山东省泰安市泰山区2025-2026学年高一下学期期末重难点训练数学卷

**基本信息** 山东省泰安市泰山区2026年高一下学期期末重难点训练卷，涵盖向量、复数、立体几何、概率统计等核心知识，通过游客满意度调查、象棋比赛等真实情境，考查数学眼光观察现实世界、数学思维分析问题及数学语言表达的能力，梯度设计合理。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8题40分|向量共线、复数象限、斜二测画法、分位数|基础概念与空间观念结合，如斜二测画法面积计算| |多项选择题|3题18分|线面垂直命题、向量投影、独立事件|辨析性强，如事件互斥与独立的判断| |填空题|3题15分|分层抽样、解三角形、球体体积|实际应用，如河两岸距离测量| |解答题|5题77分|向量模计算、频率分布直方图、面面垂直证明、五局三胜制概率|综合性强，如“五一”满意度调查分析考查数据意识，立体几何证明体现逻辑推理|

山东省泰安市泰山区2026年高一下学期期末重难点训练卷 一、选择题(共40分) 1．（5分）已知向量,,若,则=(      ) A. B. C. D.12 2．（5分）已知复数z满足（i为虚数单位），则对应的点在(      ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3．（5分）如图,斜二测画法的直观图是,的面积为6,那么的面积为(      ) A. B. C. D. 4．（5分）设平面向量满足,,,则(      ) A.3 B.2 C. D.1 5．（5分）已知一组数据从小到大排列：4,6,7,8,9,10,14,15,17,则该组数据的40%分位数为(      ) A.7 B.8 C.9 D.10 6．（5分）在长方体中,,,E为上一点且,则点C到平面的距离为(      ) A. B. C. D. 7．（5分）如图,在中,,P为的中点,则(      ) A. B. C. D. 8．（5分）春节期间,5位同学各自随机从“三峡明珠,山水宜昌”、“荆楚门户,秀丽荆门”、“三国故里,风韵荆州”三个城市中选择一个旅游,则三个城市都有人选的概率是(      ) A. B. C. D. 二、多项选择题(共18分) 9．（6分）已知直线a，b，l，平面，，，则下列命题正确的是( ) A.， B.， C.，，， D.，，， 10．（6分）已知向量,,则( ) A. B. C.向量在向量方向上的投影是 D.向量的单位向量是 11．（6分）先后抛掷质地均匀的骰子两次,事件“第一次向上的点数是1”,事件“第二次向上的点数是2”,事件“两次向上的点数之和是7”,则(      ) A. B.事件A与事件B互斥 C. D.事件A与事件C相互独立 三、填空题(共15分) 12．（5分）某校选修乒乓球课程的学生中,高一年级有30名,高二年级有40名.现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本,已知在高一年级的学生中抽取了6名,则在高二年级的学生中应抽取的人数为______. 13．（5分）如图，A，B两点在河的两岸，在B同侧的河岸边选取点C，测得，，，则A，B两点间的距离为__________m. 14．（5分）理想状态下，在一个底面直径和高均为的圆柱形石材中，挖去一个半径为R的球体后，剩余石材最多还能打磨出__________个体积最大的小球.（参考数据：） 四、解答题(共77分) 15．（13分）已知向量与的夹角为,且,,. （1）当时,求; （2）求的最小值. 16．（15分）遂宁市为进一步发展遂宁文旅，提升遂宁经济，现对“五一”假期部分游客发起满意度调查，从饮食、住宿、交通、服务等方面调查旅客满意度，满意度采用百分制，统计的综合满意度绘制成如下频率分布直方图，图中. (1)求图中m的值，并估计此次调查中综合满意度得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）. (2)求此次调查综合满意度的第75百分位数 (3)若参与本次调查游客共有2000名，请估计在参与调查的2000名游客中综合满意度打分不低于平均分的人数. 17．（15分）记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，. （1）求A； （2）若，求AB边上的高. 18．（17分）如图,在三棱柱中,平面,. （1）求证:平面平面; （2）若,求平面和平面夹角的余弦值. 19．（17分）甲､乙两人进行象棋比赛，采用五局三胜制，每局均无平局，已知每局比赛甲获胜的概率为，且甲､乙每局比赛的结果互不影响. (1)求三局比赛结束的概率； (2)求四局比赛结束且甲获胜的概率； (3)若第一局甲获胜，求最终乙赢得比赛的概率. 参考答案 1．答案：B 解析：由题意知向量,,, 则,而, 故,解得, 故选:B. 2．答案：A 解析：因为，所以， 则其对应坐标为，在第一象限. 故选：A 3．答案：A 解析：设,过点作轴,垂足为点,设,如下图所示： 则,故,可得, 还原原的图形如下图所示,则,, 故. 故选：A. 4．答案：C 解析：, 所以. 故选:C 5．答案：B 解析：由组数据从小到大排列：4,6,7,8,9,10,14,15,17, 因为,所以该组数据的40%分位数为第4个数据, 即数据的分位数为8. 故选：B. 6．答案：D 解析：如图所示,以为坐标原点,直线分别为轴建立空间直角坐标系, 则, 则, 设平面的法向量为, 则,取,则,得, 所以点C到平面的距离为, 故选:D. 7．答案：C 解析：由题意知 . 故选：C. 8．答案：A 解析：5个同学,随机任选个城市,基本事件的总数为.5个同学分成三组的方法有两种:3,1,1或者2,2,1.当按照3,1,1进行分组并排到三个城市的方法数有种,当按照2,2,1进行分组并排到三个城市的方法数有种.故“三个城市都有人选”的事件有种.所以三个城市都有人选的概率是,故选A. 9．答案：ABD 解析：对于A，两条直线平行，其中一条直线垂直于一个平面， 则另一个直线也垂直于该平面，即，，故A正确； 对于B，面面垂直的判定，一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面互相垂直， 即，，故B正确； 对于C，根据线面垂直的判定，直线与平面内的相交直线都垂直，则直线与平面垂直. 而C项中的直线a，b并不一定相交，故C错误； 对于D，根据面面垂直的性质，如果两个平面相互垂直， 则在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面， 即，，，，故D正确； 故选：ABD. 10．答案：ABD 解析：, 对于A:,,,故A正确; 对于B:,,故B正确; 对于C:向量在向量方向上的投影是,故C错误; 对于D:,所以向量的单位向量是,故D正确. 故选:ABD. 11．答案：ACD 解析：因为先后抛掷质地均匀的骰子两次共有（种）结果,事件包含共6种结果,所以,故A正确; 事件B包含共6种结果, 显然既在事件A的样本空间里又在事件B的样本空间里,故事件A与事件B不互斥,所以B错误; 事件包含共5种结果,故,所以C正确; 事件C包含共6种结果,所以, 事件包含一个样本点,所以,所以,故事件A与事件C相互独立,所以D正确. 故选:ACD. 12．答案：8 解析：设样本容量为N,则 高二所抽人数为. 故答案为:8 13．答案： 解析：由题设， 在中，由正弦定理，得 ∴. 故答案为：. 14．答案：30 解析：由题意， 要在剩余空间打磨最大的小球，需满足： 与圆柱侧面相切（小球球心到侧面距离等于小球半径r），与圆柱底面（或顶面）相切（小球球心到底面距离等于r），与挖去的大球相切（两球心距离等于）， 设小球坐标为，由几何知识得， ， 解得：， 此r为满足接触条件的最大半径. 接着求每层小球数量： 小球中心位于半径的圆周上， 设每层放k个小球，相邻小球中心距离为, ∵中心间弦长公式为， ∴即，， ∵， ∴， 解得， ∴每层恰能放置15个相切的小球. 下面求解此圆柱能放置多少层小球： 小球中心高度为r，底部小球范围为，顶部小球范围为， 间隙为， 顶部底部小球不会重叠， 小球中心到挖去球体中心的最小距离为， ∴无法再放置一层小球， ∴挖去球后圆柱上下两部分都能放置一层，即最大放置层数为2， ∴最大打磨个数为. ∴剩余石材最多还能打磨出30个体积最大的小球， 故答案为：30. 15．答案：（1）2 （2） 解析：（1）当时,, 即, 因为,, 所以, 解得 （2）, 所以当时,有最小值2, 故的最小值为. 16．答案：(1)，76.5 (2)85 (3)1045 解析：(1)由频率分布直方图可得，， 又，解得， 平均分为. (2)由频率分布直方图可得， 前3组频率之和为0.6，第四组频率为0.3， 故第75百分位数在，则. (3)由(1)知平均分为， 故不低于平均分的频率为， 则打分不低于平均分的人数为. 17．答案：（1） （2） 解析：（1）因为， 所以由余弦定理可得， 因为，所以，则， 又，所以， 因为，所以，所以，所以. （2）解法一：在中， ， 又，所以， 记AB边上的高为h，则. 解法二：由解法一知， 记AB边上的高为h，则， 又，所以. 解法三：由正弦定理得， 又，所以，代入， 得，即. 因为，所以. 联立得，解得，. 记AB边上的高为h，则. 18．答案：（1）证明见解析 （2） 解析：（1）证明:因为平面,平面,所以, 又因为,,平面,平面, 所以平面, 又因为平面,平面平面. （2）由（1）知,,两两垂直,以C为坐标原点,,,分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示空间坐标系. 由,可设,, 则,,,, ,,,, 所以. 设平面的法向量为, 由,所以取, 设平面的法向量为, 由,所以取, 设二面角大小为,所以 , 故平面和平面夹角的余弦值为. 19．答案：(1) (2) (3) 解析：(1)比赛三局，甲获胜的概率； 乙获胜的概率， 所以三局比赛结束的概率为. (2)四局比赛结束且甲获胜，则前3局甲输1局， 第4局胜，其概率为. (3)第一局甲获胜，最终乙赢得比赛的事件为B， 乙连赢3局的概率为， 第2，3，4局乙输1局，第5局赢的概率为， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $