学易金卷：高一数学下学期期末模拟卷（上海专用）【测试范围：三角、三角函数、平面向量、复数、数列】

**基本信息** 上海高一数学期末模拟卷，立足沪教版必修第二册及选择性必修第一册核心内容，通过分层设计（A/B组题）与真实情境（如“口袋公园”“地摊经济”）融合，考查数学眼光（几何直观、创新意识）、思维（推理能力、运算能力）与语言（模型观念、应用意识）。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12/54|复数运算、向量投影、等比数列、三角函数|第11题结合角平分线与隔离网长度，考查几何直观；第12题通过递推关系求通项，体现推理能力| |选择题|4/18|充分必要条件、向量最值、三角函数象限|第14题以向量交点平分条件求最值，融合逻辑推理与运算| |解答题|5/78|复数方程、仿射坐标系、实际应用（地摊经济）、函数性质、新定义数列（配对和）|第19题“口袋公园”情境建模，考查应用意识；第21题“配对和”数列创新定义，发展创新思维，贴合高考新题型趋势|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一数学下学期期末模拟考试B卷（上海专用） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020必修第二册第6章~第9章和选择性必修第一册第4章。 5．本试卷部分试题分为（A组题）和（B组题），请市重点中学的考生做（A组题），其余学校的考生做（B组题） 6．难度系数：0.65。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．计算：__________. 2．已知有实数根，则实数________. 3．已知，，，则在方向上的投影向量为_________. 4．已知，，若与夹角为钝角，则的取值范围为______. 5．函数，如右下图， 则___________. 6．已知中，，，，， 为外心，则_______. 7．已知等比数列是严格减数列，其前n项和为，， 若，，成等差数列，则 ． 8．在数列中，已知，且，则 ． 9．如图，在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上，若，则 . 10．已知函数（）在内恰有2026个零点，则正整数____. 11．设，，，如图所示，函数的图象与坐标轴依次交于 、、三点，直线交函数的图象于点．若，且坐标原点为的重心， 则 ． 12． 已知各项均为正整数的数列满足：对任意正整数，均存在， 使得，若，则满足条件的数列的个数为 ． 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分； 每题有且只有一个正确选项) 13．中，已知，且，则是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 14．如图，圆O内接边长为1的正方形是弧（包括端点）上一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．若客户M准备在银行存入本金1万元，存期为n年，年利率为x，银行存款有单利计息 （单利本利和=本金+本金×利率×时间）和复利计息两种方案，客户M经过考虑选择了复利计息的方案， 其实这背后蕴藏着一个著名的伯努利不等式：. 已知数列的前n项和为，，若对任意的，恒成立，则λ的取值范围为（     ） A． B． C． D． 16．已知是定义在上的函数，记，给出下列两个结论： ①若函数，则的最大值为； ②若函数和都是减函数，则也是减函数；则下列判断正确的是（    ） A．①②都正确 B．①正确，②错误 C．①②都错误 D．①错误，②正确 2、 解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 函数的部分图象如右下图所示： （1）求A，，的值；（2）将函数的图象向右平移个单位长度， 得到函数的图象，若，且，求的值. 18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 已知为虚数，且为实数．（1）求证：；（2）若为纯虚数，求． 19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 某地区要设计建造一个自然保护区，如图所示，在一块矩形区域ABCD中（其中AB为60米， AD为30米），过道EF将其分为两个主要区域，休闲区为以D为圆心，AD为半径的四分之一圆， 绿化区为四边形BEFC，且EF与圆弧相切，记切点为G.（计算结果保留两位小数） （1）若，求EF的长；（2）E点在线段AB上何处时，才能使绿化区的面积最大，求出最大值. 20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分． 已知函数，其中. （1）若，求的值； （2）若，函数图像向右平移个单位，得到函数的图像，是的一个零点，若函数在且上恰好有4个零点，求的最小值； （3）令，对任意实数，当时，有成立； 将函数的图像向左平移个单位得到函数，已知函数的最大值为10，求满足条件的的最小值. 21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 设是给定的正整数．对于数列，，…，，令集合． （1）对于数列，，，直接写出集合；（用列举法表示） （2）设常数．若，，…，是以为首项，为公差的等差数列，求证：集合的元素个数为； （3）若，，…，是等比数列，且，公比．求集合的元素个数，并求集合中所有元素之和． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年高一下学期模拟考试B卷 数学·答题卡 姓名： 贴条形码区 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 ! 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选 准考证号 择题必须用0.5mm黑色签字笔答 注意事 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 体工整、笔迹清晰。 0 0 0 3.请按题号顺序在各题目的答题区域 内作答，超出区域书写的答案无 123 123 1234 123 123 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 5 破。 6 5. 正确填涂 789 6789 5678q 6789 5678q 123456789 123456789 123456789 123456789 0123456789 缺考标记 一、 填空题（本大题共有12题，满分54分，第 1-6题每题4分，第7-12 题每题5分) 1 製 3 5 1! 7 8 10 11 12. 二、选择题（本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16 题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13[A][B][C][D] 14[A][B][C][D] 15[A][B][C][D] 16[A][B][C][D] 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形框限定区域的答案无效！ 三、解答题（本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分， 第20、21题每题18分) 17.(14分) M 2 b 3 05π 12 2 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(14分) 数学第3页（共6页） 学校 班级 姓名 准考证号 密 封 线 1111 C149) 时 ■■■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(18分) 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(18分) 数学第6页（共6页）2025-2026学年高一下学期模拟考试B卷 数 学·答题卡 姓名： 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 缺考标记 贴条形码区 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 3、 解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分， 第20、21题每题18分.) 17．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 19． （14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（18分） 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页）1 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期期末考试B卷 （上海专用） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020必修第二册第6章~第9章和选择性必修第一册第4章。 5．本试卷部分试题分为（A组题）和（B组题），请市重点中学的考生做（A组题），其余学校的考生做（B组题） 6．难度系数：0.65。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．计算：__________. 2．已知有实数根，则实数________. 3．已知，，，则在方向上的投影向量为_________. 4．已知，，若与夹角为钝角，则的取值范围为______. 5．函数，如右图，则___________. 6．已知中，，，，， 为外心，则_______. 7．已知等比数列是严格减数列，其前n项和为，， 若，，成等差数列，则 ． 8．在数列中，已知，且，则 ． 9．如图，在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上， 若，则 . 10．已知函数（）在内恰有2026个零点，则正整数____. 11．设，，，如图所示，函数的图象与坐标轴依次交于 、、三点，直线交函数的图象于点．若，且坐标原点为的重心， 则 ． 12． 已知各项均为正整数的数列满足：对任意正整数，均存在， 使得，若，则满足条件的数列的个数为 ． 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分； 每题有且只有一个正确选项) 13．中，已知，且，则是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 14．如图，圆O内接边长为1的正方形是弧（包括端点）上一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．若客户M准备在银行存入本金1万元，存期为n年，年利率为x，银行存款有单利计息 （单利本利和=本金+本金×利率×时间）和复利计息两种方案，客户M经过考虑选择了复利计息的方案， 其实这背后蕴藏着一个著名的伯努利不等式：. 已知数列的前n项和为，，若对任意的，恒成立，则λ的取值范围为（     ） A． B． C． D． 16．已知是定义在上的函数，记，给出下列两个结论： ①若函数，则的最大值为； ②若函数和都是减函数，则也是减函数；则下列判断正确的是（    ） A．①②都正确 B．①正确，②错误 C．①②都错误 D．①错误，②正确 2、 解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 函数的部分图象如右下图所示： （1）求A，，的值；（2）将函数的图象向右平移个单位长度， 得到函数的图象，若，且，求的值. 18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 已知为虚数，且为实数．（1）求证：；（2）若为纯虚数，求． 19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 某地区要设计建造一个自然保护区，如图所示，在一块矩形区域ABCD中（其中AB为60米， AD为30米），过道EF将其分为两个主要区域，休闲区为以D为圆心，AD为半径的四分之一圆， 绿化区为四边形BEFC，且EF与圆弧相切，记切点为G.（计算结果保留两位小数） （1）若，求EF的长；（2）E点在线段AB上何处时，才能使绿化区的面积最大，求出最大值. 20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分． 已知函数，其中. （1）若，求的值； （2）若，函数图像向右平移个单位，得到函数的图像，是的一个零点，若函数在且上恰好有4个零点，求的最小值； （3）令，对任意实数，当时，有成立； 将函数的图像向左平移个单位得到函数，已知函数的最大值为10，求满足条件的的最小值. 21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 设是给定的正整数．对于数列，，…，，令集合． （1）对于数列，，，直接写出集合；（用列举法表示） （2）设常数．若，，…，是以为首项，为公差的等差数列，求证：集合的元素个数为； （3）若，，…，是等比数列，且，公比．求集合的元素个数，并求集合中所有元素之和． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期期末模拟考试B卷 （上海专用） 数学·答案及评分参考 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020必修第二册第6章~第9章和选择性必修第一册第4章。 5．本试卷部分试题分为（A组题）和（B组题），请市重点中学的考生做（A组题），其余学校的考生做（B组题） 6．难度系数：0.65。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1． 2． 3．和 4． 5． 6．6 7．3 8． 9． 10．1013或者1351 11． 12． 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分； 每题有且只有一个正确选项) 13．B 14．C 15． B 16．A 3、 解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 函数的部分图象如右下图所示： （1）求A，，的值；（2）将函数的图象向右平移个单位长度， 得到函数的图象，若，且，求的值. 17．（1），，；（2）或. 【分析】（1）根据函数的部分图象即可求出A，，然后代入点，由即可求出的值； （2）根据三角函数的图象变换先求出函数的解析式，然后利用，结合即可 确定的值. 【详解】（1）由图可知，，，……2分， 所以，即，所以，……2分， 将点代入得，，又，所以；……2分； （2）由（1）知，……2分， 由题意有，……2分， 所以，即， 因为，所以，……2分， 所以或，即或，所以的值为或.……2分， 18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 已知为虚数，且为实数．（1）求证：；（2）若为纯虚数，求． 18．（1）证明见解析 （2）或 【分析】（1）设（且），根据复数代数形式的除法、加法运算法则化简，再根据为实数，虚部为零，即可得到，从而得解； （2）由（1）可得，再根据复数代数形式的除法运算化简复数，最后得到方程组，解出即可； 【详解】（1）解：设（且），……1分， 则，……3分， 由题意可得，又可得，所以；……2分， （2）由，则，……3分， 若为纯虚数，则，解得或，……3分， 所以或.……2分. 19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 某地区要设计建造一个自然保护区，如图所示，在一块矩形区域ABCD中 （其中AB为60米，AD为30米），过道EF将其分为两个主要区域，休闲区为以D为圆心，AD为半径的四分之一圆，绿化区为四边形BEFC，且EF与圆弧相切，记切点为G.（计算结果保留两位小数） （1）若，求EF的长；（2）E点在线段AB上何处时，才能使绿化区的面积最大，求出最大值. 19．（1）米；（2）点距离点为米时，绿化区面积最大，最大值为平方米． 【分析】（1）结合图形，先证，利用边长关系即可求解； （2）设 ，列出表达式结合三角恒等变换和基本不等式即可求解. 【解析】（1）连接，因为，所以 和 为直角三角形， 在 和 中，，所以，，……2分， 所以，，又 ， 所以，故 ，……2分， 所以 ， （米）；……2分； （2）设，则由（1）得，，……1分， ……2分， （平方米），……2分， 当且仅当 时等号成立，解得，此时 （米）， ，……2分， 所以点 距离点 为 米时，绿化区面积最大，最大值为 平方米．……1分. 20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分． 已知函数，其中. （1）若，求的值； （2）若，函数图像向右平移个单位，得到函数的图像，是的一个零点，若函数在且上恰好有4个零点，求的最小值； （3）令，对任意实数，当时，有成立； 将函数的图像向左平移个单位得到函数，已知函数的最大值为10，求满足条件的的最小值. 20.（1）；（2）；（3）.【分析】 （1）利用正弦的二倍角公式化简函数解析式，由函数图象的性质确定最小正周期，即可求出的值； （2）由图象的平移变换得到函数，结合和，求得的值，根据零点个数可知，要使最小，则恰好为零点，由此可求出的最小值；（3）根据，，可得，当且仅当，时取等号，进而求出. 【详解】（1）函数，……2分， 若，则与是相邻的最小值点和最大值点， 所以的最小正周期为，由，解得；……2分； （2），，所以，……2分， 所以或，解得或， 又，得，所以，……2分， 函数最小正周期，令，即， 解得或，……2分， 若在上恰好有4个零点，则，要使最小， 则恰好为的零点，所以的最小值为；……2分； （3）由题意，因为， 所以，当且仅当时取等号，……2分， 又因为函数的最大值为10，所以同时取得最大值1，……2分， 所以，所以，所以满足条件的的最小值为.……2分. 21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 设是给定的正整数．对于数列，，…，，令集合． （1）对于数列，，，直接写出集合；（用列举法表示） （2）设常数．若，，…，是以为首项，为公差的等差数列，求证：集合的元素个数为； （3）若，，…，是等比数列，且，公比．求集合的元素个数，并求集合中所有元素之和． 21．（1）；（2）证明见解析；（3），． 【分析】（1）由新定义和集合的列举法，可得所求集合；（2）运用等差数列为递增数列，以及性质， 即可得到所求个数；（3）由等比数列的通项公式和性质，结合新定义计算可得所求结论． 【详解】（1）因为数列，，，……2分，则；……2分； （2）因为构成以为首项，()为公差的等差数列， 所以有()，以及()，……2分， 此时，集合中的元素有以下大小关系： ，……2分， 因此，集合中含有个元素；……2分； （3）依题意可得，设 ， 设集合，；……1分， ①先证中的元素个数为，即从集合中任取两个元素，它们的和互不相同． 不妨设，于是，显然， 即，假设，可得，……1分， 即，因为，， 所以，又，于是， 等式不成立，因此，，同理可证；……2分， ②再证．不妨设，于是，显然， ，假设，可得， 即，因为，所以，又， 于是，等式不成立；……2分， 因此，，由①②，得，且， 此时，集合中的元素个数为； 集合中所有元素的和为．……2分. / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年高一下学期模拟考试A卷 数 学·答题卡 姓名： 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 缺考标记 贴条形码区 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 3、 解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分， 第20、21题每题18分.) 17．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 19． （14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（18分） 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页）1 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一数学下学期期末模拟考试A卷（上海专用） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020必修第二册第6章~第9章和选择性必修第一册第4章。 5．本试卷部分试题分为（A组题）和（B组题），请市重点中学的考生做（A组题），其余学校的考生做（B组题） 6．难度系数：0.61。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知是第四象限的角，则点在第 象限． 2．设是虚数单位，若复数满足，则 . 3．设向量，则在方向上的数量投影为 . 4．设数列为无穷等比数列，，且，则数列的公比 . 5．设，向量，则的取值范围是 . 6．记，在用数学归纳法证明对于任意正整数，的过程中， 从到时，不等式左边的比增加了 项. 7．数列满足，则数列的通项公式为 . 8．已知方程的两个根为、，且，则实数 ． 9．已知复数，满足，其中i为虚数单位， 表示的共轭复数，则 ． 10．已知函数，若且在区间上有最小值无最大值，则 ． 11．如图，、是某水域的两直线型岸边，， 是的角平分线，且．某养殖户准备经过点安装 一直线型隔离网（、分别在、上），围成△养殖区； 若、都不超过，则隔离网长度的取值范围是 ． 12．已知正项数列的前项和为，满足， 则数列的通项公式为 ． 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分； 每题有且只有一个正确选项) 13．“”是“实系数一元二次方程有虚根”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 14．如图，已知与有一个公共顶点，且与的交点平分， 若，则的最小值为（ ） A．4 B． C． D．6 15．已知．有下列三个结论： ①存在在第一象限，在第三象限； ②存在在第二象限，在第四象限； ③存在在第一象限，在第四象限； 则（    ） A．①②均正确 B．①③均正确 C．②③均正确 D．①②③均不正确 16．已知函数，，，若函数的所有零点依次记为，且，若，则（    ） A． B． C． D． 2、 解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 在复数范围解方程． （1）关于的实系数一元二次方程的两根满足，求实数的值； （2）关于的实系数一元二次方程的两根，请根据实数的不同取值范围讨论 的值． 18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 如图所示，设是平面内相交成 角的两条数轴，分别是与轴正方向同向的 单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下 ， 则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为. （1）若，有同学认为“”的充要条件 是“”，你认为是否正确？若正确，请给出证明，若不正确，请说明理由； （2）设，若对恒成立， 求的最大值. 19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 近年来，为“加大城市公园绿地建设力度，形成布局合理的公园体系”，许多城市陆续建起众多 “口袋公园”． 现计划在一块边长为200米的正方形的空地上按以下要求建造“口袋公园”. 如图所示， 以中点为圆心，为半径的扇形草坪区，点在弧上（不与端点重合）， 、弧、、、、为步行道，其中与垂直，与垂直．设． （1）如果点位于弧的中点，求三条步行道、、的总长度； （2）“地摊经济”对于“拉动灵活就业、增加多源收入、便利居民生活”等都有积极作用；为此街道允许在步行道、、开辟临时摊点，积极推进“地摊经济”发展，预计每年能产生的经济效益分别为每米5万元、5万元及5.9万元．则这三条步行道每年能产生的经济总效益最高为多少？（精确到1万元） 20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分 已知函数，其中． （1）当时，求方程的解集；（2）若是偶函数，当取最小值时， 求函数的取值范围；若是常数函数，求的值． 21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分 若实数列的项数为，则称项数为m的数列为的一个“配对和”数列，其中为的一个排列，即 ．例如：数列1，2，3，4，5，6的一个“配对和”数列为 ．若为等差数列，求的所有常值“配对和”数列； （2）若为公比为正数的等比数列，且存在一个常值“配对和”数列，求等比数列的公比； （3）若数列的项数为6且各项均非零，问：是否存在两个“配对和”数列和，使得 和分别是数列的前3项和后3项？若存在，求出所有的配对和；若不存在，说明理由． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期期末模拟考试A卷 （上海专用） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020必修第二册第6章~第9章和选择性必修第一册第4章。 5．本试卷部分试题分为（A组题）和（B组题），请市重点中学的考生做（A组题），其余学校的考生做（B组题） 6．难度系数：0.61。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知是第四象限的角，则点在第 象限． 2．设是虚数单位，若复数满足，则 . 3．设向量，则在方向上的数量投影为 . 4．设数列为无穷等比数列，，且，则数列的公比 . 5．设，向量，则的取值范围是 . 6．记，在用数学归纳法证明对于任意正整数，的过程中， 从到时，不等式左边的比增加了 项. 7．数列满足，则数列的通项公式为 . 8．已知方程的两个根为、，且，则实数 ． 9．已知复数，满足，其中i为虚数单位， 表示的共轭复数，则 ． 10．已知函数，若且在区间上有最小值无最大值，则 ． 11．如图，、是某水域的两直线型岸边，，是的 角平分线，且．某养殖户准备经过点安装一直线型隔离网 （、分别在、上），围成△养殖区．若、都不超过， 则隔离网长度的取值范围是 ． 12．已知正项数列的前项和为，满足， 则数列的通项公式为 ． 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分； 每题有且只有一个正确选项) 13．“”是“实系数一元二次方程有虚根”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 14．如图，已知与有一个公共顶点，且与的交点平分，若，则的最小值为（ ） A．4 B． C． D．6 15．已知．有下列三个结论： ①存在在第一象限，在第三象限； ②存在在第二象限，在第四象限； ③存在在第一象限，在第四象限； 则（    ） A．①②均正确 B．①③均正确 C．②③均正确 D．①②③均不正确 16．已知函数，，，若函数的所有零点依次记为，且，若，则（    ） A． B． C． D． 2、 解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 在复数范围解方程． （1）关于的实系数一元二次方程的两根满足，求实数的值； （2）关于的实系数一元二次方程的两根，请根据实数的不同取值范围讨论 的值． 18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 如图所示，设是平面内相交成 角的两条数轴，分别是与轴正方向同向的 单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下 ， 则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为. （1）若，有同学认为“”的充要条件 是“”，你认为是否正确？若正确，请给出证明，若不正确，请说明理由； （2）设，若对恒成立， 求的最大值. 19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 近年来，为“加大城市公园绿地建设力度，形成布局合理的公园体系”，许多城市陆续建起众多 “口袋公园”． 现计划在一块边长为200米的正方形的空地上按以下要求建造“口袋公园”. 如图所示，以中点为圆心，为半径的扇形草坪区，点在弧上（不与端点重合）， 、弧、、、、为步行道，其中与垂直，与垂直．设． （1）如果点位于弧的中点，求三条步行道、、的总长度； （2）“地摊经济”对于“拉动灵活就业、增加多源收入、便利居民生活”等都有积极作用；为此街道允许在步行道、、开辟临时摊点，积极推进“地摊经济”发展，预计每年能产生的经济效益分别为每米5万元、5万元及5.9万元．则这三条步行道每年能产生的经济总效益最高为多少？（精确到1万元） 20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分 已知函数，其中． （1）当时，求方程的解集；（2）若是偶函数，当取最小值时， 求函数的取值范围；若是常数函数，求的值． 21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分 若实数列的项数为，则称项数为m的数列为的一个“配对和”数列，其中为的一个排列，即 ．例如：数列1，2，3，4，5，6的一个“配对和”数列为 ．若为等差数列，求的所有常值“配对和”数列； （2）若为公比为正数的等比数列，且存在一个常值“配对和”数列，求等比数列的公比； （3）若数列的项数为6且各项均非零，问：是否存在两个“配对和”数列和，使得 和分别是数列的前3项和后3项？若存在，求出所有的配对和；若不存在，说明理由． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期期末模拟考试B卷 （上海专用） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020必修第二册第6章~第9章和选择性必修第一册第4章。 5．本试卷部分试题分为（A组题）和（B组题），请市重点中学的考生做（A组题），其余学校的考生做（B组题） 6．难度系数：0.65。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．计算：__________. 1．【分析】根据虚数单位的周期性质化简计算即得. 【解析】由虚数单位的幂次周期性，得，，，， 因此. 则 代入化简得，，故原式. 2．已知有实数根，则实数________. 2．【分析】设出方程的实根，利用复数相等的充要条件，即可求解 【解析】设方程的实数根为，将代入原方程得： 根据复数相等的充要条件得：，解得，故实数. 3．已知，，，则在方向上的投影向量为_________. 3．和【解析】因为，因此， 向量夹角，由得：， 在方向上的投影为，方向单位向量为， 因此投影向量为和. 4．已知，，若与夹角为钝角，则的取值范围为______. 4．【解析】 ， 由夹角为钝角得， 即，得；若与反向共线，则满足，解得， 此时夹角为，满足，但夹角不是钝角，因此要排除；综上，的取值范围是. 5．函数，如右图，则___________. 5． 【解析】由图可知，正切函数的周期 ， 根据周期公式 ，得，解得， 正切函数的零点 满足 ，图中零点为 ，代入得 ， 由，得 时，，符合条件； 由图可知函数过点，代入得：，所以. 6．已知中，，，，，为外心， 则_______. 6．【解析】取中点，因为是外心，故，对分解得， 因此 ，由得， 又，故， 同理可得， 所以. 7．已知等比数列是严格减数列，其前n项和为，，若，，成等差数列，则 ． 7．3【分析】由等差中项的性质可得，再由等比数列的性质化简可求出， 求出等比数列的前项和，最后判断极限. 【详解】因为，，成等差数列，所以，所以， 即，且数列严格递减，解得或（舍），则；故答案为：3. 8．在数列中，已知，且，则 ． 8．【分析】由累加法和裂项相消法求通项即可得出答案. 【详解】由可得： ，； 故答案为：. 9．如图，在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上， 若，则 . 9．【分析】根据向量平行四边形法则及线性运算得，再利用平面向量基本定理建立方程即可求得参数.【详解】由题意可知，因为点F在BE上， 所以，所以，所以，所以； 故答案为：. 10．已知函数（）在内恰有2026个零点，则正整数____. 10．1013或者1351【分析】先将函数 进行化简，然后通过换元法将其转化为关于 的二次函数， 再根据二次函数的性质以及三角函数的周期性来分析函数 在区间 上的零点情况， 进而求出正整数的值.【解析】已知 ，根据二倍角公式 ， 可得：，令 ，因为 ，所以 ， 此时函数可转化为，令 ，由得： 一定有两个不等实根，且， ①若且，则在的每一个区间上都有偶数个解， 因此在区间上解的个数为偶数，所以在每个形如的区间上 有4个解，又，所以时，在上有2026个解； ②若或，中有一个为1或， 若，则，另一解为，所以在每个形如的区间上 有3个解，又，所以时，在上有2026个解； 若，则，另一解为，所以在每个形如的区间上 有3个解，又，所以时，在上有2027个解，不合题意（舍去）； 综上，正整数的值为1013或者1351. 11．设，，，如图所示，函数的图象与坐标轴依次交于、、三点，直线交函数的图象于点．若，且坐标原点为的重心，则 ． 11．【分析】由重心定义得为中点，且由重心性质求出，进而得，从而结合函数 图像以及周期公式可求出的解析式，进而求出B点坐标，再利用B点坐标和余弦定理可求出，接着利用同角三角函数的基本关系即可得解. 【详解】由重心定义得为中点，且由重心坐标形式的性质得，即 ，故，所以函数周期满足，又， 故，所以，故，所以由图以及正弦函数性质得： 即，又，故，所以， 则，即，所以，故 ，又，故， 又，所以， ；故答案为：. 12． 已知各项均为正整数的数列满足：对任意正整数，均存在， 使得，若，则满足条件的数列的个数为 ． 12．【分析】按照已知等式可确定偶数项，由依次分析奇数项可能的取值， 进而确定满足条件的数列. 【详解】，，，，； 当时，，，即，成等差数列， 又，，或，；当时，或， 当时，（舍）或；当时，（舍）或（舍）， ，，，；当时，或或， 或或；当时，，， 当时，（舍）；当时，，则；当时，，则； ，，，，，或，，，，，； 当时，，当时，或或或或； 当时，或或或或； 当时，，，当时，（舍）； 当时，（舍）； 当时，（舍）；当时，，则； 当，时，，则；当，时，（舍）； 时，或；时，；综上所述：满足条件的数列有、、，共个；故答案为：. 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分； 每题有且只有一个正确选项) 13．中，已知，且，则是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 13．B【分析】根据正弦定理得到，和差公式化简得到，代换得到， 得到答案.【详解】 ，，故，即是直角三角形，故选：. 14．如图，圆O内接边长为1的正方形是弧（包括端点）上一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．C【分析】法一：以A为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系， 应用向量的坐标运算即可求解；法二：连接，设，则， ，即可求解. 【详解】方法一：如图1，以A为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系， 则）．设，则，因为，所以，由题意知， 圆O的半径，因为点P在弧（包括端点）上，所以，所以的取值范围是； 方法二：如图2，连接．易知，设，则，由已知可得： ，所以 ， 所以 ，因为，所以， 所以，所以，即的取值范围是； 故选：C． 15．若客户M准备在银行存入本金1万元，存期为n年，年利率为x，银行存款有单利计息 （单利本利和=本金+本金×利率×时间）和复利计息两种方案，客户M经过考虑选择了复利计息的方案， 其实这背后蕴藏着一个著名的伯努利不等式：. 已知数列的前n项和为，，若对任意的，恒成立，则λ的取值范围为（     ） A． B． C． D． 15．B【分析】先利用伯努利不等式对数列通项进行放缩，再通过裂项相消法求前项和，最终转化为 由数列的单调性求的取值范围. 【解析】由伯努利不等式可得， 所以，即， 因此，令，则，则 ，又，则，即，所以，因此数列为递增数列， 当时，，所以，因对任意的， 恒成立，则对任意的，恒成立，则小于的最小值，即. 16．已知是定义在上的函数，记，给出下列两个结论： ①若函数，则的最大值为； ②若函数和都是减函数，则也是减函数；则下列判断正确的是（    ） A．①②都正确 B．①正确，②错误 C．①②都错误 D．①错误，②正确 16．A【分析】①结合题设定义分、两种情况求出的值域即可判断； ②根据减函数的定义可得，且时，都有，再结合的定义 可得，进而判断即可. 【解析】①由，当时，，则， 即，所以，则， 此时；当时，，则， 即，所以，则， 此时，综上所述，的最大值为，故①正确； ②因为函数和都是减函数，则对于，且时，都有 ，由，则，所以必有，，又，则，所以也是减函数，故②正确. 2、 解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 函数的部分图象如右下图所示： （1）求A，，的值；（2）将函数的图象向右平移个单位长度， 得到函数的图象，若，且，求的值. 17．（1），，；（2）或. 【分析】（1）根据函数的部分图象即可求出A，，然后代入点，由即可求出的值； （2）根据三角函数的图象变换先求出函数的解析式，然后利用，结合即可确定的值. 【详解】（1）由图可知，，，……2分， 所以，即，所以，……2分， 将点代入得，，又，所以；……2分； （2）由（1）知，……2分， 由题意有，……2分， 所以，即， 因为，所以，……2分， 所以或，即或，所以的值为或.……2分， 18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 已知为虚数，且为实数．（1）求证：；（2）若为纯虚数，求． 18．（1）证明见解析 （2）或 【分析】（1）设（且），根据复数代数形式的除法、加法运算法则化简，再根据为实数，虚部为零，即可得到，从而得解； （2）由（1）可得，再根据复数代数形式的除法运算化简复数，最后得到方程组，解出即可； 【详解】（1）解：设（且），……1分， 则，……3分， 由题意可得，又可得，所以；……2分， （2）由，则，……3分， 若为纯虚数，则，解得或，……3分， 所以或.……2分. 19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 某地区要设计建造一个自然保护区，如图所示，在一块矩形区域ABCD中 （其中AB为60米，AD为30米），过道EF将其分为两个主要区域，休闲区为以D为圆心，AD为半径的四分之一圆，绿化区为四边形BEFC，且EF与圆弧相切，记切点为G.（计算结果保留两位小数） （1）若，求EF的长；（2）E点在线段AB上何处时，才能使绿化区的面积最大，求出最大值. 19．（1）米；（2）点距离点为米时，绿化区面积最大，最大值为平方米． 【分析】（1）结合图形，先证，利用边长关系即可求解； （2）设 ，列出表达式结合三角恒等变换和基本不等式即可求解. 【解析】（1）连接，因为，所以 和 为直角三角形， 在 和 中，，所以，，……2分， 所以，，又 ， 所以，故 ，……2分， 所以 ， （米）；……2分； （2）设，则由（1）得，，……1分， ……2分， （平方米），……2分， 当且仅当 时等号成立，解得，此时 （米）， ，……2分， 所以点 距离点 为 米时，绿化区面积最大，最大值为 平方米．……1分. 20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分． 已知函数，其中. （1）若，求的值； （2）若，函数图像向右平移个单位，得到函数的图像，是的一个零点，若函数在且上恰好有4个零点，求的最小值； （3）令，对任意实数，当时，有成立； 将函数的图像向左平移个单位得到函数，已知函数的最大值为10，求满足条件的的最小值. 20.（1）；（2）；（3）.【分析】 （1）利用正弦的二倍角公式化简函数解析式，由函数图象的性质确定最小正周期，即可求出的值； （2）由图象的平移变换得到函数，结合和，求得的值，根据零点个数可知，要使最小，则恰好为零点，由此可求出的最小值；（3）根据，，可得，当且仅当，时取等号，进而求出. 【详解】（1）函数，……2分， 若，则与是相邻的最小值点和最大值点， 所以的最小正周期为，由，解得；……2分； （2），，所以，……2分， 所以或，解得或， 又，得，所以，……2分， 函数最小正周期，令，即，解得或， ……2分， 若在上恰好有4个零点，则，要使最小，则恰好为的零点， 所以的最小值为；……2分； （3）由题意，因为， 所以，当且仅当时取等号，……2分， 又因为函数的最大值为10，所以同时取得最大值1，……2分， 所以，所以，所以满足条件的的最小值为.……2分. 21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 设是给定的正整数．对于数列，，…，，令集合． （1）对于数列，，，直接写出集合；（用列举法表示） （2）设常数．若，，…，是以为首项，为公差的等差数列，求证：集合的元素个数为； （3）若，，…，是等比数列，且，公比．求集合的元素个数，并求集合中所有元素之和． 21．（1）；（2）证明见解析；（3），． 【分析】（1）由新定义和集合的列举法，可得所求集合；（2）运用等差数列为递增数列，以及性质， 即可得到所求个数；（3）由等比数列的通项公式和性质，结合新定义计算可得所求结论． 【详解】（1）因为数列，，，……2分， 则；……2分； （2）因为构成以为首项，()为公差的等差数列， 所以有()，以及()，……2分， 此时，集合中的元素有以下大小关系： ，……2分， 因此，集合中含有个元素；……2分； （3）依题意可得，设 ， 设集合，；……1分， ①先证中的元素个数为，即从集合中任取两个元素，它们的和互不相同． 不妨设，于是，显然， 即，假设，可得，……1分， 即，因为，， 所以，又，于是， 等式不成立，因此，，同理可证；……2分， ②再证．不妨设，于是，显然， ，假设，可得， 即，因为，所以，又， 于是，等式不成立；……2分， 因此，，由①②，得，且， 此时，集合中的元素个数为； 集合中所有元素的和为．……2分. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期期末模拟考试A卷 （上海专用） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020必修第二册第6章~第9章和选择性必修第一册第4章。 5．本试卷部分试题分为（A组题）和（B组题），请市重点中学的考生做（A组题），其余学校的考生做（B组题） 6．难度系数：0.61。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知是第四象限的角，则点在第 象限． 1．二【分析】根据三角函数在各象限的符号确定即可.【详解】因为是第四象限的角， 所以，故点在第二象限；故答案为：二. 2．设是虚数单位，若复数满足，则 . 2．5【详解】由得，故，故，故答案为：5 3．设向量，则在方向上的数量投影为 . 3．【分析】根据数量投影的概念和公式可解． 【详解】在方向上的数量投影为；故答案为：. 4．设数列为无穷等比数列，，且，则数列的公比 . 4．【分析】根据给定条件，利用无穷递缩等比数列所有项和公式列式计算即得. 【详解】依题意，，，解得；故答案为：. 5．设，向量，则的取值范围是 . 5．【分析】利用数量积的坐标表示，结合辅助角公式及正弦函数性质求解即得. 【详解】向量，则， 其中锐角由确定，而，则，因此， 所以的取值范围是；故答案为：. 6．记，在用数学归纳法证明对于任意正整数，的过程中， 从到时，不等式左边的比增加了 项. 6．3【分析】根据给定条件，分析从到时式子的变化即可作答. 【详解】因为， ，所以不等式左边的比增加了，共3项； 故答案为：3. 7．数列满足，则数列的通项公式为 . 7．【分析】根据给定的递推公式，利用构造法，结合等比数列通项求解即得. 【详解】数列中，由，得，即，而，， 于是数列是首项为3，公比为的等比数列，因此，即， 所以数列的通项公式为；故答案为：. 8．已知方程的两个根为、，且，则实数 ． 8．【分析】由于方程为实系数方程，根据，进而结合 韦达定理，构造关于的方程，解方程即可得到答案． 【详解】由题意，①当，为虚根时，两根必为共轭虚根，则，，，由，得，，因为时，，不合题意，所以； ①当，为实根时，由韦达定理得：，，同号，由， 平方得：2+2=4，即=4，时，，所以； 故答案为：． 9．已知复数，满足，其中i为虚数单位， 表示的共轭复数，则 ． 9．【分析】由知，，依题意得，，进而可得. 【详解】由得， 所以，，由知，，所以数列是首项为1，公差为1的 等差数列，所以；数列为摆动数列， 所以，故；故答案为：. 10．已知函数，若且在区间上有最小值无最大值，则 ． 10．4或10/10或4 【分析】根据可求出f(x)的一条对称轴，根据该对称轴可求出ω的表达式和可能取值，结合y＝sinx的图像，根据在区间上有最小值无最大值判断ω的取值范围，从而判断ω的取值. 【详解】∵f(x)满足，∴是f(x)的一条对称轴， ∴，∴，k∈Z，∵ω＞0，∴. 当时，，y＝sinx图像如图： 要使在区间上有最小值无最大值，则： 或，此时ω＝4或10满足条件；区间的长度为：，当时，f(x)最小正周期，则f(x)在 既有最大值也有最小值，故不满足条件.综上，ω＝4或10；故答案为：4或10. 11．如图，、是某水域的两直线型岸边，，是的 角平分线，且．某养殖户准备经过点安装一直线型隔离网 （、分别在、上），围成△养殖区．若、都不超过， 则隔离网长度的取值范围是 ． 11．【分析】设，，，利用 结合三角形的面积公式可得出，由，，求出的取值范围，可求出的取值范围，利用余弦定理结合二次函数的基本性质可求得的取值范围，即为所求. 【详解】设，，，由题意可得，且，因为，即，可得，由题意可知，，，所以，，由，解得，所以， ，令，因为函数在上单调递减， 在上单调递增，所以，当时，，则， 由余弦定理可得 ，故，因此，的长的取值范围是；故答案为：. 12．已知正项数列的前项和为，满足，则数列的通项公式为 ． 12．【分析】构造复数，将已知条件转化为，再利用 复数的几何意义与三角形式求解辐角主值的关系，进而利用等比数列求通项，进而求（即）. 【详解】由，且数列为正项数列，定义复数， 则，则有， 又，其对应辐角主值；如图，设复数对应复平面内的点，复数对应复平面内的点，则对应复平面内的实轴上的点，且，由， 根据复数加法的几何意义可知，故四边形为菱形，即复数对应辐角主值；故数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，且， 故，则，， 当时，又也适合上式； 所以，.故答案为：. 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分； 每题有且只有一个正确选项) 13．“”是“实系数一元二次方程有虚根”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 13．C【分析】由和根的判别式得到充分性，再得到必要性，得到答案. 【详解】充分性：时，，故，故， 故有虚根，充分性成立，反之，有虚根，则，故，，必要性成立，“”是“实系数一元二次方程 有虚根”的充分必要条件；故选：C. 14．如图，已知与有一个公共顶点，且与的交点平分，若，则的最小值为（ ） A．4 B． C． D．6 14．B【详解】，又，， 又三点共线，，即得，易知， ， 当且仅当，即时，取等号，故选B. 15．已知．有下列三个结论： ①存在在第一象限，在第三象限； ②存在在第二象限，在第四象限； ③存在在第一象限，在第四象限； 则（    ） A．①②均正确 B．①③均正确 C．②③均正确 D．①②③均不正确 15．C【分析】利用换元法，结合二次函数的性质、三角恒等变换、函数图像即可求解. 【详解】因为，，所以， 令，，则，整理得， 且方程有解，有， 作函数图像:则由图像可知存在， 有，所以当时，恒成立，则， ，因此一正一负，说明当在第二象限时， 在四个象限均可，当时，成立， 此时，，因此皆为负， 说明当在第一象限时，只能在第二象限或第四象限， 综上所述，②③正确，①错误；故选：C. 16．已知函数，，，若函数的所有零点依次记为，且，若，则（    ） A． B． C． D． 16．A【分析】先明确函数在上对称轴的条数，再根据的对称性，和，可求的值.【详解】由， 为函数的对称轴，又函数的最小正周期为，且，， 所以当时，可得函数的第一条对称轴为，当时，， 所以函数在有9条对称轴，根据正弦函数的图象和性质可知，函数与 的交点有9个，其横坐标分别为：，且，且关于对称， 所以；关于对称，所以；……，关于 对称，所以，所以；故选：A. 2、 解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 在复数范围解方程． （1）关于的实系数一元二次方程的两根满足，求实数的值； （2）关于的实系数一元二次方程的两根，请根据实数的不同取值范围讨论 的值． 17．（1）—1或3；（2）.【分析】（1）根据方程有实数根与复数根进行讨论，从而求出的值；（2）根据方程有实数根与复数根讨论的范围，从而得到的值. 【详解】（1）当，即时，，为实数，则，，……1分， 所以，解得：；……2分， 当，即时，，为复数，由，解得：，，所以，解得：； ……2分，综上：或；……1分； （2）当，即时，，为实数，则，，……1分， 当时，，为一正一负，所以所以； ……2分， 当，，为两负数，，……1分， 当，即时，，为复数，由，解得：，，则，，……2分， 所以，综上：.……2分. 18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 如图所示，设是平面内相交成 角的两条数轴，分别是与轴正方向同向的 单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下 ， 则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为. （1）若，有同学认为“”的充要条件 是“”，你认为是否正确？若正确，请给出证明，若不正确，请说明理由； （2）设，若对恒成立， 求的最大值. 18.（1）不正确，理由见解析；（2）.【分析】（1）根据条件，利用向量数量积的运算得到，再利用，即可求解；（2）由，转化为对恒成立，求得，再由向量的夹角 公式，得到，进而求得其最值，得到答案. 【详解】（1）不正确，理由如下，因为，则，……1分， 又， 则，……2分， 若，则，则，……2分， 所以“”的充要条件是“”， 故“”的充要条件是“”是不正确的；……1分； （2）因为，则，……1分， ，，，……1分， 由，得，所以， 即对恒成立，又因为，……2分， 所以，解得， 因为，所以满足题意，……2分， 所以， 又因为，所以，所以的最大值为．……2分. 19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 近年来，为“加大城市公园绿地建设力度，形成布局合理的公园体系”，许多城市陆续建起众多 “口袋公园”． 现计划在一块边长为200米的正方形的空地上按以下要求建造“口袋公园”. 如图所示，以中点为圆心，为半径的扇形草坪区，点在弧上（不与端点重合）， 、弧、、、、为步行道，其中与垂直，与垂直．设． （1）如果点位于弧的中点，求三条步行道、、的总长度； （2）“地摊经济”对于“拉动灵活就业、增加多源收入、便利居民生活”等都有积极作用；为此街道允许在步行道、、开辟临时摊点，积极推进“地摊经济”发展，预计每年能产生的经济效益分别为每米5万元、5万元及5.9万元．则这三条步行道每年能产生的经济总效益最高为多少？（精确到1万元） 19.(1)(米) ；(2)2022万元.【分析】(1)根据图依次求出三条线段长度即可求出总长度； （2）将PQ、PR、RQ三边通过图中的关系用关于的等式表示，再记经济总效益，将进行表示， 通过辅助角公式化简求出最值即可. 【详解】（1）解:由题，，同理，故， 由于点P位于弧BC的中点， 所以点P位于的角平分线上， ……2分， 则， ， 因为，，所以为等边三角形，则， 因此三条街道的总长度为（米）；……2分； （2）由图可知， ，， ，……2分， 在中由余弦定理可知: ，……2分， 则，设三条步行道每年能产生的经济总效益， 则 ，……2分， 当即时，取最大值， 最大值为. 答:三条步行道每年能产生的经济总效益最高约为2022万元.……2分. 20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分 已知函数，其中． （1）当时，求方程的解集；（2）若是偶函数，当取最小值时， 求函数的取值范围；若是常数函数，求的值． 20．（1），或；（2）；（3）. 【分析】（1）当时， ，求解方程即可；（2）的定义域为，由是偶函数得，展开并整理得，进而为正奇数， 当取最小值即时，，化简 ，， 利用换元法令，，将的值域问题转化为函数，且的值域即可；（3）因为，，若是常数函数，则，当时， 不是常数函数；当时，通过说明不是常数函数； 证明当时成立；当时，通过，说明不是常数函数即可. 【详解】（1）当时，，……2分， 由得：，解得，或， 即，或， 故所求方程的解集为，或；……2分， （2）的定义域为，由是偶函数得：，……1分， 即：， 所以，……1分， 从而，进而，所以为正奇数，当取最小值即时， ，所以 ，，令，， 则，且，……2分， 所以函数的值域转化为，且的值域，对称轴， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得最小值；当时，取得最大值； 又当时，，当时，； 故函数的取值范围为；……2分， （3）因为，，所以若是常数函数，则，……1分， ①当时，由（1）知，不是常数函数；……1分， ②当时，，此时，， 不是常数函数；……1分， ③当时， ，所以，是常数函数；……3分， ④当时，，不是常数函数；综上所述：．……2分. 21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分 若实数列的项数为，则称项数为m的数列为的一个“配对和”数列，其中为的一个排列，即 ．例如：数列1，2，3，4，5，6的一个“配对和”数列为 ．若为等差数列，求的所有常值“配对和”数列； （2）若为公比为正数的等比数列，且存在一个常值“配对和”数列，求等比数列的公比； （3）若数列的项数为6且各项均非零，问：是否存在两个“配对和”数列和，使得 和分别是数列的前3项和后3项？若存在，求出所有的配对和；若不存在，说明理由． 21．（1）有且只有一个常值“配对和”数列：；（2）1；（3）不存在，理由见解析.【分析】（1）根据新定义及为等差数列分析即可得解；（2）分类讨论当时，， ，同理可分析当时，也有得解；（3）根据新定义，列举不同情况，逐一验证，可得出结论。 【详解】（1）一方面，数列的任意“配对和”数列的各项之和等于的各项之和， 所以若有两个常值“配对和”数列b，b，…，b以及c，c，…，c，则，即， 即只存在一个常值“配对和”数列；……2分， 另一方面，由等差数列的性质，为的一个“配对和”数列， 因此，有且只有一个常值“配对和”数列：；……2分； （2）若，且，则递增，所以的常值“配对和”数列只能是： ，否则必有两项不相等；……2分； 注意到若，则，由此可知，即，矛盾；……2分； 同理，若此时，也矛盾；因此，时有．同理，……1分， 当时，也有，综上，等比数列的公比；……1分； （3）由题意，此时，由于改变各项顺序不影响“配对和”数列的存在与否，故不妨设的各项 按照从小到大顺序依次为：，注意到数列的任意“配对和”数列的 各项之和等于的各项之和，……1分， 因此，若假设存在两个“配对和”数列和，使得和分别是数列的前3项和后3项， 那么数列的各项之和为0，又数列的各项均非零，故，由于数列和构成数列，所以存在，因为此时是数列中最小的项，故且；同理，存在， 其中且，由此可知，数列的大小排序为：，……2分， 因为数列和的各项之和均为0，则有下面几种可能情况： ①．一组：由于，故只能写成中的某两个和， 则中的某一个，剩余两个和这与矛盾！……1分， ②．一组：矛盾理由与情况1同理！……1分， ③．一组：则只能，由于 可得，而，故，故，矛盾；同理：不能 一组，故可得不能一组！同理：不能一组！而显然不能一组： 如不然，则这与矛盾！ 同理：也显然不能一组！则可能情况只能还有以下两种可能：……1分， ④．一组：则，作差得矛盾！ ⑤．一组：由于，那么要由两两配对相加得到， 这是不可能的，矛盾！因此各项非零的数列不存在两个“配对和”数列和，使得和分别是数列的前3项和后3项．……2分. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期期末模拟考试A卷 （上海专用） 数学·答案及评分参考 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020必修第二册第6章~第9章和选择性必修第一册第4章。 5．本试卷部分试题分为（A组题）和（B组题），请市重点中学的考生做（A组题），其余学校的考生做（B组题） 6．难度系数：0.61。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1． 2． 3． 4． 5． 6．3 7． 8． 9． 10． 11． 12． 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分； 每题有且只有一个正确选项) 13．C 14．B 15． C 16．A 3、 解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 在复数范围解方程． （1）关于的实系数一元二次方程的两根满足，求实数的值； （2）关于的实系数一元二次方程的两根，请根据实数的不同取值范围讨论 的值． 17．（1）—1或3；（2）.【分析】（1）根据方程有实数根与复数根进行讨论，从而求出的值；（2）根据方程有实数根与复数根讨论的范围，从而得到的值. 【详解】（1）当，即时，，为实数，则，，……1分， 所以，解得：；……2分， 当，即时，，为复数，由，解得：，，所以，解得：； ……2分，综上：或；……1分； （2）当，即时，，为实数，则，，……1分， 当时，，为一正一负，所以所以； ……2分， 当，，为两负数，，……1分， 当，即时，，为复数，由，解得：，，则，，……2分， 所以，综上：.……2分. 18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 如图所示，设是平面内相交成 角的两条数轴，分别是与轴正方向同向的 单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下 ， 则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为. （1）若，有同学认为“”的充要条件 是“”，你认为是否正确？若正确，请给出证明，若不正确，请说明理由； （2）设，若对恒成立， 求的最大值. 18.（1）不正确，理由见解析；（2）.【分析】（1）根据条件，利用向量数量积的运算得到，再利用，即可求解；（2）由，转化为对恒成立，求得，再由向量的夹角 公式，得到，进而求得其最值，得到答案. 【详解】（1）不正确，理由如下，因为，则，……1分， 又， 则，……2分， 若，则，则，……2分， 所以“”的充要条件是“”， 故“”的充要条件是“”是不正确的；……1分； （2）因为，则，……1分， ，，，……1分， 由，得，所以， 即对恒成立，又因为，……2分， 所以，解得， 因为，所以满足题意，……2分， 所以， 又因为，所以，所以的最大值为．……2分. 19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 近年来，为“加大城市公园绿地建设力度，形成布局合理的公园体系”，许多城市陆续建起众多 “口袋公园”． 现计划在一块边长为200米的正方形的空地上按以下要求建造“口袋公园”. 如图所示，以中点为圆心，为半径的扇形草坪区，点在弧上（不与端点重合）， 、弧、、、、为步行道，其中与垂直，与垂直．设． （1）如果点位于弧的中点，求三条步行道、、的总长度； （2）“地摊经济”对于“拉动灵活就业、增加多源收入、便利居民生活”等都有积极作用；为此街道允许在步行道、、开辟临时摊点，积极推进“地摊经济”发展，预计每年能产生的经济效益分别为每米5万元、5万元及5.9万元．则这三条步行道每年能产生的经济总效益最高为多少？（精确到1万元） 19.(1)(米) ；(2)2022万元.【分析】(1)根据图依次求出三条线段长度即可求出总长度； （2）将PQ、PR、RQ三边通过图中的关系用关于的等式表示，再记经济总效益，将进行表示， 通过辅助角公式化简求出最值即可. 【详解】（1）解:由题，，同理，故， 由于点P位于弧BC的中点， 所以点P位于的角平分线上， ……2分， 则， ， 因为，，所以为等边三角形，则， 因此三条街道的总长度为（米）；……2分； （2）由图可知， ，， ，……2分， 在中由余弦定理可知: ，……2分， 则，设三条步行道每年能产生的经济总效益， 则 ，……2分， 当即时，取最大值， 最大值为. 答:三条步行道每年能产生的经济总效益最高约为2022万元.……2分. 20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分 已知函数，其中． （1）当时，求方程的解集；（2）若是偶函数，当取最小值时， 求函数的取值范围；若是常数函数，求的值． 20．（1），或；（2）；（3）. 【分析】（1）当时， ，求解方程即可；（2）的定义域为，由是偶函数得，展开并整理得，进而为正奇数， 当取最小值即时，，化简 ，， 利用换元法令，，将的值域问题转化为函数，且的值域即可；（3）因为，，若是常数函数，则，当时， 不是常数函数；当时，通过说明不是常数函数； 证明当时成立；当时，通过，说明不是常数函数即可. 【详解】（1）当时，，……2分， 由得：，解得，或， 即，或， 故所求方程的解集为，或；……2分， （2）的定义域为，由是偶函数得：，……1分， 即：， 所以，……1分， 从而，进而，所以为正奇数，当取最小值即时， ，所以 ，，令，， 则，且，……2分， 所以函数的值域转化为，且的值域，对称轴， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得最小值；当时，取得最大值； 又当时，，当时，； 故函数的取值范围为；……2分， （3）因为，，所以若是常数函数，则，……1分， ①当时，由（1）知，不是常数函数；……1分， ②当时，，此时，， 不是常数函数；……1分， ③当时， ，所以，是常数函数；……3分， ④当时，，不是常数函数；综上所述：．……2分. 21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分 若实数列的项数为，则称项数为m的数列为的一个“配对和”数列，其中为的一个排列，即 ．例如：数列1，2，3，4，5，6的一个“配对和”数列为 ．若为等差数列，求的所有常值“配对和”数列； （2）若为公比为正数的等比数列，且存在一个常值“配对和”数列，求等比数列的公比； （3）若数列的项数为6且各项均非零，问：是否存在两个“配对和”数列和，使得 和分别是数列的前3项和后3项？若存在，求出所有的配对和；若不存在，说明理由． 21．（1）有且只有一个常值“配对和”数列：；（2）1；（3）不存在，理由见解析.【分析】（1）根据新定义及为等差数列分析即可得解；（2）分类讨论当时，， ，同理可分析当时，也有得解；（3）根据新定义，列举不同情况，逐一验证，可得出结论。 【详解】（1）一方面，数列的任意“配对和”数列的各项之和等于的各项之和， 所以若有两个常值“配对和”数列b，b，…，b以及c，c，…，c，则，即， 即只存在一个常值“配对和”数列；……2分， 另一方面，由等差数列的性质，为的一个“配对和”数列， 因此，有且只有一个常值“配对和”数列：；……2分； （2）若，且，则递增，所以的常值“配对和”数列只能是： ，否则必有两项不相等；……2分； 注意到若，则，由此可知，即，矛盾；……2分； 同理，若此时，也矛盾；因此，时有．同理，……1分， 当时，也有，综上，等比数列的公比；……1分； （3）由题意，此时，由于改变各项顺序不影响“配对和”数列的存在与否，故不妨设的各项 按照从小到大顺序依次为：，注意到数列的任意“配对和”数列的 各项之和等于的各项之和，……1分， 因此，若假设存在两个“配对和”数列和，使得和分别是数列的前3项和后3项， 那么数列的各项之和为0，又数列的各项均非零，故，由于数列和构成数列，所以存在，因为此时是数列中最小的项，故且；同理，存在， 其中且，由此可知，数列的大小排序为：，……2分， 因为数列和的各项之和均为0，则有下面几种可能情况： ①．一组：由于，故只能写成中的某两个和， 则中的某一个，剩余两个和这与矛盾！……1分， ②．一组：矛盾理由与情况1同理！……1分， ③．一组：则只能，由于 可得，而，故，故，矛盾；同理：不能 一组，故可得不能一组！同理：不能一组！而显然不能一组： 如不然，则这与矛盾！ 同理：也显然不能一组！则可能情况只能还有以下两种可能：……1分， ④．一组：则，作差得矛盾！ ⑤．一组：由于，那么要由两两配对相加得到， 这是不可能的，矛盾！因此各项非零的数列不存在两个“配对和”数列和， 使得和分别是数列的前3项和后3项．……2分. / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年高一下学期模拟考试A卷 数学·答题卡 姓名： 贴条形码区 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 ! 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选 准考证号 择题必须用0.5mm黑色签字笔答 注意事 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 体工整、笔迹清晰。 0 0 0 3.请按题号顺序在各题目的答题区域 内作答，超出区域书写的答案无 123 123 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 1234 123 123 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 5 破。 6 5. 正确填涂 789 6789 5678q 6789 5678q 123456789 123456789 123456789 123456789 0123456789 缺考标记 一、 填空题（本大题共有12题，满分54分， 第 -6题每题4分，第7-12 题每题5分) 1 製 3 5 1! 7 8 10 11 12. 二、选择题（本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16 题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13[A][B][C][D] 14[A][B][C][D] 15[A][B][C][D] 16[A][B][C][D] 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形框限定区域的答案无效！ 三、解答题（本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分， 第20、21题每题18分) 17.(14分) 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(14分) M e 数学第3页（共6页） 学校 班级 姓名 准考证号 密 封 线 1111 工 C149) q ■■■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(18分) 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(18分) 数学第6页（共6页）