第二章 第11课时 幂函数与二次函数 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“幂函数与二次函数”专题，依据高考评价体系明确了幂函数图象规律、二次函数性质（单调性、最值等）及与方程不等式关系的考查要求，通过教材典题改编和考点分类，梳理出二次函数闭区间最值、幂函数图象辨析等高频题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“以题引理激活思维+考点精研提升素养”，如二次函数最值问题通过分类讨论对称轴与区间位置培养数学思维，结合2025年期中真题训练强化应用。特设易错点分析（如区间端点处理），帮助学生掌握解题技巧，教师可据此系统开展复习，提升备考效率。

第11课时　幂函数与二次函数 第二章 函数的概念与性质 [考试要求]　 1．通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律． 2．掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)，能用二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系解决简单问题． 第11课时　幂函数与二次函数 2 以题引理·激活思维 1．(人教B版必修第二册P37习题4－4AT1改编)已知幂函数f (x)的图象经过点，则f (4)＝(　　) A．－ D．2 √ 以题引理 精研考点 课后作业 第11课时　幂函数与二次函数 3 C　[设幂函数f (x)＝xα，因为其图象过点，则2α＝，解得α＝－，所以f (x)＝，则f (4)＝．故选C．] 4 2．(苏教版必修第一册P142习题6.1T4改编)如图，下列3个幂函数的图象，则其图象对应的函数可能是(　　) A．①y＝x-1，②y＝ B．①y＝x-1，②y＝ C．①y＝，③y＝x-1 D．①y＝ √ 以题引理 精研考点 课后作业 第11课时　幂函数与二次函数 5 A　[函数y＝的定义域为[0，＋∞)，其对应图象应为题图②；函数y＝x-1＝是反比例函数，其对应图象应为题图①；y＝的定义域为R且为奇函数，其对应图象应为题图③．故选A．] 6 3．(北师大版必修第一册P65习题2－3A组T2改编)函数f (x)＝－2x2＋4x，x∈[－1，2]的值域为(　　) A．[－6，2]　　 B．[－6，1] C．[0，2] D．[0，1] √ A　[函数f (x)＝－2x2＋4x图象的对称轴为直线x＝1，则f (x)在[－1，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减， ∴f (x)max＝f (1)＝2，f (x)min＝f (－1)＝－2－4＝－6，即f (x)的值域为[－6，2]．] 以题引理 精研考点 课后作业 第11课时　幂函数与二次函数 7 4．(人教B版必修第一册P139复习题A组T8改编)已知y＝f (x)为二次函数，若y＝f (x)在x＝2处取得最小值－4，且y＝f (x)的图象经过原点，则函数解析式为_________________． f (x)＝x2－4x　[由题意，可设f (x)＝a(x－2)2－4(a>0)， 又图象过原点， 所以f (0)＝4a－4＝0，a＝1， 所以f (x)＝(x－2)2－4＝x2－4x．] f (x)＝x2－4x 以题引理 精研考点 课后作业 第11课时　幂函数与二次函数 8 5．(人教A版必修第一册P91练习T2改编)已知a＝0.40.3，b＝0.30.3，c＝0.30.4，则a，b，c的大小关系是________．(用“<”连接) c<b<a　[由指数函数、幂函数的单调性可知0.30.4<0.30.3，0.40.3>0.30.3， 即c<b<a．] c<b<a 以题引理 精研考点 课后作业 第11课时　幂函数与二次函数 9 1．幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，函数________叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． y＝xα 以题引理 精研考点 课后作业 第11课时　幂函数与二次函数 10 (2)常见的五种幂函数的图象 以题引理 精研考点 课后作业 第11课时　幂函数与二次函数 11 2．二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f (x)＝__________________________． 顶点式：f (x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为__________． 零点式：f (x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f (x)的____． ax2＋bx＋c(a≠0) (m，n) 零点 以题引理 精研考点 课后作业 第11课时　幂函数与二次函数 12 (2)二次函数的图象和性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 (抛物线) 定义域 R 值域 以题引理 精研考点 课后作业 第11课时　幂函数与二次函数 13 对称轴 方程 x＝－ 顶点 坐标 奇偶性 当______时是偶函数，当______时既不是奇函数也不是偶函数 单调性 在上单调递__； 在上单调递__ 在上单调递__； 在上单调递__ b＝0 b≠0 减 增 增 减 以题引理 精研考点 课后作业 第11课时　幂函数与二次函数 14 二次函数在闭区间上的最值问题 (1)依据：数形结合与分类讨论思想． (2)结论：设二次函数f (x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，x∈[m，n]． ①当－≤m时，最小值为f (m)，最大值为f (n)； ②当m<－，最大值为f (n)； ③当，最大值为f (m)； ④当－≥n时，最小值为f (n)，最大值为f (m)． 以题引理 精研考点 课后作业 第11课时　幂函数与二次函数 15 考点一　幂函数的图象及性质 [典例1]　(1)如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限内的图象，已知n取±2，±四个值，则相对应曲线C1，C2，C3，C4的n依次为(　　) A．－2，－ ，－2 C．－ 精研考点·提升素养 √ 以题引理 精研考点 课后作业 第11课时　幂函数与二次函数 16 (2)已知a＝，则(　　) A．b<a<c B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b (3)幂函数y＝f (x)在(0，＋∞)上单调递减，且图象经过点(－1， －1)，请写出符合条件的一个函数解析式____________________． √ f (x)＝(答案不唯一) 以题引理 精研考点 课后作业 第11课时　幂函数与二次函数 17 (1)B　(2)A　(3)f (x)＝(答案不唯一) [(1)根据幂函数y＝xn的性质，在第一象限内的图象： 当n>0时，n越大，y＝xn递增速度越快，所以曲线C1的n＝2，C2的n＝； 当n<0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线C3的n＝－， C4的n＝－2．故选B． 18 (2)a＝，b＝，c＝2，幂函数y＝在R上单调递增，a<c，指数函数y＝16x在R上单调递增，b<a，∴b<a<c．故选A． (3)幂函数f (x)在(0，＋∞)上单调递减，设f (x)＝xα，则α<0，因为 (－1)α＝－1有很多解，如α＝－1，－3，－5，－等均符合题意． 故答案为f (x)＝(答案不唯一)．] 19 名师点评：幂函数的性质及应用 若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α>0；若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递减，则α<0． 提醒：在比较幂值的大小时，结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较． 以题引理 精研考点 课后作业 第11课时　幂函数与二次函数 20 [巩固迁移] 1．(多选)幂函数f (x)＝(m2－5m＋7)·在(0，＋∞)上单调递增，则以下说法正确的是(　　) A．m＝3 B．函数f (x)在(－∞，0)上单调递增 C．函数f (x)是偶函数 D．函数f (x)的图象关于原点对称 √ √ √ 以题引理 精研考点 课后作业 第11课时　幂函数与二次函数 21 ABD　[因为幂函数f (x)＝(m2－5m＋7)·在(0，＋∞)上单调递增， 所以解得m＝3， 所以f (x)＝x3，所以f (－x)＝(－x)3＝－x3＝－f (x)，故f (x)＝x3为奇函数，函数图象关于原点对称， 所以f (x)在(－∞，0)上单调递增．故选ABD．] 22 2．若(a＋1，则实数a的取值范围是___________． 　[易知函数y＝的定义域为[0，＋∞)，且在[0，＋∞)上单调递增， 所以解得－1≤a<．] 以题引理 精研考点 课后作业 第11课时　幂函数与二次函数 23 【教用·备选题】 1．如图所示是函数y＝(m，n∈N*且互质)的图象，则(　　) A．m，n是奇数且<1 B．m是偶数，n是奇数，且<1 C．m是偶数，n是奇数，且>1 D．m，n是偶数，且>1 √ 以题引理 精研考点 课后作业 第11课时　幂函数与二次函数 24 B　[由题干图象可看出y＝为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，但递增速度越来越平缓，故∈(0，1)且m为偶数，又m，n∈N*且互质，故n是奇数．故选B．] 25 2．幂函数f (x)＝(m2－3m－3)xm在区间(0，＋∞)上单调递减，则下列说法正确的是(　　) A．m＝4 B．f (x)是减函数 C．f (x)是奇函数 D．f (x)是偶函数 √ 以题引理 精研考点 课后作业 第11课时　幂函数与二次函数 26 C　[函数f (x)＝(m2－3m－3)xm为幂函数，则m2－3m－3＝1，解得m＝4或m＝－1． 当m＝4时，f (x)＝x4在区间(0，＋∞)上单调递增，不满足条件，A错误； 当m＝－1时，f (x)＝x-1在区间(0，＋∞)上单调递减，满足题意． 函数f (x)＝x-1在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，但不是减函数，B错误； 因为函数定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，且f (－x)＝＝－f (x)，所以函数f (x)是奇函数，不是偶函数，故C正确，D错误．故选C．] 27 考点二　二次函数的图象与解析式 [典例2]　已知二次函数f (x)满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x)的最大值是8，则f (x)＝______________． －4x2＋4x＋7　[法一(利用“一般式”)： 设f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 由题意得 所以所求二次函数的解析式为f (x)＝－4x2＋4x＋7． －4x2＋4x＋7 以题引理 精研考点 课后作业 第11课时　幂函数与二次函数 28 法二(利用“顶点式”)： 设f (x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)． 因为f (2)＝f (－1)， 所以抛物线的对称轴为直线x＝，所以m＝． 又根据题意，函数有最大值8，所以n＝8，所以f (x)＝a＋8． 因为f (2)＝－1，所以a＋8＝－1，解得a＝－4， 所以f (x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7． 29 法三(利用“零点式”)： 由已知f (x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1， 故可设f (x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)， 即f (x)＝ax2－ax－2a－1． 又函数有最大值8，即＝8． 解得a＝－4或a＝0(舍)． 故所求函数的解析式为f (x)＝－4x2＋4x＋7．] 30 名师点评：研究二次函数图象及解析式应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取零点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向． 以题引理 精研考点 课后作业 第11课时　幂函数与二次函数 31 [巩固迁移] 3．函数f (x)＝ax2＋2x＋1与g(x)＝xa在同一平面直角坐标系中的图象不可能为(　　) A　　　　　　　　B C　 　　　　　　D √ 以题引理 精研考点 课后作业 第11课时　幂函数与二次函数 32 B　[对于A，二次函数的图象开口向下，所以a<0，此时g(x)＝xa在(0，＋∞)上单调递减，与图中符合； 对于B，二次函数的图象开口向上，所以a>0，此时g(x)＝xa在(0， ＋∞)上单调递增，与图中不符合； 对于C，二次函数的图象开口向上，所以a>0，此时g(x)＝xa在(0， ＋∞)上单调递增，与图中符合； 对于D，二次函数的图象开口向上，所以a>0，此时g(x)＝xa在(0， ＋∞)上单调递增，与图中符合．] 33 4．函数f (x)满足下列性质：①定义域为R，值域为[1，＋∞)；②图象关于直线x＝2对称；③对∀x1，x2∈(－∞，0)，且x1≠x2，都有<0．请写出函数f (x)的一个解析式： _______________________________． f (x)＝x2－4x＋5(答案不唯一) 以题引理 精研考点 课后作业 第11课时　幂函数与二次函数 34 f (x)＝x2－4x＋5(答案不唯一)　[由二次函数的对称性、值域及单调性知解析式可取f (x)＝(x－2)2＋1， 此时函数f (x)的图象开口向上，且对称轴为直线x＝2，满足②， ∵∀x1，x2∈(－∞，0)，且x1≠x2， 都有<0， 等价于f (x)在(－∞，0)上单调递减， ∴f (x)＝(x－2)2＋1满足③， 又f (x)＝(x－2)2＋1≥1，满足①， 故f (x)的解析式可以为f (x)＝x2－4x＋5．] 35 【教用·备选题】 (多选)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图所示，图象过点A(－3，0)，对称轴为直线x＝－1，则(　　) A．b2>4ac B．2a－b＝1 C．a－b＋c＝0 D．5a<b √ √ 以题引理 精研考点 课后作业 第11课时　幂函数与二次函数 36 AD　[图象的对称轴为直线x＝－1，即－＝－1，2a－b＝0，B错误；图象过点A(－3，0)，即9a－3b＋c＝0，又b＝2a，则c＝6a－9a＝－3a，所以b2＝4a2，4ac＝－12a2，所以b2>4ac，A正确；结合题图，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，C错误；由图象的对称轴为x＝－1知，b＝2a．根据抛物线开口向下，知a<0，所以5a<2a，即5a<b，D正确． 故选AD．] 37 考点三　二次函数的单调性与最值 [典例3]　已知函数f (x)＝x2－tx－1． (1)若f (x)在区间(－1，2)上不单调，求实数t的取值范围； (2)若x∈[－1，2]，求f (x)的最小值g(t)． [解]　f (x)＝x2－tx－1＝． (1)依题意，－1<<2，解得－2<t<4， ∴实数t的取值范围是(－2，4)． 以题引理 精研考点 课后作业 第11课时　幂函数与二次函数 38 (2)①当≥2，即t≥4时，f (x)在[－1，2]上单调递减， ∴f (x)min＝f (2)＝3－2t． ②当－1<<2，即－2<t<4时，f (x)min＝f ． ③当≤－1，即t≤－2时，f (x)在[－1，2]上单调递增， ∴f (x)min＝f (－1)＝t． 综上，g(t)＝ 39 【拓展变式】　本例条件不变，求当x∈[－1，2]时，f (x)的最大值G(t)． [解]　∵f (－1)＝t，f (2)＝3－2t， ∴f (x)max＝max{f (－1)，f (2)}． 又f (2)－f (－1)＝3－3t， 当t≥1时，f (2)－f (－1)≤0， ∴f (2)≤f (－1)，∴f (x)max＝f (－1)＝t； 当t<1时，f (2)－f (－1)>0，∴f (2)>f (－1)， ∴f (x)max＝f (2)＝3－2t．综上，G(t)＝ 以题引理 精研考点 课后作业 第11课时　幂函数与二次函数 40 名师点评：二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．无论哪种类型，解题的关键都是图象的对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论． 以题引理 精研考点 课后作业 第11课时　幂函数与二次函数 41 [巩固迁移] 5．设函数f (x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f (x)的最小值． [解]　f (x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，函数图象的对称轴为直线x＝1． 当t＋1≤1，即t≤0时，函数图象如图1所示，函数f (x)在区 间[t，t＋1]上单调递减，所以最小值为f (t＋1)＝t2＋1． 以题引理 精研考点 课后作业 第11课时　幂函数与二次函数 42 当t<1<t＋1，即0<t<1时，函数图象如图2所示，在对称轴x＝1处f (x)取得最小值，最小值为f (1)＝1． 当t≥1时，函数图象如图3所示，函数f (x)在区间[t，t＋1]上单调递增，所以最小值为f (t)＝t2－2t＋2． 综上可知，f (x)min＝ 43 【教用·备选题】 1．已知函数y＝的定义域与值域均为[0，1]，则实数a的取值为(　　) A．－4 B．－2 C．1 D．－1 √ 以题引理 精研考点 课后作业 第11课时　幂函数与二次函数 44 A　[依题意，y＝ax2＋bx＋c的值域为[0，1]，且ax2＋bx＋c≥0的解集为[0，1]， 故函数的图象开口向下，a<0， 则方程ax2＋bx＋c＝0的两根为0，1， 则c＝0，－，即a＝－b， 则y＝ax2＋bx＋c＝ax2－ax＝a， 当x＝时，y＝a取得最大值，为1， 即－＝1，解得a＝－4．故选A．] 45 2．已知二次函数f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，恒有f (x＋1)－f (x)＝2x＋2，f (0)＝－2． (1)求函数f (x)的解析式； (2)设g(x)＝f (x)－mx，若函数g(x)在区间[1，2]上的最大值为3，求实数m的值； (3)若h(x)＝[f (x)－x2＋2]·|x－a|，a∈R，若函数h(x)在[－2，2]上是单调函数，求实数a的取值范围． 以题引理 精研考点 课后作业 第11课时　幂函数与二次函数 46 [解]　(1)由f (x＋1)－f (x)＝2x＋2，得a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c－ax2－bx－c＝2x＋2， 则2ax＋a＋b＝2x＋2，所以2a＝2且a＋b＝2，解得a＝1，b＝1， 又f (0)＝－2，则c＝－2，故f (x)＝x2＋x－2． 47 (2)g(x)＝f (x)－mx＝x2＋(1－m)x－2，其图象的对称轴为直线x＝， 当，即m<4时，g(x)max＝g(2)＝－2m＋4＝3，解得m＝； 当，即m＝4时，g(x)max＝g(1)＝g(2)＝－m＝－2m＋4＝3，解得m∈⌀； 当，即m>4时，g(x)max＝g(1)＝－m＝3，解得m＝－3(舍去)． 综上，实数m的值为． 48 (3)h(x)＝[f (x)－x2＋2]·＝x 当a＝0时，h(x)在R上单调递增，符合题意； 当a>0时，<a，则函数h(x)在，(a，＋∞)上单调递增，在解得a≥4； 当a<0时，>a，则函数h(x)在(－∞，a)，解得a≤－4． 综上所述，实数a的取值范围为a＝0或a≥4或a≤－4． 49 一、单项选择题 1．已知幂函数f (x)＝(m2＋2m－2)xm+2在(0，＋∞)上单调递增，则m的值为(　　) A．1 B．－3 C．－4 D．1或－3 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 课后作业(十一)　幂函数与二次函数 √ 以题引理 精研考点 课后作业 第11课时　幂函数与二次函数 50 A　[由题意可得⇒ ⇒m＝1．故选A．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 2．(人教B版必修第二册P36例2改编)幂函数f (x)＝的大致图象是　(　　) A　　　　　 B　　　　 　C　　　 　D √ C　[因为f (x)＝，定义域为R，所以排除A，D． 因为f (－x)＝(－x＝f (x)，所以函数为偶函数，所以排除B．] 以题引理 精研考点 课后作业 第11课时　幂函数与二次函数 52 3．若函数y＝x2－3x＋4的定义域为[0，m]，值域为，则m的取值范围是(　　) A．(0，4] B． C． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 √ C　[y＝x2－3x＋4＝的定义域为[0，m]，显然，当x＝0时，y＝4，又值域为≤m≤3．] 以题引理 精研考点 课后作业 第11课时　幂函数与二次函数 53 4．(2025·云南昭通期中)已知幂函数f (x)＝(m2－3m＋3)xm是R上的偶函数，且函数g(x)＝f (x)－2ax在区间[1，3]上单调递减，则实数a的取值范围是(　　) A．[3，＋∞) B．(－∞，1] C．(－∞，1) D．(－∞，1]∪[3，＋∞) 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 √ 以题引理 精研考点 课后作业 第11课时　幂函数与二次函数 54 A　[因为幂函数f (x)＝(m2－3m＋3)xm是R上的偶函数，则m2－3m＋3＝1，解得m＝1或m＝2， 当m＝1时，f (x)＝x，该函数是奇函数，不符合题意； 当m＝2时，f (x)＝x2，该函数是定义域为R的偶函数，符合题意，所以f (x)＝x2， 则g(x)＝x2－2ax，函数图象的对称轴方程为x＝a， 因为g(x)在区间[1，3]上单调递减，所以a≥3．故选A．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 55 5．已知函数f (x)＝ax2＋x－3，若对任意的x1，x2∈[1，＋∞)，且x1≠x2，<3恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，1) B．(－∞，1] C．(－∞，0) D．(－∞，0] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 √ 以题引理 精研考点 课后作业 第11课时　幂函数与二次函数 56 D　[不妨设1≤x1<x2，则x1－x2<0，根据题意，可得f (x1)－f (x2)>3(x1－x2)恒成立， 即f (x1)－3x1>f (x2)－3x2恒成立． 令g(x)＝f (x)－3x＝ax2－2x－3， 则g(x1)>g(x2)恒成立，所以函数g(x)在[1，＋∞)上单调递减． 当a＝0时，g(x)＝－2x－3在[1，＋∞)上单调递减，符合题意； 当a≠0时，要使g(x)＝ax2－2x－3在[1，＋∞)上单调递减， 则 解得a<0． 综上所述，实数a的取值范围是(－∞，0]．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 57 6．(2026·黑龙江大庆模拟)设函数f (x)＝x2＋2x，h(x)＝kx－1(k≠0)，若对任意的x1∈[－2，0]，存在x2∈[－2，1]，使得f (x1)＝h(x2)，则实数k的取值范围是(　　) A． ∪(0，1] C． D．[1，＋∞) 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 √ 以题引理 精研考点 课后作业 第11课时　幂函数与二次函数 58 A　[f (x)＝x2＋2x＝(x＋1)2－1在区间[－2，0]上的值域为[－1，0]， 对任意的x1∈[－2，0]，存在x2∈[－2，1]，使得f (x1)＝h(x2)等价于f 是h在[－2，1]上的值域的子集， 由于h是一次函数，需要满足： 当k>0时，h单调递增，值域为[h(－2)，h(1)]＝，要求－2k－1≤－1且k－1≥0，解得k≥1， 当k<0时，h单调递减，值域为[h(1)，h(－2)]＝，要求k－1≤－1且－2k－1≥0， 解得 k≤－，综上，实数k的取值范围为∪[1，＋∞)． 故选A．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 59 二、多项选择题 7．(人教A版必修第一册P100复习参考题3T5改编)已知幂函数f (x)的图象经过点(9，3)，则(　　) A．函数f (x)为增函数 B．函数f (x)为偶函数 C．当x≥4时，f (x)≥2 D．当x2>x1>0时， 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 √ √ √ 以题引理 精研考点 课后作业 第11课时　幂函数与二次函数 60 ACD　[设幂函数f (x)＝xα，则f (9)＝9α＝3，解得α＝，所以f (x)＝，所以f (x)的定义域为[0，＋∞)，f (x)在[0，＋∞)上单调递增，故A正确； 因为f (x)的定义域不关于原点对称，所以函数f (x)不是偶函数，故B错误； 当x≥4时，f (x)≥f (4)＝＝2，故C正确； 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 61 当x2>x1>0时，＝ ＝<0， 又f (x)≥0，所以，D正确． 故选ACD．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 62 8．已知函数f (x)＝x2－2x＋a(a>0)，实数m满足f (m)<0，则下列关系一定成立的是(　　) A．f (m＋1)>0 B．f (m＋2)>0 C．f (m－1)<0 D．f (m－2)>0 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 √ √ 以题引理 精研考点 课后作业 第11课时　幂函数与二次函数 63 BD　[函数f (x)＝x2－2x＋a在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． f (m)＝m2－2m＋a<0， 故m2－2m<－a<0，解得0<m<2． m＋2∈(2，4)，f (m＋2)>f (2)＝a>0，B正确； m－2∈(－2，0)，f (m－2)>f (0)＝a>0，D正确； 取a＝，m＝，f (m)＝－<0，满足条件， f (m＋1)＝f <0，A错误； f (m－1)＝f >0，C错误．故选BD．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 64 三、填空题 9．幂函数f (x)＝xα(α∈R)满足：任意x∈R都有f (－x)＝f (x)，且f (－1) <f (2)<2．请写出符合上述条件的一个函数f (x)＝_________________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 (答案不唯一)　[取f (x)＝，则定义域为R，且f (－x)＝(－x＝f (x)，f (－1)＝1，f (2)＝，满足f (－1)<f (2)<2．] (答案不唯一) 以题引理 精研考点 课后作业 第11课时　幂函数与二次函数 65 10．已知函数f (x)＝－x2＋x，若f (x)的定义域为[m，n](m<1)，值域为[2m，2n]，则m＋n＝________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 －2　[因为f (x)＝－(x－1)2＋，图象对称轴为直线x＝1，当m<n≤1时，f (x)在[m，n]上单调递增， 所以 －2 以题引理 精研考点 课后作业 第11课时　幂函数与二次函数 66 当m<1<n时，f (x)在[m，1]上单调递增，在[1，n]上单调递减，此时 f (1)＝－，与n>1矛盾，舍去．综上，m＝－2， n＝0，m＋n＝－2．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 67 四、解答题 11．已知二次函数f (x)的最小值为1，且满足f (x)＝f (－2－x)，f (0)＝2，点在幂函数g(x)的图象上． (1)求f (x)和g(x)的解析式； (2)定义函数h(x)＝试画出函数h(x)的图象，并求函数h(x)的定义域、值域和单调区间． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 以题引理 精研考点 课后作业 第11课时　幂函数与二次函数 68 [解]　(1)设二次函数f (x)＝a(x－h)2＋k，a≠0，g(x)＝xα． 因为f (x)的最小值为1，所以k＝1． 因为f (x)＝f (－2－x)，所以h＝－1． 因为f (0)＝2，所以a＝1．所以f (x)＝x2＋2x＋2． 将点代入g(x)＝xα，求得α＝－1， 所以g(x)＝x-1． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 69 (2)因为h(x)＝分别画 出函数y＝f (x)和y＝－g(x)的图象，如图所示． 由图象可得，h(x)＝ 所以函数h(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， 作出函数h(x)的图象如图，由图象得，h(x)的单调递 增区间为[－1，0)，单调递减区间是(－∞，－1)， (0，＋∞)．h(x)的值域为(－1，0)∪(0，＋∞)． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 70 12．已知函数f (x)＝ax2－2x＋1． (1)若f (x)在[0，1]上单调，求实数a的取值范围； (2)若x∈[0，1]，求f (x)的最小值g(a)． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 以题引理 精研考点 课后作业 第11课时　幂函数与二次函数 71 [解]　(1)当a＝0时，f (x)＝－2x＋1在[0，1]上单调递减； 当a>0时，f (x)图象的对称轴为直线x＝>0，又f (x)在[0，1]上单调， ∴≥1，即0<a≤1； 当a<0时，f (x)图象的对称轴为直线x＝<0，f (x)在[0，1]上单调递减， ∴a<0符合题意． 综上，实数a的取值范围是(－∞，1]． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 72 (2)①当a＝0时，f (x)＝－2x＋1在[0，1]上单调递减， ∴f (x)min＝f (1)＝－1． ②当a>0时，f (x)＝ax2－2x＋1的图象开口向上，且对称轴为直线x＝． (ⅰ)当0<<1，即a>1时，f (x)＝ax2－2x＋1图象的对称轴在[0，1]内， ∴f (x)在上单调递增． ∴f (x)min＝f ＋1． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 73 (ⅱ)当≥1，即0<a≤1时，f (x)在[0，1]上单调递减． ∴f (x)min＝f (1)＝a－1． ③当a<0时，f (x)＝ax2－2x＋1的图象开口向下，且对称轴x＝<0，在y轴的左侧， ∴f (x)＝ax2－2x＋1在[0，1]上单调递减． ∴f (x)min＝f (1)＝a－1． 综上所述，g(a)＝ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 74 13．在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到x1，x2，…，xn共n个数据．我们规定所测量物理量的“最佳近似值” a应该满足与所有测量数据的差的平方和最小．由此规定，从这些数据得出的“最佳近似值” a应是(　　) A． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 √ 以题引理 精研考点 课后作业 第11课时　幂函数与二次函数 75 A　[根据题意得f (a)＝(a－x1)2＋(a－x2)2＋…＋(a－xn)2＝na2－2(x1＋x2＋…＋xn)a＋(＋…＋)， 由于n>0，所以f (a)是关于a的二次函数，因此当a＝，即a＝时，f (a)取得最小值． 故选A．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 76 14．(2025·江苏淮安期中)俄国数学家切比雪夫是研究直线逼近函数的理论先驱．对定义在非空集合I上的函数f (x)，以及函数g(x)＝kx＋b(k，b∈R)，切比雪夫将函数y＝|f (x)－g(x)|，x∈I的最大值称为f (x)，g(x)的“偏差”． (1)函数f (x)＝x2(x∈[0，1])，g(x)＝－x－1，求f (x)，g(x)的“偏差”； (2)函数f (x)＝＋1(x∈[1，2])，g(x)＝kx＋1(k>0)，若f (x)，g(x)的“偏差”为2，求k的值； (3)函数f (x)＝x2－x(x∈[0，3])，g(x)＝2x＋b，若f (x)，g(x)的“偏差”取最小值，求b的值，并求出“偏差”的最小值． 2025课标新变化：强化创新思维的形式与发展． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 以题引理 精研考点 课后作业 第11课时　幂函数与二次函数 77 [解]　(1)y＝|f (x)－g(x)|＝|x2＋x＋1|＝，x∈[0，1]， 因为x∈[0，1]，由二次函数的性质可得y＝∈[1，3]， 所以y＝∈[1，3]， 故函数f (x)，g(x)的“偏差”为3． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 78 (2)令t＝f (x)－g(x)＝＋1－(kx＋1)＝－kx，x∈[1，2]， ∵k>0，∴t＝－kx在[1，2]上单调递减，∴t∈． 由题意，y＝|t|，t∈，且ymax＝2． 当≤|1－k|，即0<k≤时，ymax＝|1－k|＝2，解得k＝3或k＝－1，不符合； 当>|1－k|，即k>时，ymax＝＝2，－2k＝2或－2k＝ －2， 解得k＝－(舍去)或k＝．综上得k＝． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 79 (3)y＝|f (x)－g(x)|＝|x2－x－(2x＋b)|＝|x2－3x－b|＝，x∈[0，3]， 因为x∈[0，3]，所以， 由y＝，则ymax＝max， 令|b|≥，即b2≥，解得b≤－， 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 80 ymax＝max 故当且仅当b＝－时，有(ymax)min＝． 故当b的值为－时，函数f (x)，g(x)的“偏差”取最小值，且最小值为． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 81 谢 谢 ！ $