黑龙江海林市朝鲜族中学2025-2026学年高一下学期第二次考试数学试卷

**基本信息** 高一年级数学第二次月考卷，覆盖必修二第七章复数与第八章立体几何，通过单选、多选、填空、解答题分层考查空间观念与推理能力，如正六棱锥体积计算、四棱锥线面平行证明等，适配高一学生基础巩固与能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数几何意义、空间符号语言、斜二测画法|通过正方体展开图判断线面关系，考查空间想象| |多选|3/18|正四面体体积、外接球表面积、旋转体体积|结合动点与距离之和定值，体现数学思维严谨性| |填空|3/15|复数运算、直三棱柱体积|直三棱柱动态体积问题，渗透模型意识| |解答|5/77|正六棱锥体积侧面积、线面平行证明|四棱锥中综合证明线面平行，强化逻辑推理|

2025-2026学年度 第二学期 高一年级数学学科第二次考试（必修二第七章第八章） 命题人：韩福淑 审核人：姜磊 班级：___________姓名：___________ 一、单项选择题（每小题5分 共40分） 1．复数在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.用符号语言表示下列语句,正确的个数是 (　　) (1)点A在平面α内,但不在平面β内:A⊂α,A⊄β. (2)直线a经过平面α外的点A,且a不在平面α内:A∈a,A∉α,a⊄α. (3)平面α与平面β相交于直线l,且l经过点P:α∩β=l,P∈l. (4)直线l经过平面α外一点P,且与平面α相交于点M:P∈l,l∩α=M. A.1 B.2 C.3 D.4 3．已知某平面图形用斜二测画法画出的直观图是边长为的正方形,则原图形的面积为( ) A. B. C. D. 4．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，底面半径为2，该圆锥PO侧面展开图的圆心角为，则圆锥PO的体积为( ) A. B. C. D. 5．如图,两个相同的正四棱台密闭容器内装有纯净水,,,图1中水面高度恰好为棱台高度的,图2中水面高度为棱台高度的,若图1和图2中纯净水的体积分别为,,则( ) A. B. C. D. 6.如图是一个正方体的展开图,若将它还原为正方体,则下列说法中正确的是( )  ①C∈GH;②CD与EF是共面直线;③AB∥EF;④GH与EF是异面直线. A.①② B.② ③ C.③④ D.①②④ 7．在棱长为1的正方体中,点P,Q分别为棱,上的动点（可与端点重合）,若面,则线段的长度为( ) A. B. C. D. 8．已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( ) A. B. C. D. 2、 多选题(每小题6分，部分选对无错选得2分，共18分） 9．已知复数，则( ) A. B. C. D.若关于x的方程的一个根为z，则 10．已知的三边长分别是,,,则( ) A.以BC所在直线为旋转轴,将此三角形旋转一周,所得旋转体的侧面积为 B.以BC所在直线为旋转轴,将此三角形旋转一周,所得旋转体的体积为 C.以AB所在直线为旋转轴,将此三角形旋转一周,所得旋转体的表面积为 D.以AB所在直线为旋转轴,将此三角形旋转一周,所得旋转体的体积为 11．在正四面体中，若，M为的中点，下列结论正确的是( ) A.正四面体的体积为 B.正四面体外接球的表面积为 C.正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值 D.正四面体内接一个圆柱，使圆柱下底面在底面上，上底圆面与面、面、面均只有一个公共点，则圆柱的侧面积的最大值为 3、 填空题(每小题5分，共15分） 12．若复数,则__________ 13．如图，直三棱柱的各条棱长均为2，D为棱上任意一点，则三棱锥的体积是________. 14． 已知正四面体中，，，，记三棱锥和三棱锥的体积分别为、，则______. 四、解答题（15题13分，16，17题15分，18、19题17分，共77分） 15．已知复数，i为虚数单位. (1)求； (2)若复数z是关于x的方程的一个根，求实数m，n的值. 16．如图所示,在正六棱锥中,O为底面中心,,. （1）求该正六棱锥的体积和侧面积； （2）若该正六棱锥的顶点都在球M的表面上,求球M的表面积和体积. 17.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(a+2c)cos B+bcos A=0. (1)求角B的大小; (2)若b=3,△ABC的周长为3+2,求△ABC的面积. 18．如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，N，M，Q分别为PB，PD，PC的中点. （1）求证：平面PAD； （2）记平面CMN与底面ABCD的交线为，试判断直线与平面PBD的位置关系，并证明. 19.如图所示，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别为AB、PC的中点，平面PAD∩平面PBC ＝. (1)求证：BC∥； (2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论． 参考答案 1．答案：D 解析：由题意知， 所以在复平面内对应的点为，位于第四象限， 2.B　[解析] (1)错误,应该是A∈α,A∉β;(4)错误,缺少P∉α;(2)(3)正确,故选B. 3．答案：D 解析：由直观图可得如下平面图形: 则,,, 所以. 4．答案：B 解析：设，则母线，所以， 解得，故所求为.故选：B. 5．答案：D 解析：设四棱台的高度为,在图1中,中间液面四边形的边长为5,在图2中,中间液面四边形的边长为6, 则,,所以. 6.D[解析] 由图可知,还原正方体后,点C与G重合,点F与B重合,则C∈GH,故①正确;可知CD与EF是平行直线,即共面直线,故②正确;AB与EF是相交直线,故③错误;GH与EF是异面直线,故④正确.故填①②④. 7．答案：B 解析：如图在中, ,又平面,平面, 所以面, 因为点P,Q分别为棱,上的动点（可与端点重合）,面, 所以即为,因此, 8．答案：A 解析：设正三棱台为，，的外心分别为，D，则，，又知，所以正三棱台的外接球球心在线段的延长线上，设球心为O，半径为R，如图所示，在中，①，在中，②，由①②得，所以该球的表面积为，故选A. 9．答案：BD 解析：复数，则，故A错误； 因为，故B正确； 因为，故C错误； 因为x的方程的一个根为z， 所以， 由复数相等可知，即，故D正确.故选：BD 10．答案：AD 解析：以BC所在直线为轴旋转时,所得旋转体是底面半径为3, 母线长为5,高为4的圆锥,其侧面积为,体积为,故A正确,B错 以AB所在直线为轴旋转时,所得旋转体是底面半径为,母线长分别为3和4的两个圆锥组合体, 表面积为,体积为,故C错误,D正确． 11．答案：BCD 解析：由于正四面体各棱都相等，即各面都为正三角形， 故棱长为2，如下图所示， O为底面中心，M为的中点则D，O，M共线， 为正四面体的高，故， 所以,故四面体的体积为 ， 故A错误； 由题意，正四面体外接球球心E在上，且半径, 所以，则, 故外接球的表面积为，故B正确； 正四面体内一点F，设到四个面，，，的距离分别为 ，，， 则正四面体的体积 ，故， 即正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值，故C正确； 如下图，棱锥中一个平行于底面的截面所成正三角形的内切圆为正四面体内接圆柱的一个上底面， 若截面所成正三角形边长为，则圆柱的高， 圆柱底面半径为，所以其侧面积 ，故当时，，D正确， 故选：BCD. 12．答案： 解析：因为,所以． 13．解析：由题可得， 14．答案： 解析：作平面，作平面， 则A，G，H共线，由，得， 由，，得， 可得． 四、解答题（15题13分，16，17题15分，18、19题17分，共77分） 15．答案：(1)(2)， 解析：(1)因为复数 ， 所以 (2)因为复数z是关于x的方程的一个根， 所以，可得， 即，所以, 解得，. 16．答案：（1）（2） 解析：（1）由条件可知正六边形的边长为4, 所以底面积为. 该正六棱锥的体积为. 正六棱锥的侧棱长为, 侧面等腰三角形的高为：, 一个等腰三角形的面积为：, 故该正六棱锥的侧面积为. （2）球心M一定在直线上,设球M的半径为R,则. 又,所以,解得. 所以球M的表面积为：,球M的体积为：. 17.解:(1)由已知及正弦定理得 (sin A+2sin C)cos B+sin Bcos A=0, 即(sin Acos B+sin Bcos A)+2sin Ccos B=0, 即sin(A+B)+2sin Ccos B=0, ∵sin(A+B)=sin C,且sin C≠0, ∴cos B=- ,又0<B<π,∴B=. (2)由余弦定理,得9=a2+c2-2accos B, ∴a2+c2+ac=9,则(a+c)2-ac=9. ∵a+b+c=3+2,b=3,∴a+c=2, ∴ac=3,∴S△ABC=acsin B=×3×=. 18．答案：（1）证明见解析（2）见解析 解析：（1）证明：底面ABCD是菱形，N，M，Q分别为PB，PD，PC的中点，，，. 平面，平面，平面PAD. （2）直线l与平面PBD平行.证明如下： ，N分别为PD，PB的中点，. 平面，平面，平面ABCD. 平面CMN与底面ABCD的交线为l，由线面平行的性质得. ，. ，平面PBD，且平面，平面PBD， 平面PBD. 19.解析：(1)证明: ∵BC∥AD，AD⊂平面PAD， BC⊄平面 PAD， ∴BC∥平面PAD. 又平面PAD∩平面PBC＝，BC⊂平面PBC， ∴BC∥. (2)解: MN∥平面PAD. 证明如下：如图，取PD中点E, 连接EN、AE. 又∵N为PC的中点， ∴EN∥ DC且EN= DC 又∵M为AB的中点， ∴AM∥ DC 且AM∥ DC ∴EN∥AM， ∴四边形ENMA为平行四边形， ∴AE∥MN. 又∵AE⊂平面PAD，MN⊄平面 PAD， ∴MN∥平面PAD. 学科网（北京）股份有限公司 $