精品解析：江苏南通市启东市第一中学2025-2026学年高一下学期第二次素质检测数学试题

江苏南通市启东市第一中学2025-2026学年高一下学期第二次素质检测数学试题 （考试时间120分钟，试卷满分150分，命题人：陈海华 审题人：龚飞） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知非零向量，，则“”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面共线向量的坐标表示求得，结合充分条件、必要条件的定义即可下结论. 【详解】易知， 由， 得，解得或（舍去）， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 2. 设复数满足，则的虚部为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用复数的除法化简复数，由此可得出复数的虚部. 【详解】，，因此，复数的虚部为. 故选：B. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二倍角的余弦公式可求得结果. 【详解】由二倍角的余弦公式可得． 故选：A． 4. 已知平面向量，，满足，，，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意将两边平方，结合数量积以及模的运算，即可求得答案. 【详解】由可得，即， 即，所以， 故选：D. 5. 如图，为了测量河对岸的塔高，选取与塔底在同一水平面内的两个观测点和，测得，，长米，并在处测得塔顶的仰角为，则塔高（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理求出，再利用直角三角形边角关系求解即得. 【详解】在中，，，则， 由正弦定理得，则， 在中，，所以. 故选：D 6. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，且函数是奇函数，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据三角函数的变换规则得到，根据奇偶性求出的取值，即可得解. 【详解】将函数的图象向左平移个单位得到： ， 又函数是奇函数， 所以，解得， 又，所以当时取得最大值，最大值为. 故选：D 7. 在中，，BC边上的高等于,则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：设 ,故选C. 考点：解三角形. 8. 如图，在三棱锥中，，二面角的正切值是，则三棱锥外接球的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二面角的正切值求得，由此判断出，且两两垂直，由此将三棱锥补形成正方体，利用正方体的外接球半径，求得外接球的表面积. 【详解】设是的中点，连接，由于， 所以，所以是二面角的平面角，所以， 由得. 在中，， 在中，， 在中，由余弦定理得：， 所以， 由于，所以 两两垂直. 由此将三棱锥补形成正方体如下图所示，正方体的边长为2，则体对角线长为. 设正方体外接球的半径为，则，所以外接球的表面积为， 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知复数，，则下列命题正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】取特殊值判断A、D；应用复数乘法的几何意义及共轭复数的性质判断B、C. 【详解】对于A，取，显然满足，但，故A错误； 对于B，因为，所以，故B正确； 对于C，因为，所以，故C正确； 对于D，取，满足，但，所以，故D错误． 故选：BC 10. 已知函数，则（ ） A. B. 在区间上单调递增 C. 若的图象关于直线对称，则的最小值是2 D. 若在区间上有且只有一个最大值，则的取值范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】由余弦二倍角公式及辅助角公式可判断A，由，求得 的范围，可判断B，通过对称轴代入，可判断C，由，求得 的范围，再结合正弦函数性质可判断D. 【详解】因为 A正确； 因为，所以，所以在区间上不单调，B错误； 因为的图象关于直线对称， 所以，所以 ， 又因为，所以，所以当时，取得最小值，最小值是，C正确； 因为，所以， 因为在区间上有且只有一个最大值， 所以，所以 D错误. 11. 如图，正方体的棱长为1，动点在线段上，F,M分别是棱AD,CD的中点，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 当为中点时， C. 存在点，使得平面平面 D. 点到平面ABC的距离为1 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题设得、、是边长为的等边三角形，且必交于一点，即可判断A、B、C；由线面平行的判定证平面ABC，再由已知判断D. 【详解】由平行且相等，则为平行四边形，故， 又F,M分别是棱AD,CD的中点，则，故，A对； 由题设易知是边长为的等边三角形， 所以为中点时，有，即，B对； 在平面内，必交于一点，又平面，平面， 所以平面，平面必交于一条直线，C错； 由，平面ABC，平面ABC，则平面ABC， 动点在线段上，结合已知点到平面ABC的距离为1，D对. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆锥的底面半径为，且它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的表面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面积列式求得圆锥母线长为，然后代入圆锥表面积公式计算即可. 【详解】设圆锥的母线为，因为底面半径，则，所以， 所以该圆锥的表面积. 故答案为： 13. 如图，在平行四边形中，，，是边的中点，是上靠近的三等分点，若 ，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理和向量的数量积进行求解即可. 【详解】因为， 则因为，所以. 又，所以，化简得， 解得（负值舍去），即. 14. 设锐角三个内角所对的边分别为,若，，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用余弦定理化简得，再利用正弦定理求出，再结合B的范围求出c的范围. 【详解】由及余弦定理可得，即，所以．又为锐角三角形，所以． 由正弦定理可得．由且可得，所以，所以，即．故的取值范围为． 故答案为 【点睛】(1)本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)解答本题利用了函数的思想，一定要注意考查B的范围，否则会出错. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，且为纯虚数（是的共轭复数）． （1）求的值； （2）复数在复平面对应的点在第一象限，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用共轭复数意义及复数的乘法运算计算，再利用纯虚数的意义求得实数m的值； （2）利用复数的除法求，再结合复数的几何意义求解. 【小问1详解】 依题意，，则， 由为纯虚数，得，所以. 【小问2详解】 由（1）得，复数， 由复数在复平面对应的点在第一象限，得，解得， 所以实数的取值范围是. 16. 如图，在三棱柱中，底面ABC，，点是的中点． （1）求证：； （2）求证：平面． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）通过证得，且，证得平面，进而证得； （2）设与的交点为，连结，由三角形的中位线定理得，结合线面平行的判定定理，即可证得平面. 【小问1详解】 证明：由底面，且底面，所以， 又因为，，且平面， 所以平面， 因为，所以． 【小问2详解】 证明：设与的交点为，连结， 因为是的中点，是的中点，所以， 因为平面，且平面，所以平面． 17. 已知的内角所对的边分别为，且． （1）求； （2）若，求周长的最大值． 【答案】（1） （2）9 【解析】 【分析】（1）由正弦定理可以变形为：，再由余弦定理进行求解； （2）设的外接圆半径为，由及正弦定理，求出．由余弦定理得，，即可求解． 【小问1详解】 由正弦定理及，得， ， ， ． 【小问2详解】 设的外接圆半径为， 由及正弦定理， 得， ． 由余弦定理得，， ，当且仅当时取等号，， 周长的最大值为9． 18. 如图，在中，点分别在边上，点为的中点且交于点． （1）若，证明：； （2）若，求的值； （3）若是边长为2的正三角形，点是与不重合的动点，求的取值范围． 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）． 【解析】 【小问1详解】 证明：因为点为的中点，所以， 因为，所以， 所以． 【小问2详解】 解：设，由， 得， 即， 即， 因为不共线，所以，解得． 【小问3详解】 解：因为是边长为2的正三角形，点为的中点， 所以，设， 则 因为，所以， 所以的取值范围是． 19. 如图，在四棱锥中，，，，是边长为6的等边三角形，平面平面，点为的中点，点在棱上，直线平面． （1）证明：平面； （2）求的值； （3）设二面角的平面角为，直线与平面所成的角为，若的取值范围是，求的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）只需证明，再结合平面平面以及面面垂直的性质即可得证； （2）由线面平行的性质得，所以，进一步即可求解； （3）由二面角的定义说明是二面角的平面角，设，结合的取值范围得，由线面角的定义说明为直线与平面所成的角，进一步得，结合的范围即可求解. 【小问1详解】 如图，连接，因为为等边三角形，是的中点，所以， 又平面平面，平面，平面平面， 所以平面． 【小问2详解】 连接交于点，连接， 因为平面，平面，平面平面， 所以，则， 因为，，所以，故． 【小问3详解】 如图，取的中点， 因为平面，，平面，所以，． 又，分别是，的中点，所以， 由，得， 因为，，平面，所以平面， 因为平面，则， 所以是二面角的平面角，即． 因为是边长为6的等边三角形，所以． 设，则，，得， 过作交于，连接，由平面，得平面， 所以为直线与平面所成的角，即． 由得，， 在中，． 在中，由余弦定理可得， 所以，所以 因为，所以， 所以的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏南通市启东市第一中学2025-2026学年高一下学期第二次素质检测数学试题 （考试时间120分钟，试卷满分150分，命题人：陈海华 审题人：龚飞） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知非零向量，，则“”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 设复数满足，则的虚部为（ ）． A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知平面向量，，满足，，，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 5. 如图，为了测量河对岸的塔高，选取与塔底在同一水平面内的两个观测点和，测得，，长米，并在处测得塔顶的仰角为，则塔高（ ） A. B. C. D. 6. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，且函数是奇函数，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，BC边上的高等于,则（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在三棱锥中，，二面角的正切值是，则三棱锥外接球的表面积是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知复数，，则下列命题正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知函数，则（ ） A. B. 在区间上单调递增 C. 若的图象关于直线对称，则的最小值是2 D. 若在区间上有且只有一个最大值，则的取值范围是 11. 如图，正方体的棱长为1，动点在线段上，F,M分别是棱AD,CD的中点，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 当为中点时， C. 存在点，使得平面平面 D. 点到平面ABC的距离为1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆锥的底面半径为，且它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的表面积为______. 13. 如图，在平行四边形中，，，是边的中点，是上靠近的三等分点，若 ，则______． 14. 设锐角三个内角所对的边分别为,若，，则的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，且为纯虚数（是的共轭复数）． （1）求的值； （2）复数在复平面对应的点在第一象限，求实数的取值范围． 16. 如图，在三棱柱中，底面ABC，，点是的中点． （1）求证：； （2）求证：平面． 17. 已知的内角所对的边分别为，且． （1）求； （2）若，求周长的最大值． 18. 如图，在中，点分别在边上，点为的中点且交于点． （1）若，证明：； （2）若，求的值； （3）若是边长为2的正三角形，点是与不重合的动点，求的取值范围． 19. 如图，在四棱锥中，，，，是边长为6的等边三角形，平面平面，点为的中点，点在棱上，直线平面． （1）证明：平面； （2）求的值； （3）设二面角的平面角为，直线与平面所成的角为，若的取值范围是，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $