精品解析：2026年山西省阳泉市盂县多校联考二模数学试题

2026年山西省阳泉市盂县多校联考二模数学试题 注意事项：满分120分，答题时间120分钟，答案写在答题卡上． 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 能源是推动人类社会发展和进步的动力源泉，它为我们的日常生活、工业生产、交通运输各个领域提供了不可或缺的支持．下列图片是中国能源企业的Logo，其中文字上方的图属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 深度求索（），是一款人工智能应用软件．在2025年2月其访问量达5.25亿次，成为史上最快达成这一里程碑的应用软件．将数据“5.25亿次”用科学记数法表示为（ ） A. 次 B. 次 C. 次 D. 次 4. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在生物学中，根据生物细胞结构的不同可分为真核生物和原核生物．下列卡片除正而图案不同外其他均相同，其中酵母菌、黏菌属于真核生物，螺旋藻、支原体则属于原核生物．现将这四张卡片背面朝上洗匀放好，琦琦从中随机抽取一张卡片（不放回），亮亮再从中随机抽取一张卡片，则所抽取的两张卡片上的生物均属于真核生物的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 如图是一块太阳能电池板，其表层是用于减少反射的光伏玻璃．太阳光线射向光伏玻璃，在玻璃表面点B处发生反射和折射现象，反射光线为，折射光线在太阳能电池板表面的点D处发生反射现象，反射光线从玻璃表面的点E处射出，形成光线．已知，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问长木长多少尺？这个问题可用方程来解决，则方程中的x表示（　　） A. 长木的长 B. 长木一半的长 C. 绳子的长 D. 绳子对折后的长 8. 已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数（a，b，c是常数，）的自变量与函数的部分对应值如下表： ... ... ... ... 下列结论正确的是（ ） A. 函数图象开口向上 B. C. 当时，随的增大而减小 D. 关于的一元二次方程（a，b，c是常数，）有两个不相等的实数根 10. 如图，在中，，分别以点为圆心、的长为半径画弧，与的延长线分别交于点．若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算的结果是______． 12. 某植物园举办花展，在牡丹花展区，正六边形花盆内摆放白色牡丹花，正方形花盆内摆放红色牡丹花．现按如图所示的造型摆放牡丹花，其中第1个造型有6盆红色牡丹花，第2个造型有11盆红色牡丹花，第3个造型有16盆红色牡丹花……依此规律，第n个造型中有______盆红色牡丹花．（用含n的代数式表示） 13. 绳如虹飞转，人似蝶翩跹．在跳绳全能赛中，甲、乙、丙三人各项成绩如表所示．评总分时，将单摇跳、双摇跳、单脚交叉跳三项按的比例确定最后成绩，则最后成绩最高的同学为_______．（填“甲”“乙”或“丙”） 成绩 单摇跳 双摇跳 单脚交叉跳 甲 80 90 85 乙 90 80 85 丙 80 80 85 14. 如图，在正方形中，，点E是边的中点，的平分线交于点F，连接，则的值为_______． 15. 如图，在中，，E是上的一点，，过点B作交的延长线于点D．若，，则的长为______． 三、解答题（每小题5分，共10分） 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 17. 如图，内接于，为的直径，D为延长线上一点，作直线，过点O作于点E，交于点F，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 18. 2025年4月15日是第十个全民国家安全教育日，学校组织“国家安全·青春挺膺”主题演讲比赛，引导青年学生提升国家安全意识和素养，维护国家主权、安全、发展利益．比赛设初赛和决赛两个阶段，初赛有20名选手参加，组委会对两个阶段的选手成绩进行整理，得到如下信息： 信息1：名选手初赛成绩的频数直方图如下（数据分成组：，，，，）： 信息2：初赛成绩在第三组（）的选手成绩如下： ． 信息3：决赛过程中，由5位教师评委给每位选手打分（百分制），总分排名前3名选手的成绩如下表： 选手 得分 平均数 方差 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 93 90 92 93 92 92 ________ 乙 91 92 92 92 92 91.8 0.16 丙 90 94 90 94 92 ________ 3.2 根据上述信息回答下列问题： （1）初赛名选手成绩的中位数为_____分； （2）组委会规定初赛选手中成绩靠前的一半选手进入决赛，若选手成绩并列且不能确定其是否进入决赛时，组委会对其加试一题．加试前，小文的成绩为分，小颖的成绩为分．直接写出他们两人是否能进入决赛； （3）决赛的排名规则是：计算位教师评委评分的平均数和方差，平均数较大的选手排名靠前；若平均数相同，则方差较小的选手排名靠前．请补全上表中空缺的数据，给甲、乙、丙三位选手排出名次，并说明理由． 19. 当农业遇上科技，变革正悄然进行．太原市小店区刘家堡乡依托资源互补共生技术，将传统渔业循环养殖和大棚蔬菜种植有机结合，从而实现“一棚双收、一水两用”的绿色农业循环．近日，综合种养大棚的零农药水培芹菜、西红柿上市．为了推销这两种蔬菜，小李和他的团队在网上直播带货购入两种蔬菜共400箱，其进货成本、直播成本以及售价如下表： 进货成本（元/箱） 直播成本（元/箱） 售价（元/箱） 西芹 18 4 28 西红柿 24 6 40 已知该直播团队销售这两种蔬菜投入总成本不超过10800元，若所购进的蔬菜全部销售完，则应怎样安排“西芹”和“西红柿”的进货量，可使该团队所获得的利润最大，请求出最大利润和此时两种蔬菜的进货量． 20. 北魏平城明堂是中国历史上的四大明堂之一，是北魏帝王举行朝会、祭祀、庆赏等大典的地方，是礼治文化的载体，是唯一在原址修复完成的明堂．南北朝时期的著名叙事诗《木兰辞》：“归来见天子，天子坐明堂．”讲述了女英雄花木兰替父从军胜利归来在明堂觐见皇帝孝文帝的场面． 初三数学综合实践小组的同学们，决定用所学数学知识测量明堂主体建筑的高度．小组发现明堂底部台基很大，利用影长测量误差较大．决定自制测角仪，对明堂的高度进行测定．最后选择在明堂公园平坦广场的空地上，小组同学在C点测得最高处A仰角，向后30米在D处测得最高处A仰角，已知点A、B、C、D、E、F均在同一竖直平面内，，，测角仪的高米，你能计算明堂主体建筑的高度吗？（结果精确到1米，，，，，，） 21. 阅读下列研究性学习报告内容，并完成相应的任务． 课题：关于“等邻边四边形”的研究报告 研究对象：等邻边四边形 研究思路：类比特殊四边形的性质进行研究 定义：有两组邻边分别相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”． 如图1所示的四边形为“等邻边四边形”，其中． 性质探究： 性质：等邻边四边形的两组邻边分别相等． 如图2，，，对角线恰好平分．求证：四边形是“等邻边四边形”． 证明：，．（依据1） 又∵平分，． ，．（依据2） ，，∴四边形是等腰梯形． ，．∴四边形是“等邻边四边形”． 任务： （1）根据“等邻边四边形”的定义，下列四边形中，一定是“等邻边四边形”的是______．（请填写正确的两个选项） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 （2）填空：材料中的“依据1”是指______，“依据2”是指______； （3）如图3，四边形ABCD是“等邻边四边形”，，，，，请直接写出“等邻边四边形ABCD”的面积． 22. 为了让同学们在实践中深入理解二次函数的实际应用，感受数学与生活的紧密联系，学校组织开展了小型烟花发射实验活动．同学们发现，从垂直地面的发射装置的顶端处，以一定倾斜角度发射出的烟花，烟花携带的火星运行的路线呈抛物线形状． 【提出问题】 怎样求该火星运行路线所在抛物线的解析式呢？ 【分析问题】 已知发射装置的高度是0.95米，当顶端处射出的火星与发射装置的水平距离为9米时，达到最大高度5米，此时烟花绚丽绽放，火星仍会沿原来的抛物线继续运动．以点为原点，表示地面的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系． 【解决问题】 （1）求火星运行路线所在抛物线的解析式； （2）如图1，火星刚好落在操场围栏和地面的交界处，求火星运行路线的落地点与发射装置的水平距离； （3）为安全接住火星，在操场围栏旁沿图1中处放置安全回收箱，其截面示意图为矩形（如图2），其中为米，为米．为确保火星落到回收箱内（包含、两点），需将烟花发射装置顶端向上升高米，且火星运行的抛物线形状保持不变，求的取值范围． 23. 综合与探究 【问题情境】 如图1，在正方形中，，点E，F分别为，边的中点，连接，交于点M，交对角线于点N． 【猜想验证】 （1）猜想与有怎样的数量关系，并加以证明． 【深入探索】 （2）将线段绕点C顺时针旋转得到线段，点E的对应点为点Q，连接，如图2．请判断四边形的形状，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）连接，如图3，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年山西省阳泉市盂县多校联考二模数学试题 注意事项：满分120分，答题时间120分钟，答案写在答题卡上． 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 能源是推动人类社会发展和进步的动力源泉，它为我们的日常生活、工业生产、交通运输各个领域提供了不可或缺的支持．下列图片是中国能源企业的Logo，其中文字上方的图属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键是熟练掌握中心对称图形的定义．根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】解：A.该图形不是中心对称图形，不符合题意； B. 该图形不是中心对称图形，不符合题意； C. 该图形不是中心对称图形，不符合题意； D. 该图形是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方，同底数幂相除，有理数的乘法，二次根式的减法运算，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，结果应为，故该选项不符合题意 B、不是同类二次根式，不能合并，故该选项不符合题意 C、，故该选项符合题意 D、，故该选项不符合题意 故选：C 3. 深度求索（），是一款人工智能应用软件．在2025年2月其访问量达5.25亿次，成为史上最快达成这一里程碑的应用软件．将数据“5.25亿次”用科学记数法表示为（ ） A. 次 B. 次 C. 次 D. 次 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值大于1的数，解题的关键是掌握用科学记数法表示绝对值大于1的数的方法：将原数化为的形式，其中，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数．据此解答即可． 【详解】解：5.25亿次次． 故选：B． 4. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了解一元一次不等式组，利用数轴表示不等式组的解集，正确掌握一元一次不等式的解法是解题的关键．求出不等式组的解集，并表示在数轴上即可． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 将解集表示在数轴上为： 故选：B． 5. 在生物学中，根据生物细胞结构的不同可分为真核生物和原核生物．下列卡片除正而图案不同外其他均相同，其中酵母菌、黏菌属于真核生物，螺旋藻、支原体则属于原核生物．现将这四张卡片背面朝上洗匀放好，琦琦从中随机抽取一张卡片（不放回），亮亮再从中随机抽取一张卡片，则所抽取的两张卡片上的生物均属于真核生物的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列表法或画树状图的方法求概率；通过画树状图，可得共有12种等可能的结果，其中两张卡片上的生物均属于真核生物的为和，共2种，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：将酵母菌、黏菌、螺旋藻、支原体用表示， 画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中两张卡片上的生物均属于真核生物的为和，共2种， 则两张卡片上的生物均属于真核生物的概率为， 故选：C． 6. 如图是一块太阳能电池板，其表层是用于减少反射的光伏玻璃．太阳光线射向光伏玻璃，在玻璃表面点B处发生反射和折射现象，反射光线为，折射光线在太阳能电池板表面的点D处发生反射现象，反射光线从玻璃表面的点E处射出，形成光线．已知，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练运用平行线的性质． 由平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵，，，， ∴，， ∴， 故选：D． 7. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问长木长多少尺？这个问题可用方程来解决，则方程中的x表示（　　） A. 长木的长 B. 长木一半的长 C. 绳子的长 D. 绳子对折后的长 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． 根据“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺”，而方程中出现，可得方程中的x表示绳子的长，再检查符合题意． 【详解】解：∵用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，则可得方程， ∴方程中的x表示绳子的长， 故选：C． 8. 已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象，由点，，，得，根据图象性质即可求解，熟练掌握函数图象的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点，，， ∴， ∴这个函数图象可能是反比例函数， 故选：． 9. 已知二次函数（a，b，c是常数，）的自变量与函数的部分对应值如下表： ... ... ... ... 下列结论正确的是（ ） A. 函数图象开口向上 B. C. 当时，随的增大而减小 D. 关于的一元二次方程（a，b，c是常数，）有两个不相等的实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数基本性质，熟练掌握基本性质是解题关键； 根据抛物线的增减性，对称轴，抛物线与x轴的交点等解答即可． 【详解】解：根据题意，得和是对称点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， 故B选项错误； ∵对称轴直线的右边即时，y随x的增大而减小， ∴函数图象开口向下， 故A选项错误； ∵， ∴随的增大而减小， 故C选项正确； 根据题意，抛物线的顶点坐标为，函数图象开口向下， ∴抛物线的最大值为， ∴抛物线与x轴无交点， ∴关于的一元二次方程（a，b，c是常数，）无实数根 故D选项错误． 故选：C． 10. 如图，在中，，分别以点为圆心、的长为半径画弧，与的延长线分别交于点．若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，扇形的面积，由等腰直角三角形的性质得，，进而由解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是多项式的乘法，根据多项式的乘法运算法则计算即可. 【详解】解：； 故答案为： 12. 某植物园举办花展，在牡丹花展区，正六边形花盆内摆放白色牡丹花，正方形花盆内摆放红色牡丹花．现按如图所示的造型摆放牡丹花，其中第1个造型有6盆红色牡丹花，第2个造型有11盆红色牡丹花，第3个造型有16盆红色牡丹花……依此规律，第n个造型中有______盆红色牡丹花．（用含n的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了规律型——图形的变化类，根据图形的变化寻找规律即可，解题的关键是根据图形的变化寻找规律，总结规律．根据后一个图形比前面一个图形多5盆红色牡丹花即可得到答案. 【详解】解：第个图形有盆红色牡丹花， 第个图形有盆红色牡丹花， 第个图形有盆红色牡丹花， ， 依此规律，第个图形中有盆红色牡丹花， 故答案为：． 13. 绳如虹飞转，人似蝶翩跹．在跳绳全能赛中，甲、乙、丙三人各项成绩如表所示．评总分时，将单摇跳、双摇跳、单脚交叉跳三项按的比例确定最后成绩，则最后成绩最高的同学为_______．（填“甲”“乙”或“丙”） 成绩 单摇跳 双摇跳 单脚交叉跳 甲 80 90 85 乙 90 80 85 丙 80 80 85 【答案】甲 【解析】 【分析】本题考查加权平均数的应用，根据三项所占比例计算加权平均数，比较大小即可． 【详解】解：单摇跳、双摇跳、单脚交叉跳三项按的比例确定最后成绩， 单摇跳、双摇跳、单脚交叉跳三项占比分别为：，，， 甲最后成绩为：， 乙最后成绩为：， 丙最后成绩为：， ， 最后成绩最高的同学为甲． 故答案为：甲． 14. 如图，在正方形中，，点E是边的中点，的平分线交于点F，连接，则的值为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，角平分线的性质定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，求角的正切值等，作于点G，由角平分线的性质可得，再证，推出，，设，用勾股定理解和，求出x的值，再根据即可求解． 【详解】解：如图，作于点G， 正方形中，，点E是边的中点， ，， ， ， 平分，，， ， 在和中， ， ， ，， ， 设，则， 在中，， 在中，， ， 即， 解得， ， ， 故答案为：． 15. 如图，在中，，E是上的一点，，过点B作交的延长线于点D．若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线分线段成比例等知识，熟练掌握相似三角形的性质是解答的关键．过A作于M，过E作于H， 则，利用平行线分线段成比例可得，由勾股定理和等腰三角形的性质可求得，则，证明，利用相似三角形的性质求得，进而可求解． 【详解】解：过A作于M，过E作于H， 则， ∴， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴，则， ∵，， ∴，又， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（每小题5分，共10分） 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）； 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的化简，负整数指数幂的含义，分式的化简求值； （1）先同步计算乘法，化简二次根式，计算负整数指数幂，再合并即可； （2）先计算括号内的分式的减法运算，再计算除法运算，得到化简的结果，最后把代入计算即可. 【详解】解：（1） ； （2） ， 当时，原式； 17. 如图，内接于，为的直径，D为延长线上一点，作直线，过点O作于点E，交于点F，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、垂径定理，相似三角形的判定与性质、三角形的中位线定理，熟练掌握切线的判定和相似三角形的性质是解题的关键． （1）连接，先根据等边对等角得到，再利用三角形的内角和定理及等量代换得到，然后根据切线的判定定理可得结论； （2）先根据垂径定理推导 是的中位线，则，，证明，利用相似三角形的性质可求解． 【小问1详解】 证明：连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，又为的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：∵， ∴，又， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，又， ∴， ∴． 18. 2025年4月15日是第十个全民国家安全教育日，学校组织“国家安全·青春挺膺”主题演讲比赛，引导青年学生提升国家安全意识和素养，维护国家主权、安全、发展利益．比赛设初赛和决赛两个阶段，初赛有20名选手参加，组委会对两个阶段的选手成绩进行整理，得到如下信息： 信息1：名选手初赛成绩的频数直方图如下（数据分成组：，，，，）： 信息2：初赛成绩在第三组（）的选手成绩如下： ． 信息3：决赛过程中，由5位教师评委给每位选手打分（百分制），总分排名前3名选手的成绩如下表： 选手 得分 平均数 方差 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 93 90 92 93 92 92 ________ 乙 91 92 92 92 92 91.8 0.16 丙 90 94 90 94 92 ________ 3.2 根据上述信息回答下列问题： （1）初赛名选手成绩的中位数为_____分； （2）组委会规定初赛选手中成绩靠前的一半选手进入决赛，若选手成绩并列且不能确定其是否进入决赛时，组委会对其加试一题．加试前，小文的成绩为分，小颖的成绩为分．直接写出他们两人是否能进入决赛； （3）决赛的排名规则是：计算位教师评委评分的平均数和方差，平均数较大的选手排名靠前；若平均数相同，则方差较小的选手排名靠前．请补全上表中空缺的数据，给甲、乙、丙三位选手排出名次，并说明理由． 【答案】（1） （2）小文不一定进入决赛，小颖一定能进入决赛 （3）甲的方差为，丙的平均数为；第一名为甲，第二名为丙，第三名为乙．理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了中位数的定义，求方差与平均数，掌握中位数，平均数，方差的意义是解题的关键； （1）根据中位数的定义，即可求解； （2）根据题意，小文的成绩为分，而分的同学有名，则小文不一定进入决赛，小颖的成绩为分，大于中位数，则一定能进入决赛． （3）先计算甲的方差为，丙的平均数为，根据甲和丙的平均数相同，甲的方差较小，乙的平均数小于丙的平均数，即可求解． 【小问1详解】 解：初赛名选手成绩中第一组有3人，第二组有4人 初赛成绩在第三组（）的选手成绩从小到大排列为：，，，，，，，． 第和个数据是第三组的第3个和第4个数据，即， ∴初赛名选手成绩的中位数为 【小问2详解】 因为初赛名选手成绩的中位数为， 组委会对其加试一题．加试前，小文的成绩为分，而分的同学有名， 则小文不一定进入决赛， 小颖的成绩为分，大于中位数，则一定能进入决赛． ∴小文不一定进入决赛，小颖一定能进入决赛 【小问3详解】 甲的方差为 丙的平均数为 甲的方差为，丙的平均数为 甲和丙的平均数相同，甲的方差较小，乙的平均数小于丙的平均数， ∴第一名为甲，第二名为丙，第三名为乙． 19. 当农业遇上科技，变革正悄然进行．太原市小店区刘家堡乡依托资源互补共生技术，将传统渔业循环养殖和大棚蔬菜种植有机结合，从而实现“一棚双收、一水两用”的绿色农业循环．近日，综合种养大棚的零农药水培芹菜、西红柿上市．为了推销这两种蔬菜，小李和他的团队在网上直播带货购入两种蔬菜共400箱，其进货成本、直播成本以及售价如下表： 进货成本（元/箱） 直播成本（元/箱） 售价（元/箱） 西芹 18 4 28 西红柿 24 6 40 已知该直播团队销售这两种蔬菜投入总成本不超过10800元，若所购进的蔬菜全部销售完，则应怎样安排“西芹”和“西红柿”的进货量，可使该团队所获得的利润最大，请求出最大利润和此时两种蔬菜的进货量． 【答案】“西芹”进货150箱，“西红柿”进货250箱，可使该团队所获得的利润最大，最大利润元． 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、一次函数的性质、一元一次不等式的应用等知识点．根据“利润=（销售单价-进货成本-直播成本）×销售数量”列出函数解析式；再根据“投入总成本不超过10800元”求得的范围，然后根据一次函数的性质即可解答． 【详解】解：设该团队进货“西芹”箱，获得的总利润为元． 根据题意得：， ∵该团队投入总成本不超过10800元， ∴， 解得：， ∵，， ∴y随x的增大而减少， ∴当时，y取得最大值，最大值为，则， ∴“西芹”进货150箱，“西红柿”进货250箱，可使该团队所获得的利润最大，最大利润元． 20. 北魏平城明堂是中国历史上的四大明堂之一，是北魏帝王举行朝会、祭祀、庆赏等大典的地方，是礼治文化的载体，是唯一在原址修复完成的明堂．南北朝时期的著名叙事诗《木兰辞》：“归来见天子，天子坐明堂．”讲述了女英雄花木兰替父从军胜利归来在明堂觐见皇帝孝文帝的场面． 初三数学综合实践小组的同学们，决定用所学数学知识测量明堂主体建筑的高度．小组发现明堂底部台基很大，利用影长测量误差较大．决定自制测角仪，对明堂的高度进行测定．最后选择在明堂公园平坦广场的空地上，小组同学在C点测得最高处A仰角，向后30米在D处测得最高处A仰角，已知点A、B、C、D、E、F均在同一竖直平面内，，，测角仪的高米，你能计算明堂主体建筑的高度吗？（结果精确到1米，，，，，，） 【答案】能，明堂主体建筑的高约为27米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确根据题意构造直角三角形．延长交于点M，先解中，得到，再解，得到，然后由得到，即可求解． 【详解】解：延长交于点M，则， 、、， ∴四边形，四边形为矩形， 米，米， 由题意得，， 中，， 中，， 解得： 米 答：明堂主体建筑的高约为27米． 21. 阅读下列研究性学习报告内容，并完成相应的任务． 课题：关于“等邻边四边形”的研究报告 研究对象：等邻边四边形 研究思路：类比特殊四边形的性质进行研究 定义：有两组邻边分别相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”． 如图1所示的四边形为“等邻边四边形”，其中． 性质探究： 性质：等邻边四边形的两组邻边分别相等． 如图2，，，对角线恰好平分．求证：四边形是“等邻边四边形”． 证明：，．（依据1） 又∵平分，． ，．（依据2） ，，∴四边形是等腰梯形． ，．∴四边形是“等邻边四边形”． 任务： （1）根据“等邻边四边形”的定义，下列四边形中，一定是“等邻边四边形”的是______．（请填写正确的两个选项） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 （2）填空：材料中的“依据1”是指______，“依据2”是指______； （3）如图3，四边形ABCD是“等邻边四边形”，，，，，请直接写出“等邻边四边形ABCD”的面积． 【答案】（1）B，D （2）两直线平行，内错角相等；等角对等边 （3） 【解析】 【分析】（1）根据“等邻边四边形”的定义判断即可； （2）根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，推出四边形是等腰梯形，得到，根据“等邻边四边形”的定义得到四边形是“等邻边四边形”； （3）连接交于O，根据等边三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，求得，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 解：由“等邻边四边形”的定义得到菱形和正方形是“等邻边四边形”， 故答案为：B，D； 【小问2详解】 证明：， ， 又平分， ， ， ， ， 四边形是等腰梯形， ， ， 四边形是“等邻边四边形”． 故答案为：两直线平行，内错角相等；等角对等边； 【小问3详解】 连接交于O， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， “等邻边四边形”的面积． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，等边三角形的性质，正确地理解“等邻边四边形”的定义是解题的关键． 22. 为了让同学们在实践中深入理解二次函数的实际应用，感受数学与生活的紧密联系，学校组织开展了小型烟花发射实验活动．同学们发现，从垂直地面的发射装置的顶端处，以一定倾斜角度发射出的烟花，烟花携带的火星运行的路线呈抛物线形状． 【提出问题】 怎样求该火星运行路线所在抛物线的解析式呢？ 【分析问题】 已知发射装置的高度是0.95米，当顶端处射出的火星与发射装置的水平距离为9米时，达到最大高度5米，此时烟花绚丽绽放，火星仍会沿原来的抛物线继续运动．以点为原点，表示地面的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系． 【解决问题】 （1）求火星运行路线所在抛物线的解析式； （2）如图1，火星刚好落在操场围栏和地面的交界处，求火星运行路线的落地点与发射装置的水平距离； （3）为安全接住火星，在操场围栏旁沿图1中处放置安全回收箱，其截面示意图为矩形（如图2），其中为米，为米．为确保火星落到回收箱内（包含、两点），需将烟花发射装置顶端向上升高米，且火星运行的抛物线形状保持不变，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求二次函数解析式即可． （2）令，求出对应的x即可得出答案． （3）分别求出对应D点和E点的抛物线解析式，进而可求出答案． 【小问1详解】 解：由题可知：抛物线的顶点为 ∴设抛物线解析式为， 把代入得： ， 解得：， ∴抛物线的表达式为，或． 【小问2详解】 解：令，得＝0， 解得：，， ∴， ∴， ∴火星运行路线的落地点与发射装置的水平距离为； 【小问3详解】 解：如图所示： ∵，， ∴， 设， 把代入得， 解得： 由平移可知，发射装置顶端上升高度最小值为， 设， 把代入得：， 解得：， 由平移可知，发射装置顶端上升高度最大值为， ∴当火星落在回收箱内时，的取值范围为． 23. 综合与探究 【问题情境】 如图1，在正方形中，，点E，F分别为，边的中点，连接，交于点M，交对角线于点N． 【猜想验证】 （1）猜想与有怎样的数量关系，并加以证明． 【深入探索】 （2）将线段绕点C顺时针旋转得到线段，点E的对应点为点Q，连接，如图2．请判断四边形的形状，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）连接，如图3，请直接写出的长． 【答案】（1），理由见解析；（2）四边形是菱形，理由见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）证明，利用相似三角形的性质即可求解； （2）先证明得到，由旋转性质得，，证明得到，，进而得到，则，证明四边形是平行四边形，然后利用菱形的判定定理可得结论； （3）如图3，过M作于G，利用正切定义得到，在中，利用勾股定理求得，再利用正切定义得到，在中，由由勾股定理求得，，则，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1），理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， ∵点F为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，则； （2）四边形是菱形，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由旋转性质得，， ∵点E为的中点， ∴， ∴，又，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （3）如图3，过M作于G， ∵， ∴， ∴， 在中，由 解得， ∵， ∴， ∴，则， 在中，由， 解得，， ∴， 在在，． 【点睛】本题考查正方形的性质、菱形的判定、平行四边形的判定、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $