第八章 必刷小题15 直线与圆【题型突破】讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦直线与圆核心考点，涵盖位置关系判定、切线方程、弦长计算、动态最值等高考高频内容，按基础性质到综合应用逻辑架构知识，通过考向预测明确命题趋势，设置单选、多选、填空分层练习，结合真题模拟训练，帮助学生系统梳理考点突破难点。 讲义突出数形结合与运算能力培养，如动点轨迹问题引导学生用几何直观分析轨迹特征（数学眼光），参数求解时通过代数推理与几何意义结合强化逻辑思维（数学思维），分层练习匹配不同难度需求，即时巩固提升应用意识（数学语言），助力教师精准把控复习节奏，高效提升学生应考能力。

第八章 直线和圆、圆锥曲线 必刷小题15　直线与圆 [分值：73分] 【高考考向预测】 直线与圆的核心是利用圆心、半径、点到直线的距离判定二者位置关系，常考查切线方程、弦长、最值、对称及参数求解等题型，解题侧重数形结合与公式运算；近三年多以选择、填空小题为主，偶尔融入解答题，考频稳定；预测2027 年依旧侧重基础性质与计算，强化动态最值、多解问题，还会结合向量、不等式进行综合命题。 一、单项选择题(每小题5分，共40分) 1.(2025·晋中模拟)已知圆C的一般方程为x2+y2-6x+4y+12=0，则圆C的圆心坐标为(　　) A.(3，2) B.(-3，2) C.(3，-2) D.(-3，-2) 【答案】C 【解析】由x2+y2-6x+4y+12=0， 得(x-3)2+(y+2)2=1， 可知圆C的圆心坐标为(3，-2). 2.已知圆E：x2+y2-6x-8y=0，圆F：x2+y2-2x-4y+4=0，则这两圆的位置关系为(　　) A.内含 B.相切 C.相交 D.外离 【答案】A 【解析】根据题意，化简得圆E：(x-3)2+(y-4)2=25，圆心为E(3，4)，半径r1=5， 圆F：(x-1)2+(y-2)2=1，圆心为F(1，2)，半径r2=1， 圆心距|EF|==2<r1-r2=4， 所以两圆内含. 3.(2026·南通模拟)若直线l1：x+λy+8=0与直线l2：(λ-2)x+3y+3λ=0平行，则λ等于(　　) A.-1 B.-1或3 C. D.3 【答案】B 【解析】因为两直线平行， 所以解得 所以λ=-1或λ=3. 4.不论m，n为何实数，直线(m-n)x+(m+2n)y-3n=0过定点(　　) A.(1，-1) B.(-1，1) C.(0，0) D.(2，2) 【答案】B 【解析】方法一　直线方程(m-n)x+(m+2n)y-3n=0可化为m(x+y)+n(2y-x-3)=0， 令解得 即定点坐标为(-1，1). 方法二　直线方程(m-n)x+(m+2n)y-3n=0可化为(m-n)(x+1)+(m+2n)(y-1)=0， 令解得即定点坐标为(-1，1). 5.(2025·重庆模拟)已知点A(2，4)，B(4，4)，动点P满足PA⊥PB，则|OP|(O为坐标原点)的最小值为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】B 【解析】因为PA⊥PB，所以点P在以AB为直径的圆上(除去A，B两点)，且圆心为(3，4)，半径为=1， 所以|OP|的最小值为圆心到原点的距离减去半径，即-1=5-1=4. 6.若点P在曲线y=x3-x上，曲线在P处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是(　　) A. B. C.∪ D.∪ 【答案】C 【解析】设P(x0，y0)，由函数y=x3-x，得y'=3x2-， 所以曲线在点P处的切线斜率k=3-≥-， 又k=tan α，即tan α≥-， 又α∈∪， 所以α的取值范围是∪. 7.若实数x，y满足x2+y2-6x+4=0，则的最大值是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】将x，y满足的方程化简为(x-3)2+y2=5，是一个圆心为(3，0)，半径为的圆， 而=可看作圆上一点(x，y)与点(-2，0)所在直线的斜率， 易知当直线与圆相切于第一象限时，斜率取得最大值，设切线所在直线的倾斜角为α， 则sin α==，得tan α=，即斜率最大为，所以的最大值为. 8.已知点P为直线l：2x+y+2=0上的一个动点，A，B为圆M：x2+y2-2x-2y-2=0上任意两个不重合的点，记cos∠APB的最小值为m，sin∠APB的最大值为n，则m+n等于(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由题意得☉M的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4，所以圆心为M(1，1)，半径为2， 如图，所以圆心M到直线l的距离为=>2，所以直线l与☉M相离， 所以当PA，PB分别为圆的切线，且MP⊥l即|PM|=时， sin∠APM===最大，又0<∠APM<，>，此时<∠APM<，则∠APM最大，所以∠APB=2∠APM最大，此时cos∠APB最小， 此时cos∠APB=cos 2∠APM=1-2sin2∠APM=1-2×=-. 显然sin∠APB的最大值为1， 故m+n=-+1=. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 9.下列说法正确的有(　　) A.直线y=ax-2a(a∈R)必过定点(2，0) B.直线y+1=3x在y轴上的截距为1 C.直线x+y+1=0的倾斜角为 D.A(1，3)，B(2，5)，C(-2，-3)三点共线 【答案】AD 【解析】对于A，因为y=ax-2a=a(x-2)(a∈R)，故该直线经过定点(2，0)，故A正确； 对于B，在直线方程y+1=3x中，令x=0，可得y=-1，即该直线在y轴上的截距为-1，故B错误； 对于C，由x+y+1=0化成斜截式为y=-x-，可知直线的斜率为-， 则直线的倾斜角α满足tan α=-， 因为α∈∪，故得α=，故C错误； 对于D，因为kAB==2，kAC==2，所以kAB=kAC，所以A，B，C三点共线，故D正确. 10.已知直线l：ax+y-3a-1=0，a∈R，圆C：(x-1)2+y2=4，则下列说法正确的是(　　) A.直线l恒过定点(3，1) B.当直线l与圆C相切时，切线方程是3x+4y-13=0 C.当a=-1时，圆C上恰有三个点到直线l的距离等于 D.圆C上的一点P到直线l的距离的最大值是+2 【答案】ABD 【解析】对于A，直线l：ax+y-3a-1=0即为a(x-3)+y-1=0， 由解得直线l恒过定点Q(3，1)，A正确； 对于B，圆C：(x-1)2+y2=4，可得圆心C(1，0)，半径r=2，由直线l：ax+y-3a-1=0与圆C相切，可得圆心C到直线l的距离d=r， 即=2，解得a=， 故切线方程为x+y-3×-1=0，即3x+4y-13=0，B正确； 对于C，当a=-1时，直线l：x-y-2=0，圆心C到此直线的距离为=<=1， 因此圆C上恰有四个点到直线l的距离等于，C错误； 对于D，因为直线恒过定点Q(3，1)，可得|CQ|==， 当CQ⊥l时，圆心C到直线l的距离最大，且最大值为|CQ|=， 所以圆C上的一点P到直线l的距离的最大值为|CQ|+r=+2，D正确. 11.(2025·新余模拟)数学之美，古来共谈.如图甲，在平面直角坐标系中有☉O：x2+y2=1与x轴分别交于A，B两点，P为☉O上的动点，以AP为直径的☉E的位置随P点位置的变化而变化，当P点逆时针转过一周时，☉E扫过的区域是图乙所示的美丽的“心形”(记作M)，则下列说法正确的是(　　) A.若∠PAB=，则☉E与x轴公共点的坐标为(-1，0)和 B.图乙中M内的点到y轴距离的最大值为1.25 C.若以O为圆心的圆可以完全覆盖区域M，则该圆的半径最小为 D.图乙中M与y轴的公共部分上的点到x轴距离的最大值为 【答案】ABD 【解析】对于A，设☉E与x轴交于A，A'，连接PA'，PB， ∵AP为☉E的直径， ∴PA'⊥x轴， 由题意可知|AB|=2， ∠PAB=，∴|AP|=， ∴|AA'|=，∴☉E与x轴公共点的坐标为A(-1，0)和A'，故A正确； 对于B，设∠PAB=θ， θ∈， 如图，过E作CD⊥y轴于点D，延长DE交☉E于点C，过点E作EF⊥x轴于点F， ∵∠APB=，|AB|=2，∴|AP|=2cos θ， ∴|CE|=|AE|=|AP|=cos θ，∴|AF|=cos2θ， ∴|ED|=|FO|=1-|AF|=1-cos2θ， ∴|CD|=1-cos2θ+cos θ， 令cos θ=t∈(0，1]， ∴|CD|=-t2+t+1=-+， ∴|CD|max==1.25，即M内的点到y轴距离的最大值为1.25，故B正确； 对于C，如图，连接OE并延长交☉E于点G， 由垂径定理得OG⊥AP，G就是☉E上到原点O距离最远的点， 下面我们求|OG|的最大值： 设∠PAB=θ，θ∈， ∵|GE|=|AP|=cos θ，|OE|=sin θ， ∴|OG|=|GE|+|OE|=cos θ+sin θ=sin，∴当θ=时，|OG|取得最大值，即满足条件的圆的半径最小为，故C错误； 对于D，如图， 设☉E与y轴交于Q点(图中为上方的点)，连接QA， 则QA⊥QP， 反面想，对于y轴正半轴上一点Q作l⊥QA，若l与☉O有公共点即为P点，当Q离x轴最远时，l与☉O有且仅有一个公共点P.设Q(0，y0)(y0>0)， 则lAQ：y=y0x+y0，l：y=-x+y0， 原点到l的距离为=1， 解得y0=， 即M与y轴的公共部分上的点到x轴距离的最大值为，故D正确. 三、填空题(每小题5分，共15分) 12.设实数a>0，圆C：x2+y2-4x+ay=0的面积为12π，则a=　　　　. 【答案】4 【解析】设圆C的半径为r，则由题意得面积为S=πr2=12π，所以r2=12， 将圆C：x2+y2-4x+ay=0化为标准方程得(x-2)2+=4+， 所以4+=12，又a>0，所以a=4. 13.若圆x2+y2+mx+5y+2m=0(m∈R)恒过两个不同的定点A，B，则|AB|=　　　　　. 【答案】3 【解析】由题意得x2+y2+5y+m(x+2)=0(m∈R)， 令解得或 不妨设A(-2，-1)，B(-2，-4)， 所以|AB|=3. 14.设直线l的方程为(a+1)x+y+1-a=0，若直线l在两坐标轴上的截距互为相反数，则a=　　　　　　. 【答案】1或-2 【解析】由题意知直线l的方程为(a+1)x+y+1-a=0，当a=-1时，直线l的方程为y+2=0，不符合题意，故a≠-1， 令x=0，则y=a-1；令y=0，则x=， 由直线l在两坐标轴上的截距互为相反数， 则+a-1=0， 解得a=1或a=-2， 当a=1时，直线l的方程为2x+y=0，直线l在两坐标轴上的截距均为0，符合题意； 当a=-2时，直线l的方程为x-y-3=0，直线l在x，y轴上的截距分别为3，-3，符合题意. 综上，a=1或a=-2. / 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 直线和圆、圆锥曲线 必刷小题15　直线与圆 [分值：73分] 【高考考向预测】 直线与圆的核心是利用圆心、半径、点到直线的距离判定二者位置关系，常考查切线方程、弦长、最值、对称及参数求解等题型，解题侧重数形结合与公式运算；近三年多以选择、填空小题为主，偶尔融入解答题，考频稳定；预测2027 年依旧侧重基础性质与计算，强化动态最值、多解问题，还会结合向量、不等式进行综合命题。 一、单项选择题(每小题5分，共40分) 1.(2025·晋中模拟)已知圆C的一般方程为x2+y2-6x+4y+12=0，则圆C的圆心坐标为(　　) A.(3，2) B.(-3，2) C.(3，-2) D.(-3，-2) 2.已知圆E：x2+y2-6x-8y=0，圆F：x2+y2-2x-4y+4=0，则这两圆的位置关系为(　　) A.内含 B.相切 C.相交 D.外离 3.(2026·南通模拟)若直线l1：x+λy+8=0与直线l2：(λ-2)x+3y+3λ=0平行，则λ等于(　　) A.-1 B.-1或3 C. D.3 4.不论m，n为何实数，直线(m-n)x+(m+2n)y-3n=0过定点(　　) A.(1，-1) B.(-1，1) C.(0，0) D.(2，2) 5.(2025·重庆模拟)已知点A(2，4)，B(4，4)，动点P满足PA⊥PB，则|OP|(O为坐标原点)的最小值为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 6.若点P在曲线y=x3-x上，曲线在P处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是(　　) A. B. C.∪ D.∪ 7.若实数x，y满足x2+y2-6x+4=0，则的最大值是(　　) A. B. C. D. 8.已知点P为直线l：2x+y+2=0上的一个动点，A，B为圆M：x2+y2-2x-2y-2=0上任意两个不重合的点，记cos∠APB的最小值为m，sin∠APB的最大值为n，则m+n等于(　　) A. B. C. D. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 9.下列说法正确的有(　　) A.直线y=ax-2a(a∈R)必过定点(2，0) B.直线y+1=3x在y轴上的截距为1 C.直线x+y+1=0的倾斜角为 D.A(1，3)，B(2，5)，C(-2，-3)三点共线 10.已知直线l：ax+y-3a-1=0，a∈R，圆C：(x-1)2+y2=4，则下列说法正确的是(　　) A.直线l恒过定点(3，1) B.当直线l与圆C相切时，切线方程是3x+4y-13=0 C.当a=-1时，圆C上恰有三个点到直线l的距离等于 D.圆C上的一点P到直线l的距离的最大值是+2 11.(2025·新余模拟)数学之美，古来共谈.如图甲，在平面直角坐标系中有☉O：x2+y2=1与x轴分别交于A，B两点，P为☉O上的动点，以AP为直径的☉E的位置随P点位置的变化而变化，当P点逆时针转过一周时，☉E扫过的区域是图乙所示的美丽的“心形”(记作M)，则下列说法正确的是(　　) A.若∠PAB=，则☉E与x轴公共点的坐标为(-1，0)和 B.图乙中M内的点到y轴距离的最大值为1.25 C.若以O为圆心的圆可以完全覆盖区域M，则该圆的半径最小为 D.图乙中M与y轴的公共部分上的点到x轴距离的最大值为 三、填空题(每小题5分，共15分) 12.设实数a>0，圆C：x2+y2-4x+ay=0的面积为12π，则a=　　　　. 13.若圆x2+y2+mx+5y+2m=0(m∈R)恒过两个不同的定点A，B，则|AB|=　　　　　. 14.设直线l的方程为(a+1)x+y+1-a=0，若直线l在两坐标轴上的截距互为相反数，则a=　　　　　　. / 学科网（北京）股份有限公司 $