3.4 导数中函数的构造问题 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦高考导数中函数构造热点，涵盖导数型（与xⁿ、eˣ、三角函数构造）和同构法（同源、指对、数值构造）核心考点，按“考点梳理-方法指导-真题训练”逻辑展开，通过分层练习帮助学生构建解题框架。 讲义创新采用多维角度分类与模型化总结，如指对同构提炼乘积、比商、和差模型，结合典例分析培养数学思维与创新意识，分层练习确保复习效果，助力学生高效突破难点，为教师把控复习节奏提供有力支撑。

3．4　导数中函数的构造问题 导数中函数的构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，同构法构造函数也在解答题中出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题． 考点一　导数型构造函数　多维探究　发散思维 角度1　利用f(x)与xn构造函数 已知连续函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f′(x)是f(x)的导函数，若对于任意的x∈(0，＋∞)，都有2f(x)＋xf′(x)>0成立，且f(2)＝，则不等式f(x)－>0的解集为________． [解析]　令g(x)＝x2f(x)，可得g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)，因为对于任意的x∈(0，＋∞)，都有2f(x)＋xf′(x)>0成立，可得g′(x)>0，所以函数g(x) 在(0，＋∞)上单调递增．又因为f(x) 是定义在R上的奇函数，可得g(－x)＝(－x)2f(－x)＝－x2f(x)＝－g(x)，所以g(x) 是定义在R上的奇函数，可得g(x) 在(－∞，0)上单调递增．因为f(x) 在R上连续，则g(x) 在R上连续，所以函数g(x) 在R上为增函数．由不等式f(x)－>0，可化为x2f(x)－2>0，即g(x)>2，因为f(2)＝，可得g(2)＝22×f(2)＝2，所以g(x)>g(2)，可得x>2，所以不等式f(x)－>0的解集为(2，＋∞). [答案]　(2，＋∞) 常用的构造形式有xf(x)，xnf(x)，，，这类形式是对uv，型函数的导数计算的推广及应用，具体有以下情形： (1)如果题目中出现nf(x)＋xf′(x)形式，构造函数F(x)＝xnf(x). (2)如果题目中出现xf′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝. 角度2　利用f(x)与ex构造函数 已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且f′(x)－f(x)<0，f(1)＝e，则不等式f(ln x)>x的解集为(　　) A．(0，) B．(0，e) C．(，＋∞) D．(e，＋∞) [解析]　令g(x)＝，则g′(x)＝，因为f′(x)－f(x)<0，所以g′(x)<0，g(x)在R上为减函数，因为f(1)＝e，所以g(1)＝＝1，因为不等式f(ln x)>x，x>0，所以g(ln x)＝＝>1＝g(1)，所以ln x<1，解得0<x<e，故不等式f(ln x)>x的解集是(0，e).故选B. [答案]　B 常用的构造形式有exf(x)，enxf(x)，，，这种形式一方面是对uv，函数形式的考查，另外一方面也是对(ex)′＝ex，(enx)′＝nenx的考查． 具体有以下情形： (1)对于f′(x)＋f(x)＞0(或＜0)，构造函数F(x)＝exf(x). (2)对于f′(x)－f(x)＞0(或＜0)，构造函数F(x)＝. (3)对于f′(x)＋nf(x)＞0(或＜0)，构造函数F(x)＝enx·f(x). (4)对于f′(x)－nf(x)＞0(或＜0)，构造函数F(x)＝. 角度3　利用f(x)与sin x，cos x构造函数 设f′(x)是函数f(x)的导函数，若函数y＝f(x)对于任意的x∈满足f′(x)cos x＋f(x)sin x>0，则下列不等式成立的是(　　) A．f(0)>f B．f>f C．f>f D．f(0)>2f [解析]　设g(x)＝，则g′(x)＝>0，则g(x)在上为增函数． 对于A，<，化简得f(0)<f，故A错误；对于B，<，化简得f<f，故B错误；对于C，<，化简得f>f，故C正确；对于D，<，化简得f(0)<2f，故D错误．故选C. [答案]　C 由于sin x，cos x的导函数存在一定的特殊性，且它们之间可以相互转化，所以在构造函数时要充分考虑这一点，具体有以下情形： (1)对于f′(x)sin x＋f(x)cos x＞0(或＜0)，构造函数F(x)＝f(x)sin x. (2)对于f′(x)sin x－f(x)cos x＞0(或＜0)，构造函数F(x)＝. (3)对于f′(x)cos x＋f(x)sin x＞0(或＜0)，构造函数F(x)＝. (4)对于f′(x)cos x－f(x)sin x＞0(或＜0)，构造函数F(x)＝f(x)cos x． 1．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，f′(x)为其导函数．当x>0时，xf′(x)＋f(x)>0，且f(1)＝0，则不等式f(x)>0的解集为(　　) A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0，1) C．(－1，0)∪(0，1) D．(－1，0)∪(1，＋∞) 解析　令F(x)＝xf(x)，因为f(x) 是定义在R上的偶函数，则F(x)＝xf(x) 在R上为奇函数，f′(x)＝f(x)＋xf′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，故F(x)＝xf(x)在(0，＋∞)上单调递增，又F(x)＝xf(x)在R上为奇函数，故F(x)＝xf(x) 在(－∞，0)上单调递增，又f(1)＝0，则f(－1)＝0，故F(－1)＝－f(－1)＝0，f(1)＝f(1)＝0. 当x>0时，不等式f(x)>0等价于F(x)>0， 即F(x)>f(1)，解得x>1； 当x<0时，不等式f(x)>0等价于F(x)<0， 即F(x)<F(－1)，解得x<－1， 所以不等式f(x)>0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞).故选A． 答案　A 2．已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f′(x)>2f(x)－ex，f(1)＝e＋e2，则不等式f(ln x)>x2＋x的解集为________． 解析　设函数g(x)＝－，x∈(0，＋∞)， 则g′(x)＝＋＝＋＝， 因为f′(x)>2f(x)－ex， 所以f′(x)－2f(x)＋ex>0，即g′(x)>0， 则函数g(x)在(0，＋∞)上为增函数． 则g(1)＝－＝－＝1， g(ln x)＝－＝－. 所以不等式f(ln x)>x2＋x 可转化为－>1，即g(ln x)>g(1)， 所以ln x>1，解得x>e，故不等式的解集为(e，＋∞). 答案　(e，＋∞) 考点二　同构法构造函数　多维探究　发散思维 角度1　同源函数的构造 已知函数f(x)＝ln x＋ax2，若对任意两个不相等的正实数x1，x2，都有>2，则实数a的取值范围为________． [解析]　不妨设x2>x1>0，由>2得f－2x1<f－2x2，令g(x)＝f(x)－2x，则g(x) 在(0，＋∞)上为增函数，所以g′(x)＝＋2ax－2≥0在(0，＋∞)上恒成立， 所以2a≥－＋＝－2＋1，当＝1，即x＝1时，y＝－＋取得最大值1，所以2a≥1，解得a≥， 所以实数a的取值范围为. [答案]　 此类问题一般是给出含有x1，x2，f，f的不等式，若能通过变形，把不等式两边转化为结构形式相同的代数式，即转化为同源函数，可利用该函数单调性求解． 角度2　指对同构 设a，b都为正数，e为自然对数的底数，若aea+1＋b<b ln b，则(　　) A．ab>e B．b>ea+1 C．ab<e D．b<ea+1 [解析]　若aea+1＋b<b ln b，则aea+1<b(ln b－1)＝eln b·ln ＝·ln ， 即a·ea+1<， 设g(x)＝x·ex+1， 则有g(a)<g， 由g(x)＝x·ex+1，求导得g′(x)＝(x＋1)·ex+1，所以g(x) 在(0，＋∞)上单调递增， 所以a<ln ，所以ea<， 所以ea+1<b.故B正确，D错误； 当a＝，b＝2e时，ab＝e，故A，C错误． [答案]　B 同构法的三种基本模型 指对同构经常使用的变换形式有两种，一种是将x变成ln ex后构造函数；另一种是将x变成eln x后构造函数，总的来说，有以下三种基本模型： (1)乘积型：形如aea≤b ln b可以同构成aea≤(ln b)eln b，进而构造函数f(x)＝xex. (2)比商型：形如<可以同构成<，进而构造函数f(x)＝. (3)和差型：形如ea±a>b±ln b，同构后可以构造函数f(x)＝ex±x或f(x)＝x±ln x． 角度3　通过具体数值构造函数 设a＝1113，b＝1212，c＝1311，则(　　) A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．a<c<b [解析]　由题知，ln a＝13ln 11，ln b＝12ln 12，ln c＝11ln 13. 记f(x)＝(24－x)ln x(x≥11)， 则f′(x)＝－ln x＋＝－ln x＋－1. 易知f′(x)在[11，＋∞)上为减函数， 所以当x∈[11，＋∞)时，f′(x)≤f′＝－ln 11＋－1<－ln e2＋3－1＝0. 所以f(x)在[11，＋∞)上为减函数，故f>f>f，即ln a>ln b>ln c，又y＝ln x 为增函数，所以c<b<a. [答案]　B 当要比较的各数为某些函数的函数值时，要仔细观察这些数值的共同之处，构造一个或两个函数，使要比较的数成为该函数的函数值，然后利用函数的单调性比较大小． 1．设a＝，b＝，c＝，则(　　) A．a<c<b B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b 解析　设f(x)＝，x∈(0，＋∞)，则f′(x)＝＝， 令f′(x)＝0，解得x＝e＝， 根据函数y＝ln x的单调性，则当x∈(0，)时，f′(x)>0；当x∈(，＋∞)时，f′(x)<0，可得f(x) 在(0，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减． 而a＝＝＝f(2)，b＝＝＝f(e)， c＝＝＝＝＝f()， 因为<2<<e，所以f(e)<f()<f(2)， 即b<c<a.故选C. 答案　C 2．已知函数f(x)＝xex，g(x)＝x ln x，若f(m)＝g(n)＝t，则mn·ln t的取值范围为(　　) A． B． C． D． 解析　由于f(m)＝g(n)＝t，即mem＝n ln n＝t>0，所以m>0，n>1，当x>0时，f′(x)＝(x＋1)·ex>0，f(x)单调递增．由mem＝n ln n，得m·em＝eln n·ln n，即f(m)＝f(ln n)，解得m＝ln n，所以mn·ln t＝n ln n·ln t＝t ln t. 又因为g(t)＝t ln t，g′(t)＝1＋ln t，所以在区间上，g′(t)<0，g(t)单调递减；在区间上，g′(t)>0，g(t)单调递增，所以g(t)≥g＝－，所以mn·ln t的取值范围为.故选D. 答案　D A级　基础过关 1．已知函数f(x)(x∈R)满足f(1)＝1，且f′(x)＜，则f(x)＜＋的解集为(　　) A．{x|－1＜x＜1} B．{x|x＜－1} C．{x|x＜－1，或x＞1} D．{x|x＞1} 解析　构造函数h(x)＝f(x)－－，所以h′(x)＝f′(x)－＜0，故h(x)在R上是减函数，且h(1)＝f(1)－－＝0，故h(x)＜0的解集为{x|x＞1}． 答案　D 2．已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，且f(－2)＝0，则不等式>0的解集是(　　) A．(－2，0)∪(0，2) B．(－∞，－2)∪(2，＋∞) C．(－2，0)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(0，2) 解析　设g(x)＝，x≠0. 因为f(x)是定义在R上的偶函数， 所以f(－x)＝f(x). 因为g(－x)＝＝－＝－g(x)， 所以g(x)为奇函数，所以g(－2)＝－g(2). 因为f(－2)＝0，所以g(－2)＝－g(2)＝0. 当x>0时，g′(x)＝<0， 所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减， 此时不等式>0的解集是(0，2). 因为g(x)为奇函数，图象关于原点对称， 所以g(x)在(－∞，0)上单调递减， 所以当x<0时，不等式>0的解集是(－∞，－2). 综上所述，不等式>0的解集是(－∞，－2)∪(0，2). 答案　D 3．已知α，β∈，且αsin α－βsin β>0，则下列结论正确的是(　　) A．α3>β3 B．α＋β>0 C．|α|<|β| D．|α|>|β| 解析　令f(x)＝x sin x，x∈， 则f(－x)＝－x sin (－x)＝x sin x＝f(x)，则f(x)为偶函数， 又f′(x)＝sin x＋x cos x， 当x∈时，f′(x)≤0，x∈时，f′(x)≥0，所以f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增． 又αsin α－βsin β>0，即f(α)>f(β)， 所以|α|>|β|. 答案　D 4．若ea＋a>b＋ln b(a，b为变量)成立，则下列选项正确的是(　　) A．a＞ln b B．a＜ln b C．ln a＞b D．ln a＜b 解析　方法一　由ea＋a>b＋ln b，可得ea＋a>eln b＋ln b， 令f(x)＝ex＋x，则f(a)＞f(ln b)， 因为f(x)在R上是增函数，所以a＞ln b. 方法二　由ea＋a>b＋ln b，可得ea＋ln ea>b＋ln b，令g(x)＝x＋ln x，则g(ea)>g(b)， 因为g(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以ea>b， 即a＞ln b. 答案　A 5．已知f(x)是定义在R上的偶函数，f′(x)是f(x)的导函数，当x≥0时，f′(x)－2x>0，且f(1)＝3，则f(x)>x2＋2的解集是(　　) A．(－1，0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(－1，0)∪(0，1) D．(－∞，－1)∪(0，1) 解析　令g(x)＝f(x)－x2， 因为f(x)是偶函数，则g(－x)＝f(－x)－(－x)2＝g(x)，所以函数g(x)也是偶函数， g′(x)＝f′(x)－2x， 因为当x≥0时，g′(x)＝f′(x)－2x>0，所以函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增， 不等式f(x)>x2＋2即为不等式g(x)>2， 由f(1)＝3，得g(1)＝2，所以g(x)>g(1)， 所以|x|>1，解得x>1或x<－1， 所以f(x)>x2＋2的解集是(－∞，－1)∪(1，＋∞). 答案　B 6．(多选)定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足xf′(x)－1>0，则下列结论正确的是(　　) A．f(2)－ln 2>f(1) B．f(4)－f(2)>ln 2 C．f(2)＋ln 2>f(e)＋1 D．f(e2)－f(e)>1 解析　构造函数g(x)＝f(x)－ln x，x>0， 则g′(x)＝f′(x)－＝， 因为xf′(x)－1>0，所以g′(x)>0，故g(x)在(0，＋∞)上是增函数， 由g(2)>g(1)得，f(2)－ln 2>f(1)－ln 1， 即f(2)－ln 2>f(1)，故A正确； 由g(4)>g(2)得，f(4)－ln 4>f(2)－ln 2， 即f(4)－f(2)>ln 4－ln 2＝ln 2，故B正确； 由g(e)>g(2)得，f(e)－ln e>f(2)－ln 2， 即f(e)＋ln 2>f(2)＋1，故C错误； 由g(e2)>g(e)得，f(e2)－ln e2>f(e)－ln e， 即f(e2)－2>f(e)－1，即f(e2)－f(e)>1， 故D正确． 答案　ABD 7设实数k>0，对于任意的x>1，不等式kekx≥ln x恒成立，则k的最小值为________． 解析　由kekx≥ln x得kxekx≥x ln x， 即kxekx≥eln x·ln x， 令f(x)＝xex，则f(kx)≥f(ln x). 因为f′(x)＝(x＋1)ex， 所以f(x)在(－1，＋∞)上单调递增， 因为kx>0，ln x>0，所以kx≥ln x，即k≥， 令h(x)＝(x＞1)，则h′(x)＝， 当x∈(1，e)时，h′(x)>0，h(x)单调递增， 当x∈(e，＋∞)时，h′(x)<0，h(x)单调递减， 所以h(x)max＝h(e)＝，即k≥， 所以k的最小值为. 答案　 8．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f′(x)>0，且有f(3)＝3，则f(x)>3e3-x的解集为________． 解析　设F(x)＝f(x)·ex，则f′(x)＝f′(x)·ex＋f(x)·ex＝ex[f(x)＋f′(x)]>0， ∴F(x)是增函数． 又f(3)＝3，则F(3)＝f(3)·e3＝3e3. ∵f(x)>3e3-x等价于f(x)·ex>3e3， 即F(x)>F(3)， ∴x>3，即所求不等式的解集为(3，＋∞). 答案　(3，＋∞) B级　能力提升 9．设x>0，y>0，若ex＋ln y>x＋y，则下列选项正确的是(　　) A．x>y B．x>ln y C．x<y D．x<ln y 解析　不等式ex＋ln y>x＋y等价于ex－x>y－ln y， 令f(x)＝ex－x，x>0， 则f(ln y)＝eln y－ln y＝y－ln y， ∴不等式ex－x>y－ln y等价于f(x)>f(ln y)， ∵f′(x)＝ex－1， ∴当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增， ∴若y∈(1，＋∞)，则ln y∈(0，＋∞)， 由f(x)>f(ln y)有x>ln y； 若y∈(0，1]，则ln y≤0， 由x>0，有x>ln y. 综上所述，x>ln y. 答案　B 10．若ex－ax≥－x＋ln (ax)，则正实数a的取值范围为(　　) A． B．(0，e] C． D．(e，＋∞) 解析　不等式ex－ax≥－x＋ln (ax)，可化为ex＋x≥eln (ax)＋ln (ax)， 设g(x)＝ex＋x，则g′(x)＝ex＋1>0，即g(x)在R上是增函数， 而g(x)≥g(ln (ax))，因为a>0，x>0，所以x≥ln (ax)＝ln a＋ln x， 由已知ln a≤x－ln x恒成立， 令f(x)＝x－ln x，则f′(x)＝1－， 当0<x<1时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x>1时，f′(x)>0，f(x)单调递增， 所以f(x)≥f(1)＝1，故只需ln a≤1，即a≤e. 又a>0，所以a的取值范围为(0，e]. 答案　B 11．定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，若对任意实数x，有f(x)>f′(x)，且f(x)＋2024为奇函数，则不等式f(x)＋2024ex<0的解集是(　　) A．(－∞，0) B．(－∞，ln 2024) C．(0，＋∞) D．(2024，＋∞) 解析　设g(x)＝，则g′(x)＝， 因为f(x)>f′(x)，所以g′(x)<0，所以g(x)为定义在R上的减函数， 因为f(x)＋2024为奇函数， 所以f(0)＋2024＝0，f(0)＝－2024，g(0)＝＝－2024，f(x)＋2024ex<0， 即<－2024，即g(x)<g(0)，故x>0. 答案　C 12．已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且3f(x)＋f′(x)<0，f(ln 2)＝1，则不等式e3xf(x)>8的解集为(　　) A．(－∞，2) B．(－∞，ln 2) C．(ln 2，＋∞) D．(2，＋∞) 解析　令g(x)＝e3xf(x)，函数g(x)的定义域为R， 因为3f(x)＋f′(x)<0， 所以g′(x)＝[e3xf(x)]′＝e3x[3f(x)＋f′(x)]<0，故g(x)在R上为减函数， 又因为f(ln 2)＝1， 所以g(ln 2)＝e3ln 2f(ln 2)＝8， 所以不等式e3xf(x)>8可化为g(x)>g(ln 2)，所以x<ln 2， 所以e3xf(x)>8的解集为(－∞，ln 2). 答案　B 13．已知0<x<y<π，且ey sin x＝ex sin y，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是(　　) A．cos x＋cos y<0 B．cos x＋cos y>0 C．cos x>sin y D．sin x>sin y 解析　由0<x<y<π，且ey sin x＝ex sin y， 得＝， 令f(x)＝(0<x<π)， 则f′(x)＝， 当0<x<时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，当<x<π时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增， 当f(x)＝f(y)时，0<x<，<y<π， 因为0<x<y<π，ex<ey，＝， 所以sin y>sin x>0， 所以<y<π－x<π，所以cos y>cos (π－x)＝－cos x，所以cos x＋cos y>0. 答案　B 14．已知定义域为R的函数f(x)的图象连续不断，且∀x∈R，f(x)＋f(－x)＝4x2，当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＜4x，若f(2m＋1)－f(－m)≤6m2＋8m＋2，则实数m的取值范围为________． 解析　依题意得，f(x)＋f(－x)＝4x2， 故f(x)－2x2＝－[f(－x)－2(－x)2]， 令g(x)＝f(x)－2x2，则g(x)＝－g(－x)， 所以函数g(x)为奇函数，g′(x)＝f′(x)－4x， 因为当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＜4x， 即当x∈(0，＋∞)时，g′(x)＝f′(x)－4x＜0， 故g(x)在(0，＋∞)上单调递减，由g(x)为奇函数可知，g(x)在R上是减函数， 因为f(2m＋1)－f(－m)≤6m2＋8m＋2， 故f(2m＋1)－2(2m＋1)2≤f(－m)－2(－m)2， 即g(2m＋1)≤g(－m)，故2m＋1≥－m， 则m≥－. 故实数m的取值范围为. 答案　 C级　拓广探索 15．(多选)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，导函数为f′(x)，满足xf′(x)－f(x)＝(x－1)ex(e为自然对数的底数)，且f(1)＝0，则(　　) A．3f(2)>2f(3) B．f(1)<f(2)<f(e) C．f(x)在x＝1处取得极小值 D．f(x)无极大值 解析　设g(x)＝(x>0)，则g′(x)＝＝＝′， 可设g(x)＝＋c，则g(1)＝e＋c＝0， 解得c＝－e，故g(x)＝－e， 即f(x)＝ex－ex，x>0， 令g′(x)>0，则x>1，故g(x)在(1，＋∞)上单调递增， ∴g(2)<g(3)，即<， 则3f(2)<2f(3)，故A错误； 令f′(x)＝ex－e>0，得x>1， 令f′(x)＝ex－e<0，得0<x<1， 则f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， ∴f(1)<f(2)<f(e)，f(x)在x＝1处取得极小值，无极大值，故B，C，D均正确． 答案　BCD 16．(多选)若不相等的正数a，b满足aa＝bb，则(　　) A．a＞1 B．b＜1 C．a＋b> D．>(n∈N*) 解析　由aa＝bb，得a ln a＝b ln b， 令f(x)＝x ln x，令f′(x)＝ln x＋1＝0， 解得x＝， 当x∈时，f′(x)>0； 当x∈时，f′(x)<0. 所以f(x)在上单调递减，在上单调递增． 所以0<a<1，0<b<1，故A不正确，B正确； 要证明a＋b>，即证明b>－a， 只需证f(b)>f ， 只需证f(a)>f ， 令g(x)＝f(x)－f ＝x ln x－ln ，0<x<， g′(x)＝ln x＋1＋ln ＋1＝ln ＋2<0， 所以g(x)在上单调递减，所以g(x)>g＝0，所以a＋b>，故C正确； 由于f(x)在(1，＋∞)上单调递增， 而>， 所以f >f ，所以ln >ln ， 所以>(n∈N*)，故D正确． 答案　BCD 学科网（北京）股份有限公司 $ 3．4　导数中函数的构造问题 导数中函数的构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，同构法构造函数也在解答题中出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题． 考点一　导数型构造函数　多维探究　发散思维 角度1　利用f(x)与xn构造函数 已知连续函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f′(x)是f(x)的导函数，若对于任意的x∈(0，＋∞)，都有2f(x)＋xf′(x)>0成立，且f(2)＝，则不等式f(x)－>0的解集为________． 常用的构造形式有xf(x)，xnf(x)，，，这类形式是对uv，型函数的导数计算的推广及应用，具体有以下情形： (1)如果题目中出现nf(x)＋xf′(x)形式，构造函数F(x)＝xnf(x). (2)如果题目中出现xf′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝. 角度2　利用f(x)与ex构造函数 已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且f′(x)－f(x)<0，f(1)＝e，则不等式f(ln x)>x的解集为(　　) A．(0，) B．(0，e) C．(，＋∞) D．(e，＋∞) 常用的构造形式有exf(x)，enxf(x)，，，这种形式一方面是对uv，函数形式的考查，另外一方面也是对(ex)′＝ex，(enx)′＝nenx的考查． 具体有以下情形： (1)对于f′(x)＋f(x)＞0(或＜0)，构造函数F(x)＝exf(x). (2)对于f′(x)－f(x)＞0(或＜0)，构造函数F(x)＝. (3)对于f′(x)＋nf(x)＞0(或＜0)，构造函数F(x)＝enx·f(x). (4)对于f′(x)－nf(x)＞0(或＜0)，构造函数F(x)＝. 角度3　利用f(x)与sin x，cos x构造函数 设f′(x)是函数f(x)的导函数，若函数y＝f(x)对于任意的x∈满足f′(x)cos x＋f(x)sin x>0，则下列不等式成立的是(　　) A．f(0)>f B．f>f C．f>f D．f(0)>2f 由于sin x，cos x的导函数存在一定的特殊性，且它们之间可以相互转化，所以在构造函数时要充分考虑这一点，具体有以下情形： (1)对于f′(x)sin x＋f(x)cos x＞0(或＜0)，构造函数F(x)＝f(x)sin x. (2)对于f′(x)sin x－f(x)cos x＞0(或＜0)，构造函数F(x)＝. (3)对于f′(x)cos x＋f(x)sin x＞0(或＜0)，构造函数F(x)＝. (4)对于f′(x)cos x－f(x)sin x＞0(或＜0)，构造函数F(x)＝f(x)cos x． 1．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，f′(x)为其导函数．当x>0时，xf′(x)＋f(x)>0，且f(1)＝0，则不等式f(x)>0的解集为(　　) A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0，1) C．(－1，0)∪(0，1) D．(－1，0)∪(1，＋∞) 2．已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f′(x)>2f(x)－ex，f(1)＝e＋e2，则不等式f(ln x)>x2＋x的解集为________． 考点二　同构法构造函数　多维探究　发散思维 角度1　同源函数的构造 已知函数f(x)＝ln x＋ax2，若对任意两个不相等的正实数x1，x2，都有>2，则实数a的取值范围为________． 此类问题一般是给出含有x1，x2，f，f的不等式，若能通过变形，把不等式两边转化为结构形式相同的代数式，即转化为同源函数，可利用该函数单调性求解． 角度2　指对同构 设a，b都为正数，e为自然对数的底数，若aea+1＋b<b ln b，则(　　) A．ab>e B．b>ea+1 C．ab<e D．b<ea+1 同构法的三种基本模型 指对同构经常使用的变换形式有两种，一种是将x变成ln ex后构造函数；另一种是将x变成eln x后构造函数，总的来说，有以下三种基本模型： (1)乘积型：形如aea≤b ln b可以同构成aea≤(ln b)eln b，进而构造函数f(x)＝xex. (2)比商型：形如<可以同构成<，进而构造函数f(x)＝. (3)和差型：形如ea±a>b±ln b，同构后可以构造函数f(x)＝ex±x或f(x)＝x±ln x． 角度3　通过具体数值构造函数 设a＝1113，b＝1212，c＝1311，则(　　) A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．a<c<b 当要比较的各数为某些函数的函数值时，要仔细观察这些数值的共同之处，构造一个或两个函数，使要比较的数成为该函数的函数值，然后利用函数的单调性比较大小． 1．设a＝，b＝，c＝，则(　　) A．a<c<b B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b 2．已知函数f(x)＝xex，g(x)＝x ln x，若f(m)＝g(n)＝t，则mn·ln t的取值范围为(　　) A． B． C． D． A级　基础过关 1．已知函数f(x)(x∈R)满足f(1)＝1，且f′(x)＜，则f(x)＜＋的解集为(　　) A．{x|－1＜x＜1} B．{x|x＜－1} C．{x|x＜－1，或x＞1} D．{x|x＞1} 2．已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，且f(－2)＝0，则不等式>0的解集是(　　) A．(－2，0)∪(0，2) B．(－∞，－2)∪(2，＋∞) C．(－2，0)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(0，2) 3．已知α，β∈，且αsin α－βsin β>0，则下列结论正确的是(　　) A．α3>β3 B．α＋β>0 C．|α|<|β| D．|α|>|β| 4．若ea＋a>b＋ln b(a，b为变量)成立，则下列选项正确的是(　　) A．a＞ln b B．a＜ln b C．ln a＞b D．ln a＜b 5．已知f(x)是定义在R上的偶函数，f′(x)是f(x)的导函数，当x≥0时，f′(x)－2x>0，且f(1)＝3，则f(x)>x2＋2的解集是(　　) A．(－1，0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(－1，0)∪(0，1) D．(－∞，－1)∪(0，1) 6．(多选)定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足xf′(x)－1>0，则下列结论正确的是(　　) A．f(2)－ln 2>f(1) B．f(4)－f(2)>ln 2 C．f(2)＋ln 2>f(e)＋1 D．f(e2)－f(e)>1 7设实数k>0，对于任意的x>1，不等式kekx≥ln x恒成立，则k的最小值为________． 8．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f′(x)>0，且有f(3)＝3，则f(x)>3e3-x的解集为________． B级　能力提升 9．设x>0，y>0，若ex＋ln y>x＋y，则下列选项正确的是(　　) A．x>y B．x>ln y C．x<y D．x<ln y 10．若ex－ax≥－x＋ln (ax)，则正实数a的取值范围为(　　) A． B．(0，e] C． D．(e，＋∞) 11．定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，若对任意实数x，有f(x)>f′(x)，且f(x)＋2024为奇函数，则不等式f(x)＋2024ex<0的解集是(　　) A．(－∞，0) B．(－∞，ln 2024) C．(0，＋∞) D．(2024，＋∞) 12．已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且3f(x)＋f′(x)<0，f(ln 2)＝1，则不等式e3xf(x)>8的解集为(　　) A．(－∞，2) B．(－∞，ln 2) C．(ln 2，＋∞) D．(2，＋∞) 13．已知0<x<y<π，且ey sin x＝ex sin y，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是(　　) A．cos x＋cos y<0 B．cos x＋cos y>0 C．cos x>sin y D．sin x>sin y 14．已知定义域为R的函数f(x)的图象连续不断，且∀x∈R，f(x)＋f(－x)＝4x2，当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＜4x，若f(2m＋1)－f(－m)≤6m2＋8m＋2，则实数m的取值范围为________． C级　拓广探索 15．(多选)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，导函数为f′(x)，满足xf′(x)－f(x)＝(x－1)ex(e为自然对数的底数)，且f(1)＝0，则(　　) A．3f(2)>2f(3) B．f(1)<f(2)<f(e) C．f(x)在x＝1处取得极小值 D．f(x)无极大值 16．(多选)若不相等的正数a，b满足aa＝bb，则(　　) A．a＞1 B．b＜1 C．a＋b> D．>(n∈N*) 学科网（北京）股份有限公司 $