第四章 课时9 解三角形的综合应用课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“解三角形的综合应用”专题，依据课标要求梳理了正余弦定理解决复杂边角关系、实际测量问题及最值问题三大核心考点，通过真题与模拟题分析明确测量问题（距离、高度、角度）占比60%、证明问题占30%的高频考查方向，归纳出边化角/角化边转化、三角恒等变换等常考题型。 课件亮点在于“真题情境+规律建模+素养提升”的备考设计，如以2025福建厦门模拟测量距离题为例，通过绘制示意图、应用正弦定理构建解题模型，培养学生用数学眼光抽象实际问题、用数学思维推理运算的素养。特设“规律方法总结”和“对点训练”，帮助学生掌握转化思想与答题技巧，教师可据此精准突破考点，提升复习效率。

课时9 解三角 形的综合应用 一、课标要求 1.会用正弦定理、余弦定理解决三角 2.会求解三角形中的最值问题. 乡、平面图形中的复杂的边角关系 二、知识梳理 1.实际应用 (1)仰角和俯角：在同一铅垂平面内的水平视线和日标视线的夹角，日标视线在 水平视线上方 时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角（如图①） 视线 北 铅垂线 仰角 水平线 西 →东 俯角 视线 B 南 图① 图② (2)方位角：从正北方向起按顺时针方向转到目标方向线之间的水平夹角叫作 方位角如点B的方位角为（如图②） (3)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏 西45等 (4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值 2.综合应用 (1)对于条件或结论是既含有边又含有角的三角函数形式时，求解时一是将边 统一为角的三角函数值；二是将角的三角函数值统一为边. (2)对于解三角形与三角函数相结合的问题时，要注意运用三角恒等变换的有 关知识，即从角，多角化单一角，整体换元；从名称，切化弦，或弦化切；从结 构，降次，去根式，“1的代换等. 三、基础回顾 1.判断正误.（正确的打√， (1)东北方向就是北偏东 错误的打“×”) 45的方向. (V) (2)从A处望B处的仰角 B=180°.() × 【解析】a=β， 为@，从B处望A处的俯角为，则o,B的关系为，十 (3)俯角是铅垂线与视线所成的角，其取值范围是 【解析】俯角是视线与水平线所构成的角 元4 ( ) e) (4)方位角与方向角其实质 系.（√） 是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关 2.已知△ABC的外接圆半径为1，A=元，则 A B.1 C. D.5 D【解析】由正弦定理，可得 五 所以 则 故选D. 3.如图所示，D,C,B三点在地面的同一条直线上， 得点A的仰角分别是60°，30°，则点A离地面的高度 30° 60° D C B DC=a,从C,D两点测 AB= a 【解析】由已知得 2 4.某中学举行升旗仪式，在坡度为15°的看台点E和看台的坡脚点A处，测得 旗杆顶部的仰角分别为30°和60°，量得看台坡脚点A到点E在水平线上的射 影B的距离为10m,则旗杆的高是 m. 30° 150 人60° B 10(3-3)【解析】由题意 AD= A区i45√2AB sino cos1 5 3). 得∠DE4=45,∠ADE=30,AE=AB,所以 cos 5 因此CD=ADsin60°= V210 c453 ×sin60°=10(3- 四、考点扫描 考点一三角形中的证明问题 例1(2025·河南开封市调研)已知△ABC的内 sin(B-C)tan A=sin Bsin C. (1)若A=B,求sinA的值； (2)证明： a+b为定值 角A,B,C的对边分别为a,b,c, (1)X解】由题得 SS@ss=-sin Asin C.因为0K4K,所以sinA0 s 即sin Bcos C-sin Ccos B=cos Asin C.因为A=B,所以sin Acos C.-sin Ccos A= cos Asin C,所以sin Acos C=2 cos Asin C.又因为C=元-2A,所以sin Acos(π-2A) =2cos Asin(-24),-sin Acos 24=2cos Asin 24,-sin A(1-2sin24)=4sin cos4,整理得2sin4-1=4-4sn4,群符特sn4=。 (2)【证明】由已知条件得 SSas至a济=sin Bsin C,则sin Asin ≤s Bcos C-sin Asin Ccos B=cos Asin Bsin C,sin Asin Bcos C=sin C(cos Asin B+ sin Acos B),所以sin Asin Bcos C=sin Csin(A+B).因为A+B=元-C,所以sin Asin Bcos C=sin2C.由余弦定理，得cosC=4 7+B+2 由正弦定理，得 2ab -心，圣理件公-3.印行为定位 ab.s 2ab 规律方法： 对于解三角形中的证明问题 异，利用正弦定理、余弦定理 要仔细观察条件与结论之间的联系，发现二者的差 及三角恒等变换把条件转换为结论，即为证明过程 对点训练设△ABC的内角A,B, =sin Bsin(C-4). (1)若A=2B,求C的大小： (2)证明：2a2=b2+c2. C的对边分别为a, b,c,已知sin Csin(A-B (1)【解】 由A=2B,A十B十C=元，可得A= 2元-2C 3 将A=2B代入sin Csin(A-B)=sin Bsin(C-A),可得sin( 因为B∈(O,),所以sinB0,所以sinC=sin(C-A) 又A,C∈(0，)，所以C十C-A=元，即A=2C-元，与 解得C=5π 8 sin B=sin Bsin(C-A) 4=2m一2℃联立， 3 (2)【证明】 方法一：由sin Csin(A-B)=sin Bsin(C-A) sin Csin Acos B-sin Ccos Asin B=sin Bsin Ccos A-sin 结合正弦定理可得，accos B-bccos A=bccos A一abcos C, accos B+abcos C=2bccos A(*). 由余弦定理得，accos B=a a2+c2-b2 abcos C=a2+b2-c2 2 2 a2,将上述三式代入(*)式并整理，得2=b2+c2. Bcos Csin 4, 2bccos A=b2+c2- s) 方法二：因为A十B十C=π， sin Csin(A-B)=sin(A+B)sin(A-B)=sin2Acos2B-cos2Asin2B -sin24(1-sin2B)-(1-sin24)sin2B=sin2A-sin2B, 同理有sin Bsin(C-A)=sin(C+A)sin(C-A)=sinC-sin2A, 又sin Csin(A-B)=sin Bsin(C-A),所以sin2A-sin2B=sin2C-sin2A, 即2sin2A=sin2B+sin2C,故由正弦定理可得2a2=b2+c2 考点二测量问题 考向1测量距离问题 例2(2025福建厦门市模拟)一艘海轮从A处出发，以每小时40nmilé的速度 沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B处.在C处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那 么B,C两点间的距离是( A.10v2 n mile B.10v3 n mile C.20v2 n mile D.20v3 n mile A【解析】依题意，如图， 在△ABC中， 北 A →东 C B ∠BAC=50°-20°=30°，∠ABC=40°+65°=105° =20(n mile).由正弦定理，得 20 2=102(mile),所以B,C两点间的距离是 1V 2 则∠4CB=45°，AB=40x30 0 即序二2C, 因此BC S○s5 102 n mile.故选A. 规律方法： 距离问题首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去 求解.注意：①基线的选取要恰当准确；②选取的三角形及正、余弦定理要恰当」 对点训练 如图，为计算湖泊岸边两景点B与C之间的距离，在岸上选取A和 D两点.现测得AB=5km,AD=7kmM,∠ABD=60°，∠CBD=23°，∠BCD= 117°.根据以上条件，可求得两景点B与C之间的距离为 km(精确到0.1 km.参考数据：sin40°≈0.643，sin117°≈0.891) 5.8【解析】在△ABD中，有AB=5,AD=7,∠ABD=60°.由余弦定理，可得 AD2=AB2+BD2-2 4B:BDcos.∠ABD,即49=25+BD-2×5×BD×,整理可得 BD2-5BD-24=0,解得BD=8或BD=-3(舍去).在△BCD中，有BD=8, ∠CBD=23°，∠BCD=117°，所以∠BDC=180°-∠BCD-∠CBD=40°.由正弦 定理 得BC= BBL8sin40°8×0.643 SS合 ≈5.8km). siC sin117°( 0.891 考向2测量高度问题 例3矗立在上饶市民公园（如图①）的四门通天铜雕有着“四方迎客、通达天下” 的美好寓意，也象征着上饶四省通衢，连南接北，通江达海，包容八方.如图②， 某中学研究性学习小组为测量其高度，在和它底部0位于同一水平高度的共线 三点A,B,C处现行绢顶端P处的抑先分别为子子且A山一C-20m, 则四门通天的高度为( 图 A.156m C.66m B C ① 图② B.106m D.56m B【解析】设OP=h,则OA=3h,OB=h,OC=3h.在△4B0中，由余弦定 3 理得c0s∠4B0=4G野-40627. 在△BCO中，由余弦定理，得 2×2&2 AOz coS∠OBC= 3 3 因为∠ABO十∠OBC=π，所以 4o弱492 4) =0，即800F=0,解得h=106,所以四们通天的高 4⑦ 度为106m.故选B. 规律方法： 高度问题时应注意：(1)图形中为空间关系，注 意对仰角、俯角等概念理解. 意不要当作平面问题处理；(2)注 对点训练 如图，要测出山上 天文台最高处B的仰角为45°， 为( A.20/2m B.30/2m 座天文台BC的高，从山腰A处测得AC=60m, 天文台底部C的仰角为15°，则天文台BC的高 B C D A C.2013 m D.30/3m B【解析】 由题图，可得B=45°， 故BC=AsiB 60sin30° sif sin 45 ∠BAC=30°， 302(m).故选B. 考向3测量角度问题 例4如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于 山坡的斜度为15°，向山顶前进100m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为 45°.若CD=50m,山坡对于地平面的坡度为0，则cos0=() 450 B 15o A0 E V3 B.1V6-2 C.3-1 D.12-1 3 C【解析】在△ABC中，∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=180°-15°-135°=30°， 由正弦定理知 S 2 50 50(N6-2),在△BDC中，- 故506-2 所 3习 sin∠BDC 2 2 以sin∠BDC=3-1,即sin(0+90)=3-1,即cos0=3-1.故选C. 规律方法： 角度问题，首先应明确方向角的含义；分析题意，根据题意正确画出示意图，这 是最关键、最重要的一步，通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的 问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优，点. 对点训练 当太阳光与水平面的倾斜角为60°时，一根长 放置，则要使得它的影子最长，竹竿与地面所成的角是( 2m 60° 7777777777777 77777777777 A.15°B.30° C.45°D.609 为2m的竹竿如图所示 ) B【解析】 设竹竿与地面所成的角为a,影子长为xm 由正弦定理，得 2 in60° sizd 所以x=43 in(120°-).因为30°<120°-a<120°， 所以当120°-=90°，即a=30°时，x有最大值 即当竹竿与地面所成的角是30时，影子最长.故选B. 米 感谢观看 THANKS