6.1　数列的概念课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦数列专题，覆盖数列概念、通项公式、前n项和、性质等核心考点，依据高考评价体系分析“由Sn求an”“周期性”“单调性”等高频考点权重，归纳三大命题方向及典型题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题改编+技巧提炼+素养培养”，如通过2026·广州模拟题训练由Sn求an的“两式相减”法，结合“数学思维”分析周期性数列的判断步骤，帮助学生掌握答题技巧，教师可据此系统指导，提升复习效率。

第一节　数列的概念 1 知识清单 1.数列的有关概念 剖析　数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号． 概念 含义 数列 按照________________排列的一列数 数列的项 数列中的____________ 通项公式 数列{an}的第n项an与它的________之间的关系式 前n项和 数列{an}中，Sn＝________________ 确定的顺序 每一个数 序号n a1＋a2＋…＋an 返回导航 2 2．数列的分类及性质 返回导航 3 3．数列的表示方法 列表法 列出表格表示n与an的对应关系 图象法 把点________画在平面直角坐标系中 公式法 通项公式 把数列的通项用________表示 递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式 (n，an) 公式 返回导航 4 4.数列与函数的关系 数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是______，对应的函数值是____________，记为an＝f(n)． 序号n 数列的第n项 返回导航 5 【常用结论】 2．若an＋k＝an(k为非零常数)，则数列{an}为周期数列，k为{an}的一个周期． 返回导航 6 自主诊断 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．(　　) (2)一个数列只能有一个通项公式．(　　) (3)任何一个数列，不是递增数列就是递减数列．(　　) (4)若数列{an}的前n项和为Sn，则对任意，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.(　　) × × × √ 返回导航 7 2．(人教A版选修二P8练习T3改编)在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋(n≥2)，则a5＝(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：由题意得，a2＝1＋＝2，a3＝1＋＝，a4＝1＋＝3，a5＝1＋＝.故选D. 返回导航 8 3．(人教A版选修二P5例2(1)改编)数列1，一个通项公式为(　　) A．n-1 B．n C．n-1 D．n 答案：C 返回导航 9 解析：由数列1，，…可得1，，…，即这个数列为，…，故此数列的一个通项公式为an＝＝()n－1.故选C. 返回导航 10 4．(人教A版选修二P8T4改编)已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝－2n2，则an＝________． －4n＋2 解析：∵数列{an}的前n项和公式为Sn＝－2n2，∴a1＝S1＝－2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－2n2＋2(n－1)2＝－4n＋2，显然，an＝－4n＋2对于n＝1也成立，故数列{an}的通项公式为an＝－4n＋2. 返回导航 11 命题点一　由数列的前几项归纳通项公式 例1 (1)已知数列－1，，…，则该数列的第211项为(　　) A．－ B． C．－ D． 答案：A 返回导航 12 解析：由题意，该数列可表示为－，－，…，则该数列的通项公式为an＝(－1)n，所以a211＝(－1)211＝－.故选A. 返回导航 13 (2)数列0.3，0.33，0.333，0.333 3，…的一个通项公式是(　　) A．(10n－1) B．(10n－1) C． D．(10n－1) 答案：C 解析：根据题意，数列9，99，999，9 999，…的通项公式是10n－1，则数列0.9，0.99，0.999，0.999 9，…的通项公式是×(10n－1)＝1－，则数列0.3，0.33，0.333，0.333 3，…的一个通项公式是(1－)．故选C. 返回导航 14 学霸笔记：已知数列的前几项求通项公式，主要从以下几个方面来考虑： (1)负号用(－1)n与(－1)n+1或(－1)n-1来调节，这是因为n和n＋1奇偶交错． (2)分式形式的数列，分子、分母找通项，要充分借助分子、分母的关系． (3)对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数列和其他方法解决． 返回导航 15 跟踪训练　(衔接·人教A版选修二P54复习参考题T2)根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式： (1)，…； (2)1＋，…； (3)0，，…. 返回导航 16 解析：(1)数列的项是分数，前4项中分子依次是1，3，5，7，分母依次是2，4，8，16，故通项公式为an＝. (2)数列每一项中两数之间的符号规律是(－1)n＋1， 故通项公式为an＝1＋(－1)n＋1·. (3)数列0，，0，，…，可写成，…，故通项公式为an＝＋(－1)n×. 返回导航 17 命题点二　由an与Sn的关系求通项 例2 (1)已知数列{an}满足an＝n(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝________． an＝2n 解析：∵＋…＋＝n(n∈N*)，当n＝1时，＝1，解得a1＝2；当n≥2时，＋…＋＝n－1，两式相减得＝1，即an＝2n(n≥2)，经检验当n＝1时an＝2n也成立，∴an＝2n. 返回导航 18 (2)设数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝且当n≥2时，an＝－Sn·Sn－1， 则数列{an}的通项公式为an＝____________． 返回导航 19 解析：当n≥2时，an＝－Sn·Sn－1，则Sn－Sn－1＝－Sn·Sn－1，∴＝1，∵a1＝，∴S1＝，即＝2，∴数列是首项为2，公差为1的等差数列，∴＝2＋(n－1)×1＝n＋1，∴Sn＝.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝＝；当n＝1时，a1＝，不满足上式，∴an＝ 返回导航 20 学霸笔记：Sn与an的关系问题转化的两个方向： (1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解； (2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解． 返回导航 21 跟踪训练　(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则数列{an}的通项公式为(　　) A．an＝2n－1 B．an＝2n C．an＝2n＋1 D．an＝ 答案：D 解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋1－(n－1)2－1＝2n－1，又a1＝S1＝2，不符合上式，则an＝故选D. 返回导航 22 (2)(2026·广州模拟)数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，an＋1＝3Sn(n∈N*)，则a5＝________． 384 解析：an＋1＝3Sn　①，an＝3Sn－1(n≥2)　②，两式相减得an＋1－an＝3(Sn－Sn－1)＝3an(n≥2)，故an＋1＝4an(n≥2), 令an＋1＝3Sn中n＝1得，a2＝3S1＝3a1＝6，所以a5＝43×a2＝384. 返回导航 23 命题点三　数列的性质 例3 考向1　数列的周期性 (2026·肇庆模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，且anSn＋1＝an(Sn＋1)－1，则S2 025＝(　　) A．1 012 B．2 024 C． D．2 025 答案：C 返回导航 24 解析：由anSn＋1＝an(Sn＋1)－1可得an(Sn＋1－Sn)＝an－1，故an＋1＝＝1－，由a1＝2可得a2＝1－＝，a3＝1－＝－1，a4＝1－＝2，…，故数列{an}是周期为3的周期数列，且a1＋a2＋a3＝，故S2 025＝675(a1＋a2＋a3)＝675×＝.故选C. 返回导航 25 学霸笔记：根据所给的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求出有关项的值或者前n项和． 返回导航 26 跟踪训练　已知数列{an}中，a1＝－，则a9＝(　　) A． B． C． D．5 答案：A 解析：因为a1＝－，an＋1＝1－，所以a2＝1－＝5，所以a3＝1－＝，所以a4＝1－＝－，所以a5＝1－＝5，…，所以数列{an}是周期为3的数列，所以a9＝a3＝.故选A. 返回导航 27 考向2　数列的单调性 例4 (2026·山东多校联考)已知数列{an}的通项公式为an＝λn2－2n，若{an}是递增数列，则λ的取值范围是(　　) A．(0，＋∞) B． C． D．(1，＋∞) 答案：C 返回导航 28 解析： 由数列{an}是递增数列可得an＋1>an恒成立，即λ(n＋1)2－2(n＋1)－λn2＋2n>0，整理可得λ>，该式对任意n∈N*恒成立，又因为函数y＝为(0，＋∞)上的单调递减函数，所以()max＝，所以λ>.故选C. 返回导航 29 学霸笔记：(1)用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列或常数列； (2)用作商比较法，根据(an>0或an<0)与“1”的大小关系进行判断； (3)结合相应函数的图象直观判断． 返回导航 30 跟踪训练　(2026·贵阳模拟)设函数f(x)＝数列{an}满足an＝f(n)，且数列{an}是递增数列，则a的取值范围是(　　) A．(1，4) B．(3，4) C． D． 答案：B 返回导航 31 解析：∵数列{an}是递增数列，∴当n∈(－∞，8]时，f(n)＝(4－a)n－5单调递增，即4－a>0，则a<4；当n∈(8，＋∞)时，f(n)＝an－8单调递增，则a>1，又a9>a8，即a9－8>(4－a)×8－5，则a>27－8a，则a>3.∴a∈(3，4)．故选B. 返回导航 32 考向3　数列的最大(小)项 例5 (2026·苏州模拟)数列{an}的通项公式为an＝n(n＋1)，{bn}满足bn＝an·n，则数列{bn}的最大项是第(　　)项． A．6 B．7 C．8 D．9 答案：A 返回导航 33 解析：设数列{bn}的最大项为bn. 则即 化简得解得所以≤n≤， 又n∈N*，所以n＝6，即数列{bn}的最大项是第6项．故选A. 返回导航 34 学霸笔记： (1)函数法：利用相关的函数求最值．若能借助表达式观察出单调性，直接确定最大(小)项，否则，利用作差法； (2)解不等式组(n≥2)确定最大项，解不等式组(n≥2)确定最小项． 返回导航 35 跟踪训练　已知数列{an}的通项公式为an＝，则an取到最小值时n的值是(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 答案：B 返回导航 36 解析：an＝＝＝1＋，当n>7，n∈N*时，2n－15>0，an＝1＋单调递减，此时an＝1＋>1；当n≤7，n∈N*时，2n－15<0，an＝1＋单调递减，此时an＝1＋≥a7＝1＋＝－12，所以an取到最小值时n的值是7.故选B. 返回导航 37 1．已知数列，…，则是这个数列的第(　　)项． A．10 B．11 C．12 D．13 答案：A 解析：由题意可知，被开方数是首项为3，公差为2的等差数列，则该数列的通项公式为an＝，令，解得n＝10.故选A. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 38 2．(2026·景德镇模拟)若数列{an}的前4项依次为20，11，2，－7，则数列{an}的一个通项公式为(　　) A．an＝(－1)n+1·2n B．an＝－9n＋29 C．an＝9n＋11 D．an＝9n－18 答案：B 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 39 解析：对于A，当n＝1时，a1＝2，这与条件不符，故A错误；对于B，从前四项看，这是一个以20为首项，以－9为公差的等差数列，由等差数列的通项公式有an＝－9n＋29，故B正确；对于C，当n＝2时，a2＝29，这与条件不符，故C错误；对于D，当n＝1时，a1＝－9，这与条件不符，故D错误．故选B. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 40 3．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)，则数列{an}为(　　) A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．摆动数列 答案：B 解析：数列{an}中，an＝2＋，则an＋1－an＝2＋－＝－<0，即an＋1<an，所以数列{an}为递减数列．故选B. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 41 4．已知数列{an}的前n项和Sn＝kn2＋2n，a2＝5，则k的值为(　　) A．2 B．－2 C．1 D．－1 答案：C 解析：由Sn＝kn2＋2n可得a2＝S2－S1＝(4k＋4)－(k＋2)＝3k＋2，则3k＋2＝5，解得k＝1.故选C. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 42 5．(2026·无锡模拟)已知数列{an}的通项公式为an＝n2＋2n，则120是这个数列的第(　　)项． A．9 B．10 C．11 D．12 答案：B 解析：由数列{an}的通项公式为an＝n2＋2n，令an＝120，即n2＋2n＝120，可得n2＋2n－120＝0，解得n＝10或n＝－12，即a10＝120，所以120是数列{an}的第10项．故选B. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 43 6．(2026·绵阳模拟)已知数列{an}满足a1＝，则a2 025＝(　　) A． B．－2 C．－ D．3 答案：A 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 44 解析：由数列{an}满足a1＝，可得a2＝＝a1，…，所以数列{an}是周期数列，且周期为T＝4，则a2 025＝a506×4＋1＝a1＝.故选A. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 45 7．已知数列{}是单调递减数列，则实数λ的取值范围为(　　) A．(0，＋∞) B．(1，＋∞) C．[1，＋∞) D．[0，＋∞) 答案：A 解析：数列{}是单调递减数列，故>，即2n＋2λ>n＋1＋λ，λ>1－n，且n∈N*，故λ>0.故选A. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 46 8．已知数列{an}满足an＋1＝an＋3n－16，则数列{an}的最小项是第(　　)项． A．5 B．6 C．7 D．8 答案：B 解析：数列{an}中，由an＋1＝an＋3n－16，得an＋1－an＝3n－16，由3n－16<0，得n≤5，则当n≤5时，an＋1<an；当n≥6时，an＋1>an，即a1>a2>a3>a4>a5>a6<a7<a8<…，所以数列{an}的最小项是第6项．故选B. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 47 9．(2026·绵阳模拟)已知数列{an}的通项公式为an＝ 前n项和为Sn，则(　　) A．a6＝17 B．a4>a5 C．S5＝42 D．S6>S5 答案：BD 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 48 解析：由an＝可知a1＝2，a2＝4，a3＝8，a4＝16，a5＝14，a6＝64，则S6－S5＝a6>0，S5＝44，可知BD正确，AC错误．故选BD. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 49 10．(2026·苏州模拟)已知数列{an}的通项公式an＝，前n项和为Sn，则(　　) A．an的最大值为6 B．an＋1－an的最大值为11 C．数列{an}单调递减 D．数列{Sn}的最小项是S7 答案：ABD 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 50 解析：因为an＝，对于A，当1≤n≤7时，2n－15<0，则an＝<，此时数列{an}单调递减，当n≥8时，2n－15>0，则an＝> a8>a9>a10>…，故数列{an}的最大项为a8＝6，A正确； 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 51 对于B，由A可知，数列{an}的最小项为a7＝－5，故an＋1－an的最大值为a8－a7＝6＋5＝11，B正确；对于C，由A可知，数列{an}不单调，C错误；对于D，令an＝≤0，可得2≤n≤7，所以当2≤n≤7时，an＝≤0，故数列{Sn}的最小项是S7，D正确．故选ABD. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 52 11．(2026·宁德模拟)已知数列{an}满足a1＋3a2＋…＋3n-1an＝n·3n+1(n∈N*)，设数列{an}的通项公式为an，则an＝________． 6n＋3 解析：数列{an}满足a1＋3a2＋…＋3n-1an＝n·3n+1(n∈N*)，当n≥2时，a1＋3a2＋…＋3n-2an－1＝(n－1)·3n，两式相减得3n-1an＝n·3n+1－(n－1)·3n＝(2n＋1)·3n，因此an＝3(2n＋1)．又n＝1时，a1＝1×31+1＝9，满足上式，所以an＝3(2n＋1)＝6n＋3. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 53 12．(2026·南京模拟)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则an ＝________________． 解析：∵Sn＝3n2－2n＋1，∴当n＝1时，a1＝S1＝2；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，又n＝1时，a1＝S1＝2不满足上式，∴an＝ 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 54 13．(13分)设数列{an}的前n项和Sn＝. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{nan}的最小项． 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 55 解析：(1)当n＝1时，a1＝S1＝－4； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝＝n－5. 经检验a1符合上式， 所以数列{an}的通项公式为an＝n－5. (2)令bn＝nan＝n2－5n，则bn＋1－bn＝2n－4， 令2n－4>0得n>2； 所以b1>b2＝b3<b4<b5<…，所以数列{nan}的最小项为b2＝b3＝－6. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 56 14．(15分)已知数列{an}的通项公式为an＝. (1)请问是不是这个数列的项？如果是，为第几项；如果不是，请说明理由； (2)判断数列{an}的增减性并证明． 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 57 解析：(1)是这个数列的第17项．理由如下： 由an＝，可解得n＝17，故是数列{an}的项，是第17项． (2)数列{an}是递增数列，证明如下： 由题知，an＋1－an＝，∵n∈N*，∴n＋51＞0，n＋52＞0，即an＋1－an＞0，∴数列{an}是递增数列． 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 58 15．(5分)已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2an＋2，设bn＝(n－λ)log2(an＋2)，λ∈R，若数列{bn}是递增数列，则实数λ的取值范围是(　　) A．(－∞，3) B．(4，＋∞) C．(3，＋∞) D．(－∞，4) 答案：D 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 59 解析：因为an＋1＝2an＋2，所以数列an＋1＋2＝2(an＋2)，所以数列{an＋2}是以a1＋2＝4为首项，2为公比的等比数列，所以an＋2＝4×2n-1，所以bn＝(n－λ)log2(an＋2)＝(n－λ)(n＋1)＝n2＋(1－λ)n－λ，若数列{bn}是递增数列，则bn＋1>bn恒成立，所以bn＋1－bn＝(n＋1)2＋(1－λ)(n＋1)－λ－[n2＋(1－λ)n－λ]＝2n＋1＋1－λ＝2n＋2－λ>0恒成立，所以λ<2n＋2恒成立，所以λ<(2n＋2)min＝4，所以实数λ的取值范围是(－∞，4)．故选D. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 60 16．(5分)(2026·锦州模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝3，Sn＋1 ＝2Sn＋n，则an＝______________． 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 61 解析：已知Sn＋1＝2Sn＋n，当n≥2时，有Sn＝2Sn－1＋n－1，两式相减得Sn＋1－Sn＝2Sn－2Sn－1＋1，即an＋1＝2an＋1，所以n≥2时，有an＋1＋1＝2(an＋1)，当n＝1时，由S2＝2S1＋1，有a1＋a2＝2a1＋1，又a2＝3，解得a1＝2，则a1＋1＝3，a2＋1＝4，a2＋1≠2(a1＋1)，故当n≥2时，数列{an＋1}为等比数列，公比为2，当n≥2时，an＋1＝4×2n-2＝2n，故an＝2n－1，所以an＝ 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 62 $