湖南长沙市第十一中学等校2026届高三考前适应性训练数学试题

2026届高三冲刺压轴适应性训练·数学 参考答案、提示及评分细则 1．D 2．A 3．A 4．D 5．D 6．C 7．B 8．A 9．ABC 10．AC 11．ACD 12． 13． 14． （第一空分，第二空分） 15．【解析】（1）由题意知，且．代入，得， 分 也即．即． 4分 因为为的内角，所以，从而，所以，解得．6分 （2）因为为锐角三角形，所以各内角均小于，即且，又因为，所以，解得．结合，可得．8分 由正弦定理可得，故． 11分 因为，故易知，从而，所以，即的取值范围为． 13分 16．【解析】（1）在圆台中，上、下底面半径分别为1和4，高为4，所以，因为为的中点，所以， 2分 易知平面，平面，所以， 3分 又因为，，、平面，所以平面， 4分 因为平面，所以，因为，、平面，故平面． 6分 （2）因为平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 7分 则、、、， 8分 设平面的一个法向量为，，，则，取，则， 11分 易知平面的一个法向量为， 12分 所以． 14分 故平面与平面夹角的余弦值为． 15分 17．【解析】（1）由渐近线方程知，，由焦点坐标可知，，联立， 2分 解得，故的方程为． 4分 （2）设，，直线的方程为，过且与平行的直线可写为， 联立，解得， 6分 过且与平行的直线可写为，联立， 解得， 8分 当时，，，此时，则直线斜率不存在，又此时直线的斜率也不存在，且，，，四点不共线，， 10分 当时，由消去，得：，易知，， ， 14分 ，，,,四点不共线，． 15分 18．【解析】此时， 1分 而，当时 ， 2分 可得l的方式为． 3分 （2） 4分 设，， 5分 时，，单调递减；时，，单调递增，于是， 7分 ，在上单调递减． 8分 （3）此时，即， 9分 考虑的零点个数．设，，，在上单调递增，于是， 10分 设，，时，，单调递减；时，，单调递增，于是， 11分 故当时，， 12分 而时，要证．设，，，，单调递增，于是，单调递增，故， 14分 于是， 15分 故，而时，，故． 16分 综上，曲线与l有且仅有一个公共点． 17分 19．【解析】（1）代入计算公式得． 2分 化简得， 4分 （2）记．因为且，两式相减可得．对于任意取值为0或1的数列，由于，可将改写成．移项可得．现对求和式进行恒等变形得到．因为，故且．根据绝对值性质可知以及，将其分别乘以非负数与，得到以及，相加得到． 7分 两边同除以2，即证得．上述放缩过程中，要使等号成立，必须同时满足与．当时，为使第二式成立必须有，即；当时，为使第一式成立必须有；当时，两式对或1均成立． 故等号成立的条件为：当时，；当时，；当时，可取0或1． 10分 （3）记．由已知条件概率和为1可得且．对于任意常数，均有成立．取，代入上式可得．根据绝对值不等式的性质，可得．因为，所以，进而可得．将其代入放缩不等式可得．将上述不等式从到累加，可得．代入，即可得到，解得．故的最小值为． 14分 要使上述所有放缩过程均取到等号，必须满足对于所有均有成立．当时，上式化为，即；当时，上式化为，即；当时，由于，若要等号成立有． 结合与，可解得且．即且，且其余所有位置均有．结合概率非负且总和为1的性质，可令且，并令且，此时剩余概率总和为．由于已知，故该剩余概率值非负，可令，其余所有位置（若存在）均满足．由此构造出的一组满足条件的分布列为且，以及且，其余各项取值的概率均为0． （构造不唯一，只要满足，且，，并使概率非负、总和为1，就可以达到最小值） 17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三冲刺压轴适应性训练 科目：数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试题卷上无效． 3．本试题卷共5页，19小题，满分150分，考试用时120分钟．如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负． 4．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 姓名________________ 准考证号________________ 2026届高三冲刺压轴适应性训练 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．集合的子集个数为 A．2 B．4 C．6 D．8 2．设甲：且，乙：且，则 A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 3．已知是纯虚数，则实数 A． B． C． D．2 4．若，则 A． B． C． D． 5．记等差数列的前项和为，已知，，则 A． B． C． D．3 6．已知曲线，在其上一点处的切线与轴交于点，则的最大值为 A． B． C．1 D． 7．已知抛物线的焦点为，准线为．点在上，过点作的垂线，垂足为，为坐标原点，若四边形为等腰梯形，面积为，则的值是 A． B．2 C． D．4 8．在一个不透明的口袋中装有大小、形状完全相同的3个小球，并将它们编号为1，2，3，每次从口袋中随机抽取一个小球，记录编号后将球放回，重复操作直至取遍所有小球后立刻停止摸球，则“经过3次摸球未能停止摸球”的条件下，经过5次摸球停止摸球的概率是 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数的最小正周期为2，则 A．的值域为 B．是偶函数 C．曲线与相切 D．曲线关于点中心对称 10．对于维向量，，，，二者夹角的余弦值．现有一组点，…，，设，，记，，已知这组点由最小二乘法所得的经验回归直线方程为和，若，称这组点的线性相关性弱，反之则称这组点的线性相关性强，则 附：，，，． A． B．在上的投影向量为 C． D．这组点的线性相关性弱 11．已知椭圆的左、右顶点分别为，，圆．点是椭圆上异于，的动点，直线与圆交于另一点，直线与圆交于另一点．设直线与直线交于点，则 A．直线与直线始终互相垂直 B．的轨迹为焦点在轴上的部分椭圆 C．线段长度的取值范围为 D．面积的最大值等于 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若随机变量服从正态分布，且，则________． 13．将圆锥的侧面展开得到一个面积为，周长为的扇形，且该扇形的半径为有理数，则该圆锥的体积为________． 14．设函数，若，则的最大值为________；当取得最大值时，________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分分）记的内角，，的对边分别为，，．已知，，且为锐角三角形． （1）求； （2）求的取值范围． 16．（本小题满分15分）如图，在圆台中，上、下底面半径分别为1和4，高为4，轴截面为四边形，在下底上，，为中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 17．（本小题满分15分）已知双曲线的渐近线方程为和，右焦点为． （1）求的标准方程； （2）过的直线交的右支于，两点，过作的平行线交于点，过作的平行线交于点，证明：． 18．（本小题满分17分）已知函数，记曲线在处的切线为． （1）当时，求的方程； （2）证明：函数在上单调递减； （3）当时，证明：曲线与有且仅有一个公共点． 19．（本小题满分17分）已知随机变量，的取值集合为的子集且．记，．定义与的差异度为． （1）当时，，，且，，，求； （2）设数列，，，满足，证明：，并指出等号成立时的取值条件； （3）记，的数学期望分别为，．若，求的最小值关于的表达式，并写出此时能够取得该最小值的一组与的分布列． 学科网（北京）股份有限公司 $