第一章课时4 基本不等式课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“基本不等式”专题，依据课标要求覆盖理解公式、应用变形及最值问题三大核心考点，通过对接高考评价体系分析求最值（直接法、1代换等）占60%的高频考点，归纳选择、填空及实际应用常考题型。 课件亮点在于“真题演练+技巧建模”，如2025年上海高考题用配凑法转化条件，培养学生数学思维（推理能力）和数学语言（模型观念），总结“一正二定三相等”易错点，助力学生掌握得分技巧，教师可据此精准复习提升效率。

课时 米 4基本 不等式 课标要求 1.理解基本不等式的内容及证明 2.熟练掌握基本不等式及变形的应用 3.会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题 4.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题 二、知识梳理 1. 基本不等式：b些 (1)基本不等式成立的条件： (2)等号成立的条件：a (3)其中4叶 称为正数a4,b 2 几何平均数. aC,b-c b 的算术平均数， ab称为正数a,b的 2.利用基本不等式求最值 己知x≥C,≥0，则： (1)如果积y是定值p,那么当且仅 是2一·（简记：积定和最小） (2)如果和x+y是定值s,那么当且 是 .(简记：和定积最大) 当y_ 时，x十y有最小值 仅当x=y 时，y有最大值 3.几个常用不等式 (1) 2 (a，b∈R)， 当且仅当a=b时取等号. $$\left( 2 \right) a b = \frac { \left( a + b \right) } { 2 } \right) ^ { 2 } \left( a ， b \in R \right) ，$$ 当且仅当a=b时取等号. (3) $$\frac { a } { 2 }$$ $$\frac { x + y } { 2 } \left( a ， b \in R \right) ，$$ 当且仅当a-b时取等号. $$\left( 4 \right) \frac { b } { a } + \frac { a } { b } \ge 2 \left( a ， b$$ 同号)， 当且仅当a=b时取等号. (5) $$\frac { } { 1 }$$ (a>0，b>0)， 当且仅当 a=b时取等号. 【拓展知识】 1.应用基本不等式求最值要注意：“一正、二定、三相等”，忽略任何一个条件 都会出错 2.在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用若必须多次使用，则一定要 保证它们等号成立的条件一致， 3.利用基本不等式求最值的常用方法： (1)“1”的代换；(2)配凑法；(3)消元法；(4)换元法等 三、基础回顾 1.判断正误.（正确的打V”,错误的打“×”) (1)函数x+的最小值是2. ×【解析】当x<0时，2；当>0时，≥2，所以 函数yx+没有最小值 (2) 函数的最小值是4， () X【解析】当so时，函数 当但仅当鼎 即s时取“=”，显然无解 (3)“x>0且y>0”是“+≥2”的充要条件 Vx ×【解析】“x>0且>0”是“+≥2” 的充分 () 不必要条件 (4)两个不等式与也成立的条件是相同的. () ×【解析】不等式a2成立的条件是王：学✉d成立的条件是( bC. 2.已知0<<1，则x(1一x)的最 A. B 4 8 A【解析】因为0<x<1,所以1 =1-x,即x=时， 等号成立， 大值为( ) C D.1 16 o.所-s(ヅ 当且仅当x 故1一9的最大值为4故选A 3.若心0，>0，且x+y=l8,则√的最大值 A. 9 B.18 C. A【解析】因为xJ=I8,所以罗≤， A. 为( 36 D.81 当且仅当x=y=9时取“=”.故选 4.若函数 ⊙父在xa处取得最小值， A.12 B.1H3 C.3 C【解析】 ，当x>2时 当且仅当x21即x3时取“=”.因为函数在x 故选C. 则=( ) D.4 4 2E, a处取得最小值，所以=3 四、考点扫描 考点一基本不等式的理解和简单应用 例1(1)《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西 方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够 通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点F在半圆O上， 点C在直径AB上，且OF⊥AB,设AC=a,BC=b,则该图形可以完成的无字 证明为( A. a+b ≥ab(a>0,b>0)B.a2+b2>2ab(a>0,b>0) 2 2ab a2+b2 C. a+b (a>0,b>0) a+b ≤ab(a>0,b>0)D. 2 2 D【解析】由AC=a,BC=b,可得圆O的半径为r OC=0B-BC= a+b -6=4-b 在Rt△OCF中 2 2 〔a2〔aヅ 因为OFFC,所以 2 2 =b时取等号.故选D 0F=14 又由 2 2 ， 可得FC2=OC2+OF2= b 2 a2+b2 ,当且仅当a (2)(多选题)已知a心0，b>0,且a什b=1, A. B. C. D. 则有( ) 2 N厂Z A8D【解桥】对于速项学兰学，结合a1,及a空A 正确；另解： 中生+A正确对于运 项B, ，所以之，B正确；对于选项 , C错误；对于选项D,因为 N手多3，所以云长，D正确故选ABD. 规律方法： 运用基本不等式判断所给不等式是否正确时注意以下两点 (1)基本不等式的条件. (2)记住几种常见的变形，注意不等号的方向不要混淆 对点训练 （1)若0<a<b, A.ba叶h心ab 2 C.babiab-a 2 C【解析】因为O<a<b,所以 所以aha,故ha+bab 2 则下列不等式一定成立的为( B.bah atbza 2 D.baubab 2ha十b,所以6a十6a6.因为6>0，所以ah>a, 2 a.故选C. (2)(2025·北京高考 A.孟召2 C. 已知g,则() B. 1,11 ab西 名忌 D. C【解析】对于选项A,当C时，云a,故A错误； 对于选项B.D,取号子此时 故B, D错误； 对于选项C,由基本不等式可得 一，故C正确.故选C 考点二运用基本不等式求最值 考向1直接法 例2(1)若x,y均为实数，且x十2y=6, A.18 C.54 C【解析】由题意，可得3x+9=3x+32> 32,即x=2y时等号成立.故选C 则3x十9的最小值为( ) B.27 D.90 232=2×27=54,当且仅当3x= (2)(2025秋·上海高考)设，，且 4【解析】由已知， 即 时取等号，所以 的最小值 ,则 的最小值为 ,当且仅当 为4. 考向2消元法 例3(1)已知心0，y>0,且x A.3 C.3+6 十y=y,则 x-1 y-1 B. 5 2 D.3 的最小值为( ) 十6 +22 D 【解析】若>0，y>0且x十y=y,则x= 2y y-1 当且仅当电 +2时取“=”，所以x 的最小值为3+22 x-1y-1 所以 十 x-1 主博=1+2,1 故选D. (2)已知正数x,y满足x +y=1,则+的最小值为 X x y 4【解析】方法一（直接消元）：由x+=1得y=x一x2,故 X 4 当且仅当x=1-x, 1+的最小值为4 方法二（值接消元：由x+上-1得1一，故 1 = X + 三 y Y-x2 即x=时取“=”.故 +1一x,以下同方法 方法三（消元，分离常数凑定值） 1一x+x =2+ 1-x X ≥4， 1-x 1-x x的最小值为4. :同方法一、二得十 X 当且仅当 三 X 1-x +,1= 1一x+x 十 y 1-x X ,即=时取“=”.故十 2 方法四(1”的代换)：因为x+=1,所以 X X- 2 当仅当2+，则 时取“= 4 5(议心++4 故+的最小值为4. 考向3。 配凑（换元） 例4(1)设>0，b> A.6 C.3V2 法 1若a+b=2,则4 十 a B. D. 的最小值为( 1 9 18 B【解析】因为a>0,b>1,且a十b=2,所以 b-1 6-1 儿a+(b-1] 4(b-1) 4 2 =9,当且仅当 (b-1 a b-1 a 等号，故4十，1 的最小值为9.故选B. b-1 b-1>0且a+(b-1)=1,所以4 a 5+4(6-1) a + ≥5+ a b-1 二 ,即a=2且b=4 a 时取 b-1 3 3 (2)(2025·山西忻州市模拟)若心1>9，且xy=9x+y一8，则y的最小值 为 16【解析】由xty-8得y,所以9x令-则1且0， 所以1)0》019r-+10≥24÷+10-16 当且仅当9，即，即-12时，等号成立，即y的最小值为16. 考向4“1”代换 例5(1)已知正数a,b满足a B 9 4 十2b=3恒成立，则1 十 C.2 +2的最小值为( D.3 B【解析】由a+2b=3得(a+ 2 4 2b a+1 且a>0,b>0,即a= 13 故选B. )+2b=4,于是 1十 +1 b=4时，等号成立 3 64月 4 9 当且仅当 2a+1) 4 b 所以，十十+的最小值为 a+1 b (2)(2025·河北石家庄市一模) ( ) 49 17 A. B. 2 已知丰9丹，则 19 C. 3 的最小值为 25 D 4 D【解析】人容事， 到等号成立数选D 25 当且仅当 规律方法： 运用基本不等式求最值注意： (1)在一些复杂的利用基本不等式求最值问题中， 消元或换元（配凑）出积、和、平方和为定值的形 (2)运用两次及两次以上基本不等式求最值时， 次等号成立的条件是否矛盾. 要根据式子的结构特点，灵活变形， 式，然后再利用基本不等式. 定要注意不等号方向是否一致，几 对点训练(1)(2025·江苏镇江市期初)若xC,yC 最小值为( A.4 B.42 C.6 B【解析】由于(，>C,所以 时取等号，故习的最小值为4√2.故选B 且4，则x+2的 D.82 当且仅当3 (2)已知CC,bO,且，则3H的最小值是( A.6 B.8 C.12 D.16 B【解析】因为C,bO,3, 所以喜62 所以 当且仅当名三时 取等号.故选B. (3)(2025·陕西西安市高 最小值为( ) A.9 三校考期末)若a>0,b>0,且 B.6 C.3 ab=a+b+3,则ab的 D.12 A【解析】因为ab=a+b+3,所以- b+3 因为a心>0，b>0,所以b>1,所以 GhB母，设今会≤，则 1 当且仅当1=4， t=2,即a=b=3时取=”，故当a=b=3时，ab的最小值为9.故选A. (4)（多选题)已知，」 A.ab的最大值为 c. 的最小值为6 14三，则有() B.NZ的最大值为2 D.平的最小值为4 BC【解析】对于选项A,因为 所以 abs 4,当且仅当 时，等号成立，A错误： 对于选项B，因为合，所以 即 经今.亚75，当仅当4 时，等号成立，B正确； 对丁速项G由a得，午听以名2之 因为 所以 5 当且仅当a力2时，等号成立，C正确： 对于选项D,令-号 则 乡 所以平的最小值不 是4，D错误.故选BC 考点三基本不等式的实际应用 例6甲工厂承担了某种材料的生产，并以x千克/小时的速度匀速生产（为保证 质量，要求1≤x≤10)，每小时可消耗A材料(kx2+9)千克.已知每小时生产1千 克该产品，消耗A材料10千克 (1)设生产m千克该产品，消耗A材料y千克，试把y表示为x的函数 (2)要使得生产1000千克该产品消耗的A材料最少，工厂应选取何种生产 速度？并求消耗的A材料最少为多少 【解】(1)由题意，得9=10，即1，生产m千克该产品需要的时间是小时， 所以)k49m(+),1≤x≤I0 2)油1)知，生产1000千克该产品消耗的A材料为)=1000(+)≥1000×29-6 000(千克)，当且仅当2，即=3时，等号成立，故工厂应选取3千克/小时的生产速 度，此时消耗的A材料最少，最少为6000千克， 米 感谢观看 THANKS