5.3分式方程（第2课时 分式方程的解法）（导学案）数学新教材北师大版八年级下册

该初中数学导学案聚焦“分式方程的解法”，引导学生掌握将分式方程化为整式方程的方法，理解增根的意义及检验步骤。通过温故知新回顾分式方程定义、一元一次方程解法，结合小麦试验田产量问题引入，搭建新旧知识联系的学习支架。 资料以自主学习与合作探究为核心，设置自研课本、学法指导及小组群学环节，分题型训练覆盖解法、增根、无解等重点。注重培养数学思维中的推理能力与运算能力，强化数学语言的模型意识，帮助学生在实践中理解原理，提升自主学习与合作探究效率。

5.3分式方程 导学案 第2课时 分式方程的解法 1.掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法。 2.了解增根的意义，理解分式方程产生增根的原因，并会检验分式方程的根。 学习重点：利用最简公分母“去分母”，并准确解整式方程。 学习难点：把握增根产生的原理及正确的检测方法。 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 知识回顾： 1.分母中含有 的方程叫做分式方程。 2.跟踪练习：下列关于的方程中，不是分式方程的是(　 　) A． B． C． D． 3.方程的解：使方程 的未知数的值叫方程的解。 4.解一元一次方程的一般步骤： ① ；② ；③ ；④ 合并同类项；⑤ 情景引入 问题：有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种,分别收获小麦9 000 kg和15 000 kg.已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少3 000 kg,分别求这两块试验田每公顷的产量. 如果设第一块试验田每公顷的产量为x kg,那么第二块试验田的产量是________kg. 根据题意,可得方程_______. 分式方程该如何解呢？ 新知自研：自研课本第144--145页的内容． 【学法指导】 自研课本P144-145页例题上面的内容，思考： ●探究一：分式方程的解法 ◆1.思考交流 例：解方程: ◆2.知识归纳 解分式方程的基本思路： 解分式方程的基本思路是将分式方程化为 方程. 具体做法是“ ” ，即方程两边同 乘 .这也是解分式方程的一般方法. ◆3.练一练 解方程: =. 探究二：分式方程的增根 ◆1.探究交流 你会解=−2吗？小亮的解法如下： 解：方程的两边都乘(x－2)，得 1－x=－1－2（x－2）. 解这个方程，得 x=2． 你认为x=2是原方程的根吗？与同伴进行交流. ◆2.知识归纳 分式方程的增根： 在将分式方程变形为 方程时，有时可能产生不适合原分式方程的解(或根)，它使原分式方程 的 为零，这个解(或根)称为原方程的增根． 产生增根的原因是，我们在方程的两边同乘了一个使 的整式． 因为解分式方程可能产生增根，所以解分式方程必须 ．通常只需检验所得的根是否使原方程中分式的分母的值等于零就可以了． 上述分式方程的检验过程可以简单地写成：“经检验，x=3是原方程的根”. ◆3.练一练 下列关于分式方程增根的说法,正确的是(　　) A.使所有分母的值都为零的根是增根    B.分式方程的根为零就是增根 C.使分子的值为零的根就是增根      D.使最简公分母的值为零的根是增根 ◆4.思考交流 你是怎样解分式方程的？解分式方程应注意什么？与同伴进行交流. 解分式方程的一般步骤： 1.去分母，化为整式方程（方程两边各项乘以最简公分母）; 2.解这个整式方程，得到方程的根. 3.检验：判断所求整式方程的解是否是原分式方程的解. (1)把未知数的值代入原方程(一般方法); (2)把未知数的值代入最简公分母(简便方法). 4.结论 ：确定分式方程的解. ◆5.典例分析 例1 解下列分式方程: 例2 若关于x的方程+=2有增根，求m的值. 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.探讨解分式方程的方法以及如何判断方程的增根； B.交流例题的已知的条件和所求问题，理清解题思路，关注解题格式，强调易错点. C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1.分式方程+1=的根为(　　) A.无解 B.x=1 C.x=-1 D.x=-2 2.以下是方程−=1去分母后的结果，其中正确的是(　　) A. 2−1−x＝1 B. 2−1+x＝1 C. 2−1−x＝2x D. 2−1+x＝2x 3.对于分式方程=2+,有以下说法: ①最简公分母为(x-3)2; ②化为整式方程,得x=2+3,解得x=5; ③原分式方程的根为x=3; ④原分式方程无解. 其中正确说法的个数为 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 4.已知关于x的分式方程=1的根是负数，则m的取值范围是(　　) A.m≤3 B.m≤3且m≠2 C.m<3 D.m<3且m≠2 5. 按照如图所示的流程,若输出的M=-6,则输入的m为(　　) A.3 B.1 C.0 D.-1 6.下面是解分式方程的过程,阅读完后请填空: 解方程:−=45. 解:方程两边都乘2x，得960-600=90x. 解这个方程，得x=4. 经检验，x=4是原方程的根. 第一步计算中的2x是_______；这个步骤用到的依据是________；解分式方程与解一元一次方程之间的联系是__________. 7.方程=的解是　 　　　. 8.已知x=5是分式方程=1-的根,则k的值为______. 9.当m=_____时，解分式方程=会出现增根. 10.若关于x的方程=+1无解，则a的值是　　　　. 12.已知关于x的分式方程+=. (1)若方程有增根且增根为x=1,求m的值; (2)若方程有增根,求m的值; (3)若方程无解,求m的值. 题型一：解分式方程 1．解分式方程 去分母后的结果是（     ） A． B． C． D． 2．下面解分式方程的步骤中，错误的是（   ） A．将方程两边同时乘可转化为整式方程 B．去分母后的一元一次方程为 C．原分式方程的解为 D．原分式方程无解 3．方程的解为__________． 4．小珍解方程过程如下： 解：去分母，得……第一步 去括号，得 ……第二步 合并同类项，得……第三步 解得 ……第四步 检验：当时， 不是分式方程的根，原分式方程无解．……第五步 (1)你认为小珍从第______步出现错误； (2)写出正确的解答过程． 5．解下列方程： (1) (2) 题型二：根据分式方程的解的情况求值 6．若关于的分式方程的解为，则m的值是（   ） A．2 B．0 C．-2 D．3 7．若关于x的分式方程的解为负数，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 8．若关于的分式方程的解不大于2，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 9．已知关于x的分式方程的解为负数，试求k的取值范围． 题型三：根据分式方程有增根求值 10．关于的分式方程有增根，则的值为（    ） A．2 B．1 C．3 D． 11．若关于x的分式方程有增根，则m的值是（   ） A． B． C． D．或 12．完成下列题目 (1)为何值时，关于的分式方程的解为． (2)当为何值时，关于的方程有增根． 题型四：根据分式方程无解求值 13．若关于的分式方程无解，则的值是（    ） A．3或7 B．3或10 C．7 D．3 14．若关于的分式方程无解，则的值为（     ） A． B． C．或 D．或 15．若关于x的方程无解，求实数a的值． 题型五：分式方程与不等式的综合 16．若数使得关于x的分式方程有正数解，且使得关于y的不等式组有解，那么符合条件的所有整数a的个数为（ 　） A．2 B．3 C．4 D．5 17．若整数使关于的不等式组的解为，且使关于的分式方程的解为正整数，则满足条件的的值之和为（    ） A．12 B．11 C．10 D．9 18．（25-26八年级下·重庆·期中）关于的分式方程的解为正数，且关于的不等式组有解，则满足上述条件的所有整数的绝对值之和为（    ） A．14 B．16 C．18 D．21 题型六：分式方程与新定义问题 19．对于形如的分式方程，若，，容易检验，是分式方程的解，所以称该分式方程为“和谐方程”． 例如：可化为，容易检验，是方程的解， ∴是“和谐方程”； 根据上面的学习解答下列问题： (1)若是“和谐方程”，则________，________．（） (2)若，是“和谐方程”的两个解，求的值． 20．我们把形如（不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如为十字分式方程，可化为，∴，． 再如为十字分式方程，可化为，∴，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)若为十字分式方程，则______，______． (2)若十字分式方程的两个解分别为，，求的值 ． (3)若关于的十字分式方程的两个解分别为，，求的值． 21．【先导问题】 通过计算我们发现，关于x的分式方程，当，时，使得关于x的分式方程的解为成立，那么我们称数对就是关于x的分式方程的一个“关联数对”． 【提炼模型】 我们定义：如果两个实数a、b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a、b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“关联数对”． (1)【识别模型】 判断下列数对是否为关于x的分式方程的“关联数对”（请在横线上填“是”或“否”）． ①________    ②________ (2)【应用模型】 若数对是关于x的分式方程的“关联数对”，求n的值． (3)【总结提升】 若数对（且，）是关于x的分式方程的“关联数对”．当k为整数时，求整数m的值． ▲1、解分式方程的基本思路：解分式方程的基本思路是将分式方程化为 方程. 具体做法是“ ” ，即方程两边同乘 ． ▲２、分式方程的增根： 在将分式方程变形为 方程时，有时可能产生不适合原分式方程的解(或根)，它使原分式方程的 为零，这个解(或根)称为原方程的增根． 产生增根的原因是，我们在方程的两边同乘了一个使 的整式． 因为解分式方程可能产生增根，所以解分式方程必须 ．通常只需检验所得的根是否使原方程中分式的分母的值等于零就可以了． ▲3、解分式方程的一般步骤： 1.去分母，化为 方程（方程两边各项乘以最简公分母）; 2.解这个整式方程，得到方程的根. 3.检验：判断所求整式方程的解是否是原分式方程的解. (1)把未知数的值代入原方程(一般方法); (2)把未知数的值代入 (简便方法). 4.结论 ：确定分式方程的解. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.3分式方程 导学案 第2课时 分式方程的解法 1.掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法。 2.了解增根的意义，理解分式方程产生增根的原因，并会检验分式方程的根。 学习重点：利用最简公分母“去分母”，并准确解整式方程。 学习难点：把握增根产生的原理及正确的检测方法。 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 知识回顾： 1.分母中含有的方程叫做分式方程。 2.跟踪练习：下列关于的方程中，不是分式方程的是(　 　) A． B． C． D． 答案：选 。 3.方程的解：使方程左右两边的未知数的值叫方程的解。 4.解一元一次方程的一般步骤： ① ；② 去括号；③ ；④ 合并同类项；⑤ 系数化为1 情景引入 问题：有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种,分别收获小麦9 000 kg和15 000 kg.已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少3 000 kg,分别求这两块试验田每公顷的产量. 如果设第一块试验田每公顷的产量为x kg,那么第二块试验田的产量是________kg. 根据题意,可得方程_______. 解：， 分式方程该如何解呢？ 可以化成一元一次方程来求解. 新知自研：自研课本第144--145页的内容． 【学法指导】 自研课本P144-145页例题上面的内容，思考： ●探究一：分式方程的解法 ◆1.思考交流 例：解方程: 解：因为分式中分母不能为零， 所以x≠2，且x≠0. 方程两边都乘x(x－2)，得 x=3（x－2）. 解这个方程，得 x=3. 检验：将x=3代入原方程，得 左边=1，右边=1，左边=右边. ∴x=3是原方程的根. ◆2.知识归纳 解分式方程的基本思路： 解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程. 具体做法是“去分母” ，即方程两边同乘最简公分母.这也是解分式方程的一般方法. ◆3.练一练 解方程: =. 解：方程两边都乘 x(x-1)，得 3x=4(x-1)． 解这个方程，得 x=4． 检验：将x=4代入原方程，得 左边=1，右边=1，左边=右边. ∴x=4是原方程的根． ●探究二：分式方程的增根 ◆1.探究交流 你会解=−2吗？小亮的解法如下： 解：方程的两边都乘(x－2)，得 1－x=－1－2（x－2）. 解这个方程，得 x=2． 你认为x=2是原方程的根吗？与同伴进行交流. 在这里，x=2不是原方程的根，因为它使得原分式方程的分母为零，我们称它为原方程的增根. ◆2.知识归纳 分式方程的增根： 在将分式方程变形为整式方程时，有时可能产生不适合原分式方程的解(或根)，它使原分式方程的分母为零，这个解(或根)称为原方程的增根． 产生增根的原因是，我们在方程的两边同乘了一个使分母为零的整式． 因为解分式方程可能产生增根，所以解分式方程必须检验．通常只需检验所得的根是否使原方程中分式的分母的值等于零就可以了． 上述分式方程的检验过程可以简单地写成：“经检验，x=3是原方程的根”. ◆3.练一练 下列关于分式方程增根的说法,正确的是(　　) A.使所有分母的值都为零的根是增根    B.分式方程的根为零就是增根 C.使分子的值为零的根就是增根      D.使最简公分母的值为零的根是增根 解：D ◆4.思考交流 你是怎样解分式方程的？解分式方程应注意什么？与同伴进行交流. 解分式方程的一般步骤： 1.去分母，化为整式方程（方程两边各项乘以最简公分母）; 2.解这个整式方程，得到方程的根. 3.检验：判断所求整式方程的解是否是原分式方程的解. (1)把未知数的值代入原方程(一般方法); (2)把未知数的值代入最简公分母(简便方法). 4.结论 ：确定分式方程的解. ◆5.典例分析 例1 解下列分式方程: 解:(1)方程两边同乘(x-2)，得 x-5+2(x-2)=-5. 解这个方程，得x=. 经检验，x=是原分式方程的根. (2)原方程可化为=−1. 方程两边同乘3(x-2)，得 3(5x-4)=4x+10-3(x-2). 解这个方程，得x=2. 经检验，x=2是原方程的增根, 所以原方程无解. 例2 若关于x的方程+=2有增根，求m的值. 解:方程两边同乘以x-2，得 2-x+m=2x-4, 合并同类项,得3x=6+m, ∴m=3x-6. ∵该分式方程有增根， ∴x=2， ∴m=0. 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.探讨解分式方程的方法以及如何判断方程的增根； B.交流例题的已知的条件和所求问题，理清解题思路，关注解题格式，强调易错点. C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1.分式方程+1=的根为(　　) A.无解 B.x=1 C.x=-1 D.x=-2 解：B 2.以下是方程−=1去分母后的结果，其中正确的是(　　) A. 2−1−x＝1 B. 2−1+x＝1 C. 2−1−x＝2x D. 2−1+x＝2x 解：D 3.对于分式方程=2+,有以下说法: ①最简公分母为(x-3)2; ②化为整式方程,得x=2+3,解得x=5; ③原分式方程的根为x=3; ④原分式方程无解. 其中正确说法的个数为 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解：A 4.已知关于x的分式方程=1的根是负数，则m的取值范围是(　　) A.m≤3 B.m≤3且m≠2 C.m<3 D.m<3且m≠2 解:D 5. 按照如图所示的流程,若输出的M=-6,则输入的m为(　　) A.3 B.1 C.0 D.-1 解：C 6.下面是解分式方程的过程,阅读完后请填空: 解方程:−=45. 解:方程两边都乘2x，得960-600=90x. 解这个方程，得x=4. 经检验，x=4是原方程的根. 第一步计算中的2x是_______；这个步骤用到的依据是________；解分式方程与解一元一次方程之间的联系是__________. 解：,等式的基本性质,解分式方程就是利用等式的基本性质把分式方程转化为一元一次方程来求解． 7.方程=的解是　 　　　. 解： 8.已知x=5是分式方程=1-的根,则k的值为______. 解：-3. 9.当m=_____时，解分式方程=会出现增根. 解：2 10.若关于x的方程=+1无解，则a的值是　　　　. 解：2或1 解:(1)方程两边同乘x(x-3)，得 2x=3(x-3). 解得x=9. 经检验，x=9是原方程的根. 所以原方程的根为x=9. (2)原方程可变形为=1−, 方程两边同乘2(x+1)，得 3=2(x+1)-2. 解得x=. 经检验，x=是原方程的根. 12.已知关于x的分式方程+=. (1)若方程有增根且增根为x=1,求m的值; (2)若方程有增根,求m的值; (3)若方程无解,求m的值. 解:方程两边都乘(x+2)(x-1),得 2(x+2)+mx=x-1. 整理,得(m+1)x=-5. (1)因为x=1是分式方程的增根, 所以m+1=-5,解得m=-6. (2)因为原分式方程有增根, 所以(x+2)(x-1)=0, 解得x=-2或x=1. 当x=-2时,m=1.5; 当x=1时,m=-6. 综上,m的值为1.5或-6. (3)若m+1=0,则该方程无解,此时m=-1; 若m+1≠0,要使原方程无解, 由(2)得m=-6或m=1.5. 综上,m的值为-1或-6或1.5. 题型一：解分式方程 1．解分式方程 去分母后的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程去分母，先将原方程的分母统一，找出最简公分母，给方程两边同时乘以最简公分母去掉分母，整理后对比选项得到结果． 【详解】解：∵ ， ∴ 原方程可变形为 ， 方程两边同时乘以最简公分母， 得． 2．下面解分式方程的步骤中，错误的是（   ） A．将方程两边同时乘可转化为整式方程 B．去分母后的一元一次方程为 C．原分式方程的解为 D．原分式方程无解 【答案】C 【分析】根据解分式方程的步骤逐步分析即可解答． 【详解】解： 原方程为，且 ， A．去分母时，方程两边同时乘即可化为整式方程，因此选项A正确； B．去分母后整理得 ，因此选项B正确； C．解整式方程 ，得；将代入原方程分母，得 ，分母为零，分式无意义，因此是增根，原分式方程无解；即选项C错误，选项D正确． 3．方程的解为__________． 【答案】 【分析】先将分式方程通过去分母转化为整式方程，求解整式方程后，再检验得到原分式方程的解． 【详解】解：方程两边同乘最简公分母， 得 ， 展开各项，得 ， 移项合并同类项，得 ， 系数化为，得 ， 检验：当时， ， 所以是原方程的解． 4．小珍解方程过程如下： 解：去分母，得……第一步 去括号，得 ……第二步 合并同类项，得……第三步 解得 ……第四步 检验：当时， 不是分式方程的根，原分式方程无解．……第五步 (1)你认为小珍从第______步出现错误； (2)写出正确的解答过程． 【答案】(1)第一步 (2)，过程见解析 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法和步骤是解题关键．注意：解分式方程，最后需要检验，避免出现增根． （1）根据解题过程逐步判断解答； （2）根据解分式方程的步骤写出正确的解答过程即可． 【详解】（1）解：小珍从第一步出现错误，去分母时，方程右边没有乘以公分母， 故答案为：第一步 （2）解： 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 5．解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式方程的解法，方程两边同乘以最简公分母，化分式方程为整式方程是解分式方程的关键；解分式方程不要忘记检验． 按照解分式方程的步骤：去分母、解整式方程、检验即可求解． 【详解】（1） 解：方程两边同乘以，得 检验：时， 所以，原分式方程的解为 （2） 解：方程两边同乘以 检验：当时， 所以，原分式方程的解为 题型二：根据分式方程的解的情况求值 6．若关于的分式方程的解为，则m的值是（   ） A．2 B．0 C．-2 D．3 【答案】A 【分析】已知分式方程的解，将解代入原方程，即可得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值 【详解】解：∵是分式方程的解 ∴将代入原方程，得 计算得 整理得 即 7．若关于x的分式方程的解为负数，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】A 【分析】先将分式方程化为整式方程，得到x关于m的表达式，再结合解为负数，且分式方程分母不为0，确定m的取值范围． 【详解】解：∵原方程为 ，且 ∴方程变形为 两边同乘得 整理得 解得 ∵方程的解为负数 ∴ ∵，∴ ， 解得 又∵分式方程分母不为0，即 ∴，解得 ∵，恒成立 ∴m的取值范围是 8．若关于的分式方程的解不大于2，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】先解分式方程，再根据题意列出不等式，求解即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∵分式方程的解不大于2， ∴， ∴， ∴， ∵分式方程的分母不为， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上，且． 9．已知关于x的分式方程的解为负数，试求k的取值范围． 【答案】 【分析】先解分式方程得到x关于k的表达式，再根据解为负数得到不等式，结合分式方程分母不为零的隐含条件求解，即可得到k的取值范围． 【详解】解：， ， ， ， ， 关于x的分式方程的解为负数， ， 解得 又， 即， 解得， ． 题型三：根据分式方程有增根求值 10．关于的分式方程有增根，则的值为（    ） A．2 B．1 C．3 D． 【答案】D 【分析】根据分式方程增根的定义，先确定增根的值，再将增根代入去分母后得到的整式方程，即可求出m的值. 【详解】解：∵ 原分式方程有增根， ∴ 最简公分母，解得增根为， 方程两边同乘，得， 把代入整式方程，得， 解得. 11．若关于x的分式方程有增根，则m的值是（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】先求解原分式方程，再根据关于x的分式方程有增根得到的值，求解即可． 【详解】解：解得， ∵关于x的分式方程有增根， ∴， 即， 解得：． 12．完成下列题目 (1)为何值时，关于的分式方程的解为． (2)当为何值时，关于的方程有增根． 【答案】(1) (2) 或 【分析】（1）先求出分式方程的解，再根据方程的解是得出答案； （2）先根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1得出方程的解，再根据有增根可得，然后求出m的值即可． 【详解】（1）解：， ， ， ． ∵方程的解是， ∴，且， 解得； （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 当时，． ∵方程有增根， ∴， 解得或， ∴或， 解得或． 题型四：根据分式方程无解求值 13．若关于的分式方程无解，则的值是（    ） A．3或7 B．3或10 C．7 D．3 【答案】A 【分析】分式方程无解分为两种情况，一是去分母后得到的整式方程本身无解，二是整式方程的解是原分式方程的增根，分别计算两种情况的值即可； 【详解】解：给原方程两边同乘去分母，得， 整理得：， 分两种情况讨论： ①若整式方程无解，则， ∵ 时， 等式不成立，整式方程无解， ∴时，原分式方程无解； ②若整式方程有解，但解为原分式方程的增根， 原分式方程的分母为，∴增根为， 把代入 ，得，解得， 综上，的值为或． 14．若关于的分式方程无解，则的值为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查分式方程无解的问题，分式方程无解分两种情况：①整式方程本身无解；②整式方程的解为分式方程的增根，先将分式方程化为整式方程，再分两种情况计算的值即可． 【详解】解：原方程， 可变形为， 方程两边同乘去分母，得：， 整理得：， ∵原分式方程无解， ∴分两种情况讨论：① 当整式方程本身无解时，，解得； ② 当整式方程的解为原分式方程的增根时，原分式方程分母为，增根为， 把代入得：， 解得， 综上，的值为或． 15．若关于x的方程无解，求实数a的值． 【答案】 或 【分析】本题先将分式方程化为整式方程，得到用表示的结果，根据分式方程无解的条件可知，整式方程的根是原分式方程的增根，增根使原分式方程分母为0，据此代入计算即可得到的值． 【详解】解： 方程两边同时乘以，得 整理得 解得 因为原分式方程无解， 所以是原方程的增根 原方程分母为0时，或 当时，解得 当时，解得 因此实数的值为或． 题型五：分式方程与不等式的综合 16．若数使得关于x的分式方程有正数解，且使得关于y的不等式组有解，那么符合条件的所有整数a的个数为（ 　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】先解分式方程，根据解为正数且分母不为零得到的初步范围，再解不等式组，根据不等式组有解得到的最终范围，最后找出范围内符合条件的整数． 【详解】解：解方程， 得． ∵分式方程有正数解，且， ∴，且． ∴，且． 解不等式组， 解不等式，得． 解不等式，得． ∵不等式组有解， ∴， ∴． 综上所述，的取值范围是，且． 所以符合条件的整数为，，，共个． 17．若整数使关于的不等式组的解为，且使关于的分式方程的解为正整数，则满足条件的的值之和为（    ） A．12 B．11 C．10 D．9 【答案】A 【分析】先解不等式组，根据已知解集确定a的取值范围，再解分式方程，结合分式方程的解为正整数且不为增根，找出所有符合条件的整数a，计算a的和即可． 【详解】解： 解①得， 解②得， ∵不等式组的解集为 ∴， 解得； 解分式方程，得 ∵分式方程的解为正整数，，是整数且 ∴是正整数，且， ∴ ∴或或 ∴或4或1 ∴满足条件的的值之和为． 18．（25-26八年级下·重庆·期中）关于的分式方程的解为正数，且关于的不等式组有解，则满足上述条件的所有整数的绝对值之和为（    ） A．14 B．16 C．18 D．21 【答案】B 【分析】先解分式方程，根据解为正数且不为增根得到a的取值范围，再解不等式组，根据不等式组有解得到a的另一范围，找出范围内所有整数a，计算它们的绝对值之和即可. 【详解】解分式方程： 方程两边同乘得： 整理得： 解得： ∵分式方程的解为正数，且（时分母为0，是增根） ∴且 ∴且 解不等式组： 解第二个不等式得：，即 ∵不等式组有解，即两个不等式存在公共解 ∴，解得 综上，的取值范围是且，范围内的整数为： 计算绝对值之和： 故选B. 题型六：分式方程与新定义问题 19．对于形如的分式方程，若，，容易检验，是分式方程的解，所以称该分式方程为“和谐方程”． 例如：可化为，容易检验，是方程的解， ∴是“和谐方程”； 根据上面的学习解答下列问题： (1)若是“和谐方程”，则________，________．（） (2)若，是“和谐方程”的两个解，求的值． 【答案】(1)2，5； (2) 【分析】（1）根据题干方法求解即可； （2）根据新定义得到，，再对分式化简代入求解即可． 【详解】（1）解：∵是“和谐方程” ∴可化为，容易检验，是方程的解， ∴的解为，； （2）解：∵，是“和谐方程”的两个解， ∴，，      ∴． 我们把形如（不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如为十字分式方程，可化为，∴，． 再如为十字分式方程，可化为，∴，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)若为十字分式方程，则______，______． (2)若十字分式方程的两个解分别为，，求的值 ． (3)若关于的十字分式方程的两个解分别为，，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（）根据十字分式方程的定义解答即可求解； （）根据十字分式方程的定义得，，再利用完全平方公式的变形运算解答即可求解； （）根据十字分式方程的定义得，进而由可得，，再代入计算即可求解； 【详解】（1）解：∵ 为十字分式方程，可化为， ∴，； （2）解：∵十字分式方程的两个解分别为，， ∴，， ∴； （3）解：方程是十字分式方程，可化为， ∵时， ∴， ∵关于的十字分式方程的两个解分别为，， ∴，， ∴，， ∴． 21．【先导问题】 通过计算我们发现，关于x的分式方程，当，时，使得关于x的分式方程的解为成立，那么我们称数对就是关于x的分式方程的一个“关联数对”． 【提炼模型】 我们定义：如果两个实数a、b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a、b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“关联数对”． (1)【识别模型】 判断下列数对是否为关于x的分式方程的“关联数对”（请在横线上填“是”或“否”）． ①________    ②________ (2)【应用模型】 若数对是关于x的分式方程的“关联数对”，求n的值． (3)【总结提升】 若数对（且，）是关于x的分式方程的“关联数对”．当k为整数时，求整数m的值． 【答案】(1)①否；②是 (2) (3)或 【分析】（）根据“关联数对”定义分别判断即可； （）根据“关联数对”定义得到，然后求解即可； （）根据“关联数对”定义得到，然后根据k为整数求解即可． 【详解】（1）解：当，时，分式方程无解，不符合“关联数对”的定义， ∴不是关于的分式方程的“关联数对”； ②当，时，解分式方程得：， 又，符合“关联数对”的定义， ∴是关于的分式方程的“关联数对”； （2）解：∵数对是关于的分式方程的“关联数对”， ∴， ∴， 整理得：， 解得：； （3）解：∵数对（且，）是关于的分式方程的“关联数对”， ∴，， ∴， ∴， ∴ ∵k为整数，m为待求的整数， ∴为整数， ∴或， 解得或或0或1． ∵， ∴， ∵且， ∴或． ▲1、解分式方程的基本思路： 解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程. 具体做法是“去分母” ，即方程两边同乘最简公分母. ▲２、分式方程的增根： 在将分式方程变形为整式方程时，有时可能产生不适合原分式方程的解(或根)，它使原分式方程的分母为零，这个解(或根)称为原方程的增根． 产生增根的原因是，我们在方程的两边同乘了一个使分母为零的整式． 因为解分式方程可能产生增根，所以解分式方程必须检验．通常只需检验所得的根是否使原方程中分式的分母的值等于零就可以了． ▲3、解分式方程的一般步骤： 1.去分母，化为整式方程（方程两边各项乘以最简公分母）; 2.解这个整式方程，得到方程的根. 3.检验：判断所求整式方程的解是否是原分式方程的解. (1)把未知数的值代入原方程(一般方法); (2)把未知数的值代入最简公分母(简便方法). 4.结论 ：确定分式方程的解. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $