精品解析：2026年河北邢台市信都区皇台底中学九年级初中学业水平模拟考试数学

2026年河北邢台市信都区皇台底中学九年级初中学业水平模拟考试数学 注意事项：共8页，总分120分，时间120分钟． 一、选择题（本大题共12小题．每小题3分．共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 如图，某工程队测得点的海拔为，点的海拔为，则点与点之间的高度差为（ ） A. B. C. D. 2. 2026年11月9日是第35个全国消防日．下列消防安全标志中，文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 利用课后服务时间，同学们在操场上进行实地测量．如图，在处测得建筑物在南偏西的方向上，在处测得建筑物在南偏西的方向上．在建筑物处测得A，B两处的视角的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 若，则（ ） A. B. 3 C. D. 9 6. 下列为不同空容器的主视图，嘉嘉选取其中一个并向容器内匀速注水，容器内水面的高度与注水时间的函数关系的图象大致如下图所示，则嘉嘉所选容器的主视图可能是（ ） A. B. C. D. 7. 化简分式：的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点是正六边形边上一点，将正六边形沿折叠，使点的对应点落在对角线上，点的对应点落在处，则（ ） A. B. C. D. 9. 已知关于的一元二次方程． ①若，则该方程一定有一个根为； ②若方程的两个根为和2，则和的数量关系为． 下列判断正确的是（ ） A. ①②的说法都正确 B. ①②的说法都错误 C. ①的说法错误，②的说法正确 D. ①的说法正确，②的说法错误 10. 按照下列步骤作图，得到下图： ①任意画两条相交直线，n，记交点为； ②以点为圆心，分别在直线m，n上截取与，与．使； ③顺次连接A，B，C，D得到四边形． 若添加下列一个条件后，使得四边形是菱形，则这个条件是（ ） A. B. C. D. 11. 某班举办“近视防控”主题知识问答活动（共5道题，答对一题得2分，答错或不答不得分）．将全班48名学生的成绩进行统计，制作成如图所示的扇形统计图（不完整）．根据统计图中的信息，下列结论错误的是（ ） A. 全班48名学生成绩为6分的有16人 B. “4分”所在扇形的圆心角的度数为 C. 全班48名学生成绩的众数一定是6分 D. 全班48名学生成绩的中位数可能是4分 12. 如图，线段两端点分别在轴负半轴、轴负半轴上，的面积为2，将线段绕平面内一点旋转，点的对应点在反比例函数的图象上，点的对应点在反比例函数的图象上．若点的横坐标是点的横坐标的倍，则的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．把答案写在题中横线上） 13. 请写出一个含有字母和，且系数为，次数为3的单项式：___________． 14. 如图，在中，，，点是AB边上一点（不与点A，B重合），点是的内心，则____________． 15. 如图，直线与直线的交点在第四象限，则的取值范围是____________． 16. 利用无人机探照灯可以测量坡面的坡度．如图，一架无人机探照灯在点处，测得它的下边缘光线落在坡脚点处，上边缘光线落在斜坡点处，此时无人机离水平地面为8米．将无人机沿水平方向前进3米到达点处，探照灯的上、下边缘光线，落在斜坡，处，，此时点恰好在的正上方，现测得，则的值为____________． 三、解答题（本大题共8小题、共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解答下列各题． （1）根据方程补全下表： 1 ____________ ____________ ____________ 2 （2）根据方程补全下表： ____________ ____________ ____________ 2 （3）根据以上两表中的数据，直接写出方程组的解． 18. 凭借太行山区得天独厚的地理条件与丰富的自然资源，石家庄市赞皇县蓬勃发展的蜜蜂养殖业，成为当地特色产业． （1）中华蜜蜂是中国本土最常见的蜂种，一只中华蜜蜂的质量是，一个鸡蛋的质量是，相当于多少只中华蜜蜂的质量和（结果用科学记数法表示）； （2）将蜂蜜全部放入如图所示的甲、乙两个杯子中，甲、乙两个杯子分别装有和水，要使两杯溶液中蜂蜜与水的体积比相同，求两个杯子中应分别放入蜂蜜多少． 19. 如图， ，直线与交于点，连接． （1）求证：； （2）若，求证：平分． 20. 四张卡片正面分别写有．除正面的代数式不同外其余均相同． （1）计算：； （2）将四张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取两张，请用列表或画树状图的方法列举取出的卡片上代数式之积的所有可能结果（化为最简）．并求出计算结果的常数项为负数的概率． 21. 在测浮力的实验中，下方为盛水的烧杯，上方有弹簧测力计悬挂的长方体，将长方体缓慢下降，直至长方体完全没入水中，各种状态如图1所示，整个过程中，弹簧测力计的读数与长方体下降高度的关系图象如图2所示．其中AB段的函数关系式为． （1）根据图1和图2，填写序号：点对应状态为____________，点对应状态为____________； （2）求a，b的值； （3）已知在状态③时长方体浸入水中的高度为，求此时弹簧测力计的读数． 22. 综合与实践 ［情境］如图1，在四边形中，，，，． 【探究】在图1的基础上，取边的中点，过点作交于点，将绕点逆时针旋转到的位置，使点与点重合，得到图2． （1）请判断四边形的形状，并说明理由； （2）【应用】如图3，四边形中，． 请仿照图2（线段、、）借助刻度尺或三角尺在图3中画出类似的剪拼线，使得四边形通过剪拼得到一个平行四边形（画出一种即可，不说理由）； （3）【拓展】如图4，在五边形中，，． 若沿一条直线将图形剪开，使得到的两个图形的面积相等． ①这样的直线有____________（填“1”“2”或“无数”）条； ②画出符合要求的一条直线（可以借助刻度尺或圆规，保留作图痕迹，不写作法）． 23. 把抛物线先向右平移个单位长度．再向下平移个单位长度得到抛物线，抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），其对称轴与轴交于点，抛物线与交于点，如下图. （1）抛物线的顶点坐标为____________，抛物线的解析式为____________； （2）若将线段平移得到，使线段恰好落在抛物线对称轴的右侧，且点恰好落在抛物线上，点恰好落在抛物线上． ①求的长； ②求点的坐标； （3）若直线恰好与拋物线和共有三个公共点，直接写出的值． 24. 如图1和图2，点A，B在数轴上对应的数分别为，，将数轴绕点逆时针旋转．点的对应点落在平面上的点处．点在射线上（不与点重合），过点作切于点，连接，记与直线的另一个交点为，设点在数轴上的读数为x． （1）的长为____________，____________； （2）如图1，当点落在直线上时． ①求点在数轴上的读数； ②求的长； （3）如图2，当点在直线上方，且到直线的距离为时，求的长； （4）若的外心在该三角形的内部，直接写出符合条件的整数的个数． （参考数据：取，取，取） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年河北邢台市信都区皇台底中学九年级初中学业水平模拟考试数学 注意事项：共8页，总分120分，时间120分钟． 一、选择题（本大题共12小题．每小题3分．共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 如图，某工程队测得点的海拔为，点的海拔为，则点与点之间的高度差为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：点与点之间的高度差为： ， 2. 2026年11月9日是第35个全国消防日．下列消防安全标志中，文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，故此选项符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 3. 已知，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得 ． 4. 利用课后服务时间，同学们在操场上进行实地测量．如图，在处测得建筑物在南偏西的方向上，在处测得建筑物在南偏西的方向上．在建筑物处测得A，B两处的视角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将实际问题转化为方向角的问题即可解答． 【详解】解：如图， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了方位角，解答此类题的关键是认清方位角，再结合三角形的内角与外角的关系求解． 5. 若，则（ ） A. B. 3 C. D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】利用完全平方公式展开左边，根据等式两边无理数部分系数相等列方程，即可求出a． 【详解】解：，， ∴， 解得． 6. 下列为不同空容器的主视图，嘉嘉选取其中一个并向容器内匀速注水，容器内水面的高度与注水时间的函数关系的图象大致如下图所示，则嘉嘉所选容器的主视图可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】匀速注水时，单位时间内注入的水量固定，因此横截面积越大，水面高度上升越慢；横截面积越小，水面高度上升越快，据此结合函数图象判断容器形状即可． 【详解】解：水面高度与注水时间的函数图象是一条越来越平缓的曲线，说明水面高度上升速度越来越慢，即容器的横截面积随高度增加而逐渐变大，故容器应为从下往上越来越宽， 对各选项分析如下： 选项A：容器下部宽度不变，上部宽度变小，不符合题意； 选项B：容器从下往上逐渐变宽，符合题意； 选项C：容器上下宽度不变，不符合题意； 选项D：容器下宽上窄，不符合题意． 7. 化简分式：的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：C． 8. 如图，点是正六边形边上一点，将正六边形沿折叠，使点的对应点落在对角线上，点的对应点落在处，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出正六边形的每个内角，再求出、 的度数，最后根据平角解答即可． 【详解】解：六边形是正六边形， 正六边形的每个外角，每个内角， ， ， ， ， 由题意可得： ， ， ． 9. 已知关于的一元二次方程． ①若，则该方程一定有一个根为； ②若方程的两个根为和2，则和的数量关系为． 下列判断正确的是（ ） A. ①②的说法都正确 B. ①②的说法都错误 C. ①的说法错误，②的说法正确 D. ①的说法正确，②的说法错误 【答案】A 【解析】 【详解】解：①．∵将代入，可得 ， 又∵， ∴满足方程，即方程一定有一个根为，故①说法正确． ②．∵方程的两个根为和，两根都满足方程，代入得： ， ，得 ， ∴，故②说法正确． 综上①②都正确． 10. 按照下列步骤作图，得到下图： ①任意画两条相交直线，n，记交点为； ②以点为圆心，分别在直线m，n上截取与，与．使； ③顺次连接A，B，C，D得到四边形． 若添加下列一个条件后，使得四边形是菱形，则这个条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由对角线互相平分的四边形是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， A、添加，此时平行四边形变为矩形，不是菱形； B、添加，无法推出对角线垂直或邻边相等，不能判定为菱形； C、添加，即，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可以判定为菱形； D、添加，则，此时平行四边形是矩形，不是菱形； 所以正确条件是选项C． 11. 某班举办“近视防控”主题知识问答活动（共5道题，答对一题得2分，答错或不答不得分）．将全班48名学生的成绩进行统计，制作成如图所示的扇形统计图（不完整）．根据统计图中的信息，下列结论错误的是（ ） A. 全班48名学生成绩为6分的有16人 B. “4分”所在扇形的圆心角的度数为 C. 全班48名学生成绩的众数一定是6分 D. 全班48名学生成绩的中位数可能是4分 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、全班48名学生成绩为6分的有（人），故A正确； B、“4分”所在扇形的圆心角的度数为，故B正确； C、∵扇形统计图中6分的圆心角最大， ∴全班48名学生成绩中6分的人数最多， ∴全班48名学生成绩的众数一定是6分，故C正确； D、全班48名学生成绩为8分的有（人），4分的有（人）， ∴8分的人数和6分的人数和为（人） ∴从大到小排列后，中间的两个数为第24名和第25名，分别为6分和6分， ∴全班48名学生成绩的中位数是（分），故D错误． 12. 如图，线段两端点分别在轴负半轴、轴负半轴上，的面积为2，将线段绕平面内一点旋转，点的对应点在反比例函数的图象上，点的对应点在反比例函数的图象上．若点的横坐标是点的横坐标的倍，则的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，设点，则，由旋转得到， ，，结合图形面积的计算列式求解即可． 【详解】解：将线段绕平面内一点旋转，点的对应点在反比例函数的图象上，点的对应点在反比例函数的图象上，点的横坐标是点的横坐标的倍， ∴设点，则， 如图所示，过点F作轴，过点E作轴交于点D， ∴ ，， 根据旋转得到， ，， ∵的面积为2， ∴ ， 解得，． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．把答案写在题中横线上） 13. 请写出一个含有字母和，且系数为，次数为3的单项式：___________． 【答案】（或，写一个即可） 【解析】 【分析】本题考查单项式的相关概念；根据单项式的系数和次数的定义，系数是数字因数，次数是所有字母的指数之和，因此需构造一个系数为、次数为且含有字母和的单项式. 【详解】解：单项式的系数为，次数为，且必须含有字母和，因此字母和的指数之和为， ∴、符合题意. 故答案为：（或，写一个即可）. 14. 如图，在中，，，点是AB边上一点（不与点A，B重合），点是的内心，则____________． 【答案】##115度 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形内心的定义和性质． 根据等腰三角形性质求出，再结合三角形内心的性质，求出的度数，进而求出的度数． 【详解】∵在中，，， ∴； 又∵是的内心， ∴平分，平分， ∴，； 又∵在中，， ∴， ∴， ∴； 又∵在中，， ∴ 15. 如图，直线与直线的交点在第四象限，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据两直线相交的问题解方程组得到交点坐标为，再根据第四象限点的坐标特征得到，然后解不等式组即可． 【详解】解：解方程组得， ∴直线与直线的交点坐标为， ∵直线与直线的交点在第四象限， ∴， 解得：． 16. 利用无人机探照灯可以测量坡面的坡度．如图，一架无人机探照灯在点处，测得它的下边缘光线落在坡脚点处，上边缘光线落在斜坡点处，此时无人机离水平地面为8米．将无人机沿水平方向前进3米到达点处，探照灯的上、下边缘光线，落在斜坡，处，，此时点恰好在的正上方，现测得，则的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，作于，根据题意是直角三角形，根据勾股定理求出的长，证明，根据对应线段成比例，推出，求出，推出，分别求出和，进而求出，根据，，进而求出。 【详解】如图，连接，作于， 点恰好在的正上方， ， ，， ，， ， ， 又， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 三、解答题（本大题共8小题、共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解答下列各题． （1）根据方程补全下表： 1 ____________ ____________ ____________ 2 （2）根据方程补全下表： ____________ ____________ ____________ 2 （3）根据以上两表中的数据，直接写出方程组的解． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据表格中的值一一代入方程计算即可求出对应的的值，表格中的值一一代入方程计算即可求出对应的的值； （2）根据表格中的值一一代入方程计算即可求出对应的y的值，表格中的值一一代入方程计算即可求出对应的的值； （3）根据（1）（2）表格中的值找出满足方程①又满足方程②的公共解． 【小问1详解】 解：由题意知方程， 当时，， 当时， ，解得， 当时， ，解得， 故填表如下： 1 0 6 2 【小问2详解】 由题意知方程， 当时， ，解得， 当时，，解得， 当时， ，解得， 故填表如下： 2 2 【小问3详解】 解：根据表格可得方程组的解是． 18. 凭借太行山区得天独厚的地理条件与丰富的自然资源，石家庄市赞皇县蓬勃发展的蜜蜂养殖业，成为当地特色产业． （1）中华蜜蜂是中国本土最常见的蜂种，一只中华蜜蜂的质量是，一个鸡蛋的质量是，相当于多少只中华蜜蜂的质量和（结果用科学记数法表示）； （2）将蜂蜜全部放入如图所示的甲、乙两个杯子中，甲、乙两个杯子分别装有和水，要使两杯溶液中蜂蜜与水的体积比相同，求两个杯子中应分别放入蜂蜜多少． 【答案】（1）相当于只中华蜜蜂的质量和 （2）甲杯子中应放入蜂蜜，乙杯子中应放入蜂蜜 【解析】 【分析】（1）先换算单位，再用一个鸡蛋的质量除以一只中华蜜蜂的质量即可； （2）设甲杯子中应放入蜂蜜，则乙杯子中应放入蜂蜜，根据“甲、乙两个杯子分别装有和水，要使两杯溶液中蜂蜜与水的体积比相同”列方程求解即可． 【小问1详解】 解：， （只）， ∴相当于只中华蜜蜂的质量和； 【小问2详解】 解：设甲杯子中应放入蜂蜜，则乙杯子中应放入蜂蜜， 依题意，得， 解得， ． 答：甲杯子中应放入蜂蜜，乙杯子中应放入蜂蜜． 19. 如图， ，直线与交于点，连接． （1）求证：； （2）若，求证：平分． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据同角的余角相等可得，结合 ，利用即可证明结论； （2）根据，结合已知易证，可得 ，即可证明结论． 【小问1详解】 证明：， ， ， 又， ； 【小问2详解】 证明：，， ∴，， ∴ ， ， ， ， ∴平分． 20. 四张卡片正面分别写有．除正面的代数式不同外其余均相同． （1）计算：； （2）将四张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取两张，请用列表或画树状图的方法列举取出的卡片上代数式之积的所有可能结果（化为最简）．并求出计算结果的常数项为负数的概率． 【答案】（1） （2）见解析； 【解析】 【分析】（1）根据多项式乘以多项式法则计算即可； （2）画出列表得出共有12种等可能的结果，计算结果的常数项为负数的有8种结果，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：由题意，列表得 由表可得，共有12种等可能的结果，其中计算结果的常数项为负数的有8个， ∴计算结果的常数项为负数的概率为． 21. 在测浮力的实验中，下方为盛水的烧杯，上方有弹簧测力计悬挂的长方体，将长方体缓慢下降，直至长方体完全没入水中，各种状态如图1所示，整个过程中，弹簧测力计的读数与长方体下降高度的关系图象如图2所示．其中AB段的函数关系式为． （1）根据图1和图2，填写序号：点对应状态为____________，点对应状态为____________； （2）求a，b的值； （3）已知在状态③时长方体浸入水中的高度为，求此时弹簧测力计的读数． 【答案】（1）②；④ （2） （3）此时弹簧测力计的读数为 【解析】 【详解】解：（1）②；④ （2）当时， ， ， 当时， ，解得， ； （3）当长方体浸入水中的高度为时， ， 将 代入， 得 ， 即此时弹簧测力计的读数为6N． 22. 综合与实践 ［情境］如图1，在四边形中，，，，． 【探究】在图1的基础上，取边的中点，过点作交于点，将绕点逆时针旋转到的位置，使点与点重合，得到图2． （1）请判断四边形的形状，并说明理由； （2）【应用】如图3，四边形中，． 请仿照图2（线段、、）借助刻度尺或三角尺在图3中画出类似的剪拼线，使得四边形通过剪拼得到一个平行四边形（画出一种即可，不说理由）； （3）【拓展】如图4，在五边形中，，． 若沿一条直线将图形剪开，使得到的两个图形的面积相等． ①这样的直线有____________（填“1”“2”或“无数”）条； ②画出符合要求的一条直线（可以借助刻度尺或圆规，保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】（1）解：四边形是矩形． 理由如下： ∵为边的中点，且是绕点逆时针旋转得到的， ∴ ， ∴ ， ， ∵，，三点共线， ， ∴，，三点共线， 在四边形中，， ∴ ， ∴ ， ∴，，三点共线， ∴是四边形， ∵， ∴， 又∵， ∴在四边形中， ， ∴四边形是矩形． （2） 四边形就所有的平行四边形， （3）①无数 ②直线(或)是所求直线（答案不唯一）， 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定，旋转的性质，平行四边形的性质，限定工具作图． （1）先证明，，三点共线，再证明，，三点共线，即证明了是四边形，然后根据有三个角是直角的四边形是矩形证明即可； （2）过的中点作，交的延长线于点，交于点，即可； （3）①这样的直线有2条；②分别取线段的中点，连接并向两侧延长，分别交 于，设直线和交于点，这直线(或)为所求直线． 【小问1详解】 解：；略 【小问2详解】 解：过的中点作，交的延长线于点，交于点，如图， 即为所求（答案不唯一） 【小问3详解】 解：①由下图的可知，过点的直线，且仅能与 的边、这组对边相交，且交点只在线段上的直线都满足条件，这样的直线有无数条；理由见下面②的说明， ②分别取线段的中点，连接并向两侧延长，分别交 于，连接，过点作交于点，连接直线 且交于点， ∴，， 又∵ ， ∴ ， 则，， ∵，， ∴ ， 同理可得： ， ∴ ，， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴直线 满足题意， （同样的，过点的直线，且仅能与 的边、这组对边相交，且交点只在线段上的直线，也满足题意.） 23. 把抛物线先向右平移个单位长度．再向下平移个单位长度得到抛物线，抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），其对称轴与轴交于点，抛物线与交于点，如下图. （1）抛物线的顶点坐标为____________，抛物线的解析式为____________； （2）若将线段平移得到，使线段恰好落在抛物线对称轴的右侧，且点恰好落在抛物线上，点恰好落在抛物线上． ①求的长； ②求点的坐标； （3）若直线恰好与拋物线和共有三个公共点，直接写出的值． 【答案】（1）； （2）①；②点的坐标为 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据抛物线平移“左加右减，上加下减”的规律，直接得到抛物线的顶点式解析式，再提取顶点坐标即可； （2）①由对称轴得点坐标，令求与轴交点得点的坐标，计算横坐标差即可得的长度；②利用平移性质得且，设，则，将点代入求解，结合“线段在对称轴右侧”的条件即可确定最终的点坐标； （3）由图像可知，若直线恰好与拋物线和共有三个公共点，则直线与只有一个公共点或经过点，分别计算两种情况下的值并验证，综合即可得解． 【小问1详解】 解：把抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，根据平移规律“左加右减，上加下减”， 可得抛物线的解析式为， ∴顶点坐标为； 【小问2详解】 解：①∵抛物线的对称轴为直线， ∴，令，解方程，得或， ∵在左侧， ∴， ∴ ， ②∵线段平移得到， ∴且， 设，则， ∵在上， ∴ ，即 ， 解得， ∴； 【小问3详解】 解：的值为或； 由图象可知，若直线恰好与拋物线和共有三个公共点，则直线与只有一个公共点或经过点， 当直线与只有一个公共点时，联立得， ，解得，此时直线与有两个交点，共个公共点，符合条件； 当直线过与的交点时， 令解得：， 此时， 即， 代入得 ，解得，此时直线与两抛物线共个公共点，符合条件； 综上，的值为或． 24. 如图1和图2，点A，B在数轴上对应的数分别为，，将数轴绕点逆时针旋转．点的对应点落在平面上的点处．点在射线上（不与点重合），过点作切于点，连接，记与直线的另一个交点为，设点在数轴上的读数为x． （1）的长为____________，____________； （2）如图1，当点落在直线上时． ①求点在数轴上的读数； ②求的长； （3）如图2，当点在直线上方，且到直线的距离为时，求的长； （4）若的外心在该三角形的内部，直接写出符合条件的整数的个数． （参考数据：取，取，取） 【答案】（1）15；90 （2）①点在数轴上的读数为5；② （3）4或5 （4）17个 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质得到，然后根据切线的性质得到； （2）①解直角三角形求出，进而求解即可； ②连接，得到，，然后利用弧长公式求解； （3）过点C作于点F，过点O作于点F，首先利用勾股定理求出，设，则，证明，得到，然后代入求解即可； （4）首先得到是锐角三角形，然后分两种情况讨论：和，分别利用勾股定理和解直角三角形求出当是直角三角形时x的值，进而求解即可． 【小问1详解】 解：∵点A，B在数轴上对应的数分别为，， ∴ ， 由旋转得，， ∵与相切 ∴； 【小问2详解】 解：①由旋转得， ∵ ∴ ∴点在数轴上的读数为：； ②如图，连接 ∴ ∵ ∴； 【小问3详解】 解：如图，过点C作于点F，过点O作于点F， 由（2）得， ∴ 设，则 ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 解得， 经检验，，是原方程的解，且符合题意 ∴的长为4或5； 【小问4详解】 解：∵的外心在该三角形的内部， ∴是锐角三角形 当点落在直线上时， ∴此时是直角三角形，如图，过点O作于点G ∵， ∴ ∴ ∵点在数轴上的读数为x ∴， 如图，当时，是直角三角形，过点O过于点G，过点O过于点H ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴四边形是矩形 ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵点在数轴上的读数为x ∴ ∴符合条件的整数的为到之间的整数，共17个． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $