4.3 解三角形(实战册)-【实战高考】2026年高考数学总复习（山东专版）

实战 实战高考·数学 4.3 解三角形 过去考什么 山东新高考全练 答案：P393 1.(多选)(2025新课标I卷，11,6分；考点1) 3.(2023新课标I卷，17,12分；考点2)已知 已知△ABC的面积为4，若c0s2A十cos2B 在△ABC中，A+B=3C,2sin(A-C)= sin B. +2sin C=2 cos Acos Bsin C (1)求sinA; 则() (2)设AB=5,求AB边上的高. A.sin C=sin2A++sin2B B.AB=√2 C.sin A+sin B6 2 D.AC+BC=3 2.(2024新课标I卷，15,13分；考点2)记 △ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 已知sinC=√2cosB,a2+b-c2=√2ab. (1)求B; (2)若△ABC的面积为3+√3，求c. 4.(2022新高考I卷，18,12分；考点2)记 △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b, sin 2B c,已知1十sinA1+cos2B. 1若C-受求B (②求产的最小值 48 O专题四三角函数与解三角形 5.(2021新高考I卷，19,12分；考点2)记 6.(2020新高考1卷，17,12分；考，点1)在①ac △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b, =√3，②csin A=3,③c=√3b这三个条件中 c.已知b=ac,点D在边AC上，BD· 任选一个，补充在下面问题中，若问题中的 sin∠ABC=asin C. 三角形存在，求c的值；若问题中的三角形 (1)证明：BD=b; 不存在，说明理由， (2)若AD=2DC,求cos∠ABC. 问题：是否存在△ABC,它的内角A,B,C的 对边分别为a,b,c,且sinA=√3sinB,C= 6, 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个 解答计分. 将来考什公 山东模拟专练 m答案：P395 考点闯关 考点①正、余弦定理 AB=5,AC=4,0s(C-B)=日，则△ABC 1.(2025山东菏泽一模)已知△ABC的三个角 的面积为 A,B,C的对边分别为a,b,c,且cosC= 4.(2024山东日照一模)在锐角△ABC中，角 cos A A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知√2a ,则tanC=( 3b-a 2 bsin A=0且a=5,c=4√2. A号 B.3 (1)求角B及边b的大小； (2)求sin(2C+B)的值. c号 D.2√2 2.(2024山东济南一模)已知a,b,c分别为 △ABC三个内角A,B,C的对边，且acos C +√3 asin C=b,则A=() A5 B. c.5 D. 考点②解三角形的综合应用 3.(2025山东聊城一模)在△ABC中，已知 49 实战 实战高考·数学 分层闯关 基础题组 4.(2025山东日照一模)在△ABC中，角A, 1.(2024山东聊城二模)如图，在平面四边形 B,C的对边分别为a,b,c,且√3 csin A= ABCD中，AB=AD=2,∠B=2∠D= 120°，记△ABC与△ACD的面积分别为 co (1)求角C; S1,S2,则S2一S1的值为( (2)若D为边AC上一点，且BD=BC= 停AB=1,求AD前值 A.2 B.3 C.1 n 2.（多选)(2025山东济宁一模)在△ABC中， 内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=√3， 且2c一b=2 acos B,则下列结论正确的 是() A.A=晋 B.△ABC外接圆的面积为π 5.(2025山东临沂一模)已知a,b,c分别为 C.△ABC面积的最大值为3y3 △ABC三个内角A,B,C的对边，且 4 √3 acos C+csin A-√3b=0. D.△ABC周长的最大值为3√3 (1)求A; 3.(2025山东泰安一模)在△ABC中，内角A, (2)若c=3,asin B=2√3，求a. B,C所对的边分别为a,b,c,2 ccos B+ bcos(π-A)=acos B. (1)求B; （2若>662g9snB.武.i=-6 求a,c. 50 ○专题四三角函数与解三角形 6.(2025山东潍坊一模)在△ABC中，角A、 能力题组 B、C所对的边分别为a、b、c,已知acos C十b 8.创意题(2024山东潍坊二模)在△ABC中，角 =0.6-9c A,B,C所对边分别为a,b,c,其外接圆半径为 1,sin2A+sin2B+sin2C-1,则△ABC的面 (1)求cosC; 积为 ;当A取得最大值时，则a一8a (2)若△ABC的面积为，D是BC上的点， 三 且∠ADB-3,求CD的长. 9.(2025山师附中一模)在锐角△ABC中，角 A,B,C的对边分别为a,bc,已知26 =cOS A cos B (1)求角B; (2)若b=2,求△ABC面积的取值范围. 7.(2025山东泰安二模)在钝角三角形ABC 中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,m =(sin B,cos C),n=(cos C,-2sin A),m ⊥n. (1)若c=√2a,求cosC的值； (2若△ABC的面积S=d,求号的值， 51 实战 实战高考·数学 培优题组 11.新题型(2024山东菏泽二模)定义二元函 10.(2024山东菏泽二模)已知在△ABC中， 数f(m,n)(m,n∈N*),同时满足： CA·CB=-2,△ABC的面积为√3. ①f(1,1)=1;②f(m十1，n)=f(m,n)+ 2n;③f(m,n+1)=f(m,n)+2m三个 (1)求角C的度数. (2)若BC=2,D,E是AB上的动点，且 条件. (1)求f(3,1),f(2,3)的值. ∠DCE始终等于30°，记∠CED=a.当DE (2)求f(m,n)的解析式. 取到最小值时，求α的值. (3)=f(1,n),S=sin ai sin azz al a2 十sin aa+…十sin a,x∈(0,2).比较 a3 an S与0的大小关系，并说明理由. 附：参考公式 sin acos B-[sin(aB)+sin(a-B)]; cos asin B- [sin(a+0一sin(a]: cos acosβ= cos(a+B)+-cos(-B)J sin asin B--[c0s(a+B)-cOs(a-B)] 1 52 ○专题四三角函数与解三角形 他省考什么 高考全国视野 答案：P398 真题精练) 4.(2024新课标Ⅱ卷，15,13分)记△ABC的 1.(2025新课标Ⅱ卷，5,5分)在△ABC中， 内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 BC=2,AC=1十√3，AB=√6，则A sinA+√3cosA=2. =() (1)求A. A.45°B.60° C.120° D.135° (2)若a=2,√2 bsin C=csin2B,求△ABC 2.(2025天津卷，16,14分)在△ABC中，角 的周长 A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin B= √3 bcos A,c-2b=1,a=√7. (1)求A的值； (2)求c的值； (3)求sin(A+2B)的值. 3.(2024北京卷，16,13分)在△ABC中，a= 7,A为纯角，s2B-osB (1)求∠A; (2)从条件①、条件②和条件③这三个条件 中选择一个作为已知，求△ABC的面积， ①w-7:@csBH=-:③esin A=33. 注：如果选择条件①、条件②和条件③分别 解答，按第一个解答计分： 模拟精练 1.(2025河北秦皇岛一模)已知△ABC的内角 A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足a= 2W2,B=T的三角形有两个，则b的取值范 围为() A.(0,2√2) B.(2√2,4) C.(2,4) D.(2,2√2) 53 实战 实战高考·数学 2.(2025广东佛山二模)已知△ABC的内角 5.(2025广东广州模拟)△ABC的内角A,B, A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为S,若 C的对边分别为a,b,c,已知b一a= 4S=(a2-3)sin CsinA 2acos C. sin B (1)证明：C=2A; 3.(2025江苏泰州模拟)(1)在△ABC中，已知 (2)若点D是AB边上一点，CD平分 anA=子，anB=是若△ABC最长边的 ∠ACB,CD=1,且△ACD的面积是△BCD 面积的2倍，求a. 长为√17，求最短边的长 (2)在△ABC中，AB=3,点D在BC的 延长线上，CD=5,∠ABC=45°，∠ACB= 60°，求AD的长 4.(2025湖北鄂州一模)在△ABC中，角A, B,C对边分别为a,b,c,且sin2B=sinA sin C. (1)若A=T,求B; (2)若a=c+1,b=3,求△ABC的面积. 54○实战册参考答案及解析 4.3解三角形 山东新高考全练 ①ABC解析cos2A十cos2B十2sinC=2,由二倍角公 可得cosC=2+2-c-2b-2 式，1-2sin2A+1-2sin2B+2sinC=2, 2ab 2ab 2 整理可得，sinC=sin2A十sin2B,故A选项正确； 因为C∈(0，π)，所以sinC>0,从而sinC=√1-cos2C 由诱导公式sin(A+B)=sin(π-C)=sinC, 展开可得sin Acos B+sin Bcos A=sinA+sin2B, --(》- Ep sin A(sin A-cos B)+sin B(sin B-cos A)=0, 又因为sinC=2cosB,即cosB=-2,又因为B∈(0，x), 若A+B=2,则sinA=cosB,sinB=cosA可知等式 成立； 所以B=5 若A十B<受，即A<受-B,由诱导公式和正孩函数的单 (2由1可得B-吾sC-9,CE0x, 调性可知，sinA<cosB,同理sinB<cosA, 又sinA>0,sinB>0,于是sinA(sinA-cosB)+sinB· 从而C-至A=元-号--受 (sin B-cos A)<0, 故如A=sm()=sim(肾+晋）-竖×+号×号 与条件不符，则A十B<不成立： _√6+W2 若A十B>,类似可推导出sinA((sin A-osB)十sinB· 4 (sinB-cosA)>0,则A+B>受不成立. 由正弦定理有a 6=‘,从而a=6+2. sinsin sin 12 4 综上讨论可知，A+B=受，即C-受 c=69-c. 由Bsin C=}=AB,由A十B=受，则 由三角形面积公式可知，△ABC的面积可表示为 cosB=snA,即sin AoosA= 5%m-imC-名.，9，竖-32， 8 则sin2A=号，同理sm2B=,注意到A,B是锐角，则 由已知△ABC的面积为3十5，可得3+32=3+5，所 8 2A,2B∈(0，x), 以c=2√2. 不坊设A<B,则2A=晋，2B-语，即A=登，B-登， 3解：(1)A+B=3C, 由和装化叔公式可知s血吾十血登-C选项正确 ∴x-C=3C,即C-至， 2sin(A-C)=sin B=sin(A+C), 由两角和的正切公式可得，am登=25， ..2sin Acos C-2cos Asin C=sin Acos C+cos Asin C, 设BC=t,AC=(2+V3)t, .'.sin Acos C=3cos Asin C, 则AB=(W2十√6)t, (2+√5)t ·.sinA=3cosA,即tanA=3,所以0<A<,.sinA 由Sac=合2+Ve= =3V√10 是，则2=4 (√2+√6)t 10 4 、 (2)由(1)知，cosA=0 则= 10 2 由sinB=sSin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=号X 于是AB=(W6十√2)t=√2，故B选项正确，由勾股定理可 知，AC2十BC2=2,故D选项错误， (②治+)=25 10/ 5 故选ABC. 2解：(1)由余弦定理有a2+b2-c2=2 abcos C,对比已知 由正弦定理益CB可得6 b 5X26 a2+b2-c2=√2ab, 5=2√10， √ 2 393 答案 实战高考·数学 2AB:h=号AB:AC·inA, _a2+c2-ac 2ac h=b·sinA=2√10X3D=6. 10 当c=3a时，cs∠ABC=名>1（合）：当c=号a 日解：1A=平0B1+aos2B=2oasB时 sin 2B 时，e0s∠ABC=: 0sB时071A-2ag常B-骨 cos B' 综上所述，AB-多 cos Acos B=sin Asin B+sin B,.'.cos(B+A)=sin B, 方法二：，点D在边AC上且AD=2DC, -cos C-sin B.C ∴Bd=号Bi+子BC, smB=2r0<B<等，∴B=吾 ∴亦=}耐B防+号C.D,而由(1)知BD=b, (2)由(1)可得：-cosC=sinB>0,.cosC<0,C c·os∠ABD+号b,s∠CBD,即36=c 62=1 ∈（受，）， cos∠ABD+2a·cos∠CBD, C为钝角，B,A都为锐角，B=C-受.sinA=sin(B+ 由余弦定理知，36=c· B+e音82+8-号 2bc -+2a· 2ab O)=sin(2C-）=-cos2C, .11b2=3c2+6a2. a2+b2 sin2A+sin2B cos22C+cos2C b2=ac,.3c2-11ac+6a2=0, c2 sin2C sin2C (1-2sin2C)2+(1-sin2C)2+4sin+C-5sin2C2 c=a或e=号a sin2C sin2C sin2C +4sin2C-5≥2√2×4-5=4V2-5,当且仅当sinC= 在△ABC中，由余弦定理知，coS∠ABC=Q2+c2-2 2ac 时取等号.Q2十的最小值为4V2-5. _a2+c2-ac 2 c2■ 2ac b ⑤(1)证明：由正弦定理知，sin ABC-sin C-2R, C 当c=3a时，cs∠ABC=名>1（舍），当c=号 .'.6=2Rsin/ABC,c=2Rsin C. 时，∠ABC-: b2=ac,∴.b·2Rsin∠ABC=a·2 Rsin C, 即bsin∠ABC=asin C..'BDsin∠ABC=asin C, 综上所述，oa∠ABC-=2 ..BD=6. 方法三：在△BCD中，由正弦定理可知asin C=BD· (2)解：方法一：由(1)知BD=b,·AD=2DC,∴.AD= sin∠BDC=bsin∠BDC, 名6DC-b, 而由题意可知ac=b2→asin C=bsin∠ABC, 在△ABD中，由余弦定理知，cos∠BDA= 于是sin∠BDC=sin∠ABC,从而∠BDC=∠ABC或 ∠BDC+∠ABC=π. BD+AD-ABe+(号6)°-e2 13b2-9c2 若∠BDC-∠ABC,则△CBDP△CAB,于是CB=CD·CA 2BD·AD 1262. →a2=b2 →a:b:c=1:3:3, 在△CBD中，由余弦定理知，cos∠BDC= 无法构成三角形，不合题意. BD2+CD2-BC2 +(-a 10b-9a2 若∠BDC+∠ABC=π，则∠ADB=∠ABC→△ABD 2BD·CD 20 662 C∽△ACB, ,∠BDA十∠BDC=π，∴.cos∠BDA+cos∠BDC=O,即 于是A=ADAC-学>a:6:c=3:6:2,满 132-9c+1062_9a2=0, 足题意， 12b2 6b2 得11b2=3c2+6a2..b2=ac,.3c2-11ac+6a2=0,.c 因此由余弦定理可得cos∠ABC=Q2+c2-b2=7 2ac 12 -3a或e-号a 6解：选条件①.由C=吾和余弦定理，得2+e 2ab 在△ABC中，由余弦定理知，cos∠ABC=Q2+2- 2ac 2 394 Q实战册参考答案及解析 由sinA=3sinB及正弦定理，得a=√3b.于是 三由②DesinA=3,所以c=6=25,a=6.因此，选条件 362+b2-c2_V3 2√362 =2,由此可得6=G ②时问题中的三角形存在，此时c=2√3. 由①ac=√3，解得a=3,b=c=1.因此，选条件①时问题 选条件回.由C-晋和余弦定理，得2+。L- 2ab 2 中的三角形存在，此时c=1. 由sinA=√3sinB及正弦定理，得a=√3b. 选条件②.由C=晋和余弦定理可得2+c-3 2ab 2 于是沙22-停由此可得6c 由sinA=√3sinB及正弦定理，得a=√3b. 2V32 于是沙2心-写，由此可得6=，B=C= 由③c=√3b,与b=c矛盾.因此，选条件③时问题中的三 2V5b2 6,A 角形不存在. 山东模拟专练了 考点闯关 在△ACD中，利用余弦定理，得cos∠ACD= 考点①正、余弦定理 16+CD2-(5-CD)2= 8CD 8,解得CD=3, ①D 因为C-器A,所以由正按定里可得 在△ACD中，利用余弦定理，得cos∠CAD= 16+4-9 c 2×4×2 cos C cos A sin C3sin B-sin A' 则mCD-√-(-是5. 所以3 sin Bcos C-sin Acos C-=cos Asin C, 则S△ABC= E 3sin Bcos C=sin Acos C++cos Asin C=sin(A+C). 2×4X5×最V-晋5 又因为sin(A十C)=sin(π-B)=sinB,0<B<r,所以 ④解：(1)依题意，W2a-2 bsin A=0, sin B0, 由正弦定理得√2sinA-2 sin Bsin A=0, 故3c0sC-1,解符co0sC-子·又因为0<C<,所以sinC 因为锐角三角形中0<A<2,sinA>0,所以2-2sinB >0, =0,sin B=2 所以sinC=V-cosC=√1-（）}-22，所以anc 3 因为B是锐角，所以B=平， 2√2 由余弦定理可得b=√a2+c2-2 accos B= =sinC=3=22. cos C 1 √25+32-2x5X42×要=V元. 3 2 2A解析由acos C-十√3 asin C=b以及正弦定理可得 (2)由余弦定理，得c0sC=2+2-&2=25+17-32 2ab 2X5×√17 sin Acos C+v3sin Asin C=sin B, √7因为C是锐角， 1 因为sinB=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,代入整 理得W3 sin Asin C-cos Asin C-=0, 因为0<C<元，sinC>0,则得tanA= 3 ,又因为0A< B)= m(2c+)-号 sin 2C cos 2C)= ,故A=晋 (2sin Ccos C+2 cosC-1) 2 考点②解三角形的综合应用 3只下解玩因为AB o =n+aawc-竖-ix壳×市+x 12_72 >AC,故∠ACB>∠B, 172 34" 如图，过点C作射线CD 分层闯关) 交线段AB于点D,使 基础题组 ∠BCD=∠B,则CD=BD: ①B解析在△ABC中，由余弦定理，得cOsB 则cos(C-B)=coS∠ACD= =AB2+BC2-AC2 8 2AB·BC 395 答案册 实战高考·数学 -4+BC二AC,得BC2-AC=-2BC-4①， 即一2 BC.AB=-BC.BA=-6,..BC.BA=accos B= 4BC 在△ACD中，由余弦定理，得cosD=AD2+CD2-一AC 2ac=6,∴ac=12. 2AD·CD 即-4 LCICDAG,得cD-Ac=2CD-4@, 又osB=2+8-a+22-18-1-合，ia+c 2ac 2ac 4CD =7. 又S=AB:BCsn120-9Bc,S&-AD:CD· 庙a+c=7, ac=12, ,府C4或aa>h=3, c=3. sin cD. .a=4,c=3. 所以S-S1-9cD-9C=9CD-B0®， ☑解：(1依题意V3 icsin A=-2acos2号，由正弦定理可得 由②-①，得CD2-BC2=2(CD+BC),由CD+BC>O, V5CsnA=2 sin号 得CD-BC=2,代入③，得S2-S1=√5. 2BCD解析对于选项A:因为2c-b-2 acos B, 因为0<A<元，所以sinA≠0，所以w3sinC=2cos2 2, 由余弦定理可得2c-b=2aX2+c2-2=a2+c2-2 方法-：即25sn号cos号=2cog2号 2 2ac c 因为0<C<,所以0<号←号ms号≠0， C 整理可得B+c2-a2=bc,则csA十c2-a一% 2bc =2 所以wnS-m号，所以amS-9,所以号-吾，即C 且A∈(0，x),所以A=3,故A错误： -5 对于选项B:由正弦定理可得△ABC外接圆的半径R= 方法二：即W3sinC-cosC=l, 2sin A 3=1, 所以2sin(c-吾)=1，即sin(c-）=2, 2×号 所以△ABC外接圆的面积为πR2=π，故B正确； 因为0<C<,所以-晋<C-吾<， 对于选项C:由2+c2-a2=bc可得2+c2=a2+bc=3十bc, 所以C否-石，即C- 且b2+c2≥2bc,即3十bc≥2bc,解得bc3,当且仅当b=c =√3时，等号成立， (2)因为BC-1,AB=3,又因为BD=BC,C=5, 所以△ABC面积的藏大值为号×3X写-3，长C 所以△BCD为等边三角形， 正确； 则CD=1,∠ADB=2x, 3 对于选项D:由b2+c2=3+bc可得(b十c)2=3+3bc,即 bc=6+c)2-3 由余弦定理，得ms∠ADB=AD六部BA_-一合， 2AD·BD 3 所以AD2+AD-2=0,解得AD=1或AD=-2(舍去)， 且bcsb+c)2 故AD=1. 4 即h+c)2-3≤b+c)2 3 4， ⑤解：(1)由正弦定理边化角可得3 sin Acos C-+sin Csin A 解得(b十c)2≤12，即b十c≤2√3，当且仅当b=c=√3时， -√3sinB=0, 等号成立， 即wW3 sin Acos C+sin Csin A=√3sinB=√3sin(A+C)= 所以△ABC周长的最大值为2√3十√3=3√3，故D正确. 3sin Acos C+3cos Asin C, 3解：(1)由题意得2 ccos B一bcos A=acos B,即acos B +bcos A=2ccos B, 所以sin Csin A=√3 cos Asin C. .'sin Acos B+sin Bcos A=2sin Ccos B. 因为sinC0,cosA=sin_A>0, √5 .'sin(A+B)=2sin Ccos B,.'sin C=2sin Ccos B. Ce0,xsmC40osB=2 所以nA=.又A∈(0，x),解得A=于 (2)c=3,asin B=23,]asin B=2Rsin Asin B=bsin A= B∈(0，x)B=3 2)由1可得2￥mB=2便×=B. 号6一=23C这里R是三角形ABC外接圆的半径)，解得6 3 4, 396 ○实战册参考答案及解析 由余弦定理可得a=√b2+c2-2 bccos A= , 7 √42+32-2X4×3X7=V13. 6解：(1)因为0sC+b=0,所以a.2+22十b …6=29 2ab 当C=号时，ce2=a2+-2 abeos C=7+62-号62 0,即a2+3b2-c2=0. 因为6=2，则c=226,即2+30-8=0，故a= 8, √56. 此时a2+c2=,B=受，不合题意. 由余弦定理可得osC=Q2+-c2_5b十-86 2ab 2√5b2 综上后-号 _5 能力题组 5 (2)因为asC=-得，则mC=-C- 日}4解断由正孩定理得品A品D品C 2R=2,a=2sin A,6=2sin B, V1-(--25 5 alsin C-2sin Asin Bsin C. sin 2A+sin 2B+sin 2C 因为SAac=2 binC-5。 ,可得b=⑤ 4 =sin 2A+sin 2B+sin[2x-2(A+B)] 因为a=566-26所以a-号6名c=2 =sin 2A+sin 2B-sin (2A+2B) =sin 2A+sin 2B-(sin 2Acos 2Bcos 2Asin 2B) 因为D是BC上的点，且 =sin 2A(1-cos 2B)+sin 2B(1-cos 2A) ∠ADB=,则∠CAD =4sin Acos A.sin2B4sin Bcos B sin2A =4sin Asin B(cos Asin B+sin Acos B) -C,∠ADC=开， =4 Asin Asin Bsin C=1,则5aAac=2X号-之， 所以sinCAD=-sin(F-C)=sn7cosC-ossin C mA=录=号，Sa=合knA=分，即c=动A -号×(-)+×-酒 5 101 2 a 在△ACD中，由正弦定理可得sin∠ADCsin∠CAD' CD 期sA+坛心≥2-1家-1-当且 26c 改wCx细原 仅当b=c时取等号， sin∠ADC 2 -101 因为A∈(0，π)，则cosA最小时，A最大， 2 取等号时，sim2A=1-os2A,即（号）2=1-(1-)户，即 7解：(1)m⊥n, .'.sin Bcos C-2cos Csin A=0, 紧-(2-)， cos C(sin B-2sin A)=0. ·在钝角三角形ABC中，cosC≠0， 即1=(2-）a,即4=a(8-a3),即a4-8a=-4 .'sin B=2sin A, 由正弦定理知，b=2a. ⑨解：(1)由正弦定理，得2 sin C-sin A-cosA, sin B cos B ,c=√2a, E2sin Ccos B-sin Acos B=sin Bcos A, 0osC=2+-e2_Q2+4a2-2a2-3 .'2sin Ccos B=sin(A+B)=sin C. 2ab 4a2 41 (2).b=2a, :Ce(o,)sinC≠o, “aboin C-a2snc=9a2,i血c-9 cosB=2.又B∈(0,5)，B=5 21 Ce0,,C-晋或经 (2由正弦定理，得品B2R=4, 3 当C-号时，2=a2+-2 abeos C-+2+2- inin Ae-2Rsin Cin C. 3 397 答案 实战高考·数学 一60)=1时，DE取到最小值，此时2a一60°=90°，即a= .S△ABC= 3 75°，所以a的值为75°. （-A)-4gnA(合nA+msA 11解：(1)由条件②可得f(2,1)=f(1,1)+2×1=3, 3 f(3,1)=f(2,1)+2×1=5; -4(合A+9nAsA）-2g.sm(2A-吾} 由条件③可得f(2,2)=f(2,1)十2×2=7，f(2,3)= f(2,2)+2×2=11. +③ 3 (2)由条件②可得：f(2,1)=f(1,1)+2, f(3,1)=f(2,1)+2, 0<A<2, … 在锐角△ABC中，0<C<受， f(m,1)=f(m-1,1)+2, 将上述(m-1)个等式相加，得f(m,1)=f(1,1)十 C-ξ-A, 2(m-1)=2m-1; 由条件③可得： 解得A∈(，受)， f(m,2)=f(m,1)+2m, 2A-吾∈（悟，）sm(2A-吾）e(21],2。 f(m,3)=f(m,2)+2m, … sm(2A-）+9c(2sv, f(m,n)=f(m,n-1)+2m, 将上述(n一1)个等式相加，得f(m,n)=f(m,1)+2m(n 则56cE(2S] -1)=2mm-1. (3)由(2)可得f(1,n)=2n-1,所以am=2n-1, 培优题组 10解：(1)设CA=b,CB=a,则abcos,∠ACB=-2,又 则Sn=sna1z+sina2x十…+sin an=sinz+sin3z a2 an 1 3 2 absin∠ACB=V3,因此tan∠ACB=-J3, 1 +.+sin(2n-1)x 2m-1 由∠ACB为△ABC的内角，所以∠ACB=120°. 则(2sinx)·Sn=1-cos2z+cos22cos4红+ 3 (2)由(1)知，2 absin120°=3，又a=2,则6=2，因此CA +cos (2n-2)z-cos 2nx =CB=2,∠A=∠B=30°. 2n-1 在△ACE中，由正弦定理，得品-，即cE =1-（1-3）os2z-(号-号）cos4红… 、1 (1)co( 1 cos 2nx sin a' 在△CDE中，由正弦定理，得sin∠CDE sin30, CE DE ≥1- (1-)-(层-)-（信-）-… DE=CE·sin30 1 sin∠CDE 2 sin asin(150°-a) (232）2210… 1 1 当且仅当x=π时，cos2kx=1(k=1,2,…,n),上式取得 sin acos a+√3sin2a1 sin2。- 3 2 cos 2a+ 等号， 2 即x≠π时，均有(2sinx)·Sm>0, 1 sm(2。-609+9 所以，当0<x<π时，Sm>0; 当r<x<2π时，Sm<0; 显然30°≤a≤120°，则有0≤2a一60°≤180°，因此当sin(2a 当x=x时，sinπ=sin3π=…=sin(2n-1)x=0,所以Sn=0. 高考全国视野 真题精练 2解：（1)已知asin B=56cosA,由正弦定理A ①A 解析由题意，得coSA=AB2十AC-BC 2AB·AC b sin B' (6)2+(1+3)2-22_2 2X6X(1+√3)2 得asin B=bsin A=√3 bcos A,显然cosA≠0，得tanA= 又0°<A<180°，所以A=45° 5,由0<A<,枚A=于 398 O实战册参考答率及解析 (2)由(1)知cosA= ，且c=2b+1,a=7,由余弦定理 因为C为三角形内角，则0sC-√-（盟）-量 a2=62+c2-2bccos A, 得7=+(26+1)2-2X26(26叶1)=36+36+1，解得 则sinB=sin(A+C)=sm(肾+C)-sinco C叶as经 b=1(b=一2舍去)，故c=3. 如c-9×是+(-)×- 14 《③)由正弦定理品A品且6=1a=,mA 2, 则SA△ABC= acmB=3×7x5×3_15 14 4 得mB-A,且6心>6，则B为锐， ☑解：(1)方法一：由sinA十3cosA=2可得2sinA+ a 故cosB=各7，故sm2B=2 2sin Boos B-5, 3 14 cosA=1,即sin(A+5）=1, 且6s2B=1-2smB=1-2x()- 因为A∈(0，，所以A+号∈(，)，放A+-受， sin(A+2B)=sin Acos 2B+cos Asin 2B= 9×+ 解得A=吾 方法二：由sinA+√3cosA=2,又sin2A十cos2A-1,消去 合×酒-4 7 sinA得到： 日解：1D由题意得2 sin Bcos B-号cosB,因为A为 4cos2A-4√5cosA+3=0,即(2cosA-V3)2=0,獬 钝角， 得coA复 b=2=a 所议cosB≠0则2nB=96,则nB有 又A∈0，，放A=吾 (2)由题设条件和正弦定理知， A解得如A汽 √2 bsin C=csin2B→√2 sin Bsin C-=2 sin Csin Bcos B, 因为A为钝角，则A- 又B,C∈0，，则n in C.叶0，进而omsB-9,得到B (2)选择6=-7.则s血B6=得×7-原因为A =平， 于是C=-A-B-登， 等则B为锐角，则B=子 sinC=sin(π-A-B)=sin(A+B)=sin Acos B+sinB· 此时A十B=π，不合题意，舍弃. COS A=V2+V6 选择@osB=是，因为B为三角形内角，则smB- 4 1-(》- 由正孩定理可得：A品BC即2= b sin吾sn开 代入2anB=96得2×39-96，解得-3， 如 又smC-sn(A+B-sn(5+B)=s动msB叶oas. 解得b=2√2，c=√6+√2，故△ABC的周长为2+√6+ mB=×是+(-)×3=5，则5版 3√2. 模拟精练) 合咖nC-号×7X3x-15 1D 4 解折在△ABC中，a=22,B=至，由△ABC有两 选择③csin A= 5，则有e×号-三区，解得6=5， [b<a, 解，得 sin A=asin B<1, 则有正定理iAicc解得血C b 62√2， 2 即32√2X2, 解得2<b<2V2,所以b的取值范围为 -53 14 b 399 答案 实战高考·数学 (2,2V2). sinC=-1±(22+1) 23解析由4S=(a2-3b2)sinC,得2 absin C= 4 (a2-362)sin C, 因为0<C<平，则0<C<1,解得血C=竖，故C= 又因为sinC>0,所以2ab=a2-3b2, 由正弦定理可得2 sin Asin B=sinA-3sin2B, ,则B=受 由于m0,用（密》-2，密合-3-0， (2)因为sin2B=sinA-sinC,所以2 sin Bcos B=sinA sin C. 解得i加A-3或i加A=一1， sin B sin B 所以由正孩定理时得sB-血A》C_“2石-日 2sin B 》0，所以部含3. 因为si4 由余弦定理知osB=2+-=a-g2-+1- 2ac 2ac 3解：(1)因为A十B+C=π， 所以tanC=tan(π-A-B)=一tan(A十B)= +1=合解得u= 2ac 1+3 tan A+tan B 4T5 1-tan Atan B =-1. 因为hB=V-osB-图放Saac=acs血B= 又C∈(0，π)，所以C=3红，所以C>A,C>B, ×4×-2 5 4 ⑤(1)证明：因为b-a=2 acos C,由正弦定理，得sinB 所以c>a,c>b, sin A=2sin Acos C, 故c为最长边，即c=√17. 在△ABC中，有sinB=sin(A+C),所以sin(A+C)- 因为tanA<tanB,且A,B为锐角，所以A为最小角，故a sin A=2sin Acos C, 为最短边， sin Acos C+cos Asin C-sin A=2sin Acos C, sin A 1 所以sinA=sin Ccos A一cos Csin A,即sinA=sin(C-A). 1 由tanA= 4,得 cos A4, 且sinA>0,所以 因为0<A<π，一元<C-A<π，所以A=C-A或A十(C (sin2A+cos2A=1, 一A)=π（舍去）， sin A=v17 所以C=2A. 17 (2)解：CD平分∠ACB,∠ACD=∠BCD. △ACD的面积是△BCD面积的2倍， 由正弦定 sinA-inC,得a-siA C ×罗 sin C 2 .SAACD 2AC·CDsin∠ACD AC 2 'S△BCD BC =2,即b=2a. BC·CDsin∠BCD =√2， 2 1 即最短边的长为√2. 设AB边上的高为h,又△MCD= AD·hAD 2 AB AC (2)在△ABC中，由正弦定理sin2ACB=sin∠ABC,得 S△BCD D BD =2,即 2 AD-2BD. AC-A8S×AB-言×3y-3 C=2A,∴.∠ACD=∠BCD=A,∴.AD=CD=1,BD 32 因为∠ACB=60°，所以∠ACD=120°. 以下有不同解法. 在△ACD中，由余弦定理，得AD2=AC十CD2-2AC· 解法一： CDcos∠ACD=32+52-2X3×5×cos120°=49， :cos∠ADC=-cos∠BDC, 即AD的长为7. AD+DC:-ACz BD2+DC2-BC2 2AD·DC 2BD·DC ☑解：1)因为A+B+C=,A=云， (侵)厂+1-2 则sin2B=sn[2(经-C)]=sim(经-2C)=-cos2C, 即12+12-(2a)2 2 由n2B=s血A-s血C可得-cos2C-号-snC,即 2C+nC-9-1=0, 解法二： 在△ABC中，由余弦定理，得c2=a2+b2-2ab· 400 Q实战册参考答案及解析 cos∠ACB,即号-a2+4a2-4a2·cs∠ACB,① 又：C=2A,A+B+C=元， 2a 由AD=2BD,则Cd=3Ci+子Ci,又b=2a, sin(x-3A) sin A' 2a 0市=（兮i+号，即1=音2+号。+号c… sin 2Acos A+cos 2Asin A sin A' cos∠ACB.② 2 2sin A cosA(2 cos2A-1)sin A sin A' 由①②联立可得，a= 2 :0sA=士3，又A为△ABC中较小的角 解法三： 在△ABC中，由正弦定理，得b6。 sin B sin A' A=否C=2A=子，则B=受，ia= 21 专题五。平面向量与复数 5.1平面向量 山东新高考全练 ①A解析由题意及图，得视风风速对应的向量为= ④B解析方法一：因为点D在边AB上，且BD=2DA, (0,2)-(3,3)=(-3,-1), 所以Bi=2DA,即C市-C第=2(CA-Ci), 视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风 所以C3=3Cd-2CA=3n-2m=-2m+3n.故选B. 速对应的向量之和， 方法二：设C克=λCA+μC市=m+n,因为A,D,B共 船速方向和船行风速的向量方向相反， 线，所以入十μ=1，排除C,D,结合图象及三角形法则，可 设真风风速对应的向量为1，船行风速对应的向量为2， 得入<0，排除A,故选B. .n=十2， 5A解析 船行风速：2=-[(3,3)一(2,0)]=(-1，-3)， .m=n-2=(-3,-1)-(-1,-3)=(-2,2), |=√(-2)2+22=2√2≈2.828，故由表得，真风风 速为轻风. 2D解析因为b⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0,所以 b2-4a·b=0,即4十x2-4x=0,故x=2. 3D解析因为a=(1,1),b=(1,-1),所以a十b=(1 +λ，1-λ)，a+b=(1十k,1-), AB的模为2，根据正六边形的特征，可以得到A护在A官方 由(a+b)⊥(a十b)可得， 向上的投影的取值范围是（一1,3），结合向量数量积的定 (a+b)·(a+b)=0, 义式，可知A下·AB等于AB的模与A萨在AB方向上的投 即(1+λ)(1+)+(1-λ)(1-)=0，整理可得4=-1. 影的乘积，所以A卫·AB的取值范围是（一2,6）. 山东模拟专练 考点闯关) 号〔合去。 考点①平面向量的概念及运算 0B解折由题意点D是AB的中点，所以Cd-Ci+ 2B解折因为向量a=(3,m),b=（-1,3),且a∥b, 得3X3=(-1)×m,得m=-1. 考点②平面向量的夹角与模 又A=入A市+子A心，所以AC+C=1(AC+C市)十 3A解析由a=(1,√3)，b|=3,1a-2b|=2, 34花， 则a-2b|2=|a2-4a·b+4|b|2=4, 解得C市=（号-）+xC弦. 而a=W12+(W3)2=2,即得a·b=3, 1 又因为点P在CD上，所以，解得-或X 所以sab一治-， 又0°≤a,b)≤180°，所以(a,b》=30° ④A解析方法一：由题意得a-b=e1一2e2, 401