函数的基本性质专题练习-2026届高三数学一轮复习

函数的基本性质专题练习 一、选择题 1.下列函数中，是偶函数且在(0，+∞上单调递增的是() A.f(x)=-x2+3 B.f(x)=lgx C.f(x)=sinx D.f(x)=x 2.如果二次函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-o,4]上是减函数，则a的取值范围是 () A.a≤5 B.a≤-3 C.a≥3 D.a≥-3 3.已知函数f(x)= [I-ax,x<a, 若f(x)存在最小值，则a的取值范围为() x2-4x+3,x≥a. A.[-√2，V2] B.[0,V2] C.[-√2,2]U(2,+o) D.[0,√2]U(2,+oo) 4.设函数f(x)=ax+1在区间(2,3)上单调递减，则正数a的取值范围为() ax C.(2,3 D.[2,3] 5.已知函数f(x)=lnx2-ax-3+a2)在[1，+o)上单调递增，则a的取值范围是() A.(-0,- B.-0,-1 C.(-o,2] D.（2,+o0)】 6.函数y=2+2的单调递增区间是() 1 B.(-0,-1] D.[-l,2] 7.已知函数f(x)=x2+2x,若对于任意的x、x2∈[2，+0)，且x<x2,都有 x2f(x)-xf(x)>axx2x号-x)成立，则a的取值范围是() A.[0,+∞j B4 C. D[ 8.已知f(x是定义在R上的函数，且f(2x-1)为偶函数，f(x-2是奇函数，当x∈[0,1 时，f(x)=2-1,则f(7)等于() A.-1 B.-1 c. D.1 2 2 二、多项选择题 9.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x×[f(x)-f(x-y)]=∫(xy),当 x∈(-o,0)U(0,+0),时，f(x)≠0.下列结论正确的是() )月 B.f10)=1 C.f(x)是奇函数 D.f(x)在R上单调递增 10.已知f(x),g(x)均为定义域为R的奇函数，且f(x)+g(x+1)=x,则() A.g(1)=0 B.g(2025)=0 C.f(2025)=0 D.g(x)的图象关于点(1,0)中心对称 11.已知函数f(x)的图像关于直线x=1对称，关于(2,0)对称，则下列说法正确的是 () A.f(2-x)=f(x) B.f(4-x)=f(x) C.f(4-x)=-fxD.f(4+x)=f(x) 三、填空题 12.若函数f(x)=ln(ax-6)在区间[l,3]上单调递增，则实数a的取值范围是 13.若函数f-2x+在区间-2024,2024上的最大值为M最小值为m则 x2+1 M+m= 14.已知f(x)=a- 1为奇函数，则a= 2x+1 四、解答题 15.已知函数f=3-a (a≠1). a-1 (1)若a>0,求f(x)的定义域： (2)若f(x)在区间(0,1]上单调递减，求实数a的取值范围， 1.已知函数f到=38创=f到-分 (1)证明：函数g(x)是奇函数； (2)解不等式gx2-2x)+g2x2-1<0 17.已知y=f(x)(x∈R)是偶函数，当x≥0时，f(x)=x2-2x (1)求fx)的解析式： (2)若不等式f(x)≥mx在1≤x≤2时都成立，求m的取值范围. 18已知定义城为R的函故可一公等是奇商数。 (1)求b的值： (2)判断函数f(x)在R上的单调性，并证明你的结论： (3)若t∈[0,6，使f(k-t2）+f22-61>0成立，求实数k的取值范围. 19.已知函数fx)=nx-(m+1x+mr. (1)讨论函数f(x)的单调性： ②若函数g=到-m有两个零点且x>e求证x%>。弓（供中e是自 e-1 然对数的底数) 参考答案 1.答案：B 解析：由题可知C、D是奇函数，故排除； 对于选项A,图像是开口向下的抛物线，在(0，+0)上单调递减，故排除： 对于选项B,f(-x=gx=lg=f(x),所以函数f(x=lgx在定义域内是偶函数， 当x>0时，f(x=lgx=lg,f(x)在(0，+o)上单调递增， 故选B 2.答案：B 解析：函数f(x)=x2+2(a-1)x+2图象的对称轴为直线x=1-a,函数 f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-0,4]上是减函数，可得1-a≥4，解得a≤-3 3.答案：B 解析：若a=0,则f(x)= 1x<0, x2-4x+3,x≥0，fom=f2)=-1: 若a<0,当x<a时，f(x)=1-ax单调递增，f(x)没有最小值； 若a>0,当x<a时，f(x)=1-ax单调递减，f(x)>f(a)=1-a2, 当x≥a时，f(x)min= -1(0<a<2), a2-4a+3(a≥2)， 若函数f有最小值，则-a之1或 0<a<2 1-a2≥a2-4a+3 解得0<a≤v2 a22, 综上，a的取值范围为[0，√2]，故选B. 4.答案：A 解析：由f)=ar+得fx=a--r-1ar+1川ar- ax Γax2-ax2 ax 因为x>0,a>0,所以ax>0,ax+1>0, 由f"(x)>0解得x>1 a 1 由f'(x)<0解得0<x<二 所以倒在(0日上单调道减在日切上单调迷拉， 因为函数f(x)=x+1在区间(2,3上单调递减， ax 故3≤1，解得0<a≤ 3 故选：A 5.答案：B 解析：因为函数f(x)=lnx2-ar-3+a2） 在[1，+o∞)上单调递增， 所以gx)=x2-ax-3+a2在[1，+o)上单调递增， 所以号≤1→as2. 且gx)=x2-ax-3+a2[1,+∞)恒大于0， 所以g1>0→(a-2)(a+1)>0→a>2或a<-1. 综上可知：a<-1 故选：B 6.答案：C 解析：令-x2+x+2≥0，解得-1≤x≤2， 令t=-x2+x+2,则y=Vf, 函数=++2在区间- 上单调递增， 在区间 上单调递减，y=√t在定义域内递增， :根据复合函数的单调性可知，函数y=2+2的单调递增区间是 故选：C 7.答案：C 解析：因为对于任意的x,x2∈[2，+0)，且x<x2, 都有xf(x)-xf(x)>axxx号-x)成立， 在不等式x,f(x)-xf(x2)>ax,x号-x)两边同时除以x5 可得x1.f>m-x, X2 移项有f+>f+a, X, 构造函数8=ar+八国=m+x+2, 则gx)>gx2),所以函数gx)=ax2+x+2在[2，+o)上单调递减， 当a=0时，g(x)=x+2在[2，+∞)上单调递增，不符合题意； 当a≠0时，若使得函数g(x)=ax2+x+2在[2，+o)上单调递减， a<0 则 -1s2' 饼得a-号 2a 综上所述，实数a的取值范围是 故选：C 8.答案：A 解析：因为f(2x-1)为偶函数，所以f(-2x-1)=f(2x-1, 即f(x-1)=f(-x-1), 所以f(x)=f(-x-2), 又f(x-2)是奇函数，所以f(-x-2)=-f(x-2), 即f(x)=-f(x-2),所以f(x+2)=-f(x), 则f(x+4)=-f(x+2)=f(x), 所以f(x)是以4为周期的周期函数， 又当x∈[0,1时，f(x)=2-1,所以f1)=2-1=1, 则f(-1=-f1)=-1, 所以f(7)=f(-1=-f(1=-1. 故选：A 9.答案：ACD 解析：令x=y=0,可得f(0)=0. 令x=y=1,可得[f(1)]=f(1 因为当x>0时，f(x)≠0，所以f(1=1. 令x=y,可得[f(x]=f(x2）≥0. 因为x2≥0，所以当x≥0时，f(x)≥0. 又因为当x>0时，f(x)≠0，所以当x>0时，f(x>0. 令y=1,可得f(x)×[f(x-f(x-1]=f(x),① 所以f(x)-f(x-1=1,f(x+1-f(x)=1, 两式相加可得f(x+1)-f(x-1)=2. 令y=-1,可得f(x×[f(x)-f(x+1)]=f(-x② ①-②可得f(x×[f(x+1-f(x-1]=f(x-f(-x), 化简可得f(x)=-f(-x),所以f(x)是奇函数，C正确. 由f(x)-f(x-1=1, 可得：f(2)=f(1)+1=2,f(3)=f(2)+1=3, f(4)=f(3)+1=4,…,f(10)=10B错误. 由fx+-f)=1 f(x)=-f(-x刘 ) 可得 》 解得/份)分A正确 令x=x,y=X1-x2 可得x)-f5)=x- f(x) 令0<x2<x,则x-x3>0,x(x-x2)>0 因为当x>0时，f(x)>0, 所以f(x)>0,f(x(x-x2)月>0 所以fx小-5)=（名-山>0，即f5>f, f(x) 所以f(x)在(0，+∞)上单调递增. 因为f(x)为奇函数，所以f(x)在R上单调递增，D正确。 故选：ACD 10.答案：ABD 解析：由f(x)+g(x+1)=x①，得f(-x)+g(-x+1)=-x②， 因为f(x)为奇函数，所以f(x)+f(-x)=0, 由①+②得g(x+1)+g(-x+1)=0③， 所以gx)的图象关于点(1,0)中心对称，且g1)=0,故A,D正确. 因为g(x为定义域为R的奇函数，所以g(0)=0, g(x)+g(-x)=0,即g(x+1)+g(-x-1)=0, 结合③可得g(-x+1)=g(-x-1),所以g(x)=g(x+2),g(x)的周期为2， 所以g(2025)=g(1)=0,故B正确， 所以g(2026)=g(0)=0,f(2025)+g(2026)=2025, 解得f(2025)=2025,故C错误. 故选：ABD 11.答案：ACD 解析：根据题意得，函数f(x)的图像关于直线x=1对称， 所以函数f(x+1)为偶函数， 所以f(-x+1)=f(x+1), 所以f(2-x=f(x),所以选项A正确： 函数f(x)的图像关于(2,0)对称， 所以函数f(x+2)为奇函数， 所以f(-x+2)=-f(x+2), 所以f(4-x=-f(x),所以选项B不正确，选项C正确； [f(2-x)=f(x) f(2-x)=-f(x+2)’ fx+2)=-f(x), f(4+x=f(x),所以选项D正确. 故选：ACD 12.答案：(6，+0) 解析：由题意得，y=ax-6在L,31上单调递增， 且am-6>0在xe[l,3]上恒成立， 则」a>0 a-6>0 解得a>6 故答案为：(6，+0) 13.答案：4 解折：因为fy-2x+22+4x+2.4红 +2 x2+1 x2+1x2+1 令g1-年e-20242024,则f=g时+2. 又因为g对=4二红-g刘所以函数8可为奇函数 （-x)2+1x2+1 因为奇函数的图象关于原点对称，所以函数g(x)区间[-2024,2024上的最大值和最小值 之和为0， 即gxms+gx)mm=0,所以M+m=g(x)mx+2+g(x)mn+2=4. 故答案为：4. 14.答案：月 解析：由题意得，f(x)=-f(-x)且函数f(x)的定义域为R, 所以2-2司 1） 12,即2a=1, 整理，得2a=2+12+1 解得a=2 经检验，a=符合题意。 2 故答案为： 1 15.答案：(1)函数f(x)的定义域是 3 (2)实数a的取值范围是(-0,0)U(1,3] 解析：(1)当a>0且a≠1时，由3-≥0得x≤3，即函数f的定义域是 -00, a a (2)当a-1>0,即a>1时，要使f(x)在(0,1]上单调递减，则需3-a×1≥0，此时 1<a≤3. 当a-1<0,即a<1时，要使f(x)在(0,1]上单调递减，则需-a>0,且3-a×0≥0， 此时a<0 综上所述，所求实数a的取值范围是(-0,0)U(1,3] 16.答案：（1)证明见解析 (2) xx>1或x<- 1 3 解析：1少证明：由函数=十78到=八- 1 可42小安方市 ,且g(x)的定义域为R 因为g(-x)= 1-3(1-333-1 3+12(3*+1-321+3） =-8(x), 所以函数gx)是定义域R上的奇函数. (2)根据指数函数的性质，可得f(x)=,为减函数则gx)=fx)-，也为减函数， 3+1 所以函数y=g(x)是奇函数且是减函数，