第十章 必刷小题19 计数原理与概率【题型突破】 -2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习资料围绕计数原理、概率及随机变量分布核心考点，以分类加法与分步乘法原理为基础，串联排列组合应用、古典概型、互斥与独立事件概率等内容，通过考向预测、考点梳理、方法指导和真题训练环节，帮助学生构建知识网络，突破重复漏算等难点，体现复习的系统性与针对性。 资料突出实际生活背景命题，如系统工作概率、商场抽奖“幸运数”等情境，培养学生用数学眼光观察现实问题，通过有限限制条件排列组合、几何概型综合题训练，提升逻辑分步与模型甄别能力（数学思维）。设置单选、多选、填空分层练习，配合即时反馈，确保高效复习，助力学生提升应考技能，为教师把控复习节奏提供清晰指引。

第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 必刷小题19　计数原理与概率 [分值：73分] 【高考考向预测】 计数原理依托分类加法、分步乘法原理辨析排列组合应用场景，以此计算古典概型、互斥与独立事件概率，注重合理分类避免重复漏算；近三年常在选择、填空单独出题，也作为随机变量大题的计算基础，考频稳定；预测2027 年命题紧贴实际生活背景，增多有限限制条件的排列组合问题，融合几何概型综合考查，侧重模型甄别与逻辑分步运算能力。 一、单项选择题(每小题5分，共40分) 1.已知一个系统由A，B两个部件并联组成，当A或B正常工作时，系统就能正常工作，若A正常工作的概率为0.65，B正常工作的概率为0.6，则该系统正常工作的概率为(　　) A.0.86 B.0.75 C.0.47 D.0.14 【答案】A 【解析】根据题意，A，B两个部件都不能正常工作的概率为(1-0.65)×(1-0.6)=0.14，所以该系统正常工作的概率为1-0.14=0.86. 2.对于(x-3)5的展开式，下列说法不正确的是(　　) A.展开式共有6项 B.展开式的各项系数之和为-32 C.展开式的第2项是90x3 D.展开式的二项式系数和为32 【答案】C 【解析】由n=5可知(x-3)5的展开式共有6项，故选项A正确； 令x=1，则(1-3)5=-32，故选项B正确； 展开式中的第2项是T2=x4(-3)1=-15x4，故选项C错误； 展开式的二项式系数和为25=32，故选项D正确. 3.有5个除颜色外完全相同的球，其中3个红球、2个蓝球，从中一次性随机取2个球，则下列说法正确的是(　　) A.“恰好取到1个红球”与“至少取到1个蓝球”是互斥事件 B.“恰好取到1个红球”与“至多取到1个蓝球”是互斥事件但不对立事件 C.“至少取到1个红球”的概率大于“至少取到1个蓝球”的概率 D.“同时取到2个红球”的概率为，即重复进行10次这样的取球试验，一定会有3次同时取到2个红球 【答案】C 【解析】有5个除颜色外完全相同的球，其中3个红球、2个蓝球，从中一次性随机取2个球. 对于A，“恰好取到1个红球”与“至少取到1个蓝球”能同时发生，不是互斥事件，故A错误； 对于B，“恰好取到1个红球”与“至多取到1个蓝球”能同时发生，不是互斥事件，故B错误； 对于C，“至少取到1个红球”的概率P==，“至少取到1个蓝球”的概率P==， 所以“至少取到1个红球”的概率大于“至少取到1个蓝球”的概率，故C正确； 对于D，由概率的意义可知，“同时取到2个红球”的概率为=，即重复进行10次这样的取球试验，可能会有3次同时取到2个红球，而不是一定，故D错误. 4.甲、乙等四个人一起随机手牵手围成一圈做游戏，甲与乙牵手的概率是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】以甲为中心，其他三人的位置是甲的左边、右边、对面，共有种情况，其中乙在甲的左边或右边，即甲与乙能牵手有2种情况，所以所求概率为P==. 5.(2026·大同模拟)某商场举办购物抽奖活动，其中将抽到的各位数字之和为8的四位数称为“幸运数”(如2 024是“幸运数”)，并获得一定的奖品，则首位数字为2的“幸运数”共有(　　) A.32个 B.28个 C.27个 D.24个 【答案】B 【解析】依题意，首位数字为2的“幸运数”中其他三位数字的组合有以下七类： ①“0，0，6”组合，有种，②“0，1，5”组合，有种，③“0，2，4”组合，有种，④“0，3，3”组合，有种，⑤“1，1，4”组合，有种，⑥“1，2，3”组合，有种，⑦“2，2，2”组合，有1种. 由分类加法计数原理，首位数字为2的“幸运数”共有3+3+1=9+18+1=28(个). 6.某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了《九章算术》《古今数学思想》《数学原理》《世界数学通史》《算术研究》五门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选三门，至少选一门，且已选过的课程不能再选，大一到大三这三学年必须将五门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式种数为(　　) A.25 B.40 C.150 D.240 【答案】C 【解析】先将五门课程分成3，1，1和2，2，1这两种情况，再安排到三个学年中，则共有·=(10+15)×6=150(种)选修方式. 7.在二项式的展开式中，二项式系数的和为64，把展开式中所有的项重新排成一列，奇次项(未知数x的指数为奇数的项)都互不相邻的概率为(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】在二项式的展开式中，二项式系数的和为2n=64=26，所以n=6. 二项式即为， 展开式的通项为Tk+1=·26-k(-1)k·x3-k，k=0，1，2，…，6， 故展开式共有7项，当k=0，2，4，6时，第k+1项为奇次项， 把展开式中所有的项重新排成一列，奇次项都互不相邻，即把其他的3个偶次项先任意排， 再把这4个奇次项插入其中的4个空中，方法共有种， 故奇次项都互不相邻的概率为P==. 8.某规范化考场的规格为每场30名考生，分为6排5列，依照如表所示的方式进行座位号的编排.为了确保考试的公平性，考生的试卷分为A卷和B卷，座位号为奇数的考生使用A卷，座位号为偶数的考生使用B卷.已知甲、乙、丙三名考生在同一考场参加考试，且三人使用的试卷类型相同，三名考生中任意两人不得安排在同一排或同一列，则甲、乙、丙三名考生的座位安排方案共有(　　) 第5列 第4列 第3列 第2列 第1列 25 24 13 12 01 第1排 26 23 14 11 02 第2排 27 22 15 10 03 第3排 28 21 16 09 04 第4排 29 20 17 08 05 第5排 30 19 18 07 06 第6排 A.2 016种 B.1 008种 C.1 440种 D.720种 【答案】A 【解析】先考虑甲、乙、丙三人使用A卷，则这三个人的座位号都为奇数，分以下几种情况讨论： (1)若这三人都在奇数列，则有一人需在第1列选一个奇数号的座位，有3种情况， 然后有一人在第3列要选一个奇数号的座位，但与第一人不能在同一排，只有2种情况， 最后一人只能在第5列选择一个奇数号的座位，但该人不能与前两人在同一排，最后一人的座位只有一种选择， 此时，不同的排法有3×2×1×=36(种)； (2)三人中只有两人在奇数列，首先在第1，3，5列中选两列，有种选择， 其次，第一个人在其中的第一个奇数列中选择一个奇数号的位置，有3种选择， 第二个人在另一个奇数列中选择一个奇数号的位置，有2种选择， 第三个人在两个偶数列中选择一个奇数号的位置，有6种选择， 此时，共有×(3×2×6)×=648(种)不同的排法； (3)三人中只有一人在奇数列，第一个人在第1，3，5列中随便选择一个奇数号的位置，有9种选择， 其次，第二个人在第2列中选择一个奇数号的位置，有3种选择，例如第二个人选择11号座位， 由于第三个人不能与第二个人同排或同列，则第三个人只有2种选择，即19号和21号两个位置可供选择， 此时，不同的排法有9×3×2×=324(种). 综上所述，当三人都使用A卷时，不同的排法种数为36+648+324=1 008. 由对称性可知，当三人都使用B卷时，不同的排法种数也为1 008. 综上，当三人的试卷类型相同时，不同的座位安排方案种数为1 008×2=2 016. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 9.已知A，B是一个随机试验中的两个事件，且P(A)=0.6，P()=0.3，则下列结论一定正确的是(　　) A.P(A)=0.18 B.A，B不可能为互斥事件 C.若P(AB)=0.42，则事件A，B相互独立 D.若，B相互独立，则P(+)=0.7 【答案】BC 【解析】若P(A)=0.18=P(A)P()，则事件A，相互独立，无法确定，故A错误； 若A，B为互斥事件，则P(AB)=0，所以P(A+B)=P(A)+P(B)=0.6+1-0.3=1.3>1，故A，B不可能为互斥事件，故B正确； 若P(AB)=0.42=P(A)P(B)，则事件A，B相互独立，故C正确； 若，B相互独立，则，相互独立，所以P(+)=P()+P()-P()=0.4+0.3-0.4×0.3=0.58，故D错误. 10.(2026·齐齐哈尔模拟)已知f(x)=(2-x)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8，则(　　) A.a0+a1+a2+…+a8=1 B.|a1|+|a2|+|a3|+…+|a8|=38 C.f(-1)除以5所得的余数是1 D.a0-a1+a2-a3+…+a8=38 【答案】ACD 【解析】因为(2-x)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8， 令x=1，得a0+a1+a2+…+a8=1，所以选项A正确； 因为(2-x)8的展开式的通项为Tk+1=28-k(-x)k=(-1)k28-kxk，k=0，1，2，…，8， 由通项公式知，a0，a2，a4，a6，a8>0，a1，a3，a5，a7<0， 所以|a1|+|a2|+|a3|+…+|a8|=-a1+a2-a3+…+a8， 由(2-x)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8，令x=0，得a0=28， 令x=-1，得a0-a1+a2-a3+…+a8=38， 所以|a1|+|a2|+|a3|+…+|a8|=38-28，所以选项B错误，D正确； 因为f(-1)=38=94=(10-1)4=104-103+102-10+1=10×(103-102+101-)+1， 所以f(-1)除以5所得的余数是1，所以选项C正确. 11.(2026·承德模拟)某商场的抽奖区有红、黄、绿三个不透明的盒子，其中红盒内有3个红球、2个黄球和1个绿球，黄盒内有2个红球、1个绿球，绿盒内有1个红球、2个黄球.规定第一次先从红盒内任取1个球，再将取出的球放入与球同色的盒子中，第二次从被放入球的盒子中任取1个球.规定每次抽球均能获得优惠券，抽到红球获得1张优惠券，抽到黄球获得2张优惠券，抽到绿球获得3张优惠券，每张优惠券的金额相同，顾客最终获得的优惠券张数为两次抽球所得的优惠券张数的和，则下列说法正确的是(　　) A.在第一次抽到黄球的条件下，第二次仍抽到黄球的概率是 B.顾客最终获得6张优惠券的概率是 C.第二次抽到红球的概率是 D.若第二次抽到红球，则它来自绿盒的概率为 【答案】AD 【解析】在第一次抽到黄球的条件下，第二次抽黄盒中共有4个球，里面黄球有1个，所以抽到黄球的概率为P=，故A正确； 顾客最终获得6张优惠券，则需要抽到2个绿球，第一次抽到绿球的概率为，第二次在绿盒中抽到绿球的概率为，所以顾客最终获得6张优惠券的概率为×=，故B错误； 设“第一次从红盒中抽到红球”为事件A，“第一次从红盒中抽到黄球”为事件B，“第一次从红盒中抽到绿球”为事件C， “第二次从红盒中抽到红球”为事件A1，“第二次从黄盒中抽到红球”为事件B1，“第二次从绿盒中抽到红球”为事件C1，“第二次抽到红球”为事件D， 则P(A)==，P(A1|A)==，P(B)==，P(B1|B)==，P(C)=，P(C1|C)=， 所以P(D)=P(A)P(A1|A)+P(B)P(B1|B)+P(C)P(C1|C)=×+×+×=，故C错误； 第二次抽到红球，则它来自绿盒的概率为==，故D正确. 三、填空题(每小题5分，共15分) 12.(2026·南京模拟)从编号1~7的7张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件A：“第一次抽到的卡片编号数字为3的倍数”，事件B：“第二次抽到的卡片编号数字大于第一次抽到的卡片编号数字”，则P(B|A)=　　　　. 【答案】 【解析】第一次抽到3或6的概率为，所以P(A)=， 当事件A，B同时发生时，有两类情况： 当第一次抽到3时，第二次可抽4，5，6，7，共4种情况； 当第一次抽到6时，第二次可抽7，共1种情况， 所以P(AB)==， P(B|A)===. 13.(2025·沈阳模拟)若(x-1)的展开式中常数项为-15，则实数a的值是　　　　. 【答案】± 【解析】的展开式的通项为Tk+1=××=·2-6+k·ak，k∈N，k≤6， 若得到常数项，有两种情况： ①当(x-1)取-1时，令6-k=0，解得k=4； ②当(x-1)取x时，令6-k=-1，解得k=∉N(舍去). 因为(x-1)的展开式中常数项为-15，则×2-6+4×a4=-15，解得a=±. 14.(2026·广州模拟)如图是一个3×3的九宫格，小方格内的坐标表示向量，现不改变这些向量坐标，重新调整位置，使得每行、每列各三个向量的和为零向量，则不同的填法种数为　　　　　　. (-1，1) (0，1) (1，1) (-1，0) (0，0) (1，0) (-1，-1) (0，-1) (1，-1) 【答案】72 【解析】 1 2 3 4 5 6 7 8 9 首先对3×3的九宫格每个位置标注数字，第一步先排(0，0)，一共9个位置，因此有种排法，根据对称性知，(0，0)所在的行和列只能排(1，1)，(-1，-1)，(1，-1)，(-1，1)，不妨设(0，0)在1位置，第二步排2位置，则从(1，1)，(-1，-1)，(1，-1)，(-1，1)中选一个，因此有种排法，则3位置的向量也定下来了，第三步排4位置，则从(1，1)，(-1，-1)，(1，-1)，(-1，1)中剩余的两个中挑一个，因此有种排法，接着排7位置，7位置是(1，1)，(-1，-1)，(1，-1)，(-1，1)中剩余的最后一个，相当于(0，0)所在的行和列都定下来了，则使得每行、每列各三个向量的和为零向量，其他四个位置的向量排法是唯一的，因此按分步乘法计数原理知，共有=72(种)排法. / 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 必刷小题19　计数原理与概率 [分值：73分] 【高考考向预测】 计数原理依托分类加法、分步乘法原理辨析排列组合应用场景，以此计算古典概型、互斥与独立事件概率，注重合理分类避免重复漏算；近三年常在选择、填空单独出题，也作为随机变量大题的计算基础，考频稳定；预测2027 年命题紧贴实际生活背景，增多有限限制条件的排列组合问题，融合几何概型综合考查，侧重模型甄别与逻辑分步运算能力。 一、单项选择题(每小题5分，共40分) 1.已知一个系统由A，B两个部件并联组成，当A或B正常工作时，系统就能正常工作，若A正常工作的概率为0.65，B正常工作的概率为0.6，则该系统正常工作的概率为(　　) A.0.86 B.0.75 C.0.47 D.0.14 2.对于(x-3)5的展开式，下列说法不正确的是(　　) A.展开式共有6项 B.展开式的各项系数之和为-32 C.展开式的第2项是90x3 D.展开式的二项式系数和为32 3.有5个除颜色外完全相同的球，其中3个红球、2个蓝球，从中一次性随机取2个球，则下列说法正确的是(　　) A.“恰好取到1个红球”与“至少取到1个蓝球”是互斥事件 B.“恰好取到1个红球”与“至多取到1个蓝球”是互斥事件但不对立事件 C.“至少取到1个红球”的概率大于“至少取到1个蓝球”的概率 D.“同时取到2个红球”的概率为，即重复进行10次这样的取球试验，一定会有3次同时取到2个红球 4.甲、乙等四个人一起随机手牵手围成一圈做游戏，甲与乙牵手的概率是(　　) A. B. C. D. 5.(2026·大同模拟)某商场举办购物抽奖活动，其中将抽到的各位数字之和为8的四位数称为“幸运数”(如2 024是“幸运数”)，并获得一定的奖品，则首位数字为2的“幸运数”共有(　　) A.32个 B.28个 C.27个 D.24个 6.某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了《九章算术》《古今数学思想》《数学原理》《世界数学通史》《算术研究》五门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选三门，至少选一门，且已选过的课程不能再选，大一到大三这三学年必须将五门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式种数为(　　) A.25 B.40 C.150 D.240 7.在二项式的展开式中，二项式系数的和为64，把展开式中所有的项重新排成一列，奇次项(未知数x的指数为奇数的项)都互不相邻的概率为(　　) A. B. C. D. 8.某规范化考场的规格为每场30名考生，分为6排5列，依照如表所示的方式进行座位号的编排.为了确保考试的公平性，考生的试卷分为A卷和B卷，座位号为奇数的考生使用A卷，座位号为偶数的考生使用B卷.已知甲、乙、丙三名考生在同一考场参加考试，且三人使用的试卷类型相同，三名考生中任意两人不得安排在同一排或同一列，则甲、乙、丙三名考生的座位安排方案共有(　　) 第5列 第4列 第3列 第2列 第1列 25 24 13 12 01 第1排 26 23 14 11 02 第2排 27 22 15 10 03 第3排 28 21 16 09 04 第4排 29 20 17 08 05 第5排 30 19 18 07 06 第6排 A.2 016种 B.1 008种 C.1 440种 D.720种 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 9.已知A，B是一个随机试验中的两个事件，且P(A)=0.6，P()=0.3，则下列结论一定正确的是(　　) A.P(A)=0.18 B.A，B不可能为互斥事件 C.若P(AB)=0.42，则事件A，B相互独立 D.若，B相互独立，则P(+)=0.7 10.(2026·齐齐哈尔模拟)已知f(x)=(2-x)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8，则(　　) A.a0+a1+a2+…+a8=1 B.|a1|+|a2|+|a3|+…+|a8|=38 C.f(-1)除以5所得的余数是1 D.a0-a1+a2-a3+…+a8=38 11.(2026·承德模拟)某商场的抽奖区有红、黄、绿三个不透明的盒子，其中红盒内有3个红球、2个黄球和1个绿球，黄盒内有2个红球、1个绿球，绿盒内有1个红球、2个黄球.规定第一次先从红盒内任取1个球，再将取出的球放入与球同色的盒子中，第二次从被放入球的盒子中任取1个球.规定每次抽球均能获得优惠券，抽到红球获得1张优惠券，抽到黄球获得2张优惠券，抽到绿球获得3张优惠券，每张优惠券的金额相同，顾客最终获得的优惠券张数为两次抽球所得的优惠券张数的和，则下列说法正确的是(　　) A.在第一次抽到黄球的条件下，第二次仍抽到黄球的概率是 B.顾客最终获得6张优惠券的概率是 C.第二次抽到红球的概率是 D.若第二次抽到红球，则它来自绿盒的概率为 三、填空题(每小题5分，共15分) 12.(2026·南京模拟)从编号1~7的7张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件A：“第一次抽到的卡片编号数字为3的倍数”，事件B：“第二次抽到的卡片编号数字大于第一次抽到的卡片编号数字”，则P(B|A)=　　　　. 13.(2025·沈阳模拟)若(x-1)的展开式中常数项为-15，则实数a的值是　　　　. 14.(2026·广州模拟)如图是一个3×3的九宫格，小方格内的坐标表示向量，现不改变这些向量坐标，重新调整位置，使得每行、每列各三个向量的和为零向量，则不同的填法种数为　　　　　　. (-1，1) (0，1) (1，1) (-1，0) (0，0) (1，0) (-1，-1) (0，-1) (1，-1) / 学科网（北京）股份有限公司 $