第05讲 全称量词与存在量词（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版

第05讲 全称量词与存在量词 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 全称量词命题和存在量词命题的判断 题型2 全称量词命题和存在量词命题真假的判断 题型3 由全称（存在）量词命题的真假求参数取值范围 题型4 求含有量词命题的否定 题型5 由含量词命题的否定真假求参数取值范围 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 全称量词命题 存在量词命题 含有量词命题的否定 量词命题的真假 1. 理解全称量词、存在量词的概念，能准确识别全称量词命题与存在量词命题，区分两类命题的基本形式； 2. 掌握全称量词命题和存在量词命题真假的判断方法，能结合实例规范完成命题真假的判定过程； 3. 学会对全称量词命题、存在量词命题进行否定，明晰命题否定前后的量词与结论变化规律； 4. 能运用本节课知识解决简单习题，初步形成逻辑推理思维，体会常用逻辑用语的应用价值. 学习重点：掌握全称量词、存在量词的含义，以及全称量词命题、存在量词命题的真假判断，与准确写出全称量词命题与存在量词命题的否定. 学习难点：辨析全称量词命题与存在量词命题的真假，并根据命题真假求参数的取值范围. 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 全称量词与全称量词命题 1、全称量词： （1）定义：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等． （2）表示：用符号“∀”表示． 2、全称量词命题： （1）定义：含有全称量词的命题叫做全称量词命题．一个全称量词命题可以包含多个变量；有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补出来． （2）表示：全称量词命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)． 3、判断全称量词命题的真假： 若为真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，验证p(x)成立；（简称“全真才真”） 若为假命题，只要能举出集合M中的一个x=x0，使p(x0)不成立即可．（简称“一假全假”） 知识点02 存在量词与存在量词命题 1、存在量词： （1）定义：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某些”“有的”等． （2）表示：用符号“∃”表示． 2、存在量词命题： （1）定义：含有存在量词的命题叫做存在量词命题．一个存在量词命题可以包含多个变量；有些命题虽然没有写出存在量词，但其意义具备“存在”、“有一个”等特征都是存在量词命题． （2）表示：“存在M中的元素x，使p(x)成立”可用符号简记为∃x∈M，p(x) 3、判断存在量词命题的真假： 只要在限定集合M中，至少能找到一个x=x0，使p(x0)成立，则这个命题为真，否则为假．（简称“一真全镇”） 知识点03 命题的否定 1、命题的否定： （1）定义：一般的，对一个命题进行否定，就可以的到一个新的命题，这一新命题就成为原命题的否定． （2）表示：命题p的否定可用“”来表示，读作“非p”或p的否定． （3）命题的否定与原命题的真假关系：p的否定与p“一真一假” 命题p 真 假 假 真 2、含量词命题的否定： （1）全称量词命题的否定：全称量词命题，的否定： ，不成立． （2）存在量词命题的否定：存在量词命题，的否定： ，不成立． （3）求否定口诀：改量词，否结论，条件不变. 题型1 全称量词命题和存在量词命题的判断 【例1】（1）下列命题中为全称量词命题的是（   ） A．有些实数没有倒数 B．矩形都有外接圆 C．存在一个实数与它的相反数的和为0 D．过直线外一点有一条直线和已知直线平行 【答案】B 【详解】解：对于A，含有存在量词有些，为存在量词命题； 对于B，含有全称量词都有，为全称量词命题； 对于C，含有存在量词存在一个，为存在量词命题； 对于D，含有存在量词有一条，为存在量词命题. （2）下列命题是存在量词命题的是（    ） A．一次函数的图象都是上升的或下降的 B．对任意x∈R，x2＋x＋1<0 C．存在实数大于或者等于3 D．菱形的对角线互相垂直 【答案】C 【详解】选项A，B，D中的命题都是全称量词命题，选项C中的命题是存在量词命题． 【方法总结】 如何判断一个命题是全称量词命题 还是存在量词命题 (1) 关键看量词：看该命题中的量词是全称量词还是存在量词. (2) 如果命题是省去量词的命题，要将量词补充出来看是否讲得通，若讲得通，再根据量词进行判断. 【变式 1-1】下列命题是全称量词命题的是（    ） A．存在一个实数的平方是负数 B．每个四边形的内角和都是360° C．至少有一个整数，使得是质数 D．， 【答案】B 【详解】对于ACD，均为存在量词命题，对于B中的命题是全称量词命题. 【变式 1-2】下列命题中，存在量词命题的个数是（    ） ①有些自然数是偶数；②正方形是菱形； ③能被6整除的数也能被3整除；④任意x∈R，y∈R，都有. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】命题①含有存在量词；命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，故为全称量词命题； 命题③可以叙述为“一切能被6整除的数也能被3整除”，是全称量词命题； 命题④是全称量词命题．故有1个存在量词命题． 题型2 全称量词命题和存在量词命题真假的判断 【例2】已知命题，，命题，，则（   ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【详解】命题，当得，，故为假命题，为真命题， 命题，时，，故满足，为真命题. 【方法总结】 判断全称量词命题与存在量词命题真假的方法： 【变式2-1】下列命题既是全称量词命题又是真命题的是（    ） A．所有的素数都是奇数 B．，使 C．矩形都有外接圆 D．都有平方根 【答案】C 【详解】A选项，素数2不是奇数，“所有的素数都是奇数”是全称量词命题，但是假命题，A选项错误； B选项，“，使”是存在量词命题，B选项错误； C选项，矩形的对角互补，都有外接圆，“矩形都有外接圆” 既是全称量词命题又是真命题，C选项正确； D选项，负整数没有平方根，“都有平方根” 是全称量词命题，但是假命题，D选项错误； 题型3 由全称（存在）量词命题的真假求参数取值范围 【例3】（1）若命题“任意，使”为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由于任意，都有，故要使命题“任意，使”为真命题，需有. （2）若命题：“，”为假命题，实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，而，当且仅当时取等号，则， 因此命题，命题为假命题时，. （3）若“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由于“，使得”是假命题，则“，使得”是真命题， 故，则. （4）已知命题”为真命题，则实数的取值范围为______________. 【答案】 【详解】为真命题，即方程在范围内有实根， 故，故. 【方法总结】 由全称（存在）量词命题的真假求参数取值范围的四种类型及解法： 类型I：全称量词命题为真（为真） 解法：转化为恒成立问题，通过求函数的最值求解：①若恒成立，则；②若恒成立，则； 类型II：全称量词命题为假（ 为假） 解法：先求原命题为真时参数的范围，再取其补集；或直接转化为存在性问题求解：①若有解，则；②若有解，则. 类型III：存在量词命题为真（ 为真） 解法：转化为存在性问题求解. 类型IV：存在量词命题为假（ 为假） 解法：先求原命题为真时参数的范围，再取其补集；或求否定直接转化为恒成立问题求解. 【变式3-1】已知命题，命题. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题和均为真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2). 【详解】（1）对于任意，不等式恒成立，而，则， 即命题，则命题， 所以实数的取值范围是. （2）由，得，解得， 即命题，则命题，由（1）知命题， 由命题和均为真命题，得， 所以实数的取值范围是. 题型4 求含有量词命题的否定 【例4】（1）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】命题“，”的否定是：“，” （2）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】由存在量词命题的否定为全称量词命题，故原命题的否定为：，. 【方法总结】 求含有量词命题的否定的方法：改量词，否结论，条件不变. 【变式4-1】命题“，，使得”的否定是（   ） A．，，使得 B．，，使得 C．，，使得 D．，，使得 【答案】C 【详解】命题“，，使得”的否定是“，，使得”. 题型5 由含量词命题的否定真假求参数取值范围 【例5】（1）命题有实数根，若是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【详解】当时，即有实数根，解得，故符合要求； 当时，即有，解得且； 综上所述，. （2）已知命题p：，，若p的否定为假命题，则实数m的取值范围为_______． 【答案】 【详解】因为p的否定为假命题，所以命题p为真命题， 可化为， 即，成立，故只需， 故实数m的取值范围为． 【方法总结】 1．注意p与¬p的真假性只能一真一假，解决问题时可以相互转化． 2．对求参数范围问题，往往分离参数，转化成求函数的最值问题，如本题分离参数后，转化成了求二次函数的最值问题． 【变式5-1】已知：，，若命题是真命题，求实数的取值范围. 【答案】 【详解】：，， ∵是真命题，∴当时，显然成立；当时，，∴. 综上所述，实数的取值范围是； 一、单选题 1．下列命题中既是全称量词命题又是真命题的是（   ） A． B．若为偶数，则 C．菱形的四条边都相等 D．是无理数 【答案】C 【详解】对于A，是全称量词命题，但当时，，故是假命题； 对于B，若为偶数，为真命题，但不是全称量词命题； 对于C，所有菱形的四条边都相等，是全称量词命题，且是真命题； 对于D，是无理数，是真命题，但不是全称量词命题； 2．下列是存在量词命题且是真命题的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】AC是全称量词命题，不符合题意，BD为存在量词命题， 对于B，当时，此时，，故为真命题，符合题意， 对于D，因为恒成立，故不存在，即为假命题，不符合题意. 3．已知命题，则命题的真假以及否定分别为（   ） A．真， B．真， C．假， D．假， 【答案】B 【详解】，故命题为真． 又，． 4．已知命题“”是真命题，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由于该命题是真命题，则在上恒成立， 设函数，则． 因为，所以. 5．若“，使得”是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由于“，使得” 是真命题， 可得，使得成立， ，即， 6．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 选项A，，这是存在性命题，只需找到一个且的元素即可，例如，满足且，故选项A正确； 选项B，，这是存在性命题，集合中的元素都在集合中，故不存在集合中的元素不属于集合，故选项B错误； 选项C，，这是全称量词命题，要求所有集合中的元素都不属于集合，而属于集合，也属于集合，故选项C错误； 选项D，，这是全称量词命题，要求所有集合中的元素都属于集合，而属于集合，但不属于集合，故选项D错误. 二、多选题 7．以下四个命题中，是真命题的是（   ） A． B．存在整数x，y，使得 C．，二次函数的图象都关于轴对称 D．若命题，则的否定为： 【答案】AC 【详解】对于A，显然为真命题； 对于B，一定为偶数，故B选项为假命题； 对于C，设，易知其定义域为，又，所以为偶函数，故C选项为真命题； 对于D，若命题，则p的否定为：，故D选项为假命题， 8．命题“，”是假命题的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】命题“，”，即，，而当时，，则， 因此由命题“，”是假命题，得， 又，，则选项AB是；都不能推出，CD不是. 9．若“，”为真命题，“，或”为假命题，则集合M可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】因为，或为假命题，所以，为真命题， 可得， 又，为真命题，可得，所以， 故集合可以是BD选项中的集合. 三、填空题 10．命题“，”的否定为________． 【答案】， 【详解】命题为存在量词命题，则命题的否定为，． 故答案为：，． 11．若命题“，使得”是假命题，则的取值范围为_____. 【答案】 【详解】由命题“，使得”是假命题， 可得命题的否定：“，使得”是真命题， 设，则在上恒成立， 所以，即，解得， 所以实数的取值范围为. 12．已知命题“，都有”，且是假命题，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【详解】是假命题，则是真命题. 由于，都有， 则. 可得 . 实数的取值范围是. 四、解答题 13．设命题，；命题，． (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若为假命题，求实数的取值范围； (3)若、至多有一个为真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2)；(3). 【详解】（1）若是真命题，则，得； （2）若是假命题，则，是真命题， ，得； （3）由（1）可知为真命题时，， 由（2）可知，为真命题时，或， 若、都是真命题，则 所以若、至多一个为真命题，则. 14．设全集，集合，，其中． (1)若，求 (2)若“”是“”的必要而不充分条件，求实数a的取值范围； (3)若命题“，使得”是真命题，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）当时，，所以， 所以； （2）， “”是“”的必要而不充分条件， 是的真子集， ，解得， 即实数的取值范围为； （3）若命题“，使得”是假命题，则， ，或， ①当时，，解得， ②当时，则，无解， 即命题为假命题时，实数的取值范围为， 命题为真命题时，实数的取值范围为． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 全称量词与存在量词 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 全称量词命题和存在量词命题的判断 题型2 全称量词命题和存在量词命题真假的判断 题型3 由全称（存在）量词命题的真假求参数取值范围 题型4 求含有量词命题的否定 题型5 由含量词命题的否定真假求参数取值范围 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 全称量词命题 存在量词命题 含有量词命题的否定 量词命题的真假 1. 理解全称量词、存在量词的概念，能准确识别全称量词命题与存在量词命题，区分两类命题的基本形式； 2. 掌握全称量词命题和存在量词命题真假的判断方法，能结合实例规范完成命题真假的判定过程； 3. 学会对全称量词命题、存在量词命题进行否定，明晰命题否定前后的量词与结论变化规律； 4. 能运用本节课知识解决简单习题，初步形成逻辑推理思维，体会常用逻辑用语的应用价值. 学习重点：掌握全称量词、存在量词的含义，以及全称量词命题、存在量词命题的真假判断，与准确写出全称量词命题与存在量词命题的否定. 学习难点：辨析全称量词命题与存在量词命题的真假，并根据命题真假求参数的取值范围. 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 全称量词与全称量词命题 1、全称量词： （1）定义：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等． （2）表示：用符号“∀”表示． 2、全称量词命题： （1）定义：含有全称量词的命题叫做全称量词命题．一个全称量词命题可以包含多个变量；有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补出来． （2）表示：全称量词命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)． 3、判断全称量词命题的真假： 若为真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，验证p(x)成立；（简称“全真才真”） 若为假命题，只要能举出集合M中的一个x=x0，使p(x0)不成立即可．（简称“一假全假”） 知识点02 存在量词与存在量词命题 1、存在量词： （1）定义：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某些”“有的”等． （2）表示：用符号“∃”表示． 2、存在量词命题： （1）定义：含有存在量词的命题叫做存在量词命题．一个存在量词命题可以包含多个变量；有些命题虽然没有写出存在量词，但其意义具备“存在”、“有一个”等特征都是存在量词命题． （2）表示：“存在M中的元素x，使p(x)成立”可用符号简记为∃x∈M，p(x) 3、判断存在量词命题的真假： 只要在限定集合M中，至少能找到一个x=x0，使p(x0)成立，则这个命题为真，否则为假．（简称“一真全镇”） 知识点03 命题的否定 1、命题的否定： （1）定义：一般的，对一个命题进行否定，就可以的到一个新的命题，这一新命题就成为原命题的否定． （2）表示：命题p的否定可用“”来表示，读作“非p”或p的否定． （3）命题的否定与原命题的真假关系：p的否定与p“一真一假” 命题p 真 假 假 真 2、含量词命题的否定： （1）全称量词命题的否定：全称量词命题，的否定： ，不成立． （2）存在量词命题的否定：存在量词命题，的否定： ，不成立． （3）求否定口诀：改量词，否结论，条件不变. 题型1 全称量词命题和存在量词命题的判断 【例1】（1）下列命题中为全称量词命题的是（   ） A．有些实数没有倒数 B．矩形都有外接圆 C．存在一个实数与它的相反数的和为0 D．过直线外一点有一条直线和已知直线平行 （2）下列命题是存在量词命题的是（    ） A．一次函数的图象都是上升的或下降的 B．对任意x∈R，x2＋x＋1<0 C．存在实数大于或者等于3 D．菱形的对角线互相垂直 【方法总结】 如何判断一个命题是全称量词命题 还是存在量词命题 (1) 关键看量词：看该命题中的量词是全称量词还是存在量词. (2) 如果命题是省去量词的命题，要将量词补充出来看是否讲得通，若讲得通，再根据量词进行判断. 【变式 1-1】下列命题是全称量词命题的是（    ） A．存在一个实数的平方是负数 B．每个四边形的内角和都是360° C．至少有一个整数，使得是质数 D．， 【变式 1-2】下列命题中，存在量词命题的个数是（    ） ①有些自然数是偶数；②正方形是菱形； ③能被6整除的数也能被3整除；④任意x∈R，y∈R，都有. A．0 B．1 C．2 D．3 题型2 全称量词命题和存在量词命题真假的判断 【例2】已知命题，，命题，，则（   ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 【方法总结】 判断全称量词命题与存在量词命题真假的方法： 【变式2-1】下列命题既是全称量词命题又是真命题的是（    ） A．所有的素数都是奇数 B．，使 C．矩形都有外接圆 D．都有平方根 题型3 由全称（存在）量词命题的真假求参数取值范围 【例3】（1）若命题“任意，使”为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． （2）若命题：“，”为假命题，实数的取值范围（   ） A． B． C． D． （3）若“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． （4）已知命题”为真命题，则实数的取值范围为______________. 【方法总结】 由全称（存在）量词命题的真假求参数取值范围的四种类型及解法： 类型I：全称量词命题为真（为真） 解法：转化为恒成立问题，通过求函数的最值求解：①若恒成立，则；②若恒成立，则； 类型II：全称量词命题为假（ 为假） 解法：先求原命题为真时参数的范围，再取其补集；或直接转化为存在性问题求解：①若有解，则；②若有解，则. 类型III：存在量词命题为真（ 为真） 解法：转化为存在性问题求解. 类型IV：存在量词命题为假（ 为假） 解法：先求原命题为真时参数的范围，再取其补集；或求否定直接转化为恒成立问题求解. 【变式3-1】已知命题，命题. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题和均为真命题，求实数的取值范围. 题型4 求含有量词命题的否定 【例4】（1）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， （2）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【方法总结】 求含有量词命题的否定的方法：改量词，否结论，条件不变. 【变式4-1】命题“，，使得”的否定是（   ） A．，，使得 B．，，使得 C．，，使得 D．，，使得 题型5 由含量词命题的否定真假求参数取值范围 【例5】（1）命题有实数根，若是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．以上都不对 （2）已知命题p：，，若p的否定为假命题，则实数m的取值范围为_______． 【方法总结】 1．注意p与¬p的真假性只能一真一假，解决问题时可以相互转化． 2．对求参数范围问题，往往分离参数，转化成求函数的最值问题，如本题分离参数后，转化成了求二次函数的最值问题． 【变式5-1】已知：，，若命题是真命题，求实数的取值范围. 一、单选题 1．下列命题中既是全称量词命题又是真命题的是（   ） A． B．若为偶数，则 C．菱形的四条边都相等 D．是无理数 2．下列是存在量词命题且是真命题的是（   ） A． B． C． D． 3．已知命题，则命题的真假以及否定分别为（   ） A．真， B．真， C．假， D．假， 4．已知命题“”是真命题，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．若“，使得”是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．以下四个命题中，是真命题的是（   ） A． B．存在整数x，y，使得 C．，二次函数的图象都关于轴对称 D．若命题，则的否定为： 8．命题“，”是假命题的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 9．若“，”为真命题，“，或”为假命题，则集合M可以是（ ） A． B． C． D． 三、填空题 10．命题“，”的否定为________． 11．若命题“，使得”是假命题，则的取值范围为_____. 12．已知命题“，都有”，且是假命题，则实数的取值范围是__________. 四、解答题 13．设命题，；命题，． (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若为假命题，求实数的取值范围； (3)若、至多有一个为真命题，求实数的取值范围． 14．设全集，集合，，其中． (1)若，求 (2)若“”是“”的必要而不充分条件，求实数a的取值范围； (3)若命题“，使得”是真命题，求实数a的取值范围． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $