精品解析：江西省部分学校2025-2026学年高一下学期5月阶段性教学质量检测数学试题

2025-2026学年高一下学期阶段性教学质量检测 数学试卷 一、单选题（5分×8） 1. 已知，，且，则（ ） A. 4 B. 1 C. D. 2. 在复数集范围内，若是的一个根，则（ ） A. 0或3 B. 1或2 C. 2或0 D. 3或1 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 5. “三斜求积术”是我国宋代的数学家秦九韶用实例的形式提出的，其实质是根据三角形的三边长a，b，c求三角形面积S，即.现有面积为的满足，则最大边的边长为（ ） A. B. 4 C. D. 8 6. 如图，中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 7. 美国数学家Jack Kiefer于1953年提出0.618优选法，又称黄金分割法，是在优选时把尝试点放在黄金分割点上来寻找最优选择．我国著名数学家华罗庚于20世纪60、70年代对其进行简化、补充，并在我国进行推广，广泛应用于各个领域黄金分割比，现给出三倍角公式，则t与的关系式正确的为（ ） A. B. C. D. 8. 已知单位向量，的夹角为60°，向量，且，，设向量与的夹角为，则的最大值为（ ）. A. B. C. D. 二、多选题（6分×3） 9. 设P是所在平面内的一点，则（ ） A. B. C. D. 10. 欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，下列说法中正确的是（ ） A. 对应的点位于第二象限 B. 为纯虚数 C. 的模长等于 D. 的共轭复数为 11. 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的外接圆的面积为 B. 若，且有两解，则b的取值范围为 C. 若，且为锐角三角形，则c的取值范围为 D. 若，且，O为的内心，则的面积为 三、填空题（5分×3） 12. 函数的最小正周期是______． 13. 已知扇形的半径为r，弧长为l，若其周长为6，当该扇形面积最大时，其圆心角为，则_______． 14. 赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成大正方形）．类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，若，则___________． 四、解答题（77分） 15. 已知i为虚数单位，复数是的共轭复数. （1）若是纯虚数，求； （2）在复平面内，复数对应的点分别是，若为直角三角形，求的值. 16. 已知向量，，且． （1）求的取值范围； （2）设函数，若的最小值为，求实数的值． 17. 海南中学计划在校园内举办定向越野比赛，设立了两个相距的打卡点（操场主席台）和（图书馆正门）.如图，参赛队伍从点出发，需依次经过两个打卡点和，裁判分别在两点用测向仪记录队伍的方向.某一时刻，某队伍出现在点处，裁判测得，经过一段时间后，该队伍出现在点处，裁判分别测得（注：在同一平面内） （1）求的面积； （2）求点之间的距离. 18. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求，，． （2）已知函数． ①求的分段解析式； ②若在上的图象与直线恰有3个公共点，求的取值范围． 19. 已知函数. （1）若，试求的值； （2）若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围； （3）定义在上的函数的图象关于直线对称，且当时，.设，记且，试求中所有元素之和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一下学期阶段性教学质量检测 数学试卷 一、单选题（5分×8） 1. 已知，，且，则（ ） A. 4 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意得，解得， ，. 2. 在复数集范围内，若是的一个根，则（ ） A. 0或3 B. 1或2 C. 2或0 D. 3或1 【答案】A 【解析】 【详解】由，得，所以或， 又是的一个根，所以或， 所以或. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由二倍角的余弦公式可直接求解. 【详解】， . 故选：A. 【点睛】本题考查二倍角的余弦公式的应用，属于基础题. 4. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定的函数图象，利用周期及最大值点求出即可. 【详解】观察函数图象，得这个函数的最小正周期，则， 又当时，，则，而，则， 所以. 故选：A 5. “三斜求积术”是我国宋代的数学家秦九韶用实例的形式提出的，其实质是根据三角形的三边长a，b，c求三角形面积S，即.现有面积为的满足，则最大边的边长为（ ） A. B. 4 C. D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理角化边，再借助给定的面积公式求解. 【详解】在中，由，得， 则，因此， 解得，所以最大边的边长. 故选：B 6. 如图，中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量线性运算先利用表示，再表示，再根据求结论. 【详解】因为是的中点，所以， 因为是的靠近的三等分点，所以， 所以． 7. 美国数学家Jack Kiefer于1953年提出0.618优选法，又称黄金分割法，是在优选时把尝试点放在黄金分割点上来寻找最优选择．我国著名数学家华罗庚于20世纪60、70年代对其进行简化、补充，并在我国进行推广，广泛应用于各个领域黄金分割比，现给出三倍角公式，则t与的关系式正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意利用诱导公式，同角三角函数基本关系式，二倍角公式可求进而解方程即可得解. 【详解】因为， 所以，又 所以，化简得， 可得，， 解得（负值舍去），所以. 8. 已知单位向量，的夹角为60°，向量，且，，设向量与的夹角为，则的最大值为（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的运算可得出，求出的取值范围，再结合二次函数的基本性质可求得的最大值． 【详解】因为单位向量，的夹角为， 则， 所以， 又， 所以， 当取最大值时，必有， 则， 又，，则，所以， 所以， 故的最大值为. 故选：D． 【点睛】方法点睛：求平面向量夹角的方法： （1）定义法：利用向量数量积的定义得，其中两向量的取值范围是； （2）坐标法：若非零向量，，则． 二、多选题（6分×3） 9. 设P是所在平面内的一点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】把转化为，根据移项及向量加减法运算即得 【详解】由，得， 所以，故D对，B错； 由向量加法法则可得，，，故C对，A错； 故选：CD 10. 欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，下列说法中正确的是（ ） A. 对应的点位于第二象限 B. 为纯虚数 C. 的模长等于 D. 的共轭复数为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意结合复数的相关概念与运算逐项分析判断. 【详解】对于A项：由题意可得：，则其对应的点为， ∵，则， ∴对应的点位于第二象限，故A项正确； 对于B项：由题意可得：为实数，故B项错误； 对于C项：由题意可得：， 则，故C项正确； 对于D项：由题意可得：， 则的共轭复数为，故D项正确； 故选：ACD. 11. 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的外接圆的面积为 B. 若，且有两解，则b的取值范围为 C. 若，且为锐角三角形，则c的取值范围为 D. 若，且，O为的内心，则的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】先由正弦定理得到，选项A，求出，进而由正弦定理得到的外接圆的半径和表面积；B选项，又余弦定理得到，将其看做关于的二次方程，结合方程有两正解，得到不等式，求出b的取值范围；C选项，由正弦定理结合得到，再根据为锐角三角形得到，从而得到c的取值范围；D选项，由正弦定理得到，，结合三角恒等变换得到，从而得到，，，由求出，由直角三角形性质得到内切圆半径，进而求出的面积. 【详解】因为，所以由正弦定理，得， 即 ， 因为，所以，且，所以. 选项A：若，则，所以的外接圆的直径 ， 所以， 所以的外接圆的面积为，选项A正确； 选项B：由余弦定理得， 将此式看作关于的二次方程，由题意得此方程有两个正解， 故 ，解得b，所以选项B错误； 选项C：由正弦定理，得 ，即， 因为，所以， 因为为锐角三角形，所以 ，即，所以， 所以，故选项C正确； 选项D：因为，由正弦定理得， 因为，所以， 所以由正弦定理，得，即， 所以， 即，所以， 所以， 又因为，所以，故，，解得 ， 因为，所以， 即是直角三角形，所以内切圆的半径为， 所以的面积为，选项D正确. 故选：ACD. 【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题， 常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案； ②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法； ③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值. 三、填空题（5分×3） 12. 函数的最小正周期是______． 【答案】 【解析】 【详解】 ， 所以函数的最小正周期. 13. 已知扇形的半径为r，弧长为l，若其周长为6，当该扇形面积最大时，其圆心角为，则_______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式结合均值不等式得到，再利用诱导公式化简得到答案. 【详解】根据题意：，故， ， 当，即时等号成立. . 故答案为：. 14. 赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成大正方形）．类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据比例关系设 ，用含的式子表示出各边长度，再将大等边三角形拆分为3个全等三角形和1个中间小等边三角形，分别计算各部分面积，利用含角的三角形面积公式与等边三角形面积公式求出面积表达式，最后通过面积比约去参数，即可得到结果. 【详解】设 ，由 ，得 ， 因此，， ∵ 是等边三角形，∴ ， 又∵ 3个三角形全等， ∴ ，， ∴， ∴， ∴， ∴. 四、解答题（77分） 15. 已知i为虚数单位，复数是的共轭复数. （1）若是纯虚数，求； （2）在复平面内，复数对应的点分别是，若为直角三角形，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出复数的表达式，再利用纯虚数的条件列出表达式，即可求得结果. （2）因为为直角三角形，根据点的坐标可得，可得两个向量的数量积等于0，即可求得结果. 【小问1详解】 ． ∵为纯虚数， ∴，解得， ∴，． 【小问2详解】 复数，，是的共轭复数， 所以 则，，． ∵为直角三角形，显然． ∴．即． 解得． 16. 已知向量，，且． （1）求的取值范围； （2）设函数，若的最小值为，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据数量积的坐标运算和余弦的两角和公式化简，再根据平面向量的模长公式，结合余弦函数的性质求解即可； （2）令，转化为二次函数，然后对分类讨论可得. 【小问1详解】 因为，， 所以. 由同角三角函数的平方关系可得， 所以， 因为，所以，所以， 所以的取值范围为. 【小问2详解】 由（1）可知，函数， 令，则， ，其图象开口向上，对称轴方程为， 当，即时，最小值为，解得（舍去）； 当，即时，最小值为， 解得或（舍去）； 当，即时，最小值为. 综上可知，. 17. 海南中学计划在校园内举办定向越野比赛，设立了两个相距的打卡点（操场主席台）和（图书馆正门）.如图，参赛队伍从点出发，需依次经过两个打卡点和，裁判分别在两点用测向仪记录队伍的方向.某一时刻，某队伍出现在点处，裁判测得，经过一段时间后，该队伍出现在点处，裁判分别测得（注：在同一平面内） （1）求的面积； （2）求点之间的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中利用正弦定理依次求出即可求解； （2）先由题设得到，接着依次求出，再在中，由余弦定理可得结果. 【小问1详解】 在中，，则. 因为，， 所以由正弦定理，得， 所以的面积为； 【小问2详解】 在中，， 则，因此， 在中，由余弦定理 ， 因此. 18. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求，，． （2）已知函数． ①求的分段解析式； ②若在上的图象与直线恰有3个公共点，求的取值范围． 【答案】（1），， （2）①；② 【解析】 【小问1详解】 由题图可知，由，得， 得．由题图可知，的图象过点， 则，得， 因为，所以． 【小问2详解】 ①当时，， 此时，得． 当时，， 此时，得． 故． ②由，得． 由，得， 即或， 因为在上的图象与直线恰有3个公共点， 所以， 得，即的取值范围为. 19. 已知函数. （1）若，试求的值； （2）若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围； （3）定义在上的函数的图象关于直线对称，且当时，.设，记且，试求中所有元素之和. 【答案】（1） （2） （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式结合同角三角函数的基本关系计算可得结果. （2）利用辅助角公式化简函数解析式，结合函数的单调性可求的取值范围. （3）求出函数解析式，画出函数图象，问题转化为直线与图象交点横坐标的和，讨论的范围，结合图象的对称性可得结果. 【小问1详解】 由题意得，， ∴， ∴. 【小问2详解】 ∵，∴，故在上为减函数，在上为增函数， 当时，在上为减函数，不合题意. 当时，，其中，. 由得，. ∵函数在区间上是增函数， ∴，即，故， ∴，故. 【小问3详解】 当时，. ∵的图象关于直线对称， ∴当时，，. 记中所有元素之和为. 由得，，根据对称性得， 根据，作出在上的图象， 当时，直线与函数的图象有两个交点，这两个交点关于直线对称，故. 当时，直线与函数的图象有三个交点，其中一个交点横坐标为，其余两点关于直线对称，故. 当时，直线与函数的图象有四个交点，此时有两对关于直线对称的点，故. 当时，直线与函数的图象有两个交点，这两个交点关于直线对称，故. 综上得，当或时，；当时，；当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $