7.1 两个基本计数原理（第2课时 分类计数原理与分步计数原理的综合应用）课件-2025-2026学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦分类与分步计数原理的综合应用，通过表格对比两原理联系与区别，结合自主诊断题巩固基础，以抽取分配、数字排位、涂色问题为载体构建从原理到应用的学习支架。 其亮点在于以数学眼光挖掘实际问题中的计数模型，通过题型归类（如例1分配问题用直接法与间接法）培养数学思维，用规律方法总结提升数学语言表达能力。学生能掌握解题策略，教师可高效开展分层教学。

第7章　计数原理 7.1　两个基本计数原理 第2课时　分类计数原理与分步计数原理的综合应用 【课标要求】 1.进一步理解分类计数原理和分步计数原理的联系与区别. 2.会综合应用这两个基本计数原理解决实际问题. 要点深化·核心知识提炼 知识点　两个基本计数原理的联系与区别 类型 分类计数原理 分步计数原理 相同点 都是关于完成一件事的不同方法的种数问题 不同 点1 完成一件事有n类不同方案,关键词是“分类” 完成一件事需要n个步骤,关键词是“分步” 不同 点2 每类方案都能独立完成这件事情,且每种方法得到的都是最后结果,只需一种方法就可以完成这件事 任何一步都不能独立完成这件事,缺少任何一步也不能完成这件事,只有各个步骤都完成了,才能完成这件事 不同 点3 各类方案之间是互斥的、并列的、独立的 各步之间是关联的、独立的,“关 联”确保不遗漏,“独立”确保不重复 名师点睛 处理具体问题时,要注意两点:一是合理分类,准确分步.分类时,要不重不漏;分步时,要合理设计步骤、顺序,使各步互不干扰.对于一些较复杂的题目,往往既要分类又要分步.二是特殊优先,一般在后.解含有特殊元素、特殊位置的计数问题时,应优先安排特殊元素,优先确定特殊位置,再考虑其他元素与其他位置. 自主诊断 判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)有六名同学报名参加三个智力项目,每项必报且限报一人,且每人至多参加一项,则共有6×5×4=120种不同的报名方式.(　　) (2)5名同学报名参加两个课外活动小组,每名同学限报其中一个小组,则不同的报名方式有25种.(　　) (3)由数字1,2,3,4可以组成有重复数字的三位奇数的个数为32.(　　) √ × √ 题型分析·能力素养提升 【题型一】抽取与分配问题 例 1 高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践,且每个班级只能去一个工厂,其中甲工厂必须有班级去,每班去哪个工厂可自由选择,则不同的分配方案有(　　) A.16种 B.18种 C.37种 D.48种 C 解析 (方法一　直接法) 以甲工厂分配班级情况进行分类,共分为三类. 第1类,三个班级都去甲工厂,此时分配方案只有1种; 第2类,有两个班级去甲工厂,剩下的班级去另外三个工厂中的一个,其分配方案有3×3=9(种); 第3类,有一个班级去甲工厂,另外两个班级可以在其他三个工厂中选择,其分配方案有3×3×3=27(种). 综上所述,不同的分配方案共有1+9+27=37(种). (方法二　间接法) 先计算三个班自由选择去哪个工厂的总数,再扣除甲工厂无人去的情况,即有4×4×4-3×3×3=37种不同的分配方案. 规律方法　解决抽取(分配)问题的方法 (1)当涉及对象的数目不大时,一般选用列举法、树状图法或图表法. (2)当涉及对象的数目很大时,一般有两种方法:①直接法.直接使用分类计数原理或分步计数原理.一般地,若抽取是有顺序的,则按分步进行;若是按对象特征抽取的,则按分类进行.②间接法.去掉限制条件,计算所有的抽取方法数,然后减去所有不符合条件的抽取方法数. 跟踪训练1为了丰富学生的课余生活,某学校开设了篮球、书法、美术、吉他、舞蹈、击剑共六门活动课程,甲、乙、丙3名同学从中各自任选一门活动课程参加,则这3名学生所选活动课程不全相同的选法有(　　) A.120种 B.150种 C.210种 D.216种 C 解析 依题意,每名同学都有6种选择方法,所以这3名学生所选活动课程不全相同的选法有63-6=210(种).故选C. 【题型二】数字排位计数问题 例 2 用0,1,2,3,4五个数字, (1)可以排成多少个三位数字的电话号码? (2)可以排成多少个三位数? (3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数? 解 (1)三位数字的电话号码,首位可以是0,数字也可以重复,每个位置都有5种排法,共有5×5×5=53=125(个). (2)三位数的首位不能为0,但可以有重复数字,首先考虑首位的排法,除0外共有4种方法,第二、三位可以排0,因此,共有4×5×5=100(个). (3)被2整除的数即偶数,末位数字可取0,2,4,因此,可以分两类,一类是末位数字是0,则有4×3=12种排法;另一类是末位数字不是0,则末位有2种排法,即2或4,再排首位,因为0不能在首位,所以首位有3种排法,十位有3种排法,因此有2×3×3=18种排法,因此有12+18=30种排法,即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数. 规律方法　1.对于组数问题,一般按特殊位置(一般是末位和首位)由谁占领分类,分类中再按特殊位置(或者特殊元素)优先的方法分步完成;如果正面分类较多,可采用间接法从反面求解. 2.解决组数问题,应特别注意其限制条件,有些条件是隐藏的,要善于挖掘.排数时,要注意特殊元素、特殊位置优先的原则. 跟踪训练2我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如1 230,2 022),则首位为3的“六合数”共有(　　) A.18个 B.12个 C.10个 D.7个 C 解析 若首位为3的“六合数”的其他3个数字为0,1,2,则这样的首位为3的“六合数”共有3×2×1=6(个);若首位为3的“六合数”的其他3个数字为1,1,1,则这样的首位为3的“六合数”共有1个;若首位为3的“六合数”的其他3个数字为0,0,3,则这样的首位为3的“六合数”共有3个. 综上,首位为3的“六合数”共有6+1+3=10(个).故选C. 【题型三】涂色问题 例 3 [链接教材习题7.1,T13]如图所示的五个区域中,现要求在五个区域中涂色,有四种颜色可供选择,要求每个区域只涂一种颜色,相邻区域所涂颜色不同,则不同的涂色方法种数为　　　　　(用数字作答).  72 解析 设这四个颜色分别为1,2,3,4,先给区域E涂色,有4种涂法;假设区域E涂的是颜色1,再给区域A涂色,可以是颜色2,3,4,有3种涂法;假设区域A涂的是颜色2,再给区域B涂色,可以是颜色3,4,有2种涂法;假设区域B涂的是颜色3,如果区域C涂的是颜色2,则区域D可以涂颜色3或颜色4,有2种涂法;如果区域C涂的是颜色4,那么区域D可以涂颜色3,有1种涂法.所以不同的涂色方法种数为4×3×2×(2+1)=72,故答案为72. 规律方法　解决涂色(种植)问题的一般思路 (1)涂色问题一般是综合利用两个计数原理求解,有几种常用方法: ①按区域的不同,以区域为主分步计数,用分步计数原理分析. ②以颜色为主分类讨论,适用于“区域、点、线段”等问题,用分类计数原理分析. ③将空间问题平面化,转化为平面区域的涂色问题. (2)种植问题按种植的顺序分步进行,用分步计数原理计数或按种植品种恰当选取情况分类,用分类计数原理计数. 跟踪训练3中国是世界上最早发明雨伞的国家,伞是中国劳动人民一个重要的创造.如图所示的雨伞,其伞面被伞骨分成8个区域,每个区域分别印有数字1,2,3,…,8,现准备给该伞面的每个区域涂色,要求每个区域涂一种颜色,相邻两个区域所涂颜色不能相同,对称的两个区域(如区域1与区域5)所涂颜色相同.若有7种不同颜色的颜料可供选择,则不同的涂色方案有(　　) A.1 050种 B.1 260种 C.1 302种 D.1 512种 C 解析 由题意可得,只需确定区域1,2,3,4的颜色,即可确定整个伞面的涂色.先涂区域1,有7种选择;再涂区域2,有6种选择.当区域3与区域1涂的颜色不同时,区域3有5种选择,剩下的区域4有5种选择.当区域3与区域1涂的颜色相同时,剩下的区域4有6种选择.故不同的涂色方案有7×6×(5×5+6) =1 302(种).故选C. $