甘肃定西市漳县第一中学、第二中学、漳县职业学校2025-2026学年高三5月考前模拟数学试卷

**基本信息** 高三5月考前模拟数学卷，覆盖集合、向量、函数、立体几何等知识，通过动态几何、概率应用等问题设计，考查数学抽象、逻辑推理与数据意识，适配三模综合能力检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合运算、向量投影、复数几何意义|结合粒子位移（向量）、质点移动（概率）等情境，考查数学眼光| |多选题|3/18|立体几何动态问题、概率事件关系|以正方体动点（几何直观）、取球事件（逻辑推理）设计分层选项| |填空题|3/15|等差数列求和、三角恒等变换、摸球概率|通过摸球游戏（数据意识）考查概率计算，体现应用意识| |解答题|5/77|三棱台证明与探究、函数导数综合、概率统计应用|第16题函数极值-零点-不等式递进设问，第19题食品检验情境（数学语言），突出创新应用|

绝密★启用前 2025-2026年漳县第一中学、第二中学、漳县职业学校 高三5月考前模拟数学试卷 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合. 1．已知集合,则(      ) A. B. C. D. 2．粒子A,B从同一发射源发射出来,在某一时刻,它们的位移分别为,,则在上的投影向量为(      ) A. B. C. D. 3．复数、分别对应复平面内的点P、Q,若,则（其中O为坐标原点）,是(      ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等腰直角三角形 D.有一个锐角为的直角三角形 4．在平面坐标系中,一个质点从原点出发,每次移动一个单位长度,且上下左右四个方向移动的概率相等,若该质点移动6次后所在坐标为,则该质点移动的方法总数为(      ) A.120 B.135 C.210 D.225 5．已知变量y与变量x的关系可以用模型（,为常数）拟合,设,变换后得到一组数据如下: x 2 3 4 5 6 z 1.02 1.20 1.42 1.62 1.84 由上表可得经验回归方程为,则(      ) A.0.206 B. C.0.596 D. 6．已知函数的定义域为R,为奇函数,为偶函数,且,则(      ) A. B. C.1 D.2 7．正多面体共有5种,统称为柏拉图体,它们分别是正四面体､正六面体（即正方体）､正八面体､正十二面体､正二十面体.连接正方体中相邻面的中心,可以得到另一个柏拉图体.已知该柏拉图体的体积为,则生成它的正方体的棱长为(      ) A.2 B. C. D.4 8．在中,已知是边上一点,,则(      ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．如图,在棱长为2的正方体中,M,N分别是线段,AC上的动点(不含端点),且,则(      ) A. B.三棱锥体积的最大值为 C.若,则三棱锥外接球的表面积为8π D.存在使得平面 10．箱中共有包装相同的3件正品和2件赝品,从中不放回地依次抽取2件,用A表示“第一次取到正品”,用B表示“第二次取到正品”,则(      ) A. B. C. D. 11．已知函数在上是增函数,在上是减函数,且方程有3个不等实根,它们分别为,2,则(      ) A.实数c为0 B.为定值 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知等差数列与的前n项和分别为,,且,则的值为___________. 13．已知,则的值为______. 14．有一个摸球游戏，规则如下：在盒子里放入大小、质地完全相同的4个红球和3个白球.不放回地依次随机取出，每次取出1个球，直到剩下只有一种颜色的球时游戏结束，则游戏结束时取球次数至多为4次的概率为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（17分）如图,三棱台中,侧面四边形为等腰梯形,底面三角形为正三角形,且,设为棱上的点. （1）若为棱的中点,求证; （2）若三棱台两底面间的距离为,且侧面底面,试探究是否存在点,使直线与平面所成角的正弦值为?若存在,确定点的位置;若不存在,说明理由. 16．（18分）已经函数,其中. (1)若,求的极值; (2)讨论的零点个数,求a的取值范围; (3)当时,证明:不等式恒成立. 17．（14分）已知是数列的前n项和,,. （1）求的通项公式; （2）若数列的前n项和为,证明:. 18．（14分）在三棱锥中,点P在底面内的投影F恰在直线上,与的面积相等. （1）若,证明:F为线段的中点; （2）若,,的面积等于. （ⅰ）证明:的周长为定值; （ⅱ）当二面角的平面角为时,求线段的长. 19．（14分）某地市场监管部门对当地一食品厂生产的水果罐头开展固形物含量抽样检验,按照国家标准规定,在一瓶水果罐头中,固形物含量不低于55%为优级品,固形物含量低于55%且不低于50%为一级品,固形物含量低于50%为二级品或不合格品. (1)现有5瓶水果罐头,已知其中3瓶为优级品,2瓶为一级品. (ⅰ)若每次从中随机取出1瓶,取出的罐头不放回,求在第1次抽到优级品的条件下,第2次抽到一级品的概率; (ⅱ)对这5瓶罐头依次进行检验,每次检验后不放回,直到区分出5瓶罐头的等级时终止检验,记检验次数为X,求随机变量X的分布列与期望; (2)已知该食品厂生产的水果罐头优级品率为,且各件产品是否为优级品相互独立,若在5次独立重复抽检中,至少有3次抽到优级品的概率不小于,求p的最小值. ( 第 1 页 共 2 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $参考答案 1.答案：C 解析：A∩B={0,1},则(A∩B)={-1. 2.答案：A 解析：S4=（4,3),Sg=（-2,6, 5g54=4x(-2)+3×6=-8+18=10,5=V42+32=5, SB在S4上的投影向量为： 3.答案：C 解析：依题意，a2-2uB+2B2=0,若o=0,则B=0(反之亦成立)， 则P,Q与原点重合，与已知P,O,Q能组成三角形矛盾，所以≠0，β≠0. 由a2a+2p=0,两边除以B（B≠0)，设：台则方程变为 2-22+2=0,解得2=2±y4-8=1±i 2 由z=1±i,得o=(1±i)B. 所以a曰1±iB=√2B, a-B=±i邛，故a-β=±i邛=B|. 在△POQ中： 1OQ曰B1,IPQ=a-B=B1,即1O9=PQ1(等腰). 由勾股定理：OQ2+|PQ=BP+|BP=21B2, 而|OP2o2=21B2,故∠0QP=90°（直角）. 综上，△POQ是等腰直角三角形 故选：C 4.答案：D 解析：根据题意，可分为三种情况： ①质点往右移动4次，往左移动2次，C%=15 ②质点往右移动3次，往左移动1次，往上移动一次，往下移动一次，CA;=120, ③质点往右移动2次，往上移动2次，往下移动2次，C2C?=90, 所以质点移动的方法总数为225 故选：D 5.答案：D 解析：由表格中数据得元=2+3+4+5+6=4， 5 z=1.02+1.20+1.42+1.62+1.84 142。 代入方程得，1.42=0.206×4+à，解得à=0.596，因此=0.206x+0.596. 由y=cer两边取对数，得lny=c2x+lnc. 又z=lny,所以c2=0.206,lnc,=0.596,即c=e96 故选D 6.答案：A 解析：因为f(3x-2)为奇函数，所以f(-3x-2)=-f(3x-2), 令1=3x-2,则f(-t-4)=-f(t),即f(-x-4)=-f(x)①： 因为f(4x-1)为偶函数，所以f(-4x-1)=f(4x-1), 令s=4x-1,则f(-s-2)=f(s),即f(-x-2)=f(x), 所以f(-x-4)=-f(-x-2),所以f(x)=-f(x+2),即f(x+2)=-f(x)②， 所以f(x+4)=f(x),所以4是f(x)的一个周期， 由①式，取x=-2,可得f(-2)=-f(-2),即得f(-2)=0, 又由②式，取x=-2,可得f(0)=-f(-2)=0 故f(4)=f(0)=0,f(2)=f(2-4)=f(-2)=0, 由②式，取x=-1,可得f(1)=-f(-1)=-2,取x=1,可得f(3)=-f(1)=2, 故f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=-2+0+2+0=0, 则2f0=506[/0+j2+f8+f41+/02025)+j02026=f0+j02=-2+0=-2. i=1 7.答案：D 解析：设正方体棱长为2α，可得该柏拉图体是由两个四棱锥构成，四棱锥的底面为边长 为√2a的正方形，高为a, 则柏拉图体的体积为2x×(2a2)×a=32 3 解得a=2,2a=4. 故选D. D D C B 8.答案：C 解析：在△ADC中，cos∠ADC=10+6-14.1 2×10×6 因为0<∠ADC<,所以∠ADC=2T三∠ADB= 3 3 在△ADB中，，AB AD →AB=5V6. sin∠ADB sinB 9.答案：ABD 解析：对于A,MN=MB+BA+AN,所以AB.MN=AB·MB+BA+AN =4B.MB-4B'+4B.AN=2(2v2-a)cos45-4+2acos45=4-2a-4+2a=0, 所以AB⊥MN,即AB⊥MN,正确： 对于B,如图，过M作MQ⊥AB于Q,因为平面AABB,⊥平面ABCD,平面A,ABB,∩平面 ABCD=AB, A B C 所以MQ⊥平面ABCD,即三棱锥M-ABN的高为MQ,所以 0=8如45-a-小9-2- -O 当a=V2时，(VM-4Bx)mx=3,正确： 对于C,当a=√2时，MQ=MB sin45°=1，故Q为AB的中点， 又N为AC的中点，所以QA=QB=QN=1,所以Q到A,B,M,N的距离都为1， 即三棱锥M-ABN外接球的球心为Q,半径为1，所以外接球表面积为S=4π，错误； 对于D,在正方体中，AB/DC,ABd平面B,CD1,D,CC平面B,CD, 所以AB∥平面B,CD1,同理可得BD∥平面B,CD1, 又AB∩BD=B,AB,BDc平面ABD,所以平面ABD∥平面B,CD, 当a=√2时，N是AC的中点，易知N是BD的中点，此时MNc平面A,BD,又MN文平面 B,CD,所以MN∥平面B,CD,正确.故选ABD 10.答案：ACD 解断：对P小-，P川子品叫-后高 233 :P叫到=P+P川=启启-拉A选项时 3、3 对B,:P4P(B)=亏×亏≠PAB),故B选项错： 对C,P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.9,故C选项正确； 3 对D,P(B|A) P(AB_10=0.5,故D选项正确. P(A 3 5 故选：ACD 11.答案：ABD 解析：因为f(x=x3+bx2+cx+d,所以f'(x)=3x2+2bx+c. 因为函数f(x)在(-0,0上是增函数，在0,2上是减函数， 所以方程'(x)=0有两个解：故A正确： 其中一个根为0，即f'(0)=0→c=0, 另根：3+2h=0→=的之265-3】 所以f(x)=x3+bx2+d,又方程f(x)=0有3个不等实根，它们分别为m,n,2. 所以f(x)=(x-2)(x-m)(x-n)=x3-(m+n+2)x2+(2m+2n+mn)x-2mn. 由2m+2m+m=0→1+1-号为定值，故B正确 m n 2 -b=m+n+2 又{ d =-2mn 由f(2)=0→8+4b+d=0→d=-8-4b 当b=-3时，d=-8+12=4,此时f(x)=x3-3x2+4=(x-2)2(x+1, 所以∫(x)=0只有两个根，与f(x)=0有3个不等实根矛盾，所以b<-3. 因为f(1=1+b+d=1+b-8-4b=-3b-7, 因为b<-3,所以f(1)>2,无法确定f1>3,故C错误； 因为(m-m)2=(m+n2-4mn=(-b-2)2+2d=(-b-22+2(-8-4b)=(b-2)2-16, 因为b<-3,所以(b-22-16>(-3-2)2-16=9,所以m-m>3,故D正确 故选：ABD 12.答案： n+3 解析：等差数列{an}与{b}的前n项和分别为S,Tn,且 S= T. n+2, 9 9 则%+4 a,+a4）2a+a,）S,2×9+321 2 一三 bs+b 9(+b,) 9b+b, T,9+211 21 2 故答案为： 21 11 13.答案：-1 9 解析： sma-号+sna,ima-5osa-+na. sina+ cosa-- 2 故答案为：。 14.答案：7 解析：由题意得，设游戏结束时取球的次数为变量X, 当X3时，即前3次取到的都是白球，则概率为P(X=3》=A=1 A35 当X=4时，即前4次取到的都是红球或前3次取到2白和1红，第4次取到白球， 则概率为P(X=4)= A+CA4A×14 A 35’ 所以游戏结束时取球次数至多为4次的概率为P=PX=3)+P(X=4)=5+357 141 15.答案：(1)见解析 (2)15 10 解析：(1)如图：取AC中点O,连接OB,OD,因为四边形ACCA为等腰梯形，且D为 A,C,中点，所以AC⊥OD. 6 B 又△ABC为正三角形，所以AC⊥OB OB,ODc平面BOD,OB∩OD=O,所以AC⊥平面BOD 又BDc平面BOD,所以AC⊥BD (2)设A,C,中点为E,连接OE,则OE⊥AC, 又侧面ACCA⊥底面ABC,侧面ACCA∩底面ABC=AC,OEc侧面ACC,A, 所以OE⊥底面ABC. 又AC,OBc底面ABC,所以OE⊥AC,OE⊥OB 又OB⊥AC,所以OA,OB,OE两两垂直， 故可以O为原点，OA,OB,OE所在的直线分别为x,》,z轴建立如图空间直角坐标系 B B 因为三棱台ABC-AB,C两底面间的距离为√5，即OE=√5， 又三角形ABC为正三角形，且AC=2AC=4, 则B0,25,0,C(-2,0,0),C,-1,0,V5),设D(a,0,5-1≤a≤1， 则BD=(a,-25,3,CB=(2,23,0,c℃=(1,0，V5） n⊥CB,i.CB=2x+2V3y=0 设平面BCCB的法向量为i=(x,y,z),则 i⊥CCi.CC=x+v5z=01 可取元=(5，-1，-， 设直线BD与平面BCCB所成的角为O, nBD 则sin0=cos(i,BD)》 3a+2w3-5_5xla+1 BD √5×Va2+12+3V5xVa2+15 由3xo+1-压h+1=34a+r=G+15→3a+5a-1=0 V5xVa2+1510Va2+152 所以3a+1a-刂=0，故a=1或a=-号（因为-1≤a≤1，故舍去），此时D10,5)与 4点重合， 所以当D与4点重合时，直线BD与平面BCC8所成角的正弦值为Y区 10 16.答案：(1)极大值为1，无极小值 (2)答案见解析 (3)证明见解析 解析：(I)当a=0时，g(x)=-x血x+x,(aeR),所以g'(x)=-lnx, 又g(x)的定义域为(0，+∞)， 令g(x)=0,得到x=1,由g(x)>0,解得0<x<1,由g'(x)<0,解得x>1, 所以当a=0时，g(x)的增区间为(0，]，g(x)的减区间为(1+∞)， 则g(x)的极大值为g(1)=1,无极小值. (2)因为f(x)=ae2x1-x(aeR)有两个零点，即方程ae2x1-x=0有两个解， 等价于方程a=高有两个解等价于Q()=a与T)=。高的图象有两个交点。 因为7cxe,令T0解得 (e2x+1)2 当x<时，T()>0,所以Tx)=。高在区间”上单调递增， 当x>时，T<0,所以r)=高在区问号+上单调递减 则当x=时，T(x)取到最大值，且7 又当x>0时，T(x)>0且x→+0时，T(x)→0， 当x<0时，T(x)<0,且x→-0时，T(x)→-0， T)高的图象如图所示 y=T(x) 2e 以当a>心时，/四)有没有零点 1 当a≤0或a=20时，f()有1个零点： 当0<a这时了)有两个零点 (3)当a>0,x>e2时，要证明不等式(1nx-1)f(x)>g(x)恒成立， 即证明(1nx-1(ae21-x)>2ax2-xlnx+x恒成立； 令m()=2x-血x+1,m'(x)=2-1=2x-1 当x>,m()=2>0即m()在传+上单调递增， .m(x)>m 归t血2+1>0mx)2x-hx+1>0,即2x>h 令n(x)=,nx)=e-e-x-le x2 x2 x>1,n(y)=x-1e x2 >0,即n(x)在(1+∞)上单调递增， (2x)>n(nx-1, e2 X 2x1nx-i’2xnx-i a>0x>e,ae2ax hx-11 aex>2ax -x,(lnx-1)(ae2-x)>2ax2-xhx+x成立， Inx-1 即当a>0.x>e2时，不等式(1nx-1)f(x)>g(x)恒成立. 1n.答案：1Da,=aeN) (2)证明见解析 解析：(1)当n≥2时，Sn=an(1+an-),∴.an1=Sn1-Sn=an1(1+an)-an(1+a-), an41an-anan=an,又an≠0，a+l-an-1=1; s=a1+a即2a=a4-l 3 则当n为奇数时，4=4+”21=分当n为偶数时，a,=4+”之 2 -x1= 2 a.-2(). (2)由(1)得：S,=1+2+3++n_nn+1 4 .(2n+12_(2n+1_4n+4n+1=4+1 s4+11 4S, n(n+l)n+n n(n+l）nn+1 04 =4n+1-1 n+1 1>0T<4n+1. n+1 18.答案：（1)证明见解析 (2)(i)证明见解析； (iⅱ)6 解析：(1)过A作AG⊥CP,垂足为G,连接GB,GF, 因为点P在底面ABC内的投影F恰在直线AB上， 则PF⊥平面ABC,ABC平面ABC,则PF⊥AB, 又AB⊥CF,且CE O PF=F,CF,PFC平面PCF,所以AB⊥平面PCF, 因为CP,CF,GFc平面PCF,所以AB⊥CP,AB⊥CF,AB⊥GF, 又AB∩AG=A,AB,AGC平面ABG,所以CP⊥平面ABG, 因为GBC平面ABG,所以CP⊥GB, 因为△ACP与△BCP的面积相等，GA与GB分别为两个三角形PC边上的高， 则GA=GB,故△GAB为等腰三角形 又AB⊥GF,则F为线段AB的中点： (2)(i)因为CP=√2CF=4,PF⊥CF,所以CF=FP=2V2, 因为S号C4G=45,所以4G=25, 以C为原点，CF所在方向为x轴正方向，平行于FP所在方向为z轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则C0,0,0),F2V2,00,P(220,22) 设A(x,y,0),则CA=(xy,0),CP=(2V2,0,2√2， 则A到CP的距离为 CA CA.CP CP 4 =AG=22, 化简得 y1 =1x≠±4)， 168 同理可得B的轨迹方程也是+少 16+8=1(x≠4)， 故点A,B在以C为中心的椭圆上，且E,F分别为该椭圆的左、右焦点， 所以EA+AF=EB+BF=8,故△ABE的周长为定值16： (i)设Axy,0),B(x2M2,0), 则CA=(x4,0),CB=(x2y2,0),CP=(2V2,0,2V2 设平面ACP的一个法向量为m=(a,b,c, ax,+by,=0 则 2W2a+2W2c=0' 取a=y1,则b=-x,c=-乃，则m=(y,-x,-y), 同理可得平面BCP的一个法向量为i=(y2,-x2,-y2), 因为三面角A-CP-B的平面角为 2πm· xx2+2yy2 1 所以0s3m网F+2V写+2g2 又B在后-上 则x2+2y=x号+2y=16,故xx2+2yy2=8, 在O平面中，设直线AB的方程为x=y+2W2,与椭圆方程：+ 、=1x≠±4联立 168 化简得(+2列+4W2w-8=0,则y+为=平+2 -4√2t -8 y2=2+2 又xx2=(22+g)22+y,)=8+2V21(y+2)+y2, +2小：2到+++2到小8，样g-2. 由弦长公式得线段AB的长AB=V1+P·Vy+y)-4y =V1+t2 322 +32=54+8=6 V(2+222+2 ⊙，答案：00)分布列见解析数学期望为 娟 解析：(1)①)5瓶水果罐头，其中3瓶为优级品，2瓶为一级品， 抽出一瓶优级品后，还剩2瓶优级品，2瓶一级品，再抽一级品的概率为P=2=马 42 (X的所有可能取值为：2,3,4， 当X=2时，即最先抽出两个一级品，则P(X=2)=A生= A10 当X=3时，分为最先抽出三个优级品，和先抽一个优级品一个一级品，第三个抽一级品两 种情况 则P(x=3)=A+CCA=3 A 10 当X=4时，前三个为两个优级品一个一级品，第四个为一级品，和第四个为优级品两种情 况， 则P(x=4=CCA+CCA=3 A X的分布列为： X 2 3 4 P 品 3 3-5 :E(X)=2×+3x3+4x2-7 101052 (2)记在5次独立重复抽检中，至少有3次抽到优级品的概率为f(p),其中0<p<1; 则f(p)=Cp3(1-p)2+Cp(1-p）+p=6p3-15p+10p. f'(p)=30p-60p3+30p2=30p2(p2-2p+1=30p2(p-1)2>0; ∴f(p)在(0.1)单调递增 又)=4)则51. P的最小值为号