精品解析：甘肃酒泉市部分学校2025-2026学年高一下学期5月阶段检测数学试题

高一数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：湘教版必修第二册第1章～第3章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【详解】复数在复平面内对应的点为，位于第二象限． 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以． 3. 已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则（ ） A. 30° B. 45° C. 150° D. 30°或150° 【答案】A 【解析】 【分析】运用正弦定理，结合三角形大边对大角的性质进行求解即可. 【详解】因为，，，所以由正弦定理可得，所以或150°．因为，所以，所以． 故选：A 4. “”是“复数为纯虚数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】由题意知，当时，，复数，是纯虚数，充分性成立； 当复数为纯虚数时，有， 解得，必要性成立， 则“”是“复数为纯虚数”的充要条件. 5. 如图，平行四边形的两条对角线相交于点，，，点是上靠近点的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由向量的加减法和数乘运算法则直接求解即可. 【详解】. 6. 已知钝角的三边长分别为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由为钝角的三边长，得， 解得，所以实数的取值范围是. 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由余弦二倍角公式，两角和的余弦公式，两角差的正切公式及余弦函数单调性即可判断. 【详解】，， 由， 则， 故， 显然，即． 8. 已知圆O的半径为2，弦，C是圆O上的一个动点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】取的中点D，则，， 所以， 因为，所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】BD 【解析】 【详解】向量不能比较大小，A错误； 表示向量大小相等，方向相同，所以，B正确； 若，则不能推出，C错误； 根据平面向量相等的定义，D正确． 10. 已知复数，，为的共轭复数，则下列结论中一定成立的是（    ） A. 为实数 B. C. 若，则 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】设复数，然后逐个分析判断即可. 【详解】对于A，设复数，则， 则，为实数，故A正确； 对于B，，，则，故B正确； 对于C，若，不妨取，则不成立，故C错误； 对于D，，则 ， ，则 ， 则，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知，且，则以下结论正确的是（ ） A. B. 有最大值 C. 有最大值 D. 有最小值 【答案】AC 【解析】 【分析】利用两角差正弦公式和条件得判断A；令，则，利用两角差的正切公式得，然后使用基本不等式求得有最大值，即可判断BCD. 【详解】对于A，因为， 又，所以， 则，故A正确； 对于BCD，令，则， 因为，所以，则， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以有最大值，故C正确，BD错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 复数的虚部是________. 【答案】 【解析】 【分析】直接利用复数的乘除运算法则化简即可. 【详解】因为，所以其虚部为. 故答案为： 【点睛】本题主要考查复数的乘除运算及复数的概念，考查基本运算能力，属于基础题. 13. _________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据结合二倍角的正弦公式即可得解. 【详解】 . 故答案为：. 14. 如图，某湖泊沿岸有四个镇，已知镇与镇之间的距离为，镇与镇之间的距离为，测得，，，则两镇之间的距离为__________． 【答案】 【解析】 【详解】在中，由余弦定理得 ， 所以，在中，， 在中，由正弦定理得， 所以， 所以， 在中， ，故． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数． （1）求； （2）若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用复数乘法运算化简，结合共轭复数即可求出； （2）通过复数相等求出的值，再利用模长公式即可求出. 【小问1详解】 ， 所以 ． 【小问2详解】 由 ，得， 即 ， 所以 ，解得，， 故． 16. 已知向量，． （1）求与垂直的单位向量的坐标； （2）若，求的坐标； （3）若，求与的夹角的余弦值． 【答案】（1）或 （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）由向量垂直的坐标公式和向量模长公式联立方程组计算可得结果； （2）由向量共线定理设，利用模长坐标公式计算得到的值，从而可得的坐标； （3）由可得，再用夹角公式计算即可. 【小问1详解】 设与垂直的单位向量的坐标为，所以， 解得或， 即与垂直的单位向量的坐标为或． 【小问2详解】 因为，设，则， 解得． 因此或． 【小问3详解】 因为，所以， 解得， 设与的夹角为，所以， 即与的夹角的余弦值为． 17. 已知函数． （1）求的最小正周期和单调递增区间； （2）若且，求的值． 【答案】（1），单调递增区间为（） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式降幂，再由两角和的正弦公式化简，最后由正弦函数的性质计算可得； （2）利用同角三角函数关系结合角的范围求得，然后由两角差的余弦公式代入求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以的最小正周期， 令（），解得（）， 所以的单调递增区间为（）； 【小问2详解】 由（1）可得，所以， 因为，所以， 所以， 所以 . 18. 剪纸是中国传统民间艺术，起源于汉朝，具有构图饱满、造型夸张、题材广泛、地域风格多样等艺术特点．现需在半径，面积为的扇形纸张内剪一个矩形，如图所示，C是扇形弧上的动点，D在线段上，A，B均在线段上． （1）求圆心角的大小（用弧度表示）； （2）设，且，求的长； （3）求矩形面积的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用扇形面积公式计算可得结果； （2）利用同角三角函数的关系计算得到，再由正弦的两角和差公式得到的值，最后由得到的长； （3）设，利用图形关系分别表示出和的长，再由表示矩形的面积，根据二倍角公式和辅助角公式化简可得最值. 【小问1详解】 设扇形的圆心角， 由扇形的面积，解得，所以． 【小问2详解】 由（1）知，，则， 由，得， 因此， 所以． 【小问3详解】 设，在中，，， 在中，， 则， 因此矩形的面积 ， 由，得， 则当，即时，矩形的面积取得最大值． 19. 记的内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若，求的周长； （3）若为边上一点，且的面积为，求的值. 【答案】（1） （2） （3）2 【解析】 【分析】(1)利用余弦定理求出的余弦值，从而得到角的大小； (2)利用正弦定理把边化为角，从而求出边长，再得到的周长； (3) 设 ，则，转化为向量求解. 【小问1详解】 由，两边平方整理得，即， 由余弦定理得，又，所以. 【小问2详解】 由知，则为钝角. 由，得， 所以， 又，所以，则 ， 所以，则，故. 由正弦定理，得，， 故的周长为. 【小问3详解】 由，得. 设 ，则， 所以， 所以， 则 ， 整理得 ， 由 ，知 ， 所以 ，解得，或（舍去）， 故 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：湘教版必修第二册第1章～第3章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则（ ） A. 30° B. 45° C. 150° D. 30°或150° 4. “”是“复数为纯虚数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 如图，平行四边形的两条对角线相交于点，，，点是上靠近点的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知钝角的三边长分别为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆O的半径为2，弦，C是圆O上的一个动点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 10. 已知复数，，为的共轭复数，则下列结论中一定成立的是（    ） A. 为实数 B. C. 若，则 D. 11. 已知，且，则以下结论正确的是（ ） A. B. 有最大值 C. 有最大值 D. 有最小值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 复数的虚部是________. 13. _________． 14. 如图，某湖泊沿岸有四个镇，已知镇与镇之间的距离为，镇与镇之间的距离为，测得，，，则两镇之间的距离为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数． （1）求； （2）若，求． 16. 已知向量，． （1）求与垂直的单位向量的坐标； （2）若，求的坐标； （3）若，求与的夹角的余弦值． 17. 已知函数． （1）求的最小正周期和单调递增区间； （2）若且，求的值． 18. 剪纸是中国传统民间艺术，起源于汉朝，具有构图饱满、造型夸张、题材广泛、地域风格多样等艺术特点．现需在半径，面积为的扇形纸张内剪一个矩形，如图所示，C是扇形弧上的动点，D在线段上，A，B均在线段上． （1）求圆心角的大小（用弧度表示）； （2）设，且，求的长； （3）求矩形面积的最大值． 19. 记的内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若，求的周长； （3）若为边上一点，且的面积为，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $