2.4 函数模型及应用(实战册)-【实战高考】2026年高考数学总复习（山东专版）

○实战册参考答案及解析 0可得+1og2.x-生=0. 2sm2z,+号+k∈乙， ⑤A解析因为函数f(x)= 令g()=k十1oex一兰，因为函数y=-log2.z.y=k-兰在 tamx,=于+kx,k∈Z, [1,4)上均为增函数， 所以当x≠写+km,k∈Z时，方程f(x)=3可化为2sin2x 故函数g()=k+1gx一在[1,4)上为增函数。 因为函数f(x)在区间[1,4)内有零点，则函数g(x)在区 =3,解得x=石+km,∈Z, 间[1,4)内有零点， 所以81)=-40， 则当20时=吾看1g,号… 解得一1<k≤4，因此，实数k的取 g(4)=k+1>0, 当x=牙+kr,k∈Z时，方程fx)=3可化为tanx=3, 值范围是(-1,4]. ④B解析当x≥0时，f(x)=一x十2有1个零，点x=2, 解得x=牙十m,k∈Z, 则当x<0时，f(x)=2x+a只有一个零点， 即方程2x十a=0在x<0时有一个解， 剥当20时=音号行，19一 即方程2x=一a在x<0时有一个解，因为函数y=2x为 因为方程f(x)=3在(0，m]上恰有4个不同实根， 增函数， 且当x<0时，0<2x<1,则0<-a<1,即-1<a<0. 所以这4个不同实根为晋，晋，后，货，则≤m< 2.4函数模型及应用 山东新高考全练 ①B解析因为R=3.28,T=6,R=1十rT,所以r= 因为L%-L%=L%,-40≥10，则20×1g色≥10， 3.28-1=0,38,所以I()=e=Q38,设在新冠病毒疫情初 3 6 始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为1天， 则e0.38(+h)=2e0.38t,所以e0.385=2, 所以2>≥√10且2，p3>0,可得2≥V103, 所以038=h2,所以有-68g1.8C天). P3 当且仅当L=50时，等号成立，故B错误。 2ACD解析由题意，可知Lh∈[60,90]，L,∈ [50,60],L4,=40. 对于选项C:因为Lp=20X1g=40, po 对于选项A:可得L-L%=20×1g0-20X1g%=20 o 即1g=2, o Xlg PI 2 可得2=100，即3=100p0,故C正确。 因为Lh≥L,则Lh-L%,=20Xg≥0，即lg p2 ≥0， 对于选项D:由选项A可知：Lh-Lh,=20X1g 所以≥1且加，e>0,可得A≥，故A正确， 且L4-L4≤90-50=40，则20×1g80≤40， 对于选项B:可得L%,-Le=20X1g把-20X1g po o 脚e会≤2，可得是≤10，且加，加>0，所以加≤ 2 =20×1g2, 3 1002,故D正确. 山东模拟专练， 考点闯关) 失一半所需要的时间约为277年 考点函数模型及应用 2B解标设0所对应的极径为Po,则，=ae2, 目D解玩令Q-Qe-弓Q,可得e南=2 ,可得 则A=%十受所对应的极径为A=e时，所以A 400=h2=-lh2,所以，t=40ln2≈277，故臭氧消 e 357 答案 实战高考·数学 故p每增加受个单位，则p变为原来的e倍 即行驶的最大速度为70千米/时. 能力题组 316解标由题意得10（品）广≤20，即(0)广≤号→ 同D断由题老得山=合4=含品，由N g0≤lg号>2lg3-1D<-lg5, N,可得N=N, 故≥565=6号因为820,8010,1吸3 1g5 所以」 S1.InNiIn N In N In Na In N2 S-1 1-1g2 1-0.3010 In N2 In N2 0.4771,所以≥1-21g3≈1-2X0.4771≈15.26，故 3 2 t=16,所以从现在起至少经过16分钟，才能达到排放 标准. a-b·√36=360， a=600, 6解：(1)由题意，知 得 分层闯关) a-b·√100=200， b=40, 基础题组 2400 ,0<x≤25， Wx+1 ①D解析依题意， 5.0=5+lgV2, 两式相减得0.5= 故q(x)= 4.5=5+lgV1, 600-40Wx,25x225, V2 0,x>225. lg V2-lg Vi-lg i, (2)设总利润f(x)=x·q(x),由(1)得 解得0-=105=V而，所以0∈3,3.5. 2400x 0x≤25， x+111 ②C解铜当M=6.2时，有6.2=号1gE-3.2, f(x)= 600.x-40x√元，25<x≤225， 即14.1=lgE,即E1=1014.1. 0,x>225. 当M=41时，有4.1=号1g历-3.2，即10.95=lg, 当0<x≤25时，fx)=2400g=240×(V2+1T- Vx+11 即E2=1010.95 11 √Wx+11 ,f(x)在(0,25]上单调递增， 故夏=10141 21010.95=103.15. 所以当x=25时，f(x)有最大值10000. 3D解析由题意得牛顿流体黏度？恒定，即在τ一Y曲 当25<x≤225时，f(x)=600x-40xV,f(x)=600 线中，图象为直线，即③为牛顿流体，④和②为非牛顿 60√元. 流体。 令f(x)=0,得x=100. 由题意可知牙膏是特殊的非牛顿流体，但挤压力达到一 当25<x<100时，f(x)>0,f(x)单调递增， 定值时变成流体，其粘度不变，即此时剪切应力与剪切速 当100<x≤225时，f(x)<0,f(x)单调递减， 率成线性关系，故牙膏所对应的曲线为①， 所以当x=100时，f(x)有最大值20000. 而液体防弹衣所用液体本身属于非牛顿流体，且根据题 当x≥225时，f(x)=0. 意表述可知剪切应力随剪切速率的增大而增大，且比正 故当x为100元时，总利润取得最大值为20000元. 常条件下的牛顿流体所对应的剪切应力大，故液体防弹 培优题组 衣所用液体对应曲线为②. 4解：(1)由图象可知，点(40,8.4)，(60,18.6)在函数y= 7a解：当n=3时，有2Gx=G(台-z小，则x=片，2+ x 200十mx+n图象上， +片 200+40m+n=8.4, 402 解得 m-100' 当m=4时，有3Gx=G(台-x),则x=名， 602 200+60m+n=18.6, n=0, 故+专- m=100n=0. 故当n=3时，积木伸出桌外的最远距离为是L,当m=4 (2令元十品0≤25.2，得+2红5040≤0，解得-72 时，积木伸出桌外的最远距离为贸L ≤x≤70. (2)证明：当n个积木堆叠伸出桌外时，前n一1个看成一 又.x≥0，.0≤x≤70， 个整体. 358 Q实战册参考答案及解析 设第n个积木伸出桌外的长度为xm,则有(n一1)xG= gx)=lhz+1)-z千>0 G(台-x),解得x=品 L 故当n=64时，积木堆叠伸出桌外的最远距离为： 则ga)中1最=0， ++…+号1+++ 故g(x)在(0，十∞)上单调递增， 故g(x)>g(0)=0, 令=一h+10则ra-1>0 即有1m6x+1)>帝在0，十o)上恒成立，令x= n 故f(x)在(0，十∞)上单调递增，故f(x)>f(0)=0. 令x=,则有-ln(分+1)>0，即>n(), 故1++…+>n+h+…+n n 故h子+h…+n()）>+g++，即 3 n =n(导×号×…×马）=lh+1. 十日++<w则1++日++2<1 即1+号+号+十>h65.又50<e<5,故1h65> ln352, In et=4, 要证当”=352时，积木伸出桌外最远不超过，只需证 故吃(1+号+号+…+4)>号×4=2L, 2 Lq+1n352)<15,即证1n352≤6.5，由50<e<55, 即当n=64时，积木伸出桌外最远超过2L. (3)证明：由(2)知，当n=352时，积木堆叠伸出桌外的最 故ln352-4<l 352=ln7.04, 50 远距离为： 即只需证ln7.04≤2.5，由7.042=49.5616<50<e4,故 台++… L 2×352 1n7.042,即得证. 高考全国视野 真题精练) 模拟精练) S-1=2.1, di-In m 幻A解析根据题意可知这次地震的震级为： ①C解析由题意可得 S-1=2.2, M-l .00 .2 0le d2=1n2 2lg2≈5-0.6=4.4. m=e, 因此可知这次地震的震级为4.4级. 解得 2=e器， ②D解析设原来和现在的耗氧量的单位数分别为 若S>1,奥2>2可得e司>e品，即> 0,02, 若S=1,期2引-22=0，可得则=观=1： 则2e品。-he8o+2,所以l6e鲁-4，所以票 34=81, 若S<1,别引<含，可得e<品，即阳<心， 所以耗氧量的单位数是原来的81倍. 3C解析由题意可得p0=1000,p0e-10000k=250, 结合选项可知C正确，ABD错误！ In 4 In 2 2D解析当T=220,P=1026时，lgP>3,此时二氧 所以e-1000k= =4,k=10000-5000 化碳处于固态，故A错误. 设大气压强增加1倍，则海拔高度降低x米， 当T=270,P=128时，2<1gP<3,此时二氧化碳处于液 则500=0e-k(10000-x),所以e-b(1000-x)=e-1000k, 态，故B错误 当T=300,P=9987时，lgP与4非常接近，故此时二氧 = 化碳处于固态， 所以=2，即e=2,所以号3=n2,所以x=500. 另一方面，T=300时对应的是非超临界状态，故C错误. ④A解析由题意可知：0.5P0=P0e10k,即0.5= 当T=360,P=729时，因2<1gP<3,故此时二氧化碳 处于超临界状态，故D正确。 。1,即友-是 359 答案 实战高考·数学 设消除60%的污染物对应事件为1，即0.4P0=P0e-:1, 即n2=-(t-t2),所以t2-t1=10,即从消除 设消除80%的污染物对应事件为t2,即0.2Po=P0e-2, 60%的污染物到消除80%的污染物大约需要经历 两式相除可得：2=ekc), 10h. 专题三)导数及其应用 3.1导数的概念及运算 山东新高考全练 ①D解析方法一：在曲线y= 因为直线y=2x十5是曲线的切线，直线的斜率为2， ex上任取一点P(t,et),对函数 令y=ex+1=2,即ex=1,解得x=0, y=ex求导得y'=er, 将x=0代入切线方程y=2x十5，可得y=2×0+5=5, 所以曲线y=Cx在点P处的切 所以切点坐标为(0,5). 线方程为y一e=e(x一t), aa+ 因为切，点(0,5)在曲线y=ex十x十a上， 即y=e'x十(1-t)e. 所以5=e0+0十a,即5=1十a,解得a=4. 由题意可知，点(a,b)在直线 方法二：对于y=ex十x十a,其导数为y'=ex十l,假设 y=e'x+(1-t)e'上，可得b= y=2x十5与y=er+x十a的切点为（x0,o),则 ae!+(1-t)e=(a+l-t)e, e+1=2, 令f(t)=(a十1一t)e,则f(t) y0=2x0十5，解得a=4. =(a-t)e. 图① 当t<a时，f(t)>0,此时函数f(t)单调递增， y0=eo+x0十a, 当t>a时，f(t)<0,此时函数 3ln2解析由y=e+x得y=e2+1,y|z=0=e0+1 f(t)单调递减， =2,故曲线y=ex十x在(0,1)处的切线方程为y=2x十 所以f(t)max=f(a)=ea, 1:由y-lhx十1)十a得y-设切线与曲线y 由题意可知，直线y=b与曲线y =f(t)的图象有两个交点，则b ln(x十1)十a相切的切点为(x0,ln(xo十l)十a),由两曲 <f(t)max=ea, 线有公切线得/二十12，解得西=一2则切点为 当t<a十1时，f(t)>0,当t>a +1时，f(t)<0,作出函数f(t) (-2,a+ln2),切线方程为y=2(x+)十a十ln2 的图象如图①所示. P(a,b) =2x十1十a-ln2,根据两切线重合，所以a一ln2=0,解 由图可知，当0<b<ea时，直线 o 得a=ln2. y=b与曲线y=f(t)的图象有 图② 4(-∞，-4)U(0,十o∞)解析：y=(x十a)ex, 两个交点 y'=(x十1十a)er,设切点为(x0,yo),则y0= 故选D. (xo十a)e,切线斜率k=(xo十1十a)e,切线方程为y 方法二：画出函数曲线y=x的图象如图②所示，根据直 观即可判定点(a,b)在曲线下方和x轴上方时才可以作 -(x0+a)e=(x0+1+a)e(x-x0). 出两条切线.由此可知0<b<e4. ,切线过原，点，∴.一(x0十a)e吗=(x0十1十a)e· 故选：D. (-x0),整理得：x6十ax0一a=0. 24解析方法一：对于y=ex十x十a,其导数为y=e ,切线有两条，.△=a2十4a>0,解得a<-4或a>0, +1, ∴.a的取值范围是（一∞，一4）U(0,十∞). 山东模拟专练 考点闯关) 的三角形的面积为号×12=司 考点导数的运算及几何意义 2D解析因为f(x)=(x十a)cosx为奇函数，且在x ①D解析对函数y=xlnx求导得y'=lnx十1，故所求 0处有定义， 切线斜率为k=ln1十1=1，切点坐标为(1,0)，所以曲线 所以f(0)=0.因为f(0)=a,所以a=0,故f(x)= y=xlnx在x=1处的切线方程为y=x一1， xcos x. 该切线交x轴于点(1,0)，交y轴于点(0，一1)， 而f(π)=πc0sπ=一元，得到切，点为（π，一π）. 因此，曲线y=xlnx在x=1处的切线与两坐标轴所围成 又f(x)=cosx-xsin x, 360O专题二函数及其性质 2.4函数模型及应用 过去考什么 山东新高考全练 ,答案：P357 1.(2020新高考I卷，6,5分；考点)基本再生 声污染问题越来越受到重视.用声压级来度 数R,与世代间隔T是新冠病毒的流行病学 量声音的强弱，定义声压级L=20×1g卫 基本参数.基本再生数指一个感染者传染的 , 平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需 其中常数p(>0)是听觉下限阈值，p是 的平均时间.在新冠病毒疫情初始阶段，可 实际声压.下表为不同声源的声压级： 以用指数模型：I(t)=e”描述累计感染病例 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数 燃油汽车 10 6090 增长率r与R。,T近似满足R。=1十rT.有 混合动力汽车 10 50~60 学者基于已有数据估计出R,=3.28,T=6. 电动汽车 10 40 据此，在新冠病毒疫情初始阶段，累计感染 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动 病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈ 0.69)() 汽车10m处测得实际声压分别为1,2， A.1.2天 B.1.8天 ,则( ) C.2.5天 D.3.5天 A.p1≥p2 B.p2>10p3 2.（多选)(2023新课标1卷，10,5分；考，点)噪 C.p3=100po D.p1≤100p2 将来考什么 山东模拟专练 答案：P357 考点闯关 考点函数模型及应用 达，其中α为正实数，p是极角，p是极径.若 1.(2025山东青岛一模)近年来，家用冰箱使 p每增加5个单位，则ρ变为原来的() 用的氟化物的释放等破坏了臭氧层，真氧含 A.e倍 B.et倍 量Q与时间t(单位：年)的关系为Q= C.e倍 D.e"倍 Qe痂，其中Q,是臭氧的初始含量.臭氧消 3.(2025山东聊城期中)我国火力发电厂大气 失一半所需要的时间约为( )(ln2≈ 污染物排放标准规定：排放废气中二氧化硫 0.693,精确到1年) 最高允许浓度为20mg/m3.已知我国某火 A.265年 B.266年 力发电厂排放废气中二氧化硫的初始浓度 C.276年 D.277年 为l00mg/m3,现通过某种工艺对排放废气 2.(2024山东枣庄一模)对数螺线广泛应用于 进行过滤处理，处理后废气中剩余二氧化硫 科技领域.某种对数螺线可以用p=ae表 的浓度y(单位：mg/m3)与处理时间t(单 19 实战 实战高考·数学 位：分)满足关系式：y=N。 (),那么从现 标准.（参考数据：lg2≈0.3010,1g3≈ 0.4771,结果取整数) 在起至少经过 分钟才能达到排放 分层闯关 基础题组 定律，即在一定温度和剪切速率范围内黏度 1.(2024山东泰安模拟)青少年视力问题是社 值是保持恒定的：x=Y,其中x为剪切应 会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表 力，为黏度，Y为剪切速率；而当液体的剪 测量，通常用五分记录法和小数记录法记录 切应力和剪切速率存在非线性关系时，液体 视力数据，五分记录法的数据L和小数记录 就称为非牛顿流体.其中宾汉流体（也叫塑 法的数据V满足L=5+lgV.已知小明和 性流体)，是一种粘塑性材料，是非牛顿流体 小李视力的五分记录法的数据分别为4.5和 中比较特殊的一种，其在低应力下表现为刚 5.0,记小明和小李视力的小数记录法的数 体，但在高应力下表现为粘性流体（即粘度 恒定)，以牙膏为例，当我们挤压它的力较小 据分别为V1,V2,则 的值所在区间 时，它就表现为固体，而当力达到一个临界 是( ) 值，它就会变成流体，从开口流出.如图是测 A.(1.5,2) B.(2,2.5) 得的某几种液体的流变x一Y曲线，则其中 C.(2.5,3) D.(3,3.5) 属于牙膏和液体防弹衣所用液体的曲线分 2.(2023山东齐鲁名校模拟)我们通常用里氏 别是( 震级来标定地震规模的大小，里氏震级M 与震源中心释放的能量E有关，二者满足 ⑧ 关系式M= 3gE-3,2,则里氏6.2级地 2 震释放的能量是里氏4.1级地震释放的能 A①和④ B.③和④ 量的( C.③和② D.①和② A.2.1倍 B.3.15倍 4.(2024山东二模)行驶中的汽车在刹车时由 C.103.15倍 D.104.15倍 于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能 3.(2025山东菏泽期中)自然界中许多流体是 停下，这段距离叫做刹车距离.在某路面上， 牛顿流体，其中水、酒精等大多数纯液体、轻 某种型号汽车的刹车距离y(米)与汽车的 质油、低分子化合物溶液以及低速流动的气 体等均为牛顿流体；高分子聚合物的浓溶液 车速x(千米时)满足下列关系：y一苏十 和悬浮液等一般为非牛顿流体，非牛顿流体 mx十n(m,n是常数，x≥0).根据多次实验 在实际生活和生产中有很多广泛的应用，如 数据绘制的刹车距离y(米)与汽车的车速 工业制造业常利用某些高分子聚合物做成 x(千米/时)的关系图，如图所示。 “液体防弹衣”，已知牛顿流体符合牛顿黏性 (1)求m,n的值； 20 ○专题二函数及其性质 (2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求该 6.(2025山东德州期中)某企业计划引入新的 型号汽车行驶的最大速度. 生产线生产某设备，经市场调研发现，销售 31 量q(x)(单位：台)与每台设备的利润x(单 位：元，x>0)满足：q(x)= 18.6 8.4 (2400 0 4060 ,0<x≤25， W/x+11 (a,b为常数).当每 a-b√x,25<x≤225， 10,x>225 台设备的利润为36元时，销售量为360台； 当每台设备的利润为100元时，销售量为 200台. (1)求函数q(x)的表达式； (2)当x为多少时，总利润f(x)(单位：元) 取得最大值？并求出该最大值， 能力题组 5.(2025山东威海一模)生物丰富度指数d= 气是河流水质的-个评价指标，其中S, N分别表示河流中的生物种类数与生物个 体总数，生物丰富度指数d越大，水质越好. 如果某河流治理前后的生物种类数S没有 变化，生物个体总数由N1变为N2,生物丰 富度指数由d1变为d2,若N=N, 晚-( A.log32 B. C.log23 D.2 21 实战册 实战高考·数学 培优题组 力臂x,等于最下方积木的重力G乘以力臂 7.创意题(2024山东模拟)如图①，将n个完 (侵-得出方程Gx=G(侵-小，求出 全一样、质量均匀、长为L的长方体条状积 木，一个叠一个，从桌子边缘往外延伸，最多 x一个所以当叠放两个积木时，伸出桌外最 能伸出桌缘多远而不掉下桌面呢？这就是 远为好十占-头，此时将两个积木看成整 著名的“里拉斜塔问题”. 体，其重心O2恰与桌缘齐平.如图④，使前 第n个 两块积木的中心O2与下方的第三块积木伸 第n-1个 出桌外的最远端齐平，便可求出n=3时积 第4个 木伸出桌外的最远距离.依此方法，可求出 4个、5个直至n个积木堆叠伸出桌外的最远 距离.（参考数据：50<e4<55,e为自然常数） 图② (1)分别求出n=3和n=4时，积木伸出桌 外的最远距离（用L表示）； (2)证明：当n=64时，积木伸出桌外最远超 过2L; (3)证明：当n=352时，积木伸出桌外最远 图③ 图④ 不超过1. 解决方案如下：如图②，若n=1,则当积木 与桌缘垂直且积木重心O恰与桌缘齐平 时，其伸出桌外部分最长为号，如图③，若 n=2,欲使整体伸出桌缘最远，在保证所有 积木最长棱与桌缘垂直的同时，可先将上面 积木的重心与最下方的积木伸出桌外的最 远端齐平，然后设最下方积木伸出桌外的长 度为x,将最下方积木看成一个杠杆，将桌 缘看成支点，由杠杆平衡原理可知，若积木 恰好不掉下桌面，则上面积木的重力G乘以 他省考什必 高考全国视野 答案：P359 真题精练 且d1=2.1,d2=2.2,则m1与2的关系 1.(2024北京卷，7,5分)记水的质量为d= 为() S1,并且d越大，水质量越好.若S不变， A.n<n2 In n B.n>n2 22 ○专题二函数及其性质 C.若S<1,则n1<2;若S>1,则n>2 用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际 D.若S<1,则m>2;若S>1,则n<2 震中的距离造成的偏差).假设在一次地震 2.(2022北京卷，7,5分)在北京冬奥会上，国 中，一个距离震中100千米的测震仪记录的 家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化 地震最大振幅是50，此时标准地震的振幅 碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作 是0.002，则这次地震的震级为()（精 出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳 确到0.1，参考数据：1g2=0.3) 所处的状态与T和gP的关系，其中T表 A.4.4 B.4.7 C.5 D.5.4 示温度，单位是K;P表示压强，单位是bar. 2.(2025江西萍乡一模)经研究发现湟鱼的游速 下列结论中正确的是( 可以表示为函数口=2g18(单位：ms, Ig P 0表示湟鱼的耗氧量的单位数.某条湟鱼想 固态 超临界状态 把游速提高2m/s,则它的耗氧量的单位数 液态 是原来的( 气态 A.2倍 B.4倍 C.9倍 D.81倍 0 00250300350 4007 3.(2025福建模拟)在一定条件下，大气压强 A.当T=220,P=1026时，二氧化碳处于 p(单位：百帕)随海拔高度五（单位：米）的变 液态 化满足如下函数关系式：p=oe（po,k为 B.当T=270,P=128时，二氧化碳处于 正常数).已知海拔高度0米处的大气压强 气态 为1000百帕，海拔高度10000米处的大气 C.当T=300,P=9987时，二氧化碳处于 压强为250百帕，那么，若大气压强增加 超临界状态 1倍，则海拔高度降低( D.当T=360,P=729时，二氧化碳处于超 A.100米 B.2500米 临界状态 C.5000米 D.7500米 模拟精练 4.(2025北京平谷一模)某工厂产生的废气经 1.(2025贵州六盘水一模)20世纪30年代，里 过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量 克特制订了一种表明地震能量大小的尺度， P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)间的关系 就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震 为P=Poe“,其中P。,k是正的常数，如果 能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就 前10h消除了50%的污染物，那么从消除 越大，这就是我们常说的里氏震级M,其计 60%的污染物到消除80%的污染物大约需 算公式为M=lgA一lgA其中A是被测地 要经历( 震的最大振幅，A是“标准地震”的振幅（使 A.10h B.4h C.40h D.8h 23