拓展与延伸9 极值点偏移课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“极值点偏移”核心考点，依据高考评价体系分析其在函数导数压轴题中的高频考查要求，系统梳理极值点不偏移与偏移的概念辨析，归纳对称构造函数、比值代换法等常考题型，体现备考的针对性和实用性。 课件亮点在于“真题模拟+方法突破”的复习策略，如结合2025山东青岛调研题用对称构造函数法证明x1+x2>2a，2025广东湛江模题用比值代换法求证x1x2>e²，培养学生逻辑思维与数学建模素养。通过点对点训练和规律方法总结，帮助学生掌握压轴题答题技巧，教师可据此高效开展专题复习。

拓展与延 伸9极 值点偏移 考情分析 值点偏移是指函数在极值点左右的增减速度不一样，导致函数图象不具有对称 性，极值点偏移问题常常出现在高考数学的压轴题中，这类题往往对思维要求较 高，过程较为烦琐，计算量较大解决极值点偏移问题，有对称化构造函数法和 比值代换法，二者各有千秋，独具特色. 二、知识梳理 1.极值点不偏移 已知函数x)图象的顶点的横坐标就是极值点，若x)=c的两根的中点刚好满 足1十力=，即极值点在两根的正中间，也就是说极值点没有偏移此时函数) 2 在x=两侧，函数值变化快慢相同，如图① (无偏移，左右对称，如 /x) y-c X1 X2 x 图① 二次函数)若x1)=x2),则x +X2=2x0. 2.极值点偏移 若十≠如，则极值点偏移， 2 如图②③ (左陡右缓，极值点向左偏移) 此时函数x)在x=两侧，函数值变化快慢不同， fx) X1Xo X2 x 图② 若x1)=x2),则x1十2>2xo. (左缓右陡，极值点向右 X1 Xo 图③ 偏移)若x1)=x2) fx) 2龙 则1十x2<2x0. o) 三、考点扫描 考点一 对称化构造函数 例1(2025·山东青岛市调研)已知函数 (I)若寸恒成立，求m的取值范围； (2)若f(x)有两个不同的零点5，证明：三. t序. 养 【解】(1)首先由（可知f(x)的定义域是(Q对，从而 从而当（时八寸(，当x心l时y 故f(x)在(0)上递增，在(1+对上递减，所以f()具有最大值大D所以 命题等价于a≤，即n:所以m的取值范围是(0，©！ (2)【证明】不妨设x飞，由于f(x在(0)上递增，在(1对上递减，故一定 有©玉在的范围内定义函数之则 所以p()单调递增.这表明t>C时 ,即米又因为 长专主，且2x和X,都大于1，故由 f(x)在（们，+对上的单调性知2Xx,即Y 规律方法： 对称化构造函数法构造辅助函数 (1)对结论x1十x2>2xo型，构造函数Fc)=x)一2xo一x) (2)对结论x1x>x型，方法一是构造函数F)=x)-孔x,i 通过研究Fx)的单调 性获得不等式；方法二是两边取对数，转化成lnx1+ln2>2lnxo,再把lnx1,lnx2 看成两变量即可. 对点训练 (2025安微准南市模拟)已知函数 Ke. (1)若(，证明：∈C时，⊙； (2)若函数.恰有三个零点S飞，证明： 是 米 【证明】(1)C时， (,Q上单调递增，所 函数 以 ● 忌+H 则 ,九⊙在 飞，显然x=1为函数的一个零点，设为x?.设函数 ， & 当x∈C时，⑧E,当X④时，⑧， x1 +] 故()在(1O上单调递减，在©上单调递增.由已知，必有两个零点s 且©.下证：Y(, 设函数 有，放(， 即函数 即有，由于 S>,所以(. 则⑧ cH x] 由Fa(k则e由) 在(1O上单调递减，所以 会，且在⑨上单调递增，所以 考点二比、 差值换元构造函数 例2已知函数x)=lnx一axx>0),a为常数.若函数x 求证：x1x2>e2 )有两个零点1，x2(x1≠x2), 【证明】方法一：不妨设1>x2,因为lnx1一ax1=0,ln2一x2=0,所以lnx1十 In2=ax十)，n-lnx2=ak一，所以ln-血=a欲证，e,即证 X1一X2 n+Ih>2.因为ln+lhx=a十)，所以即证a心2 所以原问题等价 X1十X2 于证明血1一n女2， 即h2(n-2) X1一X2X1十X2 X2 X1+X2 令c=(c),则不等式变为1nc心2(c X2 十 4 (c-1)2 0, (c+1)2c(c+1)2 2(c-1 h(c)>h(1)=In 1-0=0,In c- c+1 1 令0=nc2 (c>1),所 所以h(c)在(1，+oo)上单调递增，所以 >0(c>1),因此原不等式x2>e2得证. 方法二：由题意，函数x)有两个零点1，x2(x2),即x1)=x2)=0,易知lnx1, lnx2是方程x=ae*的两个根，设t1=lnx1,t2=ln2,g)=xex,则gt)=g(), 从而x1x2>e2台lnx1+lnx2>2台1十2>2.下证：ti+t2>2.g'(x)=(1-x)ex,易得gx) 在（一0,1）上单调递增，在(1，十0)上单调递减， 所以函数g)在x=1处取得极大值g1)=1当x→一0时，g)一→一0；当x一→十o 时，gx)→0且g(x)>0,由gt)=g(),t1≠，不妨设1<2，作出函数gx)的图象 如图所示， 1 y=g(x) e 2互 由图知必有0<<1<2.令Fx)=g(1+x)-g(1-x),x∈(0,1]，则F'(x)=g(1+x) +g(-)=盖e产-I0,所以F在O,上单调递增，所以FO)=0 e 对任意的x∈(0,1]恒成立，即g(1+x)>g(1-x)对任意的x∈(0,1]恒成立.由 0<1<1<2,得1-t1∈(0,1)，所以g[1+(1-1)]=g(2-Pg(1-(1一t1)=g(1)= g(t2),即g(2-1)Pg(2)又2-1，t2∈(1，十o0),且gx)在(1，+o)上单调递减， 所以2-t1<2,所以t1十2>2，即x1x2>e2 规律方法： 比值代换法是指通过代数变形将所证的双 的函数不等式，利用函数单调性证明. 变量不等式通过代换=化为单变量 X2 对点训练 (2025广东湛江市模拟)已知个色口 (1)求（的单调区间 (2)函数（的图象上是否存在两点型（其中多），使得直线B 与函数八)的图象在飞5处的切线平行？若存在，请求出直线B的方程： 2 若不存在，请说明理由 【解】(1)由题可得 C,所以O, 多时，( 在？习上单调递增 因为 所以当P时，⊙(，四在Q2☑上单调递减，当 心⊙在习上单调递增综上，⊙在Q2上单调递减， (2)由题意得，斜率 年岁 李季的 > 2 得戈xx+少. 2 In 龙 i X 戈 +1 即士 X,即 Q冈上是增函数，所以⊙®‘ AB不存在. 0 f= · x,不妨设X, 则t>l,记 片安 以 所以8)在 所以方程团无解，则满足条件的两点 四、巩固提升 1、(2025湖南邵阳市模拟节选)已知函数←本当a=，时， 若方程人寸老有三个不相等的实数根飞，且多3，证明：≤ 【证明】当a=时，可得李A,是合弟寸 年或大故川在(9头3内单调递增，在(L3到 内单调递减由题意可得：《马因为长东大东，令 则 可知刊在(0) 内单调递增，则域1，可得2→在(Q)内恒成立.因为 则三，且 ≥琴琴等在(1,3)内单调递减，则 2,即x三.令事，则 可知h(x)在(1,3) 内单调递增，则飞对（③C,可得大百在(1,3）内恒成立，因为玉三， 则享，且三在(3妙内单调递增，则 6X,即（由和（可得 2、(2025·河北沧州市模拟节选)己知函数)=1nx =0有两个实根灯，2，且2>2，求证：32 参考数据：ln2≈0.693，ln3≈1.099 ax-1(a∈R).若方程fx)十2 【证明】由题意知fx)+2=lnx-ax+1=0,于是 +H,令2=，则由 1ns十H=2 X1 21可得P2.于是1=2_lht！_血件n+1,即n= xI In x1+1 Inx1+1 ni-1.从而ln2 t-1 =In t+In xI= 1n(-1,另一方面，对x32两端分别取自然对数，则有1n十2n t-1 x2>5ln2-3,于是，即证 lnt+2ht_-3>51n2-3,即 +21t>5n2,其中P2, t-1t-1 t-1 设g(0= +21t,P2.则g0 t- 3f+21 . t 设e0=-3n1+21-}1,r2,则p0=-+2+ 2-31+1_ 2 QD-D0在2，+o)上恒成立，于是o0在(2，十0)上单调递 2 增，从而心2)=-3n2+4-，-1=、-3n2>0,所以g0,即函数g0在2， 2 2 +0)上单调递增，于是g少g2)=5n2.因此空 e3 即原不等式成立. 米 感谢观看 THANKS