2个1； 当q=1时，S4=4a1=4,即a1=1,则S8=8a1=8≠68，显 b4,b5,b6,b7对应的区间分别为(0,4]，(0,5]，(0,6]，(0， 然不成立，舍去； 7],则b4=b5=b6=b7=2,即有22个2； 当g≠1时，则54-a二2)=4,58=a0二2）=68， b8,b9,…,b15对应的区间分别为(0,8]，(0,9]，…，(0， 1-q 1-q 两式相除得等-明，1二2+）-17。 15],则bg=b9=…=b15=3,即有23个3； 1-g4 b16,b17,…,b31对应的区间分别为(0,16]，(0,17]，…，(0， 则1十q=17,解得q=士2，所以该等比数列公比为士2. 31],则b16=b17=…-b31=4,即有24个4； 2解：(1)由于数列{an}是公比大于1的等比数列，设首 b32,b33,…,b63对应的区间分别为(0,32]，(0,33]，…，(0， 项为a1,公比为q,依题意有 a1q+a1gr3=20, 解得a1=2, 63],则b32=b33=…=b63=5,即有25个5； a1q2=8, b64,b65,…,b1o0对应的区间分别为(0,64]，(0,65)，…， 1 9=2或a41=32,9=2(舍)， (0,100],则b64=b65=…=b100=6,即有37个6. 所以an=2n,所以数列{an}的通项公式为an=2m 所以S100=0+1×2+2×22+3×23+4×24+5×25+6 (2)因为21=2,22=4,23=8,24=16,26=32,26=64,27 ×37=480. 山东模拟专练 考点闯关) 23+25+…+22021=1+2(1-41011)_22023+1 1-4 3 考点①等比数列及其前n项和 考点2等比数列的性质及其应用 ①D解析由等比数列{am}性质可知，a2a3=a1a4=8, 又a2十a3=6,解得 =2支a=4当a=2, 3B解析由等比数列{am}的前n项和的性质可得： 或 时，q= la3=4a3=2,a3=4 S10,S20一S10,S30一S20也成等比数列， 1-24 ∴.(S20-S0)2=S0×(S30-S20),得(20-10)2=10× =2,所以a1=1,故S4=1=2-15； a2 (S30一20)，解得S30=30. 当/4， g=2时，9==1 a2 =之，所以a1=8,故S4= ④D解析设数列{am}的公比为q, 8x[-门-5，上.8=15 由a2十a3=3,ag十a4=6可得s十a4-9a2ta3）=g a2十a3a2十a3 =2, 1 1一2 所以a7+a8=(a2+a3)q=3X25=96. 2A解析依题意，a1十a2=1,an十am+1=2m-1,当n≥2 故选D. 时，an-1十an=2m2,则an+1-an-1=2n-2,所以a2024= ⑤A解析因为一a5,a4,a6成等差数列，所以2a4=一a5 a2+(a4-a2)+(a6-a4)+…+(a2o24-a2022)=1+2+ 十a6,因为{an}是正项等比数列，且a1=1,2a4=-a4·q 4140 Q实战册参考答案及解析 十a4·q2,所以2=一q十q2,解得q=2或q=-1(舍去)， 一1，不满足题意； 所以a2=a1q=1×2=2. 当an十1=0，即a1=一1时，易知满足题意； 分层闯关) 所以a1=一1，即必要性成立.故选C. 基础题组 ⑧ABD解析对于A,设等比数列{am}的公比为q,由 an+1=Sn十2，得an=Sn-1十2(n≥2)， ①A解析由题得 1qa4三7，g=2.所以ag号 a1g4=8, 两式相减得a+1一an=Sn-Sm-1=an,即a+1=2an,所 (3)·25=32. 以q=2, 又a2=S1十2=a1十2，解得a1=2,所以am=2X2n1= 2D解析由S3=5a2十6a1=a1十a2十a3,得4a2+5a 2n,正确； =a3,所以4a1q十5a1=a1q2,即q2-4q-5=0,所以(q 5)(g十1)=0，所以q=5或q=-1. 对于B,设等差数列{bm}的公差为d, 3C解析设{an}的公差为d,{bm一an}的公比为q,则 由b2=a1=2,b8=a3=8,得6d=b8-b2=6,解得d=1, 由题意可得，a4=a1十3d,即12=3十3d,解得d=3,所以 所以bm=b2十(n-2)d=n,正确； am=3+(n-1)×3=3n. 对于C,由A={x∈N*|bn≤x≤an,得A 根据已知又有：b一a1=1,b4一a4=8,则8=1·q3,得q ={x∈N*n≤x≤2n}, =2, 则集合A中元素的个数为2n一n十1，即cm=2n一n十1，错 所以bm-an=1·2n-1,进而bm=2n1十3n,故b2024= 22023+6072. 误 ④C解析数列{am}的公比为q,则由a1=1,a3一2a1= 对于D,Tn=(2+22+…+2n)-(1+2+…+n)+n= a2,得q2-2=q, 2-2）_nn1D+n=2+1-nn21)-2,正确. 解得q=2(g=一1舍去，因为数列{am}是正项等比数 1-2 2 2 列所以8 63 培优题组 52解析依题意，a1十a3十a5十…十a2m+1=85,即a2g 日AcD由1-，)-2经号a=,则双 十a4q十…+a2mq=84,而a2十a4十…十a2m=42,所以q =2. -3x1+2 3x+2 13 63解析由S3=a1十a2十a3,则S3-a3=a1十a2=4, 2x1十3 2×2+3 ,故A正确； 由ag=a1q2,a3=a2q,则8%+a3=4, 由f )+了() 3xn+2 2xn十3 +32 2+32n 整理可得4q2-9g-9=0,分解因式可得 (4q十3)(q-3)=0, 28是9”-1器则是 (2xn+3)(2+3xn) 解得g=3或9=一是（含去)。 f)+/()非常数，故B错误： 能力题组 ☑C解析当a1=一1时，因为an+1=3am十2，所以an+1 3xm+2+1 2xn十 3xn+2+2xn+3」 +1=3(am+1), 女 x+1+1 xm+1一1 3xn十 -1 3xn+2-2xn-3 又a1=-1,则a1十1=0，则a2十1=3(a1十1)=0，…， 2xn十 依次类推可知an十1=0，故an=-1, xm+1+1 则{am)是首项为一1，公比为1的等比数列，即充分性 5 =5,则 xn+1-1 成立； xn十1 三5， In-1 当{am}是等比数列时，因为am+1=3an十2，所以an+1十1 =3(a+1), 则教列{ 是以5为首项，以5为公比的等比数 当a十1≠0时，+1=3，则{am十1}是公比为3的等 列，故C正确； an+1 比数列， 则会=5，即=21， 2 所以am+1=(a1+1)×3m-1,即an=(a1+1)X3"-1-1, 则a2=(a1+1)-1=a1,a2=3(a1+1)-1=3a1+2,a3 由1+点-=1+点-（2+1)= =9(a1+1)-1=9a1+8, 由a=a1a3,得(3a1十2)2=a·(9a1+8),解得a= 0品>0别<1+写品故D三境 415 答案 实战高考·数学 高考全国视野 真题精练) q5=q5=-2. ①C解析方法一：设等比数列{am}的公比为q,首项 ④解：(1)因为2Sm=3a+1-3,故2Sm-1=3am-3, 为a1, 所以2am=3a+1-3an(n≥2)，即5an=3am+1,故等比数 若q=1,则S6=6a1=3×2a1=2S2,与题意不特，所以q 列的公比为q=3, ≠1； 由S4=-5,56=21S2可得，11二）=-5，a1192 放2a=3ag-3=3a1×号-3=5a1-3,放a1=1,故am 1-q 1-9 =21×a11-20, (停) 1-q 由①可得，1十q2十q4=21,解得q2=4, (2)由等比数列求和公式得Sm= 1×[1-()] 所以58=a11二）_a4092X1十g)=-5x(1+ 1-9 1-9 16)=-85. =(停)”多 方法二：设等比数列{an}的公比为q,因为S4=一5，S6= 21S2,所以q≠-1，否则S4=0, 模拟精练) 从而，S2,S4一S2,S6一S4,S8-S6成等比数列， ①B解析因为a3·a5=a=49,所以a4=士7， 所以有(-5-S2)2=S2(21S2+5),解得S2=-1或S2= 当a4=-7时，-7-7g2=70,q2=-11,舍去， 故a4=7,所以7+7q2=70,即q2=9,所以a8=a4·q4 4 =567. 当S2=一1时，S2,S4-S2,S6一S4,S8一S6,即为一1， 2B解析当q=1时，S4=4a1=8,S2=2a1=4,不满足 -4,-16,S8+21, S4=10S2,所以q≠1. 易知，S8十21=-64，即S8=-85; 当2=号时，S-a十ae+as+a=(a十ag)·1+g2)- 当1时，尚超安，得2=号-10×21号2， 1-9 所以1十q2=10,即q2=9,解得q=3(q=-3舍去).所以 (1十g2)S2>0,与S4=-5矛盾，舍去. an=2X3m-1. 2AD解标对A,由题意得a9-1, 结合q 所以Tn=入十an=λ十2X3m-1. a1+a1q+a1g2=7, 又Tm为某一等比数列的前n项和，设该等比数列首项为 a1=4,a1=9, A,公比为90(q0≠1)， >0,解得1或 9=号。1（舍去)，故A止 则Tn= A(1-96)AA 1-90=1-g0-1F9096,又Tn=入+2× 对B,则a5=a1=4×(分）‘=，故B错误； 31=+号×3， 对C,S=11-9) 4x(1-) A=-2, 1-q ,故C错误； 4 所以A=0一号90=3，所以实数入的值为-号 1-2 35解析设等比数列{an}的公比为q,由a1十a2=1,a4 对D,a=4×(侵)》1=29-，S.= x[1-(2)] +a5=8,得g3=a4十a5=8, a1十a2 1 1一2 解得q=2,因此a3十a4=(a1十a2)q2=4,所以{an}的前 8-2-n+3, 4项和等于5. A±号 a4十a6=60, 则an十Sm=23-n十8一23-n=8,故D正确. 解析在等比数列{am}中， 3一2解析方法一：{am}为等比数列，.a4a5=a3a6, aga5=36=a> .a2=1,又a2a9a10=a7a7a7,.1X(-8)=(a7)3, /a4=6, ∴.a7=-2. 二（女-盟=-1，无解，合去）所以 或 a6=54a6=66 方法二：设{an}的公比为q(q≠0)，则a2a4a5=a3a6=a2q· g2=-54=9,即g=士3，所以a1= 6 6 0=(士33= a5q,显然an≠0， 则a4=q2,即a1q3=q2,则a1q=1, ± a9a10=-8,则a1q8·a1q9=-8, 则g15=(r)3=-8=(-2)3,则q5=-2,则a7=a1q· 日1证明：依擱意，数列法}是首项为1，公比为2 416 Q实战册参考答案及解析 的等比数列，2法-2， n-4 6n+1 则Sn=(2n-1)an,S+1=(2n+1-1)am+1,两式相减得 bn =·青2(1+己)若=6,则6 n-5 2n-5 2n3 a+1=(2+1-1)a+1-(2n-1)an, 1 1 即(2m+1-2)am+1=(2m-1)a,因此a+1-2am,而a1 =bs=8’ =4, 若心，=1+5)<1o1<6, 所以{an}是等比数列. ()-() 因此数列：)的最大项为6，=%=日， (2)解：由(1)知an=a1 Sn=(2n 1 1 由3n∈N,4m+2m2<,得4m+2m2≤8， 1)·23=8-2 即8·(2m)2十2·2m-1≤0，整理得(4·2m-1)(2·2m (3)解：由（2)知，6-，当5时，<0，当≥6时， 十1)<0，则2m≤子，解得m<-2, bm>0, 所以m的取值范围是m≤-2. 6.4数列求和 山东新高考全练 目5240(3-") 解析依题意得S1=120×2= 2(1)证明：由题意证明如下，n∈N*,在数列{an}中，a1 240,S2=60×3=180. =3,0+1=a+1 nn+1 n(n+1)' 当n=3时，共可以得到5dm×6dm,2 dm×12dm, .(n十1)am+1=nam+1,即(n1)am+1-nam=1, ∴.{nan}是以a1=3为首项，1为公差的等差数列. 10dm×3dm,20dm×号d加四种规格的国形，且5×6= (2)解：由题意及(1)得，n∈N*,在数列{nan}中，首项为 30,号×12=30,10X3=30,20×8-30,所以s=30×4 3,公差为1， =120:当n=4时，共可以得到5dnm×3dm号dm× m=3+1×(n-1D,即a=1+是，在f)=a1x+ a2x2+…十amxm中， 6dn,号dnX12dn,l0dm×号dn,20dm×是dm五种 f)=3x+22++(1+是)，f)=3+4红++ 规格的图形， 所以对折4次共可以得到不同规格图形的种数为5，且5 (m十2)xm-1, ×3=15,号×6=15，号×12=15,10×2=15,20× :fa=3+4z++(m+2zl, 4 xf(x)=3x+4x2+…+(m+2)xm, 15,所以S4=15×5=75. 当x≠1且x≠0时， 所以可归鳞S-2型×(+1）=240C医+卫， .(1-x)f(x)=3+x十x2+…+xm-1-(m+2)xm=3 2k 所以2s=240(1+是+是++2+尖)， +z1-2”）-(m+2)xm, 1-x 所以号2s=240(景+是++…+会+鼎)，@ f)=+m (1-x)2 1-x ÷1（-2)=-8万+2 3 ①-@，得号×含=240(1+员+六++…+品 [1-(-2)]2 _(m十2)(-2)m 1-(-2) 1-3 黜)小 =1+-2)[1-(-2)m-1]_(m+2)(-2)m 3 24o(层一-+)， =1-名-（-2)m-(m+2)(-2)m 9 9. 3 所以2s=240(3-"3）dn2. .7_(3m+7)(-2)m 9 9 417实战 实战高考·数学 3.(2025福建厦门模拟)记等差数列{a.}的前 n项和为Sn,公差为d,若a3十a18>0,S19< 6.(2025辽宁模拟)已知数列{a}的前n项和 0,则() 为Sm,且满足Sn+2一2S+1十Sn=2m+1十2， A.S20<0 B.a6+a17<0 a3-2a2+a=2,ibn=an-2". C.an>0 D7∈(-9，-8) (1)求证：{b.}是等差数列； 4.(2025吉林长春二模)已知等差数列{an}的 （②者a=,求证点+点+…+ 前n项和为Sn,若S3=Sg=6,则S2的值 为() A.0 B.3 C.6 D.12 5.(2025河北石家庄一模)在等差数列 {an}中，a4+a5=6,则a1+a2十a3十…十a8 6.3 等比数列 过去考什公 山东新高考全练 答案：P414 1.(2025新课标I卷，13,5分；考点1)若一个 (2)记b.为{an}在区间(0，m](m∈N*)中 等比数列的前4项和为4，前8项和为68， 的项的个数，求数列{bnm}的前100项 则该等比数列的公比为 和S100. 2.(2020新高考I卷，18,12分；考，点1)已知 公比大于1的等比数列{an}满足a2十a4= 20,a3=8. (1)求{an}的通项公式； 将来考什公 山东模拟专练 答案：P414 考点闯关) 考点①等比数列及其前n项和 2.(2024山东滨州一模)已知数列{an}满足a1 1.(2025山东烟台一模)已知等比数列{a}的 =0,a2=1.若数列{an十am+1}是公比为2的 前n项和为Sm,a2+a3=6,a1a4=8,则S4 等比数列，则a2o24=() =() A.2+1 B,22024+1 A.-15 B.-5 3 3 C.5 D.15 C.21012-1 D.21o11-1 68 O专题六数列 考点2等比数列的性质及其应用 十ag=3,a3十a4=6,则a7十ag=( 3.(2025山东齐鲁名校大联考一模)设等比数 A.12 B.24 列{a}的前n项和为Sn,若S10=10,S20= C.48 D.96 20,则S30=( 5.(2024山东威海二模)已知正项等比数列 A.20 B.30 {a}中，a1=1,且一a5,a4,a6成等差数列，则 C.35 D.40 a2=( ) 4.(2025山东滨州二模)设{am}为等比数列，且a2 A.2 B.3 C.4 D.6 分层闯关 基础题组 各项为正数，前n项和为Sn,若S3=13,a3 1.(2024山东青岛一模)等比数列{an}中，a2 =9,则公比q= =1,a5=8,则a=( 能力题组 A.32 B.24 7.(2024山东聊城一模)已知数列{am}满足 C.20 D.16 am+1=3an十2，则“a1=一1”是“{an}是等比 2.(2024山东泰安二模)设等比数列{an}的前 数列”的( ) n项和为Sn,若S3=5a2十6a1,则公比g A.充分不必要条件 为() B.必要不充分条件 A.1或5 B.5 C.充要条件 C.1或-5 D.5或-1 D.既不充分也不必要条件 3.(2024山东菏泽二模)已知{am}是等差数 8.(多选)(2025山东济宁一模)已知等比数列 列，a1=3,a4=12,在数列{bn}中b1=4,b4= {an}的前n项和为Sm,且an+1=Sm十2， 20,若{b.一an}是等比数列，则b2o24的值 {bn}为等差数列，且b2=a1,bg=a3,记集合 为() A={x∈N*bn≤x≤an)}中元素的个数为 A.6072 B.22023 cn,数列{cn}的前n项和为Tm,则下列结论 C.22023+6072 D.22o23-6072 正确的是( ) 4.(2025山师附中一模)设正项等比数列 A.an=2m {an}的前n项和为Sm,若a1=1,a3一2a1= B.bn=n a2,则S6=( ) C.Cn=2"-n A.31 B.32 D.Tn=2a+1-n(n。1)-2 C.63 D.65 2 5.(2024山东淄博一模)已知等比数列{an}共 培优题组 有2n十1项，a1=1,所有奇数项的和为85， 9.(多选)创意题(2025山东潍坊一模)设函数 所有偶数项的和为42，则公比q )=号数列云满足= 2,x+1 6.(2025山东淄博一模)已知等比数列{am}的 =f(xn),则() 69 实战册 实战高考·数学 A西提 C.数列+1 为等比数列 Bfx)+f号)为定值 DCI+动 他省考什么 高考全国视野 答案：P416 真题精练 C.451 D.699 1.(2023新课标Ⅱ卷，8,5分)记S.为等比数 2.(2025安徽合肥模拟)已知正项等比数列 列{an}的前n项和，若S4=一5，S=21S2, {an}的前n项和为Sm,a1=2,S4=10S2,设 则S8=() Tn=入十a,若T,m为某一等比数列的前n项 A.120 B.85 和，则实数λ的值为() C.-85 D.-120 A号 B一号 2.(多选)(2025新课标Ⅱ卷，9,6分)记Sm为 C.2 D.-2 等比数列{a.}的前n项和，g为{a.}的公比， 3.(2025福建泉州一模)等比数列{an}中，a1十 q>0,若S3=7,a3=1,则() a2=1,a4十a5=8,则{a.}的前4项和 Ag=月 B.as=1 9 等于 C.S5=8 D.an+S=8 4.(2025安徽马鞍山一模)在等比数列{a}中， 3.(2023全国乙卷，15,5分)已知{a}为等比 a3a5=36,a4十a6=60,则a1= 数列，a2a4a5=a3a6,aga10=一8，则 5.(2025河北秦皇岛一模)设S.为数列 a7= a的前项和，已知=，去是公 4.(2024全国甲卷，17,12分)已知等比数列 比为2的等比数列. {an}的前n项和为Sm,且2Sn=3an+1-3. (1)证明：{an}是等比数列； (1)求{an}的通项公式； (2)求{an}的通项公式以及Sn; (2)求数列{Sn}的通项公式. (3)设bn=(n-5)an,若]n∈N*,4m+2m-2 ≤b.,求m的取值范围. 模拟精练 1.(2025广东湛江一模)在等比数列{an}中， a3·a5=49,a4十a6=70,则a8=() A.-567 B.567 70