第三章 课时4 利用导数研究三次函数课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“利用导数研究三次函数”专题，覆盖单调性、极值、零点、切线、对称性等高考核心考点，依据高考评价体系分析各考点考查权重，如单调性与零点问题占比超60%，归纳选择、填空、解答等常考题型，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于高考真题深度融入与应试技巧指导，结合2025新高考II卷极值点问题、2024新高考1卷单调性多选题，通过导数判别式分析单调性、极值符号判断零点个数等方法，培养数学思维与逻辑推理素养。帮助学生掌握答题技巧，教师可精准把握学情，提升复习效率。

课时4 利用导数 研究三次函数 一、知识梳理 1、基本性质 设三次函数为冕(a， 性质1：①定义域为R; ②值域为R,函数在整个定义域上没有 b,c,cR且aC),其基本性质如下 最大值、最小值； ③单调性和图象（△为导数f中的判别式）： a C a-C △C △C △C △≤C 图 象 X1 X2x Xo X X1 X2 Xo 性质2：三次函数的零点 由于三次函数在高考中出现频率最高，且四次函数、分式函数等都可转化为三次 函数来解决，故以三次函数为例来研究根的情况.设三次函数 其导数为二次函数 判别式 为△=三设田的两根为x,x,,结合函数草图易得： (1)若乃，则⑧恰有一个实根 (2)若乃廷，且③，则田恰有一个实根 (3)若乃（且4，则田有两个不相等的实根 (4)若乃云毛且©4，则田毛有三个不相等的实根 说明：，含有一个实根的充要条件是曲线四与x轴只相交一次，即 在R上为单调函数（或两极值同号），所以乃云延（或乃，且 (5)四有两个相异实根的充要条件是曲线因与x轴有两个公共点且其 中之一为切点，所以乃∈，且 (6)有三个不相等的实根的充要条件是曲线⑧与x轴有三个公共点， 即)有一个极大值，一个极小值，且两极值异号，所以乃4，且 性质3：对称性 (1)三次函数的图象是中心对称曲线，且对称中心是 (2)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数， 期函数. 名心盈 周期函数的导数还是周 【拓展知识】 b (1)其导数为， 图象对称轴为= 3a,所以对称中心的 横坐标也就是导数图象的对称轴，可见J图象的对称中心在导数（女 图象的对称轴上，且横坐标又是两个极值点的中点，同时也是二阶导数的零点 (2)四是可导函数，若四的图象关于点m)对称，则⑧的图 象关于直线为对称 (3)若1的图象关于直线对称，则的图象关于点0对称 (4)已知三次函数才忌三图象的对称中心横坐标为，若八)存 作两个极值点，，则有代登室 三、基础回顾 1.判断正误.（正确的打V,，错误的打×) (1)若三次函数x)有两个极值点，则 其导数fx)的△≥0.(×) (2)三次函数的图象是中心对称图形. (√) (3)三次函数有三个单调区间.(×) (4)三次函数有三个零点. (×) 2.已知函数=c+a一1x++1 A.[0,1] B.(-∞，0]U[1 C.[0,2] D.(-∞，0]U[2, C【解折】由一产+a一1+x+ [2(a-1)]-4≤0，解得0<≤2.故选C. 没有极值，则实数α的取值范围是( 十∞) 十∞) 1,得f(x)=x2+2(a-1)x+1.根据题意，得 3.已知三次函数⊙在( A.{m B.(m 上是减函数，则实数m的取值范围是() C.{m} D.{ml☒} A【解析】对函数公求导，得.因为函数)在（上是 减函数，则（在R上恒成立，即恒成立.当(，即一C时， 31恤成立；当A,即C时，(，则3，即因为≥0 所以3区，即区.又因为当时，→不是三次函数，不满足题意， 所以(.故选A. 4、函数东的最小值为 时，(，〔单调递增，当 33 3时，e,单 调递减，所以 图周受一所9 小值为6， 三、考点扫描 考点一三次函数的单调性、极（最)值 例1（1)已知函数fx)=一x3十x2-x-1在( 的取值范围是 -3≤a≤3【解析】 由题意，得x)= 成立，则4=4a2-12≤0，解得-V3≤a≤3 o,十o)上是单调函数，则实数a 3x2+2x-1≤0在(-0，十0)上恒 (2)(2025·新高考Ⅱ卷) = 若x2是函数三三的极值点，则 4【解析】由题意，有李， 所以羊 因为2是函数代x极值点，所以三写，得2， 当时，字宇自 当 弹调递增，当 ⊙单调递减， 当《单调递增， 所以2是函数李{美兼的极小值点，符合题意 所以。羊 对点训练（多选题）(2024·新高考I卷) A.3是的极小值点 B.当O时，⊙.守 C.当时， D.当时，7 设函数三，则有() ACD【解析】对于选项A,因为函数(y的定义域为R, 而 易知当x13时，（寸(，当年©或x3时，八对( 函数.f()在（列上单调递增，在(1,3）上单调递减，在(3+上单调递增， 故3是函数()的极小值点，正确： 对于选项B,当Ox时，吴是，所以忌<， 而由上可知，函数(d在(0，)上单调递增，所以守，错误； 对于选项C,当三时，三，而由上可知，函数f(在(1,3)上单调递 减，所以，即。，正确： 对于选项D,当时， 所以，正确.故选ACD 考点二三次函数的零点问题 例2(1)函数g)=x3-6x2+9x-10的零点有 个. 1【解析】gx)=x3-6x2+9x-10,故g(x)=3x2-12x+9=3(x-1)x-3),故函 数在（一0,1）和(3，十o)上单调递增，在[1,3]上单调递减，则函数的极大值为g(1) =1-6+9-10=-6<0,函数的极小值为g(3)=27-54+27-10=-10<0, 当x→十o时，fx)→十0，故函数共有1个零点. 2)(2025·四川绵阳市模拟)已知函数 取值范围是() A.(-s 9B.(9字 尖是存在3个零点，则实数a的 C.(4 D.(30 B【解析】是a, 则 若(x)要存在3个零点，则八要存在极大 且当 值和极小值，则aO, 当受 做的数大值为)司 若(x)要存在3个零点，则 故选B. 极小信为 -a 3 小 0, +20 即 解得 <0, +20 对点训练设a为实数，函数B (1)求(x)的极值 (2)是否存在实数a,使得方程(y(恰好有 的值；若不存在，请说明理由. 两个实数根？若存在，求出实数a 【解】(1) 对；当时， 上递减，在口D上递增， 大)一E 王，令对(，得x或1.因为当∈时， ((;当xc目时，寸f.所以在(e 在Q上递减，的极小值为1，极大值为 (2)由(1)知，f9在(3上递减， 一三正，即函数的极大值大于极小值 0,此时曲线f(x)与x轴恰好有两个交点， 图①所示.所以2∈，即=三. a+2 图① 图② 在(1少上递增，在①上递减，而 所以当极大值等于0时，极小值小于 即方程（对恰好有两个实数根，如 当极小值等于0时，极大值 (对恰好有两个实数根， C2或=2时，方程寸 大于0，此时曲线（与x轴恰有两个交点，即方程 如图②所示.所以2(，即2.综上所述，当 恰好有两个实数根. 考点三三次函数图象的切线问题 例3（2025·江西高三校联考)已知函数东=是 (1)求曲线人y在点性)处的切线方程： (2)设，若过点可作曲线人寸的三条切线，证明：2大 (1)【解】 则在点 理得 P处的切线方程为铁→， 整 (2)【证明】多，构造函数 即 与过点 可作曲线人寸的三条切线等价于函数g()有三个不同的零点 专≥，故函数g(t)在（∞-）上单调递减，(1n上单调递增， 年新连速，所以风。即 22 可得2大 对点训练已知三次函数f)的零点从 的切线1过点(2,0，则座（〉 8 A.- B.-2 5 小到大依次为m,0,2,其图象在一处 D. 3 3 2 B【解析】由题意可设 则 ，可得才， 即切点坐 标为 （功，切线斜率府， 则切线方程为 3李，代入点(20得本守，且风，得 月，解得2乏故选B 考点四三次函数图象的对称问题 例4（多选题）(2024·新课标Ⅱ卷)设函数三，则有() A.当C>时，f有三个零点 B.当QC时，=C是f的极大值点 C.存在a,b,使得x七为曲线的对称轴 D.存在a,使得点(1)为曲线的对称中心 AD【解析】对于选项A, 由于C>l,故 我时.《氏，故在(cs残上单调递增，x 时，(，单调递减，则在（处取到极大值，在产处取到极 小值，由©长，④<，则O©式，根据零点存在定理， 在Q④上有一个零点，又 则 则代四在《≥上各有一个零点，于是 >l时，©有三个零点，A选项正确 对于选项B, 时(，f9单调递增， 错误 ,©单调递减， 此时©在一C处取到极小值，B选项 对于选项C,假设存在这样的a,b,使得b为f©图象的对称轴，即存在这样 的a,b,使得 即 根据 二项式定理，等式右边展开式含有x的项为 于是 等式左右两边x的系数都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在这样的α，b, 使得b为f©图象的对称轴，C选项错误 对于选项D,方法一（利用对称中心的表达式化简）：①二安，若存在这样 的a,使得①3为田图象的对称中心，则今三， 事实上， 12-690 知三≥，于是 ,即12c-24-0 18-12a=66% 解得2，即存在使得Q①少是f©图象的对称中心，D选项正确 方法二（直接利用拐点结论）：任何三次函数图象都有对称中心，对称中心的横 坐标是二阶导数的零点， 于是该三次函数图象的对称中心为 由题意 Q少也是对称中心，故)一x三，即存在使得Q①是.⊙图象的 对称中心，D选项正确.故选AD 规律方法： (1)f©的对称轴为 (2)f关于对称三手 (3)任何三次函数 受忌✉都有对称中心，对称中心是三次函数 防药点，样的肤标是e-,(名不 是三次函数的 对称中心 对点训练（多选题）(2025·广东珠海市开学考试)已知三次函数 导爱若函数®今的图象关于点(1,0)对称，且(， 则有() A.a0 B.S)有3个零点 C.f©图象的对称中心是(H,O D.2 ABD【解析】由题设，， 且客今，所以 整理得 3-b 故 ao-3 可得会，故 三三，又≥，即O,A正确；)有3个零点，B正 确；由 所以f©图 象关于(1对称，C错误： ， D正确.故选ABD 米 感谢观看 THANKS