3.1 导数的概念及运算(实战册)-【实战高考】2026年高考数学总复习（山东专版）

专题三 导数及其应用 3.1 导数的概念及运算 过去考什么 山东新高考全练 m答案：P360 1.(2021新高考I卷，7,5分：考点)若过点 则a= (a,b)可以作曲线y=e的两条切线， 3.(2024新课标I卷，13,5分，考点)若曲线y 则( ) =e十x在点(0,1)处的切线也是曲线y= A.<a B.e<6 ln(x+1)+a的切线，则a= C.0<a<e D.0<<ea 4.(2022新高考I卷，15,5分；考点)若曲线y 2.(2025新课标I卷，12,5分；考点)若直线 =(x十a)e有两条过坐标原点的切线，则a y=2x十5是曲线y=e十x+a的切线， 的取值范围是 将来考什公 山东模拟专练 答案：P360 考点闯关 考点导数的运算及几何意义 f(π))处的切线方程为() 1.(2025山东聊城一模)曲线y=xlnx在x= A.x十元y-π=0 B.x-元y十π=0 1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的 C.x十y十π=0 D.x十y=0 面积为( 3.(2025山东菏泽一模)曲线y= A.4 B.3 ln(x+1)在A(1,y1),B(x2,2)两点处 C.1 Dz 的切线互相垂直，则十的值为( ) 2.(2025山东济南模拟)已知f(x)=(x十a)· A.-1 B.0 cosx为奇函数，则曲线y=f(x)在点（π， C.1 D.e 分层闯关) 基础题组 2.(2025山东济宁-摸)曲线y=是(>0)与 1.(2025山东聊城期中)已知函数f(x)=2sinx一 y=lnx和y=e分别交于A,B两点，设曲 ax,a∈R,若曲线f(x)在点（受，f()》处的 线y=lnx在A处的切线斜率为k1,y=e 切线方程为x+y十k=0,则函数f(x)在(0， 在B处的切线斜率为k2,若1十，=号，则 2π)内的单调递减区间是() a=() A[, B.(0,π] A.21n 2 B.21n 3 C.3ln 2 D.31n 3 C.[π，2) Do,5],[3x2x 3.(2025山东青岛模拟)已知曲线y=x十lnx 24 O专题三导数及其应用 在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+ (2a+3)x+1只有一个公共点，则a u=fx) =( ) A0或号 B0或号 C1或2 D.0 42025山东济南赞极)圃线y=lh}芒在点 A.1 B (0,0)处的切线方程为 c号 5.(2025山东青岛开学模拟)若曲线y=a0osx在 8.(2025山东青岛模拟)已知曲线y=e在 点(0,0)处的切线斜率为一1，则a= x=一1处的切线与曲线y=a十lnx相切， 6.(2025山东潍坊期中)已知点P(,0)在函 则a三 9.(2025山东聊城模拟)一条直线与函数y= 数f(x)=sin wx 2(0<u<3)的图象上， lnx和y=e的图象分别相切于点P(c, y)和点Q(x2,y2),则(x1一1)(x2十1)的值 则曲线y=f(x)在点P处的切线方程 为 为 10.(2025山东青岛一模)已知函数f(x)= 能力题组 lnx图象的两条切线相互垂直，并分别 7.新题型(2024山东潍坊三模)牛顿迭代法是求 交y轴于A,B两点，则|AB引= 方程近似解的一种方法.如图，方程f(x)=0 培优题组 的根就是函数f(x)的零点r,取初始值x, 11.(2025山东日照模拟)若过点(a,1)可以作 f(x)的图象在点(xo,f(x))处的切线与x 曲线y=lnx的两条切线，则a的取值范 轴的交点的横坐标为x1,f(x)的图象在点 围为() (,f(x)处的切线与x轴的交点的横坐 A.(0,e) B.(-o∞，1) 标为x2,一直继续下去，得到x1,x2,…,x, C.(0,e2) D.(0,1) 它们越来越接近r.设函数f(x)=x2+bx, 12.创意题(2024山东临沂二模)若直线y= 则实 =2,用牛顿迭代法得到1=1， ax十1与曲线y=b十lnx相切，则ab的取 数6=( 值范围为 他省考什公 高考全国视野 w答案：P363 真题精练 A.y- By号x 1(②2023金国甲卷，8,5分曲线y一千在点 + C.y=e D.y=9 (1,)处的切线方程为( 2.(2024全国甲卷，6,5分)设函数f(x)= 25 实战 实战高考·数学 e+2sin工，则曲线y=f(x)在(0,1)处的切 A.1条 B.2条 1+x2 C.3条 D.4条 线与两坐标轴围成的三角形的面积 3.(2025江西新余模拟)过y轴上一点 为() (0,a)可以作函数f(x)=x3+x2一x图象 A日 C.2 n号 的3条切线，则a的取值范围是() 3.(2022新高考TI卷，14,5分)写出曲线y=nx A(70 B(日o 过坐标原点的切线方程： c(-3o n(-3,-》 模拟精练 4.(2025广东深圳模拟)已知函数f(x)=m+ 1.(2025河北秦皇岛一模)已知曲线C:y= e十x在点P(xo,yo)处的切线l与直线'： (m一1)x2是奇函数，则曲线f(x)在x=一1 y=2x一1平行，则l与'之间的距离 处的切线的方程为( ) 为() A.x-y+2=0 B.x+y+2=0 4. B.2V5 C.x+y-2=0 D.x-y-2=0 5 5 5.(2025广东佛山一模)若直线y=x十a与曲 c3g5 D.15 线y=ln(x+b)相切，则a2+b的最小值 为( 2.(2025河南模拟)过原点且与曲线y= A司 B.1 c.2 D.2 xsin x相切的直线有() 3.2利用导数研究函数的单调性、极值和最值 过去考什么 山东新高考全练 .答案：P364 1.(2022新高考I卷，7,5分；考点1)设a= 4.(2023新课标I卷，19,12分；考，点1)已知 0.1e1,b-日c=-ln0.9,则( 函数f(x)=a(e十a)-x. (1)讨论f(x)的单调性； A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.a<c<b (2)证明：当a>0时，f(x)>2na+多 21 2.(多选)(2024新课标I卷，10,6分；考点2) 设函数f(x)=(x一1)2(x-4),则() A.x=3是f(x)的极小值点 B.当0<x<1时，f(x)<f(x2) C.当1<x<2时，-4<f(2x-1)<0 D.当-1<x<0时，f(2-x)>f(x) 3.(2021新高考I卷，15,5分；考点2)函数 f(x)=2x-1一2nx的最小值为 26■答案 实战高考·数学 设消除60%的污染物对应事件为1，即0.4P0=P0e-:1, 即n2=-(t-t2),所以t2-t1=10,即从消除 设消除80%的污染物对应事件为t2,即0.2Po=P0e-2, 60%的污染物到消除80%的污染物大约需要经历 两式相除可得：2=ekc), 10h. 专题三)导数及其应用 3.1导数的概念及运算 山东新高考全练 ①D解析方法一：在曲线y= 因为直线y=2x十5是曲线的切线，直线的斜率为2， ex上任取一点P(t,et),对函数 令y=ex+1=2,即ex=1,解得x=0, y=ex求导得y'=er, 将x=0代入切线方程y=2x十5，可得y=2×0+5=5, 所以曲线y=Cx在点P处的切 所以切点坐标为(0,5). 线方程为y一e=e(x一t), aa+ 因为切，点(0,5)在曲线y=ex十x十a上， 即y=e'x十(1-t)e. 所以5=e0+0十a,即5=1十a,解得a=4. 由题意可知，点(a,b)在直线 方法二：对于y=ex十x十a,其导数为y'=ex十l,假设 y=e'x+(1-t)e'上，可得b= y=2x十5与y=er+x十a的切点为（x0,o),则 ae!+(1-t)e=(a+l-t)e, e+1=2, 令f(t)=(a十1一t)e,则f(t) y0=2x0十5，解得a=4. =(a-t)e. 图① 当t<a时，f(t)>0,此时函数f(t)单调递增， y0=eo+x0十a, 当t>a时，f(t)<0,此时函数 3ln2解析由y=e+x得y=e2+1,y|z=0=e0+1 f(t)单调递减， =2,故曲线y=ex十x在(0,1)处的切线方程为y=2x十 所以f(t)max=f(a)=ea, 1:由y-lhx十1)十a得y-设切线与曲线y 由题意可知，直线y=b与曲线y =f(t)的图象有两个交点，则b ln(x十1)十a相切的切点为(x0,ln(xo十l)十a),由两曲 <f(t)max=ea, 线有公切线得/二十12，解得西=一2则切点为 当t<a十1时，f(t)>0,当t>a +1时，f(t)<0,作出函数f(t) (-2,a+ln2),切线方程为y=2(x+)十a十ln2 的图象如图①所示. P(a,b) =2x十1十a-ln2,根据两切线重合，所以a一ln2=0,解 由图可知，当0<b<ea时，直线 o 得a=ln2. y=b与曲线y=f(t)的图象有 图② 4(-∞，-4)U(0,十o∞)解析：y=(x十a)ex, 两个交点 y'=(x十1十a)er,设切点为(x0,yo),则y0= 故选D. (xo十a)e,切线斜率k=(xo十1十a)e,切线方程为y 方法二：画出函数曲线y=x的图象如图②所示，根据直 观即可判定点(a,b)在曲线下方和x轴上方时才可以作 -(x0+a)e=(x0+1+a)e(x-x0). 出两条切线.由此可知0<b<e4. ,切线过原，点，∴.一(x0十a)e吗=(x0十1十a)e· 故选：D. (-x0),整理得：x6十ax0一a=0. 24解析方法一：对于y=ex十x十a,其导数为y=e ,切线有两条，.△=a2十4a>0,解得a<-4或a>0, +1, ∴.a的取值范围是（一∞，一4）U(0,十∞). 山东模拟专练 考点闯关) 的三角形的面积为号×12=司 考点导数的运算及几何意义 2D解析因为f(x)=(x十a)cosx为奇函数，且在x ①D解析对函数y=xlnx求导得y'=lnx十1，故所求 0处有定义， 切线斜率为k=ln1十1=1，切点坐标为(1,0)，所以曲线 所以f(0)=0.因为f(0)=a,所以a=0,故f(x)= y=xlnx在x=1处的切线方程为y=x一1， xcos x. 该切线交x轴于点(1,0)，交y轴于点(0，一1)， 而f(π)=πc0sπ=一元，得到切，点为（π，一π）. 因此，曲线y=xlnx在x=1处的切线与两坐标轴所围成 又f(x)=cosx-xsin x, 360 Q实战册参考答案及解析 设切线斜率为k,由斜率的几何意义得=f(π)=一1， 故切线方程为y十π=一(x一x),化简得x十y=0,故D 目A爵玩由)x+h,有)=1+士 正确. 当x=1时，y=1十1=2，即在点(1,1)处的切线斜率 3A解析由y-|ln(x+1)川- 为2， 1 由点斜式得切线方程y-1=2(x-1),即y=2x-1, ln(x+1),x≥0， x十1x≥0， y=ax2+(2a+3)x+1, y= 联立 -ln(x+1),-1<x<0, 整理得a.x2+(2a+1)x+ 1 x+1,-1<x<0, (y=2x-1, 2=0. 不妨设x1<x2,两切线的斜率分别为k1,k2, 因为切线与曲线y=ax2十(2a十3)x十1只有一个公共 当0长<时，则有十1此时 点，所以方程a.x2+(2a十1)x+2=0只有一个根， 1 当a=0时，方程为x十2=0只有一个根，满足题意； =(1+1)(2+1)>0,显然12≠-1，因此4⊥6不 当a≠0时，有△=(2a十1)2-8a=0,即(2a-1)2=0,解 成立，不符合题意；当一1<x1<x2<0时，则有k1= 1 打起=1此时ea十n十D> 1 1 得a=21 1 0,显然1k2≠-1， 综上，a=0或a=2 因此l1⊥l2不成立，不符合题意；当一1<x1<0≤x2,则 ④y=2x解析易知函数定义域为(-1,1)，因为y= 7 有个=一 经h1+o）-n1-,所以y=十z+已2 1 1-x 此时12=-1→1x”十十2=0，变形得十 1 当x=0时，y=1+1=2,又当x=0时，y=0, x1 x2 -1. 所以由线)y=ln吉号在点(0,0)处的切线方程为y一2x 分层闯关) ⑤-1解析求导得到y'=a(cosx一xsin x),将x=0代 基础题组 入导数，运用导数几何意义，得a(cos0-0)=a=一1. ①A解析函数f(x)=2sinx-ax,求导得f(x)= 同，2xy会=0图玩由复志，知（后）=血智 2cos -a,)-2cos 2-a--a, 号=0,0<w<3,0<g<ξ，故g-至，a=2, 2 由曲线f()在点（受，f(罗）》处的切线方程为x十y十 =0,得-a=-1,解得a=1, 故K)-血2z-9f)=2s2,k=f(爱） 于是f(x)=2cosx-1,由f(x)=2cosx-1≤0，得 2c0sT=2, cosx≤7而x长0,2a,解得晋<x< 所以y=fx)在点P处的切线方程为y=2(x-否)，即 所以函教f)在(0,2)内的单调运减区间是[晋，] 2r二0. 2A解析因为y=lnx和y=cx互为反函数，其图象关 2x-y 8 于直线y=x对称， 能力题组 且反比例画数y=2(a>0)的图象也关于直线y=x 7D解析f(x)=2x十b,f(2)=4十b,f(2)=4+2b, 则f(x)在(2，f(2))处的切线方程为y一（4十2b) 对称， =(4十b)(x-2), 可知点A,B关于直线y=x对称，设A(x0,lnx0),x0> 1,则B(nx0,x0), 由题意得，切线过 (8,0）代入得，-4+2b) 设f)=lnx,g）=e,则fx）=子g()=e, (4+b)(侣-2)，解得6=是。 由题意可符：1十如=十=十w=号，解得 5 82解标因为y=c,则y=c,当x=-1,可得y 如=2减0=合（含去， y-是，即切点坐标为(-1，己)，切线斜率为是，则切线 可得A(2,ln2),则号=ln2,所以a=2n2. 方程为y日+1D,即)=日名 361 答案册 实战高考·数学 又因为y=a十lnx,则y= 上设切点坐#为 1-ln x1, (m,a+n西)，则切线斜率为马 l:y-()l 则A(0,1-lnx1),B(0,lnx2-1),因为0<x1<1,且 所以切线方程为y-(a十ln0)=(x一0)，即y x1x2=1, AB=1-In xI-(In x2-1)=2-In x1.x2=2. x+a-1卡w3 培优题组 1=1 [xo=e, 们A解析设曲线y=lnx与其切线相切于点A(t, xo e 可得 a-1+lha=2 解得。2故答案为 n0,由)y=1nx,求导得y/=子 ’ (a e ⑨一2解析因为f(x)=lnx,g(x)=e,所以f(x)= 则尚线y=lhx在点A(,laD处的切线方程为y=（红 -o, -t)+In t, 则y=lnx在点P(x,yⅥ)处的切线方程为y一lnx= 由切线过点(a,l),得1=上(a-)十lht,整理得a=24 xx,中y+la-1: tlnt, x1 由过点(a,l)可以作曲线y=lnx的两条切线，得方程a= y=er在点Q(x2,y2)处的切线方程为y一e= 2t-tnt有两个解， e（x-x2),即y=ex十e2(1-x2), 令f(t)=2t一tnt,则直线y=a与函数y=f(t)的图象有 （1=e, 两个交点， 由已知x1 由=e得a=e4, 求导得f(t)=1-lnt,当0<t<e时，f(t)>0,当>e lnx1-1=e2(1-x2), 时，f(t)<0, 故lnx1-1=lne-1=-x2-1, 则函数f(t)在(0，e)上单调递增，在(e,十o∞)上单调递 故-2-1=(1-2)，解得=2 x1 x2+1, 减，当x=e时，f(t)取得最大值f(e)=e, 所以1一品骨1-子因晚（幻-10+1） 而当x从大于0的方向趋近于0时，f(t)的值趋近于0， f(e2)=0, (-6)+1=-2. 因此当0<a<e时，直线y=a与函数y=f(t)的图象有 两个交点， 102解析设函数f(x)在，点P(x1,f(x1))和Q(x2, 所以a的取值范围为(0，e). f(x2)(x1<x2)处的两条切线互相垂直， 如图，可得f(x)=|lnx|的零，点为1，故不妨设0<x1< 2[一专，+∞）麝析函数)=6+1nx的子数为) 1,x2>1, ,设切点为(0，a0十1D,所以1=a,则a0=1,即 则P(x1,-lnx1),Q(x2,lnx2),当x∈(1，十∞)时， x =xo.又因为(xo,axo+1)在y=b十lnx上，所以ax0十1 f(z)=Inz,f(2)=1, =b+In xo, 当x0,1D时f)=-1hxf)=子 所以b十lnxo=2,即b一lna=2,所以b=2十lna,所以ab =a(2+In a)=2a+aln a(a>0), 则P=二0=.所以pA·aB=-1,即2 22 令g(a)=2a十alna,g(a)=2+lna十a·L=na+3, =1. 令g(a)>0,可得a>,令g(a)<0,可得0<a<。3； 所以g(a)在(0，启)上单调递减，在（信，十∞）上单调 递增， 所以gam=g信)=总+h是-是-是=一总当 O a趋近正无穷时，g(a)趋近正无穷.所以ab的取值范围 因为pA:y-(-lna)=-(x-)，即y=- x1 为[是+∞月 362 ○实战册参考答案及解析 高考全国视野 真题精练) 0(x一0)，即y=0; 霸因为y希-“兰 (x+1)2 (x+1)2, 当西=登时，所以质=1，所以切线方程为y-0 1(x一0)，即y=x; 故函数在点(1，号)处的切线斜率=导，切线方程为y 当x0=- 受时，所以=一1，所以切线方程为y一0= 号=红-1D,即y=导x+ -1(x-0),即y=-x. 2A解析f(x)= 所以切线有3条. (e+2cosx)1+2)-(e+2sinz)·2L,则(0)= 3A解桐因为f(x)=x3十x2-x,所以f(x)=3x2+ (1+x2)2 2x-1, (e0十2cos0)(1+0)-(0十2sin0)×0=3,即该切线方 (1+0)2 设切点为（x0,x好十号一x0),则切线方程y= 程为y-1=3x,即y=3x十1， (3x+2x0-1)(x-x0)+x8十z6-x0, 令x=0,则y=1,令y=0,则x=一}，故孩切线与两坐 而l过(0，a),将(0，a)代入方程得到a=-2x8-x号， 令g(x)=-2x3-x2,g(x)=-6x2-2x,令g(x)<0, 标轴所圈成的三角形面积S=日×1×-引=日 x∈(-0，-日)U(0,十o),此时g(0单调递减，令 同y=是xy=-是x解标因为y=nz,当x>0 g(x)>0,x(-号，0)，此时g)单调道增， 时y=nx,设切点为(，lh知)，由y=是，所以y1- 故g()有极小值g(一弓）=一刃，有极大值g0)=0,则 -品，所以切线方程为y一h-品一0). 得到aE(一7,0），故A正确. 又切线过坐标原点，所以-1山0=（一0），解得0= 4B 解析由函数f(x）=”+(m-1)x2的定义域为 e,所以切线方程为y一1=。（红-e),即y=名；当x<0 {xx≠0}，且f(x)是奇函数， 时)=la(-),设切点为(a,h(-,由y=子，所 则f(-x)十f(x)=0,即-”+(m-1）x2+”+(m- 1)x2=0,解得m=1, 以y1=-女，所以切线方程为y一h《一) 于是f)=子，求导得f()=一是，则了(-1D=-1, 子红一，又切线过坐标原点，所以-h(一)= 而f(-1)=-1, 所以曲线f(x)在x=一1处的切线的方程为y十1= 一)，解得=一©，所以切线方程为y -(x+1),即x+y十2=0. +e,即y-x ⑤A解析设直线y=x十a与曲线y=ln(x十b)的切点 为(x0,y0). 模拟精练 ①B解析由题意y=ex+1,切线1的斜率为2，则 对y一la十0求导，可得y-十b e十1=2，得x0=0, 因为直线y=x十a的斜率为1，由导数的几何意义可知， 故y0=e十x0=1,故切线1的方程为：y一1=2x, 在切点处十61，即0=1-6 即2x-y+1=0, 又因为切点(x0,y0)既在直线上又在曲线上， 直线1：y=2x-1,即2x一y-1=0,故两直线的距离 所以yo=x0+a且y0=ln(xo+b),即ln(x0+b) 为d=11-(-1)L=25 =x0十a. √22+(-1)z5 将x0=1-b代入ln(xo+b)=x0+a,可得ln(1-b+b) 2C解析设切点(x0,x0sinx0),因为曲线y=xsin, =1-b+a,即a=b-1. 所以y=sinx十xcos x, 将a=b-1代入a2+b,可得a2+b=(b-1)2+b2= 所以20sin20=5in0十20c0s20,所以mc0s20=0, 28-26+1-26-2）°+2， 所以x0=0或c0sx0=0, 当x0=0时，所以=0，所以切线方程为y一0= 所以当6合0=一合时，。2+护取得最小值为分 363