2026年中考数学专题复习：解直角三角形（45题）

**基本信息** 以45道实际应用题构建解直角三角形方法体系，通过生活场景建模，强化“构造直角三角形—边角关系转化—实际问题解决”逻辑链，培养数学建模与应用能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|1-10题|作垂线构造Rt△，用三角函数定义求边|从三角函数概念到简单测量（高度/距离）| |综合实践|11-30题|矩形性质转化线段，方向角/坡度问题分类处理|实际场景（建筑/设备）→数学模型→多Rt△关联| |拓展探究|31-45题|方程思想结合相似/勾股，复杂图形分解|知识迁移（如光的反射、动态问题）→综合应用|

中考专题复习：解直角三角形专题（45题）） 1..综合与实践 根据以下素材，完成任务． 某校为解决书籍收纳问题，学校计划为学生统一制一款桌边置物架如图该置物架的结构与尺寸蕴含着丰富的数学知识，该校数学兴趣小组以此为背景开展探究活动． 【素材】如图所示的桌边置物架，上面是多层斜插板的置物板，用于放书和资料，最下面是独立储物空间，可以用来存放雨伞或水瓶等物品． 【素材】为了让购买回来的桌边置物架更适配同学们的课桌尺寸，给教室留下更多的活动空间，经过数学兴趣小组研究，决定跟厂家定制高为，长为，宽为的桌边置物架如图． 【素材】如图，相邻两层斜插板之间的距离都为，每层斜插板与水平线之间的夹角为． 任务：求最底层置物区开口的长； 任务：如图，小李将一本长为，宽为，厚度为的课本横放在书架上其中，矩形为课本的横截面，线段为课本的宽． 每层斜插板之间最多能放几本这样的书？ 放书后整个书架占地面积为多少？ 【答案】【任务】最底层置物区开口的长为  【任务】每层斜插板之间最多可放本这样的书；放书后整个书架占地面积为  【解析】解：【任务】在中，，，， ，， 答：最底层置物区开口的长为； 【任务】每层斜插板之间距离为，且书的厚度为， ， 答：每层斜插板之间最多可放本这样的书； 如图，过点作交的延长线于点， 放一本书的投影俯视图： ，， ， 中，， ， ， 在中，， ， 放书后整个书架占地面积为： ， 答：放书后整个书架占地面积为． 【任务】根据题意，结合图形，在中求出即可； 【任务】根据题意，每层斜插板之间距离为，且书的厚度为，得到每层斜插板之间最多可放本这样的书； 中求出，在中求出，可得到结果． 本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 2.如图，某大型商场的电梯长，电梯与地面的夹角，内部房顶与水平线的夹角已知点到地面的距离，，，在同一条直线上，，，，在同一平面上，求点到地面的距离参考数据：，，，，， 【答案】．  【解析】解：如图，延长交于， 则四边形为矩形， ，， 在中，，， 则， 在中，，， ， ， ， 答：点到地面的距离约为． 延长交于，根据余弦的定义求出，再根据正切的定义求出，计算即可． 本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 3.某班数学兴趣小组来到江苏学政衙署仪门图开展实践活动通过查阅资料得到：夏至时，正午影子最短；冬至时，正午影子最长；秋分时，正午影长，恰好等于夏至、冬至正午影长的算术平均值． 如图，为江苏学政衙署仪门，垂直于水平地面已知夏至时正午太阳光线与水平地面的夹角，冬至时正午太阳光线与水平地面的夹角． 解决下列问题：结果精确到 任务一：已知冬至时，正午影长为，求仪门的高度； 任务二：根据题目条件，求秋分正午时，仪门的正午影长． 参考数据：，，，，， 【答案】仪门的高度约为；   仪门的正午影长约为  【解析】解：， ， 在中，，， ， 答：仪门的高度约为； ， ， 在中，，， ， 秋分时，表的影子的长度等于夏至和冬至影子的长度的平均值． ， 答：仪门的正午影长约为． 根据垂直的定义得到，根据三角函数的定义得到结论； 根据垂直的定义得到，根据三角函数的定义得到结论． 本题主要考查了解直角三角形的实际应用，平行投影，熟知相关知识是解题的关键． 4.学校综合实践小组通过查阅资料得知，当教室与其它功能室之间的水平距离不小于米时，教室内的噪声可控制在分贝以内，从而避免噪声对教学的干扰为了了解学校实验楼的高度及教学楼与实验楼之间的距离是否符合标准，他们进行了相关测量如图，测得教学楼的高度米，从实验楼顶部测得教学楼顶部的俯角为，从实验楼底部沿地面向教学楼方向行走米到达点，此时测得教学楼顶部的仰角为参考数据：，， 判断：两栋楼之间的距离______填“符合”或“不符合”噪声控制标准． 求实验楼的高度． 【答案】符合  米  【解析】解：由题意可知米， 米，， 米， 米， 即两栋楼之间的距离符合噪声控制标准， 故答案为：符合； 如图，作交于点， 可知四边形是矩形， 米，，米， 由题意可知， ， 米， 米． 根据三角函数得到米，进而求出米，根据噪声控制标准判断即可； 作交于点，可知四边形是矩形，则，米，米，由题意可知，根据三角函数求出米，即可求出实验楼的高度． 本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 5.某校课外活动小组来到马头古镇进行参观研学，对位于马头古镇中心大街最北端的“北水门”高度进行了实地测量操作过程如下： 如图，测试小组利用测角仪从点处观测大门顶端点的仰角为在测角仪和大门之间水平光滑的地面放置一个平面镜，小组成员在平面镜上做好标记后，将平面镜在地面上来回移动，当平面镜上的标记位于点处时，观测的同学恰好能从点处看到大门顶端在镜子中的像与平面镜上的标记重合，此时测得米已知测角仪的高度米，点，，，，在同一竖直平面内，且点，，在同一条水平直线上求北水门的高度结果精确到米，参考数据：，， 【答案】米．  【解析】解：如图，过点作于点． 根据题意可知， 在中，， ， 由题意可知四边形是矩形， 米， 设米，米，则米，米， 在中，，即， 解并检验得， 所以北水门的高度约米． 根据光的反射定律，可得，结合相等的角的正切值相等，得到；过点作于点，构造矩形，得，在中利用角的正切值列方程求解． 本题关键是将实际测量问题转化为解直角三角形的数学模型，利用光的反射定律得到角相等是解决问题的关键；构造矩形和含仰角的直角三角形，建立水平距离与高度的等量关系，是解题的桥梁；此问题需注意结合参考数据进行近似计算，最终结果按题目要求取近似值． 6.某班数学学科爱好者组建“综合与实践”小组，在学习“解直角三角形”知识后，准备用所学知识解决生活中的实际问题作为一项课题活动，他们利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告． 活动课题 测量笔记本电脑显示屏展开时顶端边缘线到桌面的高度 活动目的 利用“解直角三角形”相关知识解决实际问题 活动工具 测角仪，刻度尺 测量示意图 测量步骤及测量相关说明 笔记本电脑水平放置在桌面上； 如图，当显示屏的边缘线与底板边缘线所在水平线的夹角为时，感觉最舒适； 如图，使用时为了散热，在底板下面垫入散热架，点，，在同一直线上； 如图，垫入散热架后，要使显示屏的边缘线与水平线的夹角仍保持： 测量示意图 测量示意图 相关数据 ，散热架夹角， 请利用以上提供的信息，解决下列问题： 如图，求的长； 如图，求点到的距离结果保留一位小数 【答案】    【解析】解：，， ， ， ， ， ； 如图，，过点作，过点作交的延长线于点，交于点，则四边形是矩形，即为点到的距离， ， ， ， 在中，，， ， ， ． 根据含度角的直角三角形的性质得出，结合图形即可求解； 过点作，过点作交的延长线于点，交于点，即为点到的距离，然后结合图形解三角形即可． 本题属于三角形综合题，主要考查了含度角的直角三角形，矩形的判定与性质，解直角三角形，平行线的性质，解答本题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义． 7.小李要外出参加活动，需网购拉杆箱，图，图分别是她在网上看到的某型号拉杆箱的实物图与示意图，并获得如下信息：滑杆、箱长、拉杆的长度相等，点，在上，点在上，支杆，：：，，，请根据以上信息，解决下列问题． 求的长度； 求拉杆端点到水平滑杆的距离结果保留根号 【答案】的长度为  拉杆端点到水平滑杆的距离为  【解析】解：如图，过点作于点， 则， ，， ，， ， ， ， ：：， ， ， ， 答：的长度为． 如图，过点作的延长线交于点， ， ， 答：拉杆端点到水平滑杆的距离为． 过点作于点，通过解直角三角形求出，根据求出、，即可解答． 过点作的延长线交于点，通过解直角三角形即可解答． 本题考查解直角三角形的应用，含度角的直角三角形，掌握解直角三角形的应用是解题的关键． 8.某学校航模社团计划制作一架飞机模型，下面是制作一片机翼时加装金属条的研究报告： 研究问题 确定飞机模型一片机翼加装金属条的总长度 问题说明 如图，四边形是飞机模型一片机翼的设计图，现在需要在，，边加装金属条固定机翼． 解决方案 根据研究报告中的相关数据及所学数学知识，通过计算得出四边形边，的长度，确定加装金属条的总长度即线段，，长度的和． 机翼设计图 相关数据 如图，，，，，． 参考数据 ，，，． 请根据以上信息，求飞机模型一片机翼加装金属条的总长度结果精确到 【答案】．  【解析】解：如图，，过作于点， 在直角三角形中，，， 在直角三角形中，， ，， ，， ， 又， ， ， ， ， 答：加装金属条的总长度约为． 过点作于点，构造与；先在中，利用和，通过三角函数求出、；再在中，利用和，求出、；接着结合推出，再由三角形内角和推出，得为等腰三角形，；最后将、、相加，得到加装金属条的总长度． 本题主要考查了解直角三角形的应用，三角形内角和定理，解答本题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义． 9.生态公园是以生态学和生态文化为核心理念，融合传统城市公园与主题公园特征的新型城市公园形态如图，某生态公园有，，三个停车场，米，，． 求点到的距离． 求的长． ，结果精确到 【答案】米  米  【解析】解：过点作，垂足为． 在中， ， 米． 在中， ， 米． 在中， ， 米． 米． 过点作，在中，利用直角三角形的边角间关系得结论； 先在中求出，再在中求出，最后利用线段的和差关系得结论． 本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键． 10.数学综合实践研究小组用自制测角仪，完成了对榕树高度的测量．具体操作方案如下： 课题 制作测角仪，测量榕树的高度 制作及测量过程 把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，如图；将这个仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达榕树的最高点，如图；得出仰角的度数；测出眼睛离地面的高度以及人到榕树底部的距离；计算这棵榕树的高度． 测量示意图 测量数据 如图，经测量眼睛离地面的高度，人到榕树底部的距离，测角仪上细线所对应的刻度为 请根据“方案”完成下列任务： 【任务一】的度数是          ； 【任务二】计算这棵榕树高度结果保留整数．参考数据：，， 【答案】(1)  (2)由题意可得，，  在直角三角形中， ∴ ∵结果保留整数，即 答：大树的高度约为．   【解析】  本题考查了直角三角形的性质，解直角三角形的实际应用，熟练掌握知识点，正确理解题意是解决本题的关键． 根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：由题可知， 故答案为：．   明确直角三角形中边与已知条件人到树距离、人眼离地高度的对应关系．再依据直角三角形中三角函数定义求出长度．最后根据树高的线段组成关系求出大树高度． 11.【新课标应用意识】如图，已知水平地面上方有一个水平的平台，该平台上有一个竖直的信号塔在处测得信号塔顶端的仰角为，在处测得的仰角为，斜坡的坡度，米，点，，，在同一竖直平面内 求平台的高度； 求信号塔的高度结果精确到米，参考数据：， 【答案】(1)解：如图，过点作于， ∵斜坡的坡度为， ∴． ∴． 在中，，即． 解得（负值已舍去）， 故平台的高度为．   (2)解：如图，延长交于，则，四边形为矩形， ∴，， 设，则． 在中，， ∴， 在中，，则， 由（1）可知，， ∴，解得， 故信号塔的高度约为．   【解析】  过点作于，根据坡度的概念得到，再根据勾股定理求出；  延长交于，设，根据正切的定义用表示出，根据题意列式即可． 12.如图是某住宅单元楼的人脸识别系统整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别，其示意图如图，摄像头的仰角、俯角都为，摄像头高度，识别的最远水平距离． 小玲站在离摄像头水平距离点处，恰好能被识别头的顶部恰好在仰角线处，请问小玲的身高约为多少厘米？ 身高的小婷，头部高度为，当她直立站在离摄像头最远处点时，小婷能被摄像头识别吗？请说明理由．结果精确到参考数据：，， 【答案】(1)解：如图，过M作的垂线分别交仰角线，俯角线于点E，D，交水平线于点F， 由题意得，， 四边形是矩形， ，， 在中，，， ， ， 答：小玲的身高约是厘米；   (2)解：小婷能被摄像头识别，理由如下： 如图，过Q作的垂线分别交仰角线，俯角线于点C，G，交水平线于点H， 由（1）可知，四边形是矩形， ，， 在中，，， ， 同理， ，， 小婷头部以下的高度为：， ，且小婷身高， 小婷整个头部都在摄像头视角范围内， 小婷能被摄像头识别．   【解析】  过作的垂线分别交仰角线，俯角线于点，，交水平线于点，在中，根据三角函数求出即可求出，进而可求出小玲的身高；  过作的垂线分别交仰角线，俯角线于点，，交水平线于点，在中，根据三角函数求出，，即可求出，进而可确定小婷头部以下的高度，进而即可判断． 13.图是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度如图，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角． 求打开后备箱后，车后盖最高点到地面的距离； 若小琳爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险请说明理由．结果精确到，参考数据：，，， 【答案】(1)如图，作，垂足为点    在中 ∵， ∴ ∴ ∵平行线间的距离处处相等 ∴ 答：车后盖最高点到地面的距离为．   (2)没有危险，理由如下： 过作，垂足为点    ∵， ∴ ∵ ∴ 在中， ∴． ∵平行线间的距离处处相等 ∴到地面的距离为． ∵ ∴没有危险．   【解析】  作，垂足为点，先求出的长，再求出的长即可；   过作，垂足为点，先求得，再得到，再求得，从而得出到地面的距离为，最后比较即可． 14.如图，数学实践小组想测量垂直地面的模型的高度，小刚从点沿坡度为的斜坡走了米到达点，小王从点水平前进米到达点．模型的底部与、在同一水平线上，模型顶端为点．小刚在处测得的仰角为，小王在处测得的仰角为点、、、、在同一平面内请你帮他们计算一下模型的高度是多少？ 参考数据：，，，，， 【答案】解：过点作于，于， 根据题意可得， 四边形是矩形， ，， 斜坡的坡度为， ， 设，， 在中，由勾股定理得， 米， ，解得， 即：米，米，米． 设米，则， 在中，，， ， ， 在中，，， 代入得：， 交叉相乘整理得：， 解得． 答：模型的高度为米．   【解析】过点作于，于，则四边形是矩形，得出，，根据斜坡的坡度为，得出，设，，在中，由勾股定理得，求出，则米，米，米．设米，则，在中，根据，，得出，，在中，根据，，列方程求解即可． 15.家用洗手盆上常装有一种抬启式水龙头如图，完全开启后，把手与水平线的夹角为，此时把手端点、出水口点和落水点在同一直线上，洗手盆及水龙头示意图如图，，，在一条直线上，，其相关数据为，，求的长结果精确到，参考数据：，，， 【答案】解：过点作于，过点作于，如图所示，  则四边形为矩形，  ，，  在中，，，  ，，  ，，  ，  ，  ，  答：的长约为．  【解析】过点作于，过点作于，根据正弦的定义求出，根据余弦的定义求出，再根据正切的定义求出，计算即可． 本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 16.图为天工开物记载的用于舂捣谷物的工具“碓”的结构简图，图为其工作时的平面示意图，此时点和点在同一水平线上，已知：，于点，于点，于点，若分米，． 求的长； “碓”工作时举起到最高处如图所示，此时，于点，求点上升的高度结果保留一位小数【参考数据：，，，，，】 【答案】的长约为分米  点上升的高度为分米  【解析】解：，， ，即， ， ， ，分米， 分米， 答：的长约为分米； 作，垂足为， 由题意得，点上升的高度为的长， 此时，，， ， ，分米， 分米． 分米， 答：点上升的高度为分米． 在中，解直角三角形即可求解； 作，垂足为，在和中，解直角三角形即可求解． 本题考查了解直角三角形的应用，关键是相关性质的熟练掌握． 17.综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度．如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点，，在同一条水平直线上．某学习小组在观景台处测得塔顶部的仰角为，在观景台处测得塔顶部的仰角为，求塔的高度．取，取，结果取整数 【答案】解：由题意得：， 在中， ， ， 的长为； 由题意得：， 在中，，， ， 在中， 设， ， ， ， 线段的长为； 过点作，垂足为， 由题意得：， ， ， 在中， ， ， ， 解得：， ， 塔的高度约为．   【解析】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．过点作，垂足为，根据题意得到，利用锐角三角函数求出的长，列出关于的方程即可得到答案． 18.项目学习 项目背景：“源池泉涌”为我省某景区的一个景点，主体设计包括外栏墙与内栏墙，外栏墙高于内栏墙，两栏中间为步道，内栏墙内为泉池，池内泉水清澈见底从正上方看，外栏墙呈正八边形，内栏墙呈圆形综合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 景物的测量与计算 驱动问题 如何测量内栏墙围成泉池的直径 活动内容 利用视图、三角函数等有关知识进行测量与计算 活动过程 方案说明 图为该景点俯视图的示意图，点，是正八边形中一组平行边的中点，为圆的直径，图中点，，，在同一条直线上． 图为测量方案示意图，直径所在水平直线与外栏墙分别交于点，，外栏墙与均与水平地面垂直，且，均表示步道的宽，图中各点都在同一竖直平面内． 数据测量 在点处测得点和点的俯角分别为，，米图中墙的厚度均忽略不计． 计算 交流展示 请根据上述数据，计算内栏墙围成泉池的直径的长结果精确到米参考数据：． 【答案】内栏墙围成泉池的直径的长约为米．  【解析】解：由题意得：，，  ，，  设米，则米，米，  在中，，  ，  在中，，  ，  ，  解得：，  米，  答：内栏墙围成泉池的直径的长约为米． 根据题意可得：，，从而可得，，然后设米，则米，米，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答． 本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，正多边形和圆，准确熟练地进行计算是解题的关键． 19.某校九年级学生到教育实践基地开展实践活动．当天，他们先从基地门口处向正北方向走了米，到达菜园处采摘蔬菜，再从处沿正西方向到达果园处采摘水果，再向南偏东方向走了米，到达手工坊处进行手工制作，最后从处回到门口处，手工坊在基地门口北偏西方向上．求菜园与果园之间的距离．结果保留整数，参考数据：，，，，， 【答案】解：作，作的延长线于点， 由题知，，，，，， 可得四边形为矩形， ，， ，， ，， ， ， ， ． 答：菜园与果园之间的距离为．   【解析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．作，作的延长线于点，得到四边形为矩形，利用解直角三角形算出、，进而算出，推出，根据即可算出菜园与果园之间的距离． 20.我国科技发展日新月异，机器人走进普通生活成为现实，某公园采用巡逻机器人服务游客．如图，在同一平面内，其中是公园的一号门，公园雕塑位于一号门北偏东方向处，是公园的二号门，从二号门出发沿北偏西方向前进也可到达处，喷泉在的正东方向，在的正南方向．求一号门到喷泉的距离．结果精确到；参考数据： 【答案】解：如图，过点作，垂足为，过点作，交的延长线于点． 由题意得，，，，， 在中，，， ． 在中，， ， ， ， ． 答：一号门到喷泉的距离约为．   【解析】过点作，垂足为，过点作，交的延长线于点，根据题意在中算得，在中算得，最后将和相加即可． 21.【问题情境】中国鼓是中华民族的传统乐器，承载着千年的文化底蕴与精神力量，图是使用打印完成的中国鼓模型． 【问题提出】小明根据图画出了该模型的主视图，如图所示，由于鼓的厚度不可测量，需要设计一个可以得到值的方案，以检测该鼓的质量是否达标． 【方案设计】小明所在的数学兴趣小组经过合作研究，提出了等腰三角形测量法．如图，在主视图内部取一点，连接，使，用带有刻度的直尺量出或的长度，用量角器量出任一内角的度数． 【问题解决】若． 求的度数； 求该鼓的厚度精确到，参考数据： 【答案】(1)解：∵，为等腰三角形， ∴， 根据三角形内角和为， ， 答：的度数为；   (2)解：如图，过点作于点， 在中，∵，， ∴，  ， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理：， 答：鼓的厚度约为．   【解析】  利用等腰三角形性质和三角形内角和，算出的度数；   通过三角函数和勾股定理，构造直角三角形求出线段的长度． 22.古树名木是保护物种资源、维护自然界生态平衡的主角，也是民族文化的重要标志物．小君利用假期测量了被列为全国仅存的株岁古柏之一的老君柏如图的高度．如图，小君在地面上的点处测得老君柏顶端的仰角；小君在地面上的点处竖立一根高为米的标杆即米，在同一时刻的阳光下，老君柏和标杆在地面上的影子长度分别为、，米，米．已知，，点、、、在一条直线上，图中所有点均在同一平面内．请你求出老君柏的高度． 【答案】解：设米， ， ， 米， 米， 同一时刻的阳光下， ， ， ， 解得：， 即米．   【解析】设米，根据等角对等边得到米，则米，证明，得到，求解即可． 23.如图，一架无人机静止悬浮在空中处，小明在山坡处测得无人机的仰角为，小亮在水平地面处测得无人机的仰角为，已知山坡的坡度：，斜面长为米，水平地面长为米， 求处到地面的距离； 求此时无人机离地面的高度的长参考数据： ，， 【答案】解：过作于， 在中， 山坡的坡度：， ， 设，， ， ， 米， 答：处到地面的距离为米； 过作于， 由得：米， ，， ， ， 设米， 米， 在中， ， ， ， 米， ， ， 解得：， 米， 答：此时无人机离地面的高度的长为米．  【解析】过作于，在中，根据山坡的坡度：，得到，设，，求得米； 米，过作于，根据矩形的性质得到，，设米，求得米，在中根据三角函数的定义即可得到结论． 本题考查了解直角三角形仰角与俯角问题，解直角三角形坡度与坡角问题，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 24.如图，在中，，，，的对边分别为，，注：． ，，，． ，． 拓展探究： 如图，在锐角中，，，的对边分别为，，思考特例中的结论是否仍然成立？请说明理由． 解决问题： 如图，为测量点到河对岸点的距离，选取与点在河岸同一侧的点，测得，，请用前面的结论，求点到点的距离不取近似值． 【答案】解：拓展探究：结论仍然成立． 理由如下：过点作于点，过点作于点， 在中，， 在中，， 在中，， ，， ， ， 同理可得：， ． 解决问题：在中，， ，， ， ， 答：点到点的距离为  【解析】拓展研究：仍然成立，理由：过点作于点，过点作于点，先根据正弦的定义可得，，从而可得，同样的方法可得，由此即可得； 解决问题：先根据三角形的内角和定理可得，再根据拓展研究的结论求解即可得． 本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键． 25.【实践课题】测量湖边观测点和湖心岛上鸟类栖息点之间的距离． 【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具． 【实践活动】某班甲小组根据湖岸地形状况，在岸边选取合适的点测量，两点间的距离以及和，测量三次取平均值，得到数据：米，，画出示意图，如图． 【问题解决】计算，两点间的距离结果保留整数参考数据：，，，， 【交流研讨】甲小组回班汇报后，乙小组提出了另一种方案： 如图，选择合适的点，，，使得，，在同一条直线上，且米，米，，当，，在同一条直线上时，只需测量即可． 利用中求得的的长，推测乙小组的方案中的长． 【答案】，两点间的距离约米；   的长为米  【解析】过点作交于点， ， ， 米， 米， ， ， 米， 答：计算，两点间的距离约米； ，， ∽， ， 米，米，米， ， 米． 答：的长为米． 过点作交于点，根据，求出，再根据三角形的内角和，求出，最后根据，即可； 根据相似三角形的判定和性质，则∽，得到，再把米，米，代入即可求解． 本题考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握解直角三角形的应用，相似三角形的判定和性质，进行解答，即可． 26.综合与实践活动中，要利用测角仪测量一座建筑物的高度． 如图，在建筑物前有一座高为的山坡，已知，，点，，在同一条水平直线上． 某学习小组在山坡底部处测得建筑物顶部的仰角为，在山坡顶部处测得建筑物顶部的仰角为． Ⅰ求山坡的高度； Ⅱ求建筑物的高度结果保留整数． 参考数据：，，，． 【答案】Ⅰ山坡的高度为； Ⅱ建筑物的高度约为．  【解析】解：Ⅰ在中，，，， ， 答：山坡的高度为； Ⅱ过作于， 则四边形是矩形， ，， 在中，，，， ， ， ， 设， ，， ，， ， ， 答：建筑物的高度约为． Ⅰ根据三角函数的定义即可得到结论； Ⅱ过作于，根据矩形的性质得到，，解直角三角形即可得到结论． 本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，含度角的直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 27.小伟和小华想用所学数学知识测量小河的宽测量示意图如图所示，他们在河边的山坡上的点处安装测角仪，测得河对岸点的俯角为，与的夹角为，又测得点与河岸点之间的距离为已知，点，，，，，在同一平面上，点，，在同一水平直线上，且求河宽参考数据：，，，，， 【答案】．  【解析】解：延长交于点，则    在中，，  ，，      ，          由图形得，    在中，  ，    ，  答：河宽约为． 延长交于点，在和中，利用直角三角形的边角间关系求出、、，最后利用线段的和差关系得结论． 本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、线段的和差关系等知识点是解决本题的关键． 28.城市雕塑能折射出一座城市的历史底蕴、精神气质和文化内涵五一假期，某综合与实践小组开展测量雕塑高度的活动，记录如下： 活动主题 测量雕塑的高度 实物图和测量示意图 测量说明 如图是某地红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成如图所示的示意图，已知点，，，均在同一直线上，． 测量数据 ，，结果保留小数点后一位 参考数据 ，， 根据以上信息，解决下列问题： 连接，求证：． 求雕塑的高即点到直线的距离． 该综合与实践小组需要写一份完整的课题活动报告，除上表中的项目外，你认为还需要补充哪些项目？写出一个即可 【答案】已知点，，，均在同一直线上，， ，， ， ， ， ，   雕塑的高为  该综合与实践小组要写出一份完整的课题活动报告，除上表中的项目外，还需要补充误差分析与改进建议，总结与反思等项目  【解析】证明：已知点，，，均在同一直线上，， ，， ， ， ， ， ； 解：如图，过点作，交的延长线于点， 在中，，，， ，即， ， ， 在中，， ， 答：雕塑的高为； 解：该综合与实践小组要写出一份完整的课题活动报告，除上表中的项目外，还需要补充误差分析与改进建议，总结与反思等项目． 利用等边对等角以及三角形内角和定理即可求解； 在中，解直角三角形求得，在中，解直角三角形即可求解； 答案不唯一，合理即可． 本题属于三角形综合题，主要考查了三角形内角和定理，解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． 29.小刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树的高度，已知大树与地面垂直，他在点处测得大树顶端的仰角为，再从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点，在点处测得树顶端的仰角为，若斜坡的坡度即为：点，，在同一水平线上． 求小刚同学从点到点的过程中上升的高度； 求大树的高度参考数据：，， 【答案】小刚同学从点到点的过程中上升的高度为米  大树的高度约为米  【解析】解：过点作，垂足为， 斜坡的坡度为：， ， 设米，则米， 在中，米， 米， ， 解得：， 米，米， 小刚同学从点到点的过程中上升的高度为米； 过点作，垂足为， 由题意得：米，， 设米， 米， 米， 在中，， 米， 在中，， 米， ， ， 解得：， 米， 大树的高度约为米． 过点作，垂足为，根据已知可设米，则米，然后利用勾股定理进行计算，即可解答； 过点作，垂足为，根据题意可得：米，，然后设米，则米，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答． 本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 30.如图，某处有一个晾衣装置，固定立柱和分别垂直地面水平线于点，，分米，在点，之间的晾衣绳上有固定挂钩，分米，一件连衣裙挂在点处点与点重合，且直线． 如图，当该连衣裙下端点刚好接触到地面水平线时，点到直线的距离等于分米，求该连衣裙的长度； 如图，为避免该连衣裙接触到地面，在另一端固定挂钩处再挂一条长裤点在点的右侧，若，求此时该连衣裙下端点到地面水平线的距离约为多少分米？ 结果保留整数，参考数据：，， 【答案】解：由题可知：在中，分米，分米，， 分米， 分米， 分米， 分米， 该连衣裙的长度为分米； 如图，过作于， 在中，分米，，， 分米， 分米， 分米， 分米， 该连衣裙下端点到地面水平线的距离约为分米．  【解析】根据题意，结合图形，在中利用勾股定理求出的长，得到的长，即可得到结果； 结合图形，在中利用三角函数求出，可求出，即可得到结果． 本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 31.某型号起重机吊起一货物在空中保持静止状态时，货物与点的连线恰好平行于地面，米，参考数据：，，，，，，结果精确到米 求直吊臂的长； 直吊臂与的长度保持不变，绕点逆时针旋转，当时，货物上升了多少米？ 【答案】解：由题意得，， ，米， 在中，米， 答：直吊臂的长为米； 如图，设旋转后的点，的对应点为，，延长交于点，过点作于点， 则， 由题意得米， 米， ， 四边形为矩形， 米， 在中，米， 米， 货物上升了米．  【解析】根据，即可解，即可求解； 设旋转后的点，的对应点为，，延长交于点，过点作于点，可得四边形为矩形，则米，在中，，求出，再由，即可求解． 本题考查了解直角三角形的实际应用，旋转的性质，矩形的性质与判定，正确理解题意，构造直角三角形是解题的关键． 32.茗阳阁是信阳新建的城市文化与形象的代表建筑之一，是具有浓郁地方古建筑特色的塔式阁楼，被誉为“中原第一大阁楼”某综合与实践小组开展测量茗阳阁高度的活动，记录如下．   活动主题 测量茗阳阁的高度 方案 方案一 方案二 测量示意图 测量方案与测量数据 在点处用高为米的测角仪测出茗阳阁顶端的仰角，测得为． 在太阳光下的影子末端落在地面上的点处，在处放置长的标杆，，同一时刻标杆在太阳光下的影子末端落在地面上的点处，测得标杆的影长为，在处测得茗阳阁顶端的仰角为． 参考数据    备注 图上所有点均在同一平面内；点在同一水平线上；测角仪、标杆、茗阳阁均与地面垂直． 数学老师看了他们的测量报告后说：“其中一个方案无法计算茗阳阁的高度．”你认为是          填“方案一”或“方案二”，并说明理由． 请根据正确的测量方案计算出茗阳阁的高度结果精确到． 【答案】(1)解：方案一；                     理由：在中，，与相等，的长不可测，测得的的长与的长之间存在一定的差值，不能代替的长，故无法计算茗阳阁的高度．   (2)解：根据方案二计算茗阳阁高度， 过点F作于点H， ， 则四边形为矩形， ，，， 由题意知，， 为等腰直角三角形， ． 设， 则，， 由题意得，，，， ， ，即，                 解得， ．                 【解析】  方案一因缺少关键线段的关联条件，无法建立有效的方程关系，因此无法计算；   利用三角函数定义和矩形性质，结合题目条件建立方程求解． 33.家用洗手盆上常装有一种抬启式水龙头如图，完全开启后，把手与水平线的夹角为，此时把手端点、出水口点和落水点在同一直线上，洗手盆及水龙头示意图如图，，，在一条直线上，，其相关数据为，，求的长结果精确到，参考数据：，，， 【答案】解：过点作于，交于于，如图所示， 则四边形为矩形， ，， 在中，，， ，， ，， ， ， ， 答：的长约为．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 34.如图是某住宅单元楼的人脸识别系统整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别，其示意图如图，摄像头的仰角、俯角都调整为，摄像头高度，识别的最远水平距离． 小张站在离摄像头水平距离点处，恰好能被识别头的顶部恰好在仰角线处，请问小张的身高约为多少厘米？ 身高的小军，头部高度为，当他直立站在离摄像头最远处时，请通过计算说明这时的小军能被摄像头识别吗？参考数据：，， 【答案】(1)解：过作的垂线分别交仰角线，俯角线于点，，交水平线于点， 由题意知， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴小张的身高约是184.3厘米；   (2)过作的垂线分别交仰角线，俯角线于点，，交水平线于点， 同上，可知四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴，同理， ∴，， 小军头部以下的高度为，且小军身高， ∴小军能被摄像头识别．   【解析】  本题主要考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，理解题意，正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键． 过作的垂线分别交仰角线，俯角线于点，，交水平线于点，在中，根据三角函数求出即可求出，进而可求出小张的身高；   过作的垂线分别交仰角线，俯角线于点，，交水平线于点，同上，在中，根据三角函数求出，，即可求出，进而可确定小军头部以下的高度． 35.如图，山坡 的坡角为 ，小明在距山脚 点米的 点测得山顶 的仰角 为 ，请帮助小明解决下列问题： 求山顶到山脚的距离 ． 如图，若在山脚 距离米处有一与地面垂直的索道 ， 为索道的支架，在山坡上还有若干个索道支架索道支架都与地面垂直，山坡上顶端处的支架为 已知支架之间的钢索 ，钢索 与地面 平行， 米， 米，求点 距离地面的高度． ， ， ，  【答案】(1)解：过A作 于E， 根据题意，得 ， ， ， 设 ， 在 中， ， 在 中， ， ∴ ， 解得 ， ∴ ， ， ∴ ， 答：山顶到山脚的距离 为500米.   (2)解：以B为原点， 为横轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设 交y轴于D，过A作 于E，延长 交 于F， 根据题意，得 ， ， ， ， ∴ ， 由（1）知： ， ， ∴ ， 设直线 解析式为 ， ∴ ， 解得 ， ∴ ， ∵ ， ∴设直线 解析式为 ， 把 代入，得 ， 解得 ， ∴ ， 当 时， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 答：点 距离地面的高度为260米．   【解析】 过作 于，设 ，在 、 中，根据正切的定义分别求出 ， ，结合 得出 ，求出 ， ，然后根据勾股定理求解即可．  以为原点， 为横轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设 交轴于，过作 于，延长 交 于，待定系数法求出直线 解析式为 ，根据 ，可设直线 解析式为 ，把 代入可求出 ，则可求出 ，根据平行线间的距离求出 ，即可求解． 36.缅怀革命先烈，传承红色基因．人民英雄纪念碑是纪念近代革命先烈的标志性建筑图小辰利用无人机测量纪念碑的高度，具体过程如下： 如图，是水平面，点是纪念碑顶部一点，即为纪念碑的高度，且垂直于水平面．无人机在纪念碑上方点处时，测得纪念碑顶部处的俯角，底部处的俯角，无人机沿水平方向由点向前飞行米到达点处，在处测得处的俯角，已知图中各点均在同一竖直平面内．请根据以上数据求纪念碑的高度．结果精确到米．参考数据：，，，，， 【答案】解：延长交于点，由题意知， 设米，则米， ， 米， ， ， ， 解得，米， 米，米， ， ， ， 解得，米， 答：纪念碑的高度约为米．   【解析】延长交于点，由题意知，设米，则米，根据得出，利用的正切函数求出，利用的正切函数求出的长即可． 37.图为天工开物记载的用于舂捣谷物的工具“碓”的结构简图，图为其工作时的平面示意图，此时点和点在同一水平线上，已知：于点于点于点，若分米，． 求的长； “碓”工作时举起到最高处如图所示，此时，于点，求点上升的高度．结果保留一位小数．【参考数据：，，，，，】 【答案】(1)解：∵，， ，即， ， ， ，分米， 在中，（分米）， 答：的长约为5.4分米；   (2)解：作，垂足为， 由题意得，点上升的高度为的长， 此时，，， ， 分米， 在中，（分米）． 在中，（分米） 答：点上升的高度为4.5分米．   【解析】  在中，解直角三角形即可求解；   作，垂足为，在和中，解直角三角形即可求解． 38.为指引航船在黑夜和气候恶劣时能够安全抵达港口，某海域在港口所在平面设置了，，三个灯塔如图，灯塔位于北偏西，灯塔位于北偏东，灯塔在正北方向海里处，且灯塔在南偏西方向，灯塔在南偏东方向． 求、两个灯塔的距离； 甲、乙两艘巡逻艇分别从、同时出发沿、往进行匀速巡逻，行驶过程中甲巡逻艇的速度与乙巡逻艇的速度之比为：，当两艘巡逻艇的距离为海里时，船员可以相互交流巡逻情况，请问甲巡逻艇离开港口多少海里时，两艘巡逻艇可以开始交流巡逻情况？结果保留根号 【答案】解：如图所示，过点作，垂足为点，    则  在中，，，，      ，  又，  ，  四边形是矩形，  ，  在中，，海里，  海里，  在中，，海里，  海里，  答：、两个灯塔的距离为海里．  设两船出发小时后，甲船到达处，乙船到达处，两船可以开始交流巡逻情况，  如图，过点作于点，    则海里，  ，  甲船的速度与乙船速度之比为：，  ，，  海里，海里，  在中，，  海里，  海里，  海里，  在中，，  ，  整理得：，  解得：，舍去，  ，  答：甲船离开港口为海里时，两艘船可以开始交流巡逻情况．  【解析】解：如图所示，过点作，垂足为点，    则  在中，，，，      ，  又，  ，  四边形是矩形，  ，  在中，，海里，  海里，  在中，，海里，  海里，  答：、两个灯塔的距离为海里．  设两船出发小时后，甲船到达处，乙船到达处，两船可以开始交流巡逻情况，  如图，过点作于点，    则海里，  ，  甲船的速度与乙船速度之比为：，  ，，  海里，海里，  在中，，  海里，  海里，  海里，  在中，，  ，  整理得：，  解得：，舍去，  ，  答：甲船离开港口为海里时，两艘船可以开始交流巡逻情况． 过点作，垂足为点，则得，在中，由题意可知，，，由三角形内角和定理可得：，即可得出，进而得出四边形是矩形，根据矩形的性质可得：在中，，海里，由正弦定义即可得出的长，在中，由，海里，进而得出答案；  设两船出发小时后，甲船到达处，乙船到达处，两船可以开始交流巡逻情况，过点作于点，由甲船的速度与乙船速度之比为：，可得，，海里，海里，在中，由正弦定义可得，的长，在中，由勾股定理，列出关于的方程，解方程求出的值，进而得出答案． 本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，勾股定理的应用，矩形的判定与性质，掌握勾股定理，矩形的判定与性质是解题的关键． 39.如图，一艘货轮由港口出发向正东方向行驶，在港口处时，测得灯塔在港口的南偏东方向，小岛在港口的南偏东方向，当这艘货轮行驶海里到点处时，小岛恰好在点处的正南方向，此时测得灯塔在南偏西的方向，求： 港口与小岛之间的距离； 灯塔与小岛之间的距离． 【答案】解：， ， 在中，海里，海里． 故港口与小岛之间的距离是海里； 过点作，交于，于， ， ， ， 是直角三角形， 海里； 在中，海里，海里， 海里，海里， 在中，海里． 即灯塔与小岛之间的距离是海里．  【解析】在中，根据三角函数即可得到港口与小岛之间的距离，的长； 过点作，交于，于，根据题意可知，是直角三角形，根据三角函数可求的长；在中，根据三角函数即可得到，的长，进一步得到，的长，根据勾股定理即可得到灯塔与小岛之间的距离． 考查了解直角三角形的应用方向角问题，本题可通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到直角三角形中，使问题解决． 40.如图，在水上治安指挥塔西侧两条航线、上有两艘巡逻艇与所在航线靠近，直线、间的距离，点在点的南偏西方向上，且，在的北偏东方向上．求： 巡逻艇与塔之间的距离结果保留根号 已知巡逻艇的速度每小时比巡逻艇快，当两艘巡逻艇同时到达指挥塔的正南方向时，求巡逻艇的速度． 【答案】解：由题意可得：四边形是矩形，故EF， 在中，， ， ， 在中，， ，即． 答：巡逻艇与塔之间的距离为； 在中，，． ， 在中，，， ， 设巡逻艇的速度为小时，则巡逻艇的速度为小时，依题意有 ， 解得， 经检验可知是原方程的解． 故巡逻艇的速度是小时．  【解析】可先由及方向角南偏西得出的长，再减去的长得的长，又在的北偏东方向上，得出的长； 设巡逻艇的速度为小时，则巡逻艇的速度为小时，根据两艘巡逻艇同时到达指挥塔的正南方向可列方程求解即可． 41.如图，小明家在天花板上的点处安装了一个智能监控摄像头将摄像头视为一个点，某一时刻，竖直站立在地面所在直线上的小明位于图中所示的位置将小明视为线段，摄像头的视角上限恰好经过小明的头顶点，摄像头的视角下限交地面所在直线于点，若摄像头吊装离地距离米垂直于地面所在直线，其视角，摄像头的视角下限与形成的夹角，小明身高为米． 求小明往摄像头的方向前进多少米后，将完全进入摄像头的视野盲区参考数据： 如图，为解决摄像头盲区问题，小明家打算在平行于地面所在直线的天花板上的点处加装一个同款摄像头，使得新摄像头的视角完全覆盖中的视野盲区，则点到点的距离至少要为多少米？参考数据： 【答案】解：如图，记直线与交于点，    ，，    在中，，，  ，  ，，  ，  ，，  ，  米，，  ，  ，  则小明往摄像头的方向前进米后，将完全进入摄像头的视野盲区  如图，过点作，垂足为，    由题意可得，四边形为矩形．  且，  ，  ，  ，  ，  在中，，，  ，  ，  ，  ，，  ，  ，，  ，  点到点的距离至少要为米．  【解析】解：如图，记直线与交于点，    ，，    在中，，，  ，  ，，  ，  ，，  ，  米，，  ，  ，  则小明往摄像头的方向前进米后，将完全进入摄像头的视野盲区  如图，过点作，垂足为，    由题意可得，四边形为矩形．  且，  ，  ，  ，  ，  在中，，，  ，  ，  ，  ，，  ，  ，，  ，  点到点的距离至少要为米． 利用矩形的性质结合解直角三角形即可求解；  过点作，垂足为，利用矩形的性质结合解直角三角形即可求解． 本题考查解直角三角形的应用，正确进行计算是解题关键． 42.在新书发布现场，常会将一些新书按一定造型摆放，如图某数学书籍发行现场，将四本新书按照如图方式摆放在书架的一个格挡中图中个完全相同的矩形是书的侧面，最左侧的书贴边垂直摆放，其他三本书倾斜摆放，且，最右侧书的一角恰好落在格挡边沿若已知书的高度，宽，解决下列问题： 求的度数； 求的长精确到． 参考数据：，，，， 【答案】解：延长交于点 ，  由题意得：，  ，  ，  ，  ，  ．   延长交于点，则，  由题意得：，，，  ，  ，  ，  ，，  ，  ，  ，  答：的长约为．  【解析】解：延长交于点 ，  由题意得：，  ，  ，  ，  ，  ．   延长交于点，则，  由题意得：，，，  ，  ，  ，  ，，  ，  ，  ，  答：的长约为． 延长交于点 ，由得，再结合，计算得  延长交于点 ，先在中用余弦求；再在中用正切求；由得，最后． 平行线的性质、直角三角形的角度计算、三角函数余弦、正切的应用、等腰三角形的判定．易错点：辅助线构造不当、三角函数公式误用、角度关系推导错误．方法技巧：构造辅助线转化角度、利用三角函数解决实际长度问题、等角转化． 43.综合与实践 【阅读材料】 港珠澳大桥是连接香港、珠海和澳门的超大型跨海通道，集桥梁、人工岛、海底隧道于一体大桥极大地缩短了三地之间的距离，是粤港澳大湾区重要的交通枢纽，被誉为世界工程奇迹． 【问题提出】 某数学实践小组想用所学的知识测量港珠澳大桥中一座桥塔的高度． 【方案设计】 工具：测角仪、测距仪． 测量过程：如图，是桥面与桥塔的交点，在桥面上点处测得桥塔顶部的仰角，桥塔底部的俯角，沿的方向走到点，测得桥塔顶部的仰角，经测量，得，． 【问题解决】 求线段的长； 求桥塔的高度． 结果精确到，参考数据：，，，，， 【答案】线段的长约为  桥塔的高度约为  【解析】解：设， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， 解得：， ， 线段的长约为； 在中，，， ， ， ， 桥塔的高度约为． 设，则，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义球场的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答； 利用的结论，在中，利用锐角三角函数的定义球场的长，从而进行计算即可解答． 本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 44.泗阳桃源大桥为京杭大运河上标志性斜拉桥，被誉为“千里运河第一跨”大桥采用双主塔设计，每个主塔由根斜拉索对称分布固定，线条舒展、气势恢宏，既展现力学结构之美，又极大便利运河两岸交通，是泗阳重要的城市地标． 甲、乙两个数学兴趣小组来到桃源大桥开展实地测量实践活动，分别选取一主塔左右两侧进行数学建模研究．如图，经老师给出材料得知，主塔垂直平分桥面，、、、为主塔左右两侧的斜拉索点在线段上，且． 甲兴趣小组测量发现，，，，则：求出的度数；求主塔的高度和斜拉索的长度； 乙兴趣小组测量发现，，请你结合甲兴趣小组测得的相关数据，解决下列问题：_________；求斜拉索的最大跨度的长度． 【答案】(1)解：①由图可得，， ∵，， ∴； ②， ， 在中，， ∵，， ∴， ∵， ∴主塔高度， 在中，， ∵， ∴；   (2)解：①， ， ∵，， ， ∴是等腰直角三角形， ∴， 垂直平分， 是等腰三角形， ∴． ∴， ∴； ②如下图，在上取一点F，使， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴．   【解析】  由三角形外角性质，，代入得；在中，由得，故；由得；   由得为等腰直角三角形，，再由外角性质得；在上取，利用三角函数求得，故最大跨度； 45.某学校计划修建地下车库，一数学兴趣小组根据车库建筑设计规范与所学知识，为学校地下车库设计并绘制了入库坡道示意图如图，相关信息如下： (ⅰ)直线主坡道的水平距离为，坡度为； (ⅱ)左、右两段缓坡道为，，水平距离均为； 和车库地面均与水平方向平行． 已知坡度，试根据上述信息解决以下问题： 求主坡道的铅直高度； 根据车库建筑设计规范：缓坡道坡度为主坡道坡度的，坡道的最小净高不低于坡道的净高为车库上方横梁到坡道的垂直距离 求车库高度； 若，判断该坡道的最小净高是否符合设计规范，并说明理由． 参考数据：当时，，． 【答案】主坡道的铅直高度为车库高度为；符合设计规范，   过点作的垂线交于点，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，   ，   ，   的坡度为；，      ，   ，   ，   延长交于点，则，   在中，，   ，   ，   ，   符合设计规范  【解析】的水平距离为，坡度为；  ，，  ，  答：主坡道的铅直高度为；  缓坡道坡度为主坡道坡度的，  缓坡道坡度为，  ，  ，  ，  ，  答：车库高度为；  符合设计规范，理由如下：  过点作的垂线交于点，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，  ，  ，  的坡度为；  ，    ，  ，  ，  延长交于点，则，  在中，，  ，  ，  ，  符合设计规范． 根据的坡度，以及长，即可得到的长；  根据题意，得到缓坡道坡度为，即可得到车库的高度；  根据题意，结合图形，分别求出，，，，利用解直角三角形，求出的长，即可得到结果． 本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $