精品解析：河南驻马店市青铜鸣2025-2026学年高二下学期5月阶段检测数学试题 （A卷）

河南驻马店市青铜鸣2025-2026学年高二下学期5月阶段检测数学试题 （A卷） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，则复数的虚部为（ ） A. 2 B. 2 C. 4 D. 4 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以，故复数的虚部为 2. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题首先可根据题意确定集合和集合中包含的元素，然后根据补集的相关性质即可得出结果. 【详解】因为 ，所以 ， 因为 ，所以 ， 则 . 3. 已知椭圆的短轴的长为6，则该椭圆的离心率（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意求出的值，再由离心率公式求解即可. 【详解】因为椭圆的短轴的长为6， 所以，解得， 所以， 所以离心率. 4. 过点作圆 的两条切线，切点分别为，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两点间距离公式可得，即可由勾股定理求解，由三角形面积公式即可求解. 【详解】由 可得， 所以，进而可得， 故， 所以四边形的面积为. 5. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的定义域为且 B. 函数的值域为 C. 函数的最小正周期为 D. 函数的图象关于直线对称 【答案】C 【解析】 【分析】对A直接由正切函数的性质可得函数的定义域并判断可得；对B可将函数化简为，再结合正弦函数的性质可得函数的值域；对C直接根据正弦函数的最小正周期判断可得；对D直接用对称的定义验证可得. 【详解】对于A，由正切函数的性质可得 ， 又由 ， 因此，函数的定义域为且 ，故A错误； 对于B，由 ， 因为函数的定义域为且 ， 所以且，即 ， 因此，所以，故B错误； 对于C，由上分析知，所以， 且的最小正周期为，因此函数的最小正周期为，故C正确； 对于D，由上分析知，所以， ， 显然等式不恒成立，因此函数的图象不关于直线对称，故D错误. 6. 已知定义域为的函数满足： ，且，都有，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 在时取最小值 D. 【答案】D 【解析】 【详解】令，则 ，故，故A错误； 因为 ，所以的函数图象关于点中心对称，故B错误； 因为，都有， 所以在上单调递增， 因为的函数图象关于点中心对称，所以在上单调递增， 则在上单调递增，则无最小值，故C错误； ，故D正确. 7. 在中，内角的对边分别为，若 ，且的面积为，则外接圆的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理和余弦定理即可求得，结合面积公式及正弦定理可求外接圆的半径，进而可求周长； 【详解】由和正弦定理得，即， 因为，所以，又因，则， 由余弦定理，，因，所以，； 在中，由解得， 由正弦定理得的外接圆的半径为 ， 所以外接圆的周长. 8. 已知函数，若，则的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对函数求导，根据导数得到函数的单调性，利用函数的单调性依次判断即可. 【详解】已知函数，求导得，令，解得， 所以当时，；当时，； 所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是，如图所示， 对于A，假设都在单调递增区间，若，则有，所以是可能的，故A正确； 对于B，假设都在单调递减区间，若 ，则有，所以是可能的，故B正确； 对于C，假设在单调递增区间，在单调递减区间，此时取，，，有， 则 ，，，满足，符合题意，所以是可能的，故C正确； 对于D，假设都在单调递增区间，若，则有，不符合题意； 假设都在单调递减区间，若，则有，不符合题意； 假设在单调递增区间，在单调递减区间，若，则有，不符合题意； 假设在单调递增区间，在单调递减区间，若，则有，不符合题意； 因此，是不可能的，故D错误. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数 ，其中是在处的导数值，则下列结论正确的有（ ） A. B. 的单调递减区间为 C. 的极小值为1 D. 在上的最大值为3 【答案】BCD 【解析】 【分析】先求出导函数得出判断A，进而得出函数单调性及极值判断B，C，最后得出最值判断D. 【详解】函数 ， ，令，则， ，故A错误； 函数 ，则，所以函数的单调递减区间为，故B正确； 函数 ，则或，所以函数的单调递增区间为或， 所以函数的极小值为 ，故C正确； 由上分析，时，函数单调递增，时，函数单调递减，时，函数单调递增， 所以函数的极大值为 ，又 ， 故在上的最大值为3，故D正确. 10. 如图，在正四棱锥中，，点为侧棱的中点，则下列说法正确的有（ ） A. 平面 B. 异面直线与所成的角为 C. 平面截该正四棱锥所得的截面图形的周长为 D. 该正四棱锥外接球的表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据线面平行的判定定理证明线面平行判断A，求出异面直线所成角判断B，作出题设截面求出周长判断C，求出外接球半径，从而求得表面积判断D. 【详解】对于A，连接与交于点，则是中点，连接， 又是中点，所以，因为平面，平面，所以平面，A正确； 对于B，因为，所以（它是等腰三角形的底角为锐角）是异面直线与所成的角， 在等腰中，，所以， 由余弦定理得， 由正弦定理，，显然为锐角，所以， 即异面直线与所成的角不是，B错； 对于C，作交于.连接，则四边形即为截面， 由正四棱锥性质得，，所以截面周长为，C正确； 对于D，由已知，， 所以四棱锥的外接球的球心在线段上， 设外接球半径为，由得，解得， 所以外接球的表面积为，D正确. 11. 设数列满足，其中．数列满足，数列的前项和记作，则下列说法正确的有（ ） A. B. 与均为数列的最大项 C. 的最小值为28 D. 数列的前200项的和为100 【答案】ABC 【解析】 【分析】由题意可得数列是等比数列，求得通项公式为，进而求得，即可判断A；根据二次函数及指数函数的性质判断B；求得数列是等差数列，且，从而求得，由二次函数的性质判断C；利用分组求和，求出数列的前200项的和，从而判断D. 【详解】因为， 所以数列是等比数列，其首项为，公比， 所以， 又因为， 所以，故A正确； 令，， 所以当或时，取最大值， 又因为是单调递增函数， 所以当或时，最大，故B正确； 因为， 所以， 所以数列是等差数列，公差为1，首项， 所以， 又因为， 由二次函数的性质可知当或时，有最小值，为，故C正确； 因为数列的前200项的和为： ，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知平面向量满足，且，则向量夹角的余弦值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由向量垂直的数量积表示计算. 【详解】因为，所以， 所以. 13. 已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于两点，若，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】通过点确定抛物线方程，从而确定直线方程，二者联立即可求得点的横坐标，最后利用过焦点的弦长公式即可求解. 【详解】根据题意，点在抛物线上，则有 ，解得， 因此抛物线方程为，焦点， 如图所示，直线过焦点且与抛物线交于，则直线的斜率为，方程为， 联立，解得和，由于，所以， 根据过焦点的弦长公式，. 14. 某科技公司举办智能机器人挑战赛，赛场上有甲、乙、丙三款不同型号的机器人各一台，它们独立完成指定任务．已知甲机器人完成任务的概率为，乙机器人完成任务的概率为，丙机器人完成任务的概率为，各机器人能否完成任务相互独立，设为成功完成任务的机器人台数，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】先列出随机变量的所有可能取值，再根据相互独立事件的概率乘法公式分别计算各取值对应的概率，得到分布列后，利用数学期望的定义式计算期望. 【详解】设甲、乙、丙三台机器人完成任务分别为事件， 则，，，且相互独立. 的可能取值为. 当时，三台机器人均未完成任务： 当时，恰有一台机器人完成任务： , 当时，恰有两台机器人完成任务： , , 当时，三台机器人均完成任务： , 可得的分布列： 因此，数学期望为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某健康机构为研究成年人的年龄与收缩压的相关关系，随机记录了5名成年人的年龄（单位：岁）与收缩压（单位：mmHg），数据如下表： 年龄 35 40 45 50 55 收缩压 114 125 126 132 133 收缩压为血压偏高，为血压正常． （1）若用线性回归模型拟合与的关系，求关于的经验回归方程； （2）从这5人中随机抽取2人，求恰好抽到1名血压偏高的人的概率． 附：经验回归方程的斜率及截距的最小二乘估计分别为． 【答案】（1） （2） 【解析】 【详解】（1）， ， ， ， 则 ， ， 所以关于的经验回归方程为 ． （2）由题可知，血压偏高的共2人，血压正常的有3人，从5人中抽2人可能的组合有种， 恰好1人偏高、1人正常的组合有种， 所以从这5人中随机抽取2人，求恰好抽到1名血压偏高的人的概率． 16. 已知数列满足，且． （1）证明：数列是等差数列，并求的通项公式； （2）设为数列的前项和，求使不等式成立的正整数的取值集合. 【答案】（1）由，得，即， 又，所以数列是首项为、公差为的等差数列， 所以 ，所以． （2） 【解析】 【分析】（1）直接由递推关系可得，进而可证明数列是等差数列，并可得通项公式； （2）由裂项相消法求和可得，进而可将所求不等式转化为，再构造函数 ，用导数判断函数单调性，并结合函数值可得不等式的解集. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，所以， 故， 代入，整理得． 设 ，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 又 ， 所以不等式的正整数解集为. 故使不等式成立的正整数的取值集合为． 17. 如图1，四边形是边长为4的正方形，在扇形中，，点是弧的中点．现将正方形沿进行翻折，使得点到达点的位置，点到达点的位置，如图2所示，其中． （1）证明：平面； （2）求四棱锥的体积； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）因为四边形是边长为4的正方形，所以， 翻折后，，又，平面， 所以平面，即平面，所以平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）运用线面垂直的判定定理，证明一条直线垂直于平面内两条相交直线；再结合翻折前后的平行关系，将线面垂直进行传递； （2）利用余弦定理和等腰三角形的三线合一性质求出底面四边形的面积，再根据棱锥体积公式代入已知高计算体积； （3）通过建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，并利用向量夹角公式计算两平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，在中，由余弦定理得． 因为，易知，故四边形的面积为. 由（1）得四棱锥的高，所以四棱锥的体积． 【小问3详解】 取的中点，连接，则，易知两两垂直， 则以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系． 则， 因为为边长为4的等边三角形，所以， 所以． 设平面的法向量为， 则，即，． 设平面的法向量为， 则，即，． 设平面与平面夹角为， 则． 18. 已知双曲线的实轴的长为，离心率． （1）求双曲线的标准方程； （2）过点的直线与双曲线交于两点，求线段的中点的轨迹方程； （3）设为双曲线上任意一点，过作的两条渐近线的垂线，垂足分别为.的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）是， 【解析】 【分析】1）根据实轴的长为，离心率，求出即可求得双曲线的标准方程; （2）假设直线的方程与双曲线的标准方程联立，通过韦达定理表示出线段的中点的坐标，从而求出轨迹方程； （3）设，求出点双曲线两条渐近线的距离，再利用分别取两条渐近线的法向量为求出两条渐近线的夹角，由于与两条渐近线垂直，故与该夹角互补，从而表示出面积，再判断是否为定值. 【小问1详解】 由双曲线的实轴的长为，得，所以， 又，所以，所以， 所以双曲线的标准方程为． 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，不符合题意； 当直线的斜率存在时，设斜率为，则直线的方程为， 联立，消去并整理，得 ， 由直线与双曲线有两个交点，得， 且 ，解得且． 设，则，故， 由且，得或， 将代入，整理得， 因为，所以，即 ， 故线段的中点的轨迹方程为或． 【小问3详解】 的面积是定值．理由如下： 设，则，双曲线的渐近线方程分别为 ． 点到两条渐近线的距离分别为， 故．分别取两条渐近线的法向量为， 则， 由于与两条渐近线垂直，所以，与该夹角互补 故， 所以的面积， 故的面积为定值． 19. 已知函数，函数，为实数． （1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若存在正实数，使不等式成立，求的取值范围； （3）若函数有两个零点，证明：． 【答案】（1） （2） （3）由，得， 令，又，则，易得， 所以函数在上单调递增． 若令，则关于的方程有两个正实数根， 要证，即证， 也即证，即证， 由已知所以 所以， 不妨设，即证， 即证 令，即证，令函数， 则 所以函数在上单调递增，所以， 故原不等式得证． 【解析】 【分析】（1）根据切点和斜率求得切线方程，进而求得切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）由分离参数，利用构造函数法，结合导数求得的取值范围. （3）利用换元法，将要证明的不等式转化为证明，利用构造函数法，结合导数证得不等式成立. 【小问1详解】 当时，， ， 所以曲线在点处的切线方程为， 即． 令，得；令，得， 所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为． 【小问2详解】 由化简可得，， 即 在上有解． 设 ，则， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以当时，取得最小值，为 ， 由题意知 ，即 ， 故的取值范围为． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南驻马店市青铜鸣2025-2026学年高二下学期5月阶段检测数学试题 （A卷） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，则复数的虚部为（ ） A. 2 B. 2 C. 4 D. 4 2. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知椭圆的短轴的长为6，则该椭圆的离心率（ ） A. B. C. D. 4. 过点作圆 的两条切线，切点分别为，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的定义域为且 B. 函数的值域为 C. 函数的最小正周期为 D. 函数的图象关于直线对称 6. 已知定义域为的函数满足： ，且，都有，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 在时取最小值 D. 7. 在中，内角的对边分别为，若 ，且的面积为，则外接圆的周长为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若，则的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数 ，其中是在处的导数值，则下列结论正确的有（ ） A. B. 的单调递减区间为 C. 的极小值为1 D. 在上的最大值为3 10. 如图，在正四棱锥中，，点为侧棱的中点，则下列说法正确的有（ ） A. 平面 B. 异面直线与所成的角为 C. 平面截该正四棱锥所得的截面图形的周长为 D. 该正四棱锥外接球的表面积为 11. 设数列满足，其中．数列满足，数列的前项和记作，则下列说法正确的有（ ） A. B. 与均为数列的最大项 C. 的最小值为28 D. 数列的前200项的和为100 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知平面向量满足，且，则向量夹角的余弦值为___________． 13. 已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于两点，若，则___________ 14. 某科技公司举办智能机器人挑战赛，赛场上有甲、乙、丙三款不同型号的机器人各一台，它们独立完成指定任务．已知甲机器人完成任务的概率为，乙机器人完成任务的概率为，丙机器人完成任务的概率为，各机器人能否完成任务相互独立，设为成功完成任务的机器人台数，则___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某健康机构为研究成年人的年龄与收缩压的相关关系，随机记录了5名成年人的年龄（单位：岁）与收缩压（单位：mmHg），数据如下表： 年龄 35 40 45 50 55 收缩压 114 125 126 132 133 收缩压为血压偏高，为血压正常． （1）若用线性回归模型拟合与的关系，求关于的经验回归方程； （2）从这5人中随机抽取2人，求恰好抽到1名血压偏高的人的概率． 附：经验回归方程的斜率及截距的最小二乘估计分别为． 16. 已知数列满足，且． （1）证明：数列是等差数列，并求的通项公式； （2）设为数列的前项和，求使不等式成立的正整数的取值集合. 17. 如图1，四边形是边长为4的正方形，在扇形中，，点是弧的中点．现将正方形沿进行翻折，使得点到达点的位置，点到达点的位置，如图2所示，其中． （1）证明：平面； （2）求四棱锥的体积； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知双曲线的实轴的长为，离心率． （1）求双曲线的标准方程； （2）过点的直线与双曲线交于两点，求线段的中点的轨迹方程； （3）设为双曲线上任意一点，过作的两条渐近线的垂线，垂足分别为.的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由． 19. 已知函数，函数，为实数． （1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若存在正实数，使不等式成立，求的取值范围； （3）若函数有两个零点，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $