拓展与延伸4 几类特殊函数及其性质课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦一次分式函数、对勾函数、高斯函数等几类特殊函数，依据高考评价体系明确考查数学建模、逻辑推理和数学运算素养的要求。通过知识梳理与考点扫描，归纳出单调性判断、值域求解、奇偶性分析等常考题型，突出高频考点的针对性复习。 课件亮点在于高考真题与核心素养的深度融合，如以2025八省联考双曲函数题为例，通过导数法分析单调性培养逻辑推理素养，结合一次分式函数分离常数法突破值域求解。设置“考点扫描+巩固提升”模块，帮助学生掌握答题技巧，教师可据此精准指导复习，提升备考效率。

拓展与延伸4 几类特殊函数及其 生质 一、考情分析 高考中以几个常见的函数为载体，考查数学建模 逻辑推理和数学运算的素养。 知识梳理 一次分式函数 ()定义：我们把形如y- (a≠ (2)图象 x=- b (-&.a O x S ad-bc 0,ad≠bc)的函数称为一次分式函数 y个 O y- (-别 ad<bc (3)性质 海文装k子》.直设 ② 渐近线方程：x=b和y一 ③ a a ④单调性：当ad>bc时，函数在 当ad<bc时，函数在区间 C a 9 别单调递增 对勾函数y=+b(a>0,b>0) r (1)性质 ①奇偶性：奇函数； 调性；单闲递增区间.， ② 〔名 ③渐近线：y=x和x=0 习〔&小 单调递减区间： (2)图象 y个 0 -2ab x 3、 飘带函数y=arb(a>0, ①性质 ①奇偶性：奇函数； 单调性：在（一∞，0），(0， ③渐近线：x=0 (2)图象 b>0) 十∞)上单调递增； 2悟 4、高斯函数y=x] ()定义：不超过实数x的最大整数称 [一2.1]=一3，这一规定最早为数学家 又称取整函数， (2)性质 ①定义域：R;值域：Z ②不具有单调性、奇偶性、周期性 为x的整数部分，记作x],例如，[3.4]=3， 高斯所使用，故函数y=[x]称为高斯函数， (2)图象 321 1234x 2 表 1, 5、 狄利克雷函数D(x)= 0 (1)定义域R;值域{0,1} (2)奇偶性：偶函数， (3)周期性：以任意正有理数 (4)无法作出函数的图象，但 x∈Q, 的性质 xQ 为其周期，无最小 其图象客观存在 正周期 6、 最值函数的概念 安m内么ay 直观上来说，min{a,b}的作用就是求a: 同样地，max{a,b}用来表示a,b的最 a,a≥b, b,a<b b的最小值，我们将其称为最小值函数， 大值，称作最大值函数 三、考点扫描 考点一一次分式函数 例1（多选题）对于函数x) A-x+1)+x-1)=0 C.函数x)的值域为(-∞ X x∈R),下列结论正确的有( ) 1+x B.当m∈(0,1)时，方程x)=m有唯一实数解 +o∞）D.1≠2， f(x1)-f(x2) 0 X1一X2 ABD【解析】因为一)十F 一X 三0 1+-x1+x -1,即-)十0=0，故A正确；当>0时，x) 在(0，+0)上单调递增，又0)=0，)=， 1, 1+x 值域为（一1,1），所以x)的单调递增区间为（一o,+ 故Vx12, f(x)一才()0，D正确故选ABD X1一X2 故x)为奇函数，令t=x =1-1, 所以x) 1+x 1+x x)是奇函数，所以fx)的 o),故B正确，C错误； 考点二对勾函数、飘带函数 例2( )函数x)=-mx∈R)的图象 X A B 不可能是( X X C D 【解析】当m=0时，fx)=x(0),选项A有可能；当m=1时，x) x>0, 易得x)在(0，十o)上单调递增，根据对勾函数图象易得在（一0， x<0, 1)上单调递减，在（一1,0）上单调递增，选项D有可能；当m=一1时，x) x>0, 易得x)在（一0,0）上单调递减，在(0,1)上单调递减，在(1 十oo)上单调递增，选项B有可能，所以选项C不可能.故选C. 2已知函数树=+laER.力 g(a)=x1一2，则下列结论正确的是( A.函数x)的值域是[0，+∞) B.若a=一1，则x)的增区间为[-1， C.若a=4,则g(a)=0 D.函数g(a的最大值为4 程x)=4在[0，- 0)和[1，+∞) ∞)有两个解x1,2,记 B【1当a=1时c上 函数， 当>0时，)=x+, 则函数x)在(0， X 调递增， 由偶函数性质知x)mm=1+!=2,故 X一 =,即)为偶 X 1)上单调递减，在(1，+o)上单 A错误； 当a=-1时，-+卜则认情函数，当E0,时， )=-+文易知心在0,1止单调递减，当x,十o)时，=x- 易 知x)在(1，十o)上单调递增，由偶函数对称性知，c)的增区间为[一1,0)，[1， 十o),故B正确； 若。时，网女+令网-时 错误； 若a=0时，x)=x,令x)=4时，则x 值为4矛盾，故D错误.故选B. 则x1=-2,x2=2,此时ga)=4,故C =±4，ga)=8,此时与函数g(a)的最大 考点三高斯函数、双曲正余弦函数、 例3(1)2025·广东一模)设[x表示不 意实数x少，有( A.{ C.{ 最值函数 于x的最大整数，记{，则对任 B.{料 D.{{ D【解析】对于选项A,取H上，则{丰三 {B,故错误， 对于选项B,取，{中宇 {甫宣笔，所以王，故错误 对于选项C,取3，则{三丰三三， {打中4，所以{李，故错误. 对于选项D,令写三身，其中a,b为整数， G绥.若2，则 {李{李，此时{人{写成立；若， ，{李→ 此时{{成立.综上 {,D正确.故选D (2)(多选题)(2025·八省联考)在人工神经网络中，单个神经元输入与输出的函 数关系可以称为激励函数.双曲正切函数是一种激励函数，定义：双曲正弦函数 e,双曲余弦函数，双曲正切函数 ,则有 2 A.双曲正弦函数是增函数 B.双曲余弦函数是增函数 C.双曲正切函数是增函数 D ACD【解析】令.S 则因 2 故sile意e 为增函数，A正确； 2 对于函数意e 和 时 2 误； e 恒成立， ,函数值相等，显然不是增函数，B错 显然递增，C正确； 因为 梦39 苔≤二 ”当兰些) 匹,D正 ≤ 确.故选ACD. 三、巩固提升 1.函数)一在区间[1,2]上的最 A月 C.-1 A【解析】」 在(-l,+o)l 增，所以=一故选A 大值为( B月 D.不存在 单调递增，则一 在区间[1,2]上单调递 2.函数y=,1 的图象与函数y 1-x 和为( ) A.2 B.4 2sinx(-2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之 C.6 D.8 D【解析】 函数y= 与函数y=2sinx(-2≤x≤4)的图象均关于点(1,0)成 1-x 中心对称，从图象可知两函数共有8个交点，均关于点(1,0)成中心对称，即横 坐标之和等于8.故选D 3.(2025·四川成都市诊断) 示fx),gx)中的较大者， 的最小值为( A.0 B.1 已知函数x)=2+1,gx)=2+)2,Vx∈R,用M)表 记为Mx)=max{术x),g(x)}.则当x∈R时，函数Mx) C.2 D.4 B【解析】 已知函数y=2x在R 若x+1≥(x十1)2，则-1≤x≤0： 故当-1≤x≤0时，之 当x>0或x<-1时，之 [202,-1 综上，Mx)=21, -1≤x≤0 2,0 上单调递增， 若x+1<(x+1)2,则x>0或x<-1. 即x)≥gx): 即fx)g(x), 当<一1时，易知函数y=2"(为自变量)在R上单调递增，函数1=x+1)2在（一 o,一1)上单调递减，所以M)=2在(-0，-1)上单调递减，又21少=1， 所以此时Mx)>1.当-1≤x≤0时，函数y=2(w为自变量)在R上单调递增，函 数u=x十1在[-1,0]上单调递增，所以Mx)=2在[-1,0]上单调递增，故 此时M(x)≥M-1)=2=1.当x>0时，函数y=2(w为自变量)在R上单调递增， 函数u=(x十1)P在(0，+o)上单调递增，所以M(x)=2+D在(0，十o)上单调递 增，又2=2，所以此时Mx)>2.综上，Mx)的最小值为M(-1)=1.故选B 4.(多选题)2024·山东济南市质检)德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以 1,x∈Q, 其名字命名的函数fx)= 称为狄利克雷函数.则下列关于函数x) 0,x∈CRQ, 的叙述正确的有( A.函数y=x)的图象是两条直线 B.Af(x))=1 C3)>1) D.Vx∈R,都有1-x)=2十x) BD【解析】对于选项A,函数y=x)的图象是断续的点集，不是两条直线，A 错误 对于选项B,当x为有理数时，x)=1,所以fx)=1)=1,当x为无理数时， x)=0,x)=0)=1,B正确 对于选项C,3)=0,1)=1,所以1)>f代3)，C错误 对于选项D,由题意，函数定义域为R,且一x)=fx),所以fx)为偶函数， 若x是有理数，则x+T也是有理数；若x是无理数，则x十T也是无理数； 所以根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T,x+I)=x)对x∈R恒 成立，故x+2)=x)=-x)=1一x),所以x∈R,都有1-x)=2十x),D 正确.故选BD. 5函数y的值域为 ←，】【解析】因为二-1日 所以0≤2，则y∈(-1，门 又函数的定义域为R,所以x2+1≥1， 米 感谢观看 THANKS