第十章 必刷小题20 计数原理、概率、随机变量及其分布【题型突破】 -2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦计数原理、概率、随机变量及其分布高考核心模块，以计数原理为基础，串联古典概型、条件概率、离散型随机变量分布列及期望方差，覆盖二项分布、超几何分布、正态分布等高频考点，通过考向预测、真题模拟、方法归纳的教学流程，帮助学生构建知识网络，突破模型辨析与计算难点。 讲义突出数学建模与数据分析素养，设计现实情境问题强化超几何与二项分布辨析，结合正态分布实际应用案例引导学生用数学眼光观察问题，通过分层练习（选择、填空、不同难度题目）落实解题方法，助力学生高效提升应考能力，为教师把控复习节奏提供精准教学支持。

第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 必刷小题20　计数原理、概率、随机变量及其分布 [分值：73分] 【高考考向预测】 计数原理包含排列组合、分类分步计数公式，以此为基础求解古典概型、条件概率，延伸至离散型随机变量的分布列、期望与方差，常见分布有二项分布、超几何分布、正态分布，重在审题区分模型、合理选用计数方法列式计算；近三年为高考数学必考内容，选择填空与解答题均高频考查，大题常单独命题；预测2027 年命题结合现实生活情境，强化超几何与二项分布辨析，融入决策型问题，搭配正态分布实际应用，侧重数学建模与数据分析能力。 一、单项选择题(每小题5分，共40分) 1.(2026·泰安模拟)已知随机变量X~N(2，σ2)，若P(X≥-1)=0.7，则P(2≤X≤5)等于(　　) A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.7 2.(2026·临沂模拟)已知A，B，C，D四个同学站成一排，要求A和B不相邻，C不站两端，则不同的排法种数是(　　) A.8 B.10 C.12 D.16 3.(2026·贵阳模拟)二项式(a>0)的展开式中含x2的项的系数是60，则下列说法不正确的是(　　) A.a=2 B.展开式中含x4的项的系数是-12 C.展开式中一定含x-1的项 D.展开式中的常数项是-160 4.(2026·武汉模拟)从装有4个白球，2个红球的盒子中逐个不放回地摸取小球.若每取出1个红球得2分，每取出1个白球得1分，按照规则从盒子中任意抽取2个球，所得分数的均值为(　　) A. B.2 C. D. 5.已知离散型随机变量X的分布列如下，若E(12X)=7，则D(2X+3)等于(　　) X -1 0 a 2 P b A. B. C. D. 6.现有分别标有数字1，2，3，4的小球各2个，它们的形状、大小、材质完全相同，现从这8个小球中任取4个，则取出的小球上的数字之和为10的概率为(　　) A. B. C. D. 7.(2026·成都模拟)连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次，记录每次朝上的点数，设事件A为“第一次的点数是2”，事件B为“第二次的点数小于4”，事件C为“两次的点数之和为偶数”，则(　　) A.P(A)= B.A与C相互独立 C.A与C对立 D.B与C互斥 8.(2026·赣州模拟)某百货商场为促销举办抽奖活动，设有两种奖券：甲奖券和乙奖券.顾客每次抽取甲奖券中奖的概率为0.4，每次抽取乙奖券中奖的概率为0.5，每次抽奖结果相互独立.某顾客计划先抽取2张甲奖券，再抽取1张乙奖券.若该顾客恰好中奖2次，且其中有1张甲奖券中奖，则另外中奖的1张也是甲奖券的概率为(　　) A.0.12 B.0.2 C.0.25 D.0.32 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 9.已知离散型随机变量X的分布列如表所示，则(　　) X 0 1 2 P 0.2 1-2q q A.q=0.2 B.E(X)=1 C.E(5X-1)=4 D.D(X)=0.2 10.(2026·武汉模拟)下列命题正确的是(　　) A.若三个事件A，B，C两两相互独立，则满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C) B.若0<P(C)<1，0<P(D)<1，且P(D)=1-P(|C)，则C，D相互独立 C.若事件A，B满足P(A)=0.5，P(B)=0.6，P(A∪)=0.5，则P(A∪B)=0.9 D.给定事件A，B，C，且P(C)>0，则P(A∪B|C)=P(A|C)+P(B|C) 11.如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点O出发，每隔1 s向左或向右移动一个单位长度.向左移动的概率为，向右移动的概率为，设移动n次后质点位于位置Xn，则下列结论正确的有(　　) A.当n=4时，P(X4=0)= B.当n=5时，P(X5=1)= C.当n=6时，该质点共经过两次3的概率为 D.当n=2 025时，X2 025的期望E(X2 025)=-675 三、填空题(每小题5分，共15分) 12.(2026·苏州模拟)若=，则++…+的值为　　　. 13.(x-2)4的展开式中x2的系数为　　　. 14.某芯片制造厂有甲、乙两条生产线均生产7 nm规格的芯片，现有2 000块该规格的芯片，其中甲、乙生产的芯片分别为1 200块，800块，且乙生产该芯片的次品率为0.05，现从这2 000块芯片中任取一块芯片，若取得芯片的次品率为0.08，则甲生产该芯片的次品率为　　　　. / 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 必刷小题20　计数原理、概率、随机变量及其分布 [分值：73分] 【高考考向预测】 计数原理包含排列组合、分类分步计数公式，以此为基础求解古典概型、条件概率，延伸至离散型随机变量的分布列、期望与方差，常见分布有二项分布、超几何分布、正态分布，重在审题区分模型、合理选用计数方法列式计算；近三年为高考数学必考内容，选择填空与解答题均高频考查，大题常单独命题；预测2027 年命题结合现实生活情境，强化超几何与二项分布辨析，融入决策型问题，搭配正态分布实际应用，侧重数学建模与数据分析能力。 一、单项选择题(每小题5分，共40分) 1.(2026·泰安模拟)已知随机变量X~N(2，σ2)，若P(X≥-1)=0.7，则P(2≤X≤5)等于(　　) A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.7 【答案】A 【解析】因为X~N(2，σ2)，所以P(X≥2)=0.5， 若P(X≥-1)=0.7，则P(X<-1)=1-0.7=0.3， P(X>5)=P(X<-1)=0.3， 所以P(2≤X≤5)=P(X≥2)-P(X>5)=0.5-0.3=0.2. 2.(2026·临沂模拟)已知A，B，C，D四个同学站成一排，要求A和B不相邻，C不站两端，则不同的排法种数是(　　) A.8 B.10 C.12 D.16 【答案】A 【解析】若C排在从左到右的第二个位置， 则D只能排在从左到右的第三或第四个位置， 此时有=4(种)不同的排法； 同理，若C排在从左到右的第三个位置，根据对称性可知，此时也有4种不同的排法， 由分类加法计数原理可知， 不同的排法种数是4+4=8. 3.(2026·贵阳模拟)二项式(a>0)的展开式中含x2的项的系数是60，则下列说法不正确的是(　　) A.a=2 B.展开式中含x4的项的系数是-12 C.展开式中一定含x-1的项 D.展开式中的常数项是-160 【答案】C 【解析】(a>0)的展开式的通项为Tk+1=x6-k=(-a)kx6-2k，k=0，1，2，3，4，5，6，令6-2k=2，得k=2，可得(-a)2=60，解得a=2(负值舍去)，A正确； 故通项为Tk+1=(-2)kx6-2k，k=0，1，2，3，4，5，6，令6-2k=4，得k=1，可得含x4项的系数为(-2)1=-12，B正确； 由6-2k=-1，得k=3.5，不符合题意，所以展开式中一定不含x-1的项，C错误； 对于D，令6-2k=0，得k=3，可得展开式中的常数项是(-2)3=-160，D正确. 4.(2026·武汉模拟)从装有4个白球，2个红球的盒子中逐个不放回地摸取小球.若每取出1个红球得2分，每取出1个白球得1分，按照规则从盒子中任意抽取2个球，所得分数的均值为(　　) A. B.2 C. D. 【答案】C 【解析】设得分为X，X的所有可能取值为4，3，2， 则P(X=4)==，P(X=3)==， P(X=2)===， 则分布列为 X 4 3 2 P 所以所得分数的均值为E(X)=4×+3×+2×=. 5.已知离散型随机变量X的分布列如下，若E(12X)=7，则D(2X+3)等于(　　) X -1 0 a 2 P b A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由分布列可得+b++=1，解得b=， 由E(12X)=7，得12E(X)=7，即E(X)=， 所以-+0++=，解得a=1， D(X)=×+×+×+×=， 所以D(2X+3)=22·D(X)=4×=. 6.现有分别标有数字1，2，3，4的小球各2个，它们的形状、大小、材质完全相同，现从这8个小球中任取4个，则取出的小球上的数字之和为10的概率为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】从这8个小球中任取4个的样本点共有=70(个)， 又满足4个小球上的数字之和为10的情况有 ①4个小球上的数字分别是1，1，4，4，即有1种情况； ②4个小球上的数字分别是1，2，3，4，即有=16(种)情况； ③4个小球上的数字分别是2，2，3，3，即有1种情况， 即取出的小球上的数字之和为10的样本点有1+16+1=18(个)， 所以取出的小球上的数字之和为10的概率为=. 7.(2026·成都模拟)连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次，记录每次朝上的点数，设事件A为“第一次的点数是2”，事件B为“第二次的点数小于4”，事件C为“两次的点数之和为偶数”，则(　　) A.P(A)= B.A与C相互独立 C.A与C对立 D.B与C互斥 【答案】B 【解析】根据题意，连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次，记录每次朝上的点数， 样本空间为{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)， (3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)， (5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}，共36个样本点. 对于A，事件A为“第一次的点数是2”，包含6个样本点，则P(A)==，A错误； 对于B，事件C为“两次的点数之和为偶数”，包含18个样本点，则P(C)==， 事件AC，即{(2，2)，(2，4)，(2，6)}，包含3个样本点，则P(AC)==， 则有P(AC)=P(A)P(C)，事件A，C相互独立，B正确； 对于C，事件A，C可以同时发生，故不互斥，于是更不对立，C错误； 对于D，事件B，C可以同时发生，不互斥，D错误. 8.(2026·赣州模拟)某百货商场为促销举办抽奖活动，设有两种奖券：甲奖券和乙奖券.顾客每次抽取甲奖券中奖的概率为0.4，每次抽取乙奖券中奖的概率为0.5，每次抽奖结果相互独立.某顾客计划先抽取2张甲奖券，再抽取1张乙奖券.若该顾客恰好中奖2次，且其中有1张甲奖券中奖，则另外中奖的1张也是甲奖券的概率为(　　) A.0.12 B.0.2 C.0.25 D.0.32 【答案】C 【解析】设事件A为“恰好中奖2次且其中有1张甲奖券中奖”，即“甲奖券中奖1次且乙奖券中奖1次或甲奖券中奖2次且乙奖券不中奖”， 事件B为“恰好中奖2次且均为甲奖券”，即“甲奖券中奖2次且乙奖券不中奖”， 则P(A)=0.4×0.4×(1-0.5)+×0.4×(1-0.4)×0.5=0.32，P(B)=0.4×0.4×(1-0.5)=0.08， 又由A∩B=B，即P(AB)=P(B)， 所以所求概率为P(B|A)====0.25. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 9.已知离散型随机变量X的分布列如表所示，则(　　) X 0 1 2 P 0.2 1-2q q A.q=0.2 B.E(X)=1 C.E(5X-1)=4 D.D(X)=0.2 【答案】ABC 【解析】由分布列的性质可知，0.2+1-2q+q=1，所以q=0.2， E(X)=0×0.2+1×0.6+2×0.2=1，E(5X-1)=5E(X)-1=4，故A，B，C正确； D(X)=(0-1)2×0.2+(1-1)2×0.6+(2-1)2×0.2=0.4，故D错误. 10.(2026·武汉模拟)下列命题正确的是(　　) A.若三个事件A，B，C两两相互独立，则满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C) B.若0<P(C)<1，0<P(D)<1，且P(D)=1-P(|C)，则C，D相互独立 C.若事件A，B满足P(A)=0.5，P(B)=0.6，P(A∪)=0.5，则P(A∪B)=0.9 D.给定事件A，B，C，且P(C)>0，则P(A∪B|C)=P(A|C)+P(B|C) 【答案】BC 【解析】对于A，考虑投掷两个骰子，记事件A=“第一个骰子的点数为奇数”， 事件B=“第二个骰子点数为奇数”，事件C=“两个骰子的点数之和为奇数”， 于是有P(A)=P(B)=P(C)=， P(AB)=P(BC)=P(AC)=， 则事件A，B，C两两相互独立， 但P(ABC)=0，即P(ABC)≠P(A)P(B)P(C)，A错误； 对于B，P(D)=1-P(|C)=P(D|C)=，即P(CD)=P(C)P(D)，所以C，D相互独立，B正确； 对于C，由P(A)=0.5，P(B)=0.6，则P()=1-0.5=0.5，P()=1-0.6=0.4， P(A∪)=P(A)+P()-P(A)=0.5，则P(A)=0.4， 又P(A)=P(AB)+P(A)=0.5，则P(AB)=0.1， P(B)=P(B)-P(AB)=0.6-0.1 =0.5，则P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.4+0.5=0.9，C正确； 对于D，当A，B互斥时，P(A∪B|C)=P(A|C)+P(B|C)； 当A，B不互斥时，P(A∪B|C)<P(A|C)+P(B|C)，D错误. 11.如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点O出发，每隔1 s向左或向右移动一个单位长度.向左移动的概率为，向右移动的概率为，设移动n次后质点位于位置Xn，则下列结论正确的有(　　) A.当n=4时，P(X4=0)= B.当n=5时，P(X5=1)= C.当n=6时，该质点共经过两次3的概率为 D.当n=2 025时，X2 025的期望E(X2 025)=-675 【答案】ACD 【解析】设移动n次中，向右移动k次，向左移动n-k次，则k~B， 则Xn=k-(n-k)=2k-n. 对于A，当n=4时，要使得X4=0，即2k-4=0，k=2，则向左和向右移动的次数均为2次， P(X4=0)=P(k=2)===，A正确； 对于B，当n=5时，要使得X5=1，即2k-5=1，k=3，则向右移动3次，向左移动2次， P(X5=1)=P(k=3)==，B错误； 对于C，当n=6时，记R为向右移动，L为向左移动， 则该质点共经过两次3，前5次的移动情况共有2种情况：RRRLR，RRRRL， 所以概率为××××+××××=，C正确； 对于D，因为Xn=2k-n. 期望E(Xn)=E(2k-n)=2E(k)-n. 因为k~B，所以E(k)=， 则E(Xn)=2×-n=-. 当n=2 025时，E(X2 025)=-=-675，D正确. 三、填空题(每小题5分，共15分) 12.(2026·苏州模拟)若=，则++…+的值为　　　. 【答案】34 【解析】因为=，所以m+(m+2)=14或m=m+2(舍去)，解得m=6， 所以+++=++++-1 =+++-1=++-1=+-1=-1=34. 13.(x-2)4的展开式中x2的系数为　　　. 【答案】16 【解析】(x-2)4的展开式的通项为Tk+1=(-2)kx4-k，k=0，1，2，3，4， 若从因式+1中选取，则需k=1， 此时含x2的项为×(-2)1x3·=-8x2； 若从因式+1中选取1，则需k=2， 此时含x2的项为×(-2)2x2·1=24x2， 故(x-2)4的展开式中x2的系数为-8+24=16. 14.某芯片制造厂有甲、乙两条生产线均生产7 nm规格的芯片，现有2 000块该规格的芯片，其中甲、乙生产的芯片分别为1 200块，800块，且乙生产该芯片的次品率为0.05，现从这2 000块芯片中任取一块芯片，若取得芯片的次品率为0.08，则甲生产该芯片的次品率为　　　　. 【答案】0.1 【解析】设A1，A2分别表示“取得的这块芯片是由甲、乙生产的”，B表示“取得的芯片为次品”， 甲生产该芯片的次品率为p， 则有P(A1)==0.6，P(A2)==0.4， P(B|A1)=p，P(B|A2)=0.05， 由全概率公式可得 P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)， 即0.08=0.6p+0.4×0.05，解得p=0.1， 故甲生产该芯片的次品率为0.1. / 学科网（北京）股份有限公司 $