精品解析：北京市陈经纶中学2026届高三考前模拟练习一数学试题

模拟练习一 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别确定集合，，根据并集的概念求可得答案. 【详解】因为，， 所以. 故选：B 2. 在复平面内，点对应的复数为，则实数（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算及复数对应点求参即可. 【详解】因为对应点为, 所以, 即得. 故选：D. 3. 已知平面向量，，则下列结论一定错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标表示求出参数的值，即可判断A；根据及数量积的坐标表示求出，即可判断B；表示出，，即可判断C；根据平面向量线性运算的坐标表示判断D. 【详解】对于A：若，则，解得，故A正确； 对于B：若，则，解得，故B正确； 对于C：因为，， 显然，故C正确； 对于D：，故D错误. 故选：D 4. 已知抛物线的焦点为F、点M在抛物线上，MN垂直y轴于点N，若，则的面积为（ ） A. 8 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】确定抛物线的焦点和准线，根据得到，计算面积得到答案. 【详解】 因为抛物线的焦点为，准线方程为， 所以，故， 不妨设在第一象限，故， 所以. 故选：C. 5. 点声源亦称“球面声源”或“简单声源”.已知点声源在空间中传播时，衰减量（单位：）与传播距离（单位：）的关系式为，其中为常数.当传播距离为时，衰减量为；当传播距离为时，衰减量为.若，则约为（ ）（参考数据：） A. 6dB B. 4dB C. 3dB D. 2dB 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数值作差，再进行对数运算，即可求出近似值. 【详解】由， 因为，所以， 故答案为：A 6. 已知圆，过直线上的动点作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】连接，，当最小时，最小，计算点到直线的距离得到答案. 【详解】如图所示：连接，则， 当最小时，最小，， 故的最小值为. 故选：C. 7. 对于无穷数列，定义（），则“为递增数列”是“为递增数列”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】由递增数列的性质，分别判断充分性和必要性即可. 【详解】为递增数列时，有，不能得到为递增数列，充分性不成立； 为递增数列时，不一定有，即不能得到为递增数列，必要性不成立. 所以“为递增数列”是“为递增数列”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 8. 如图所示，半圆的直径，为圆心，为半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量加法的几何意义得，从而化为求的范围，根据已知及向量数量积的运算律、二次函数的性质求范围. 【详解】因为点是线段的中点，所以向量， 所以，又向量方向相反，且 ， 所以． 9. 故宫角楼的屋顶是我国十字脊顶的典型代表，如图1，它是由两个完全相同的直三棱柱垂直交叉构成，将其抽象成几何体如图2所示.已知三楼柱和是两个完全相同的直三棱柱，侧棱与互相垂直平分，交于点I，，，则点到平面的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件，结合空间总直线与平面的位置关系，先确定点到平面的垂线段，在根据已知条件得，解方程求出即可. 【详解】取中点，连接，过作的垂线交的延长线于点， 取中点，连接， 由已知，、分别为、中点， 因为是直三棱柱，所以，且 ， 所以且，所以四边形为平行四边形， 又，所以为矩形，所以， 又，平面，平面，， 所以平面，平面，所以， 又因为，平面，平面，， 所以平面，所以点到平面的距离等于线段的长度，设为； ，在中，， 所以，设角，则有， 因为四边形为平行四边形，所以， 又因为是直三棱柱，所以，且， 所以，， 又因为平面， 平面，所以， 所以，即，解得， 所以点到平面的距离是， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据空间中点、线、面的位置关系，确定点到平面的垂线段. 10. 在直角坐标系中，全集，集合，已知集合A的补集所对应区域的对称中心为M，点P是线段（，）上的动点，点Q是x轴上的动点，则周长的最小值为（ ） A. 24 B. C. 14 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合可判断出集合表示圆,再画图,根据做对称点的方法转换的周长,再求最小值即可. 【详解】∵点到直线的距离, ∴直线始终与圆相切, ∴集合A表示除圆以外所有的点组成的集合, ∴集合表示圆,其对称中心如图所示：设是点关于直线线段（）的对称点,设,则由求得,可得.设关于x轴的对称点为,易得,则直线,和线段的交点为P,则此时,的周长为,为最小值. 故选：B 【点睛】本题主要考查了点到直线距离公式的应用以及“将军饮马”问题的应用,需要根据题意作出对称点,再转换所求求最值即可.属于难题. 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. 11. 已知双曲线的一条渐近线的方程为，则该双曲线的离心率为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据渐近线方程，求得，再求离心率即可. 【详解】根据题意可知，该双曲线的一条渐近线方程为：，故， 则其离心率为. 故答案为：. 12. 若的展开式共有6项，则展开式中所有二项式系数之和为______． 【答案】32 【解析】 【分析】根据给定信息求出幂指数，再利用二项式系数的性质求得答案. 【详解】由的展开式共有6项，得， 所以展开式中所有二项式系数之和为. 故答案为：32 13. 已知直线为函数图象的一条对称轴，则满足条件的一个的取值为_____；若在区间上有零点，则的最小值为_______． 【答案】 ①. （答案不唯一） ②. 4 【解析】 【分析】根据余弦函数的对称性求出的取值集合，即可完成第一空，由余弦函数的对称中心求出的最小值. 【详解】因为直线为函数图象的一条对称轴， 所以，解得， 又，所以取（答案不唯一）； 若在区间上有零点，令，解得， 由，故且, 又且要求的最小值，故，所以的最小值为； 故答案为：（答案不唯一）； 14. 已知函数，其中且.若关于的方程恰有三个不相等的实数根，则的取值范围为_____，且的取值范围为_______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据给定条件，按分类作出函数的图象，数形结合求出的范围；再利用方程根的意义，结合基本不等式求出范围. 【详解】当时，函数的图象及直线如图： 当时，函数的图象及直线如图： 当时，函数的图象及直线如图： 当时，函数的图象及直线如图： 观察图象知，当且仅当且，即时，函数的图象及直线有3个交点， 即方程有三个不相等的实数根，不妨令， 则，由，得，即， 因此，则，所以. 15. 已知无穷数列满足下列三个性质： （i），； （ⅱ）对任意的，； （ⅲ）对任意的，都有. 则下列说法正确的是_____. ①当，时，； ②当时，存在单调递增的数列满足上述条件； ③当时，对任意的成立； ④对于任意数列，总存在，使得对任意的，都有. 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据题干给出的三个性质，结合推导数列的递推关系，结合选项，分别对四个命题逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于①：当，，， 由（ⅲ）对任意的，都有，可得， 可得；； ，所以①正确； 对于②，若，若存在单调递增整数列，则必须， 即，且， 所以，因为，所以，此时， 所以，所以②错误； 对于③：当时，则 由；； ；， ， ， 且，， ，，即 ， 归纳可得且，所以，所以③正确； 对于④，由特征方程，可得 ， 解得，则， 其中，则， 假设，则， 因为是无理数，要使得所有，必须， 否则会产生无理数的部分，无法始终抵消， 因为，所以，因为，所以符号交替， 所以当充分大时，成立，所以④正确； 三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 在△ABC中，已知 （1）求B的大小； （2）在下面3个条件中选一个，使得△ABC唯一存在，并求其面积． ①②③ 【答案】（1） （2）答案不唯一，具体见解析 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边变角，然后整理化简可得B的大小； （2）利用正弦余弦定理求出三角形其他边角，再利用面积公式求出面积. 【小问1详解】 由正弦定理得 ， ，即， 又，； 【小问2详解】 选①： 或，所以△ABC不唯一存在 所以①不能选； 选②：，即 选③ 即 或（舍） . 17. 如图，在四棱锥中，是边长为4的等边三角形，四边形为菱形，，平面平面，为棱的中点，记平面和平面的交线为. （1）证明：； （2）在线段（不含端点）上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）存在，或. 【解析】 【分析】（1）由题意，可得平面，然后利用线面平行的性质可证得； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用点到平面的距离的向量公式求解. 【小问1详解】 证明：∵四边形为菱形，∴， ∵平面，平面，∴平面， ∵平面，平面平面 ， ∴. 【小问2详解】 取的中点，连接，， ∵是边长为4的等边三角形，∴， ∵四边形为菱形，，∴为等边三角形，， ∵平面平面，平面平面，平面，， ∴平面， 以为坐标原点，以，，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则，由， 令，则，，， 假设在线段（不含端点）上存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为. 设，， 则， ∵平面的法向量为， 直线与平面所成角的正弦值为， ∴， 整理得，解得或， 所以在线段（不含端点）上存在点，当或时， 直线与平面所成角的正弦值为. 18. 某学校为提升学生的科学素养，所有学生在学年中完成规定的科普学习任务，并通过科普测试获得相应科普过程性积分.现从该校随机抽取60名学生，获得其科普测试成绩（百分制，且均为整数）及相应过程性积分数据，整理如下表： 科普测试成绩x 科普过程性积分 人数 3 20 2 10 1 15 0 15 用频率估计概率. （1）从该校全体学生中随机抽取一名学生，估计这名学生科普过程性积分不低于2分的概率； （2）从该校全体学生中随机抽取三名学生，估计这三名学生的科普过程性积分之和恰好为6分的概率； （3）从该校科普过程性积分不低于1分的学生中随机抽取两名学生，记这两名学生科普过程性积分之差的绝对值不超过1的概率估计值记为，这两名学生科普过程性积分之差的绝对值不低于1的概率估计值记为，试判断和的大小（结论不要求证明）. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用图表及古典概型计算即可； （2）分类讨论结合相互独立事件的乘法公式计算即可； （3）依次分类讨论计算并比大小即可. 【小问1详解】 由图表可知从样本空间中随机抽取一名学生， 科普过程性积分不低于2分的人数的频率为， 所以估计全校学生中随机抽取一人，该生科普过程性积分不低于2分的概率为； 【小问2详解】 随机抽取三人，得分为6分的可能有： 情况1：1人0分，2人3分； 情况2：1人1分，1人2分，1人3分； 情况3：3人都是2分， 结合图表知得0分，1分，2分，3分的概率分别为 ， 所以随机抽取3人得6分的概率为 ； 【小问3详解】 根据题意从样本中科普过程性积分不低于1分的学生中抽取1人，得1分、2分、3分的频率依次为， 所以从全校科普过程性积分不低于1分的学生中随机抽取1名学生其积分，为1分、2分、3分的概率估计依次为， 则任意取2名同学，其积分之差的绝对值不超过1的可能有：{1分，1分}；{1分，2分}；{2分，2分}；{2分，3分}；{3分，3分}五种可能， 即， 任意取2名同学，其积分之差的绝对值不低于1的可能有：{1分，2分}；{1分，3分}；{2分，3分}三种可能， 即， 显然. 19. 如图所示，已知点A、B、C、D均在椭圆上，点A在第一象限，直线垂直于x轴，直线分别与y轴正半轴和x轴负半轴交于点E、F，E为线段的中点，直线经过点E． （1）若F为椭圆的左焦点，求的周长； （2）求当直线的倾斜角取得最小值时点A的坐标． 【答案】（1）8 （2） 【解析】 【分析】（1）设直线与x轴交于点，由已知得出是的中位线，再判断出为椭圆的右焦点，则的周长可表示为，代入即可求出答案； （2）设，，设直线斜率为k，得出，将直线与直线的方程与椭圆方程联立，结合韦达定理和斜率公式，得出直线的斜率，利用基本不等式，结合点在椭圆上，求出的值，即可求出点的坐标． 【小问1详解】 解：设直线与x轴交于点，如图所示， E为的中点，为的中点， 是的中位线， ， 为椭圆的右焦点， ，， 周长为： ． 【小问2详解】 设， 点在第一象限， ， 则，，， 设直线斜率为k，则，直线的斜率， 则直线的方程为，直线的方程为， 将两直线方程分别代入椭圆方程，得 ， ， 设，， 则，， 直线的斜率： ， 所以， 当且仅当时，等号成立，即时取等号， 所以当斜率取得最小值时， ，即， 又点在椭圆上，且，， ， ，， 即点A的坐标为． 20. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若存在极值，求实数的取值范围； （3）求证：对任意，都存在，使得． 【答案】（1） （2）． （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义进行求解即可； （2）利用导数分情况讨论函数的单调性，判断极值即可求解 （3）利用（2）中的函数的单调性，将进行赋值即可证明. 【小问1详解】 当时，，， ，又， 曲线在点处的切线方程为：； 【小问2详解】 ，， 当时，，在上单调递减，无极值； 当时，令，即， 解得， 当时，， 0 0 极大值 极小值 的单调递增区间为，单调递减区间为，为函数的两个极值点， 故符合题意； 当时，， 在上单调递增，无极值. 综上，实数的取值范围为； 【小问3详解】 ①当时，由（2）知，在上单调递减， 令，则，； ②当时，为极大值，为极小值， ， 令，则； ③当时，在上单调递增，令， ，； 综上，对任意，都存在，使． 21. 记集合.对任意，，记，对于非空集合，定义集合. （1）当时，写出集合；对于，写出； （2）当时，如果，求的最小值； （3）求证：. （注：本题中，表示有限集合A中的元素的个数.） 【答案】（1）； （2）5 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据定义直接写出集合，再根据的定义写出； （2）设，则，则由题意可得，从而可求得结果； （3）设A中的所有元素为，，…，，其中，记（），先利用反证法证明这些互不相等，再根据定义证明即可. 【小问1详解】 ； 若，则. 【小问2详解】 的最小值为5. 证明如下： 设. 因为，除外，其它7个元素需由两个不同的，计算得到， 所以，解得. 当时，有，符合题意. 【小问3详解】 证明：设A中的所有元素为，，…，，其中. 记（），则这些互不相等. 证明如下：如果存在，， 则，的每一位都相等， 所以，的每一位都相等， 从而，与集合A中元素的互异性矛盾. 定义集合，则. 又， 所以. 【点睛】关键点点睛：此题考查集合的新定义，考查集合间的关系，解题的关键是对集合新定义的正确理解，考查理解能力，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 模拟练习一 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，点对应的复数为，则实数（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. 已知平面向量，，则下列结论一定错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知抛物线的焦点为F、点M在抛物线上，MN垂直y轴于点N，若，则的面积为（ ） A. 8 B. C. D. 5. 点声源亦称“球面声源”或“简单声源”.已知点声源在空间中传播时，衰减量（单位：）与传播距离（单位：）的关系式为，其中为常数.当传播距离为时，衰减量为；当传播距离为时，衰减量为.若，则约为（ ）（参考数据：） A. 6dB B. 4dB C. 3dB D. 2dB 6. 已知圆，过直线上的动点作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 7. 对于无穷数列，定义（），则“为递增数列”是“为递增数列”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 如图所示，半圆的直径，为圆心，为半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 9. 故宫角楼的屋顶是我国十字脊顶的典型代表，如图1，它是由两个完全相同的直三棱柱垂直交叉构成，将其抽象成几何体如图2所示.已知三楼柱和是两个完全相同的直三棱柱，侧棱与互相垂直平分，交于点I，，，则点到平面的距离是（ ） A. B. C. D. 10. 在直角坐标系中，全集，集合，已知集合A的补集所对应区域的对称中心为M，点P是线段（，）上的动点，点Q是x轴上的动点，则周长的最小值为（ ） A. 24 B. C. 14 D. 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. 11. 已知双曲线的一条渐近线的方程为，则该双曲线的离心率为________． 12. 若的展开式共有6项，则展开式中所有二项式系数之和为______． 13. 已知直线为函数图象的一条对称轴，则满足条件的一个的取值为_____；若在区间上有零点，则的最小值为_______． 14. 已知函数，其中且.若关于的方程恰有三个不相等的实数根，则的取值范围为_____，且的取值范围为_______. 15. 已知无穷数列满足下列三个性质： （i），； （ⅱ）对任意的，； （ⅲ）对任意的，都有. 则下列说法正确的是_____. ①当，时，； ②当时，存在单调递增的数列满足上述条件； ③当时，对任意的成立； ④对于任意数列，总存在，使得对任意的，都有. 三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 在△ABC中，已知 （1）求B的大小； （2）在下面3个条件中选一个，使得△ABC唯一存在，并求其面积． ①②③ 17. 如图，在四棱锥中，是边长为4的等边三角形，四边形为菱形，，平面平面，为棱的中点，记平面和平面的交线为. （1）证明：； （2）在线段（不含端点）上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 18. 某学校为提升学生的科学素养，所有学生在学年中完成规定的科普学习任务，并通过科普测试获得相应科普过程性积分.现从该校随机抽取60名学生，获得其科普测试成绩（百分制，且均为整数）及相应过程性积分数据，整理如下表： 科普测试成绩x 科普过程性积分 人数 3 20 2 10 1 15 0 15 用频率估计概率. （1）从该校全体学生中随机抽取一名学生，估计这名学生科普过程性积分不低于2分的概率； （2）从该校全体学生中随机抽取三名学生，估计这三名学生的科普过程性积分之和恰好为6分的概率； （3）从该校科普过程性积分不低于1分的学生中随机抽取两名学生，记这两名学生科普过程性积分之差的绝对值不超过1的概率估计值记为，这两名学生科普过程性积分之差的绝对值不低于1的概率估计值记为，试判断和的大小（结论不要求证明）. 19. 如图所示，已知点A、B、C、D均在椭圆上，点A在第一象限，直线垂直于x轴，直线分别与y轴正半轴和x轴负半轴交于点E、F，E为线段的中点，直线经过点E． （1）若F为椭圆的左焦点，求的周长； （2）求当直线的倾斜角取得最小值时点A的坐标． 20. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若存在极值，求实数的取值范围； （3）求证：对任意，都存在，使得． 21. 记集合.对任意，，记，对于非空集合，定义集合. （1）当时，写出集合；对于，写出； （2）当时，如果，求的最小值； （3）求证：. （注：本题中，表示有限集合A中的元素的个数.） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $