第23章一次函数单元测试培优卷2025-2026学年八年级下册数学人教版

**基本信息** 第23章一次函数单元测试培优卷，立足单元复习，通过基础巩固、能力提升与创新应用的梯度设计，融合抽象能力、推理意识与模型意识，适配初中数学一次函数单元综合测评。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10小题|一次函数定义、图像象限、增减性、新定义“倍联点”|结合行程问题（题8）考查函数图像应用，体现数学眼光观察现实世界| |填空题|6小题|正比例函数条件、函数值比较、利润优化（题15）|以西瓜销售为情境（题15），培养模型意识与应用意识| |解答题|8小题|待定系数法、几何平移与函数、垃圾分类收益优化（题22）|设计垃圾分类决策问题（题22），凸显数学思维解决实际问题，符合真题命题趋势|

第23章一次函数单元测试培优卷 一．选择题（共10小题） 1．（2026春•武汉月考）下列函数中，是一次函数的是（　　） A．y＝8x2 B．y＝x+1 C． D． 2．（2026春•思明区校级期中）正比例函数y＝﹣3x的图象经过的象限是（　　） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 3．（2026春•池州月考）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax﹣a与函数y＝ax（a≠0）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 4．（2025秋•乳山市期末）若A（1，1），，C（2，m）三点在同一直线上，则m＝（　　） A．2 B． C． D．1 5．（2026•科尔沁区模拟）若点A（x1，y1）和B（x2，y2）都在一次函数y＝（k﹣1）x+2（k为常数）的图象上，且当x1＜x2时，y1＞y2，则k的值可能是（　　） A．k＝0 B．k＝1 C．k＝2 D．k＝3 6．（2026春•武侯区校级期中）若一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则下列结论中错误的是（　　） A．当x＝2时，y＝0 B．y随x的增大而减小 C．当y＜0时，x＜2 D．当x＞0时，y＞﹣1 7．（2026春•深圳期中）如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB＝90°，BC＝5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0）．将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y＝2x﹣4上时，线段BC扫过的面积为（　　） A．4 B．8 C．12 D．16 8．（2026春•长沙期中）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行1200米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示．有下列结论：①甲步行的速度为50米/分；②乙出发后5分钟追上甲；③乙步行的速度为70米/分；④乙到达终点时，甲离终点还有200米．其中正确的结论有（　　） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 9．（2026春•南通期中）在平面直角坐标系中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：如果当x≥0时，y'＝2y；当x＜0时，y'＝﹣2y，那么称点Q为点P的“倍联点”．例如：点（2，3）的“倍联点”为（2，6），点（﹣2，3）的“倍联点”为（﹣2，﹣6）．如果点N（n﹣1，5n+1）是一次函数y＝2x+5图象上点M的“倍联点”，则n的值为（　　） A．5 B． C．5或 D．或 10．（2026•毕节市模拟）已知一次函数y1＝mx+n和y2＝ax+b的图象如图所示，有下列结论：①ab＞0；②a+b＞m+n；③2（a﹣m）＝b﹣n；④P（x1，y1）、Q（x2，y2）是直线y1＝ax+b上不重合的两点，则（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0．其中正确的是（　　） A．①④ B．①③ C．②④ D．②③ 二．填空题（共6小题） 11．（2026春•长沙期中）若关于x的函数y＝（k+1）x+k2﹣1是正比例函数，则k的值为　 　 ． 12．（2026春•越秀区校级期中）点（1，y1），（﹣2，y2）在直线y＝﹣2x+b上，则y1，y2的大小关系是　 　 ． 13．（2026春•西城区校级期中）y＝kx+k﹣2是关于x的一次函数，图象过第一、二、三象限，则k的取值范围是　 　 ． 14．（2026春•江北区校级月考）如图，一次函数y＝2x﹣5与正比例函数y＝ax（a≠0）的图象相交于一点M（2，n），则关于x，y的二元一次方程组的解为　 　 ． 15．（2026春•同步）炎炎夏日，清凉爽口的西瓜是最受欢迎的水果之一．某大型超市每天从当地的西瓜种植基地购进甲、乙两种西瓜共600千克．根据以往的销售经验，甲种西瓜的进货量不低于乙种西瓜的进货量，但不能超过乙种西瓜进货量的3倍．若甲种西瓜每千克获利1.2元，乙种西瓜每千克获利1.4元，则该超市每天能获得的最大利润是 　 　 元． 16．（2026春•平湖市期中）已知，直线m：y＝﹣x+9，直线n：y＝﹣2x+4，点A（6，0），过点A作AB∥y轴交直线n于点B，若点C为直线m上一点，点D为直线n上一点，当以点A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形时，点D的坐标为　 　 ． 三．解答题（共8小题） 17．（2026春•桥西区校级期中）已知函数y＝（2m+1）x+m﹣3，m为常数． （1）若该函数是正比例函数，求m的值； （2）若该函数是一次函数，且函数图象经过第一、三、四象限，求m的取值范围． 18．（2025秋•瑶海区校级期末）一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象恒过定点（1，1）． （1）若图象还经过（2，3），求该一次函数的表达式； （2）若当﹣3≤x≤4时，一次函数y的最大值和最小值的差是6，求a的值． 19．（2026春•常州期中）如图，直线CD的函数解析式为，四边形ABOD是正方形，直线CD交x轴于点F，点D在y轴上，过点C作CE⊥DF且交x轴于点E．求证：∠ADC＝∠EDC． 20．（2025春•五华区期末）如图，直线l1：y＝﹣x﹣3与过点A（0，3）的直线l2相交于点C（m，1），与y轴相交于点B． （1）求直线l2的解析式； （2）点P在直线l1上，且点P不与点B重合，PQ∥y轴，交直线l2于点Q．若PQ＝AB，求点P的坐标． 21．（2026•长春开学）如图，正比例函数y＝﹣3x的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点P（m，3），一次函数图象经过点B（1，1），与y轴的交点为D，与x轴的交点为C． （1）求一次函数表达式； （2）求△COP的面积； （3）不解关于x的方程（k+3）x+b＝0，直接写出方程的解． 22．（2026春•浦东新区校级月考）【问题背景】垃圾分类，人人有责，为响应国家号召推进垃圾分类工作，某小区物业在小区内引入了智能回收机供居民使用，为实现小区垃圾分类收益最优化，物业积极筹划． 背景 小区每日需处理可回收垃圾和厨余垃圾共15吨，收益如下： ①处理可回收垃圾：每吨收益50元（如废纸、塑料瓶）； ②处理厨余垃圾：每吨收益30元（如剩饭剩菜）； 环保约束 ①可回收垃圾量不超过厨余垃圾的2倍（避免积压）． ②厨余垃圾每天至少处理4吨（防止腐败，保障社区卫生）． 【问题建构】设每日处理可回收垃圾x吨，厨余垃圾y吨，此时总收益为W元． （1）用含x的代数式表示y，则y＝　 　 ；写出总收益W（元）关于x的函数关系式，W＝　 　 ； 【优化决策】 （2）为使每日净收益W最大，物业应如何分配两类垃圾的处理量？ 23．（2026春•门头沟区校级期中）有这样一个问题：探究函数的图象与性质小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究：下面是小明的探究过程，请补充完整 （1）函数的自变量x的取值范围是　 　 ； （2）下表是y与x的几组对应值 x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 6 7 … y … 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0.5 m 1.5 2 2.5 … 求m的值； （3）如图，在坐标系中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象 （4）进一步探究发现该函数的性质：当x　 　 时，y随x的增大而增大． 24．（2026•陕西校级开学）如图①，在平面直角坐标系中，直线与l2交于点E（e，﹣1），l1与x轴，y轴分别交于A，B两点，l2与x轴，y轴正半轴分别交于C，D两点，且． （1）求直线l2的表达式； （2）如图②，连接AD，若P为y轴负半轴上一点，Q是x轴上一动点，连接PE，PQ．当时，求△PEQ周长的最小值． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第23章一次函数单元测试培优卷 一．选择题（共10小题） 1．（2026春•武汉月考）下列函数中，是一次函数的是（　　） A．y＝8x2 B．y＝x+1 C． D． 【答案】B 【分析】形如y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数叫做一次函数，由此判断即可． 【解答】解：A、不是一次函数，故此选项不符合题意； B、y＝x+1是一次函数，故此选项符合题意； C、不是一次函数，故此选项不符合题意； D、不是一次函数，故此选项不符合题意； 故选：B． 2．（2026春•思明区校级期中）正比例函数y＝﹣3x的图象经过的象限是（　　） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 【答案】B 【分析】根据正比例函数比例系数k的符号，即可判断图象经过的象限． 【解答】解：∵k＝﹣3＜0， ∴y＝﹣3x的图象经过第二、四象限． 故选：B． 3．（2026春•池州月考）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax﹣a与函数y＝ax（a≠0）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据正比例函数图象判断a的取值范围，再根据a的取值范围判断一次函数图象的走向． 【解答】解：根据正比例函数图象判断a的取值范围，再根据a的取值范围逐项分析判断如下： A选项：∵正比例函数y＝ax（a≠0）的图象过一、三象限， ∴a＞0， ∴一次函数y＝ax﹣a的图象是y随x的增大而增大， ∵当x＝0时，y＝ax﹣a＝﹣a， ∴一次函数y＝ax﹣a的图象与y轴交点坐标是（0，﹣a）， ∴一次函数y＝ax﹣a的图象与y轴交点在y轴的负半轴， 故A选项符合题意； B选项：∵正比例函数y＝ax（a≠0）的图象过二、四象限， ∴a＜0， ∴一次函数y＝ax﹣a的图象是y随x的增大而减小， 故B选项不符合题意； C选项：∵正比例函数y＝ax（a≠0）的图象过一、三象限， ∴a＞0， ∴一次函数y＝ax﹣a的图象是y随x的增大而增大， ∵当x＝0时，y＝ax﹣a＝﹣a， ∴一次函数y＝ax﹣a的图象与y轴交点坐标是（0，﹣a）， ∴一次函数y＝ax﹣a的图象与y轴交点在y轴的负半轴， 故C选项不符合题意； D选项：∵正比例函数y＝ax（a≠0）的图象过二、四象限， ∴a＜0， ∴一次函数的图象是y随x的增大而减小， 故D选项不符合题意． 故选：A． 4．（2025秋•乳山市期末）若A（1，1），，C（2，m）三点在同一直线上，则m＝（　　） A．2 B． C． D．1 【答案】C 【分析】先通过待定系数法求出直线AB的解析式，再根据三点共线的性质，将点C的横坐标代入解析式求出m的值． 【解答】解：设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），由条件可得： ， 解得：，， ∴直线AB的解析式为， ∵点C（2，m）在直线AB上， ∴将x＝2代入解析式得． 故选：C． 5．（2026•科尔沁区模拟）若点A（x1，y1）和B（x2，y2）都在一次函数y＝（k﹣1）x+2（k为常数）的图象上，且当x1＜x2时，y1＞y2，则k的值可能是（　　） A．k＝0 B．k＝1 C．k＝2 D．k＝3 【答案】A 【分析】由当x1＜x2时y1＞y2，利用一次函数的性质可得出k﹣1＜0，解之即可得出k的取值范围，再对照四个选项即可得出结论． 【解答】解：∵点A（x1，y1）和B（x2，y2）都在一次函数y＝（k﹣1）x+2（k为常数）的图象上，且当x1＜x2时，y1＞y2， 即y随x的增大而减小， ∴k﹣1＜0， ∴k＜1， ∴k的值可能是0． 故选：A． 6．（2026春•武侯区校级期中）若一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则下列结论中错误的是（　　） A．当x＝2时，y＝0 B．y随x的增大而减小 C．当y＜0时，x＜2 D．当x＞0时，y＞﹣1 【答案】B 【分析】观察函数图象，逐一分析四个选项即可． 【解答】解：A．观察函数图象，可知：当x＝2时，y＝0，选项A不符合题意； B．观察函数图象，可知：y随x的增大而增大，选项B符合题意； C．观察函数图象，可知：当y＜0时，x＜2，选项C不符合题意； D．观察函数图象，可知：当x＞0时，y＞﹣1． 故选：B． 7．（2026春•深圳期中）如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB＝90°，BC＝5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0）．将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y＝2x﹣4上时，线段BC扫过的面积为（　　） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】C 【分析】由题意可知AC＝4，将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y＝2x﹣4上时，利用一次函数图象上点的坐标特征，可得OA′＝4，结合AA′＝BB′＝OA﹣OA，可得出AA′＝BB′＝4，再利用平行四边形的面积公式，即可求出线段BC扫过的面积． 【解答】解：∵点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0）， ∴OA＝1，AB＝3， ∵∠CAB＝90°，BC＝5， ∴， 将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y＝2x﹣4上时，如图， 根据平移的性质得：BC＝B′C′，CC′＝BB′，A′C′＝AC＝4， ∴四边形BB′C′C是平行四边形， 当y＝4时，2x﹣4＝4， 解得：x＝4， ∴OA′＝4， ∴AA′＝BB′＝OA′﹣OA＝4﹣1＝3， ∴平行四边形BB′C′C的面积＝BB′×A′C′＝3×4＝12． 即线段BC扫过的面积为12， 故选：C． 8．（2026春•长沙期中）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行1200米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示．有下列结论：①甲步行的速度为50米/分；②乙出发后5分钟追上甲；③乙步行的速度为70米/分；④乙到达终点时，甲离终点还有200米．其中正确的结论有（　　） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【解答】解：①甲先出发2分钟，走了100米， 所以速度：v甲＝100÷2＝50米/分， 故结论①正确； ②甲在t＝7分钟时被追上，乙是t＝2分钟出发的， 所以用时：7﹣2＝5 分钟， 结论②正确； ③乙5分钟追上甲，此时甲走了7×50＝350米， 所以乙的速度：米/分， 结论③正确； ④乙到达终点时，甲离终点距离是：1200﹣（2）×50＝242（米）， 故④不正确， 最终结论正确的结论是：①②③， 故选：A． 9．（2026春•南通期中）在平面直角坐标系中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：如果当x≥0时，y'＝2y；当x＜0时，y'＝﹣2y，那么称点Q为点P的“倍联点”．例如：点（2，3）的“倍联点”为（2，6），点（﹣2，3）的“倍联点”为（﹣2，﹣6）．如果点N（n﹣1，5n+1）是一次函数y＝2x+5图象上点M的“倍联点”，则n的值为（　　） A．5 B． C．5或 D．或 【答案】C 【分析】根据“倍联点”的定义，分点M横坐标n﹣1≥0 和n﹣1＜0 两种情况，结合点M在一次函数y＝2x+5图象上列方程求解，验证结果是否满足范围条件即可． 【解答】解：由条件可知点M的横坐标为n﹣1，设点M的纵坐标为y． 分两种情况讨论： a．当n﹣1≥0，即n≥1时，由倍联点定义得5n+1＝2y，即． ∵点M在y＝2x+5上，代入得： ， 化简得5n+1＝4n+6，解得n＝5，满足n≥1，符合条件； b．当n﹣1＜0，即n＜1时，由倍联点定义得5n+1＝﹣2y，即． 得： ， 化简得﹣5n﹣1＝4n+6，解得，满足n＜1，符合条件． 综上，n的值为5或． 故选：C． 10．（2026•毕节市模拟）已知一次函数y1＝mx+n和y2＝ax+b的图象如图所示，有下列结论：①ab＞0；②a+b＞m+n；③2（a﹣m）＝b﹣n；④P（x1，y1）、Q（x2，y2）是直线y2＝ax+b上不重合的两点，则（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0．其中正确的是（　　） A．①④ B．①③ C．②④ D．②③ 【答案】B 【分析】根据一次函数y＝ax+b中的系数a，b与其图象间的关系，利用数形结合的思想以及一次函数与一元一次不等式的关系，可解决此题． 【解答】解：①∵y2＝ax+b的图象过第二、三、四象限， 观察图象可知，a＜0，b＜0． 所以ab＞0． 故①正确． ②将x＝1分别代入y1和y2得， y1＝m+n，y2＝a+b． 观察图象不难发现点（1，m+n）在点（1，a+b）的上方， 所以m+n＞a+b． 故②不正确． ③观察图象发现，y1与y2交点的横坐标为﹣2． ∴当x＝﹣2时，两者的函数值相等． ∴﹣2a+b＝﹣2m+n， ∴2（a﹣m）＝b﹣n 故③正确． ④P（x1，y1）、Q（x2，y2）是直线y2＝ax+b上不重合的两点， 由y2＝ax+b的图象可知，当x1＞x2时，y1＜y2，则（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0． 当x1＜x2时，y1＞y2，则（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0． 故④不正确． 故选：B． 二．填空题（共6小题） 11．（2026春•长沙期中）若关于x的函数y＝（k+1）x+k2﹣1是正比例函数，则k的值为　1　 ． 【答案】1． 【分析】一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，据此即可得出答案． 【解答】解：若关于x的函数y＝（k+1）x+k2﹣1是正比例函数， 则k2﹣1＝0且k+1≠0， 解得：k＝1， 故答案为：1． 12．（2026春•越秀区校级期中）点（1，y1），（﹣2，y2）在直线y＝﹣2x+b上，则y1，y2的大小关系是y1＜y2 ． 【答案】y1＜y2． 【分析】由k＝﹣2＜0，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而减小，结合1＞﹣2，即可得出y1＜y2． 【解答】解：∵k＝﹣2＜0， ∴y随x的增大而减小， 又∵点（1，y1），（﹣2，y2）在直线y＝﹣2x+b上，且1＞﹣2， ∴y1＜y2． 故答案为：y1＜y2． 13．（2026春•西城区校级期中）y＝kx+k﹣2是关于x的一次函数，图象过第一、二、三象限，则k的取值范围是k＞2　 ． 【答案】k＞2． 【分析】利用一次函数的定义以及一次函数图象与系数的关系，可得出关于k的不等式组，解之即可得出k的取值范围． 【解答】解：∵y＝kx+k﹣2是关于x的一次函数，图象过第一、二、三象限， ∴， 解得：k＞2， ∴k的取值范围是k＞2． 故答案为：k＞2． 14．（2026春•江北区校级月考）如图，一次函数y＝2x﹣5与正比例函数y＝ax（a≠0）的图象相交于一点M（2，n），则关于x，y的二元一次方程组的解为　　 ． 【答案】． 【分析】根据函数图象的交点，是同时满足两个函数解析式的点，也是对应方程组的公共解，解得点M的坐标即可得到答案． 【解答】解：由条件可得n＝2×2﹣5＝﹣1， ∴交点M的坐标为（2，﹣1）， ∵关于x，y的二元一次方程组相当于函数的函数图象的交点坐标，两函数图像交于M（2，﹣1）， ∴方程组的解为． 故答案为：． 15．（2026春•同步）炎炎夏日，清凉爽口的西瓜是最受欢迎的水果之一．某大型超市每天从当地的西瓜种植基地购进甲、乙两种西瓜共600千克．根据以往的销售经验，甲种西瓜的进货量不低于乙种西瓜的进货量，但不能超过乙种西瓜进货量的3倍．若甲种西瓜每千克获利1.2元，乙种西瓜每千克获利1.4元，则该超市每天能获得的最大利润是 　780　 元． 【答案】780． 【分析】设购进甲种西瓜xkg，购进乙种西瓜（600﹣x） kg，列出关于x的不等式，解得x的取值范围，设超市每天获得的利润为w，写出w关于x的函数式，根据函数的性质即可作答． 【解答】解：设购进甲种西瓜xkg，购进乙种西瓜（600﹣x） kg， 由已知条件可得，600﹣x≤x≤3（600﹣x）， 解得：300≤x≤450， 设超市每天获得的利润为w， w＝1.2x+1.4（600﹣x）＝﹣0.2x+840， ∵﹣0.2＜0， ∴当x＝300时，超市每天获得的利润最大， 即最大利润为﹣0.2×300+840＝780（元）． 故答案为：780． 16．（2026春•平湖市期中）已知，直线m：y＝﹣x+9，直线n：y＝﹣2x+4，点A（6，0），过点A作AB∥y轴交直线n于点B，若点C为直线m上一点，点D为直线n上一点，当以点A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形时，点D的坐标为　（﹣13，30）或（3，﹣2）或（9，﹣14）　 ． 【答案】（﹣13，30）或（3，﹣2）或（9，﹣14）． 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点B的坐标，设点C的坐标为（a，﹣a+9），点D的坐标为（b，﹣2b+4），分AB为边及AB为对角线两种情况考虑，当AB为边时，利用平行四边形的对边平行且相等，可列出关于a，b的二元一次方程组，解之可得出a，b的值，代入后，可求出点C，D的坐标；当AB为对角线时，利用平行四边形的对角线互相平分，可列出关于a，b的二元一次方程组，解之可得出a，b的值，代入后，可求出点C，D的坐标． 【解答】解：当x＝6时，y＝﹣2×6+4＝﹣8， ∴点B的坐标为（6，﹣8）， ∴AB＝0﹣（﹣8）＝8． 设点C的坐标为（a，﹣a+9），点D的坐标为（b，﹣2b+4）， 当AB为边时，， 解得：a＝b＝﹣13或a＝b＝3， 若a＝b＝﹣13，则点C的坐标为（﹣13，22），点D的坐标为（﹣13，30）； 若a＝b＝3，则点C的坐标为（3，6），点D的坐标为（3，﹣2）； 当AB为对角线时，， 解得：， ∴点C的坐标为（3，6），点D的坐标为（9，﹣14）． 综上所述，点D的坐标为（﹣13，30）或（3，﹣2）或（9，﹣14）． 故答案为：（﹣13，30）或（3，﹣2）或（9，﹣14）． 三．解答题（共8小题） 17．（2026春•桥西区校级期中）已知函数y＝（2m+1）x+m﹣3，m为常数． （1）若该函数是正比例函数，求m的值； （2）若该函数是一次函数，且函数图象经过第一、三、四象限，求m的取值范围． 【分析】（1）根据y是x的正比例函数列方程，即可得到结论； （2）根据y是x的一次函数，且图象经过一、三、四象限列不等式组，即可得到结论． 【解答】解：（1）对于y关于x的函数y＝（2m+1）x+m﹣3， ∵y是x的正比例函数， ∴m﹣3＝0且2m+1≠0， 解得：m＝3； （2）∵y是x的一次函数，且图象经过一、三、四象限， ∴， 解得：， 故m的取值范围为． 18．（2025秋•瑶海区校级期末）一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象恒过定点（1，1）． （1）若图象还经过（2，3），求该一次函数的表达式； （2）若当﹣3≤x≤4时，一次函数y的最大值和最小值的差是6，求a的值． 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）根据题意可得一次函数的表达式为y＝ax+1﹣a，再分a＞0和a＜0两种情况讨论，利用函数y的最大值和最小值的差是6，列式求解即可． 【解答】解：（1）由题意得，， 解得， ∴一次函数的表达式为y＝2x﹣1； （2）代入点（1，1），得a+b＝1， ∴b＝1﹣a， ∴一次函数的表达式为y＝ax+1﹣a， ∴当x＝﹣3时，y＝﹣3a+1﹣a＝﹣4a+1；当x＝4时，y＝4a+1﹣a＝3a+1， 当a＜0时，y随着x的增大而减小， 则函数y在x＝﹣3取得最大值，在x＝4取得最小值， ∴﹣4a+1﹣（3a+1）＝6， 解得； 当a＞0时，y随着x的增大而增大， 则函数y在x＝4取得最大值，在x＝﹣3取得最小值， ∴3a+1﹣（﹣4a+1）＝6， 解得； ∴综上，a的值为或． 19．（2026春•常州期中）如图，直线CD的函数解析式为，四边形ABOD是正方形，直线CD交x轴于点F，点D在y轴上，过点C作CE⊥DF且交x轴于点E．求证：∠ADC＝∠EDC． 【分析】根据正方形的性质与一次函数的性质确定C，D的坐标，证明△ACD≌△BCF，由全等三角形的性质得到CE垂直平分DF，结合垂直平分线与平行线的性质推理解答； 【解答】证明：由条件可知D（0，2）， ∵四边形ABOD是正方形， ∴AB＝BO＝OD＝AD＝2， ∴B（﹣2，0）， 当x＝﹣2时，则， ∴C（﹣2，1）， ∴BC＝AC＝1， ∵四边形ABOD是正方形， ∴∠A＝∠CBF＝90°，AD∥BO， 在△ACD和△BCF中， ， ∴△ACD≌△BCF（ASA）， ∴CF＝CD， ∵CE⊥DF， ∴CE垂直平分DF， ∴DE＝EF， ∴∠EDC＝∠EFC， ∵AD∥BF， ∴∠EFC＝∠ADC， ∴∠ADC＝∠EDC． 20．（2025春•五华区期末）如图，直线l1：y＝﹣x﹣3与过点A（0，3）的直线l2相交于点C（m，1），与y轴相交于点B． （1）求直线l2的解析式； （2）点P在直线l1上，且点P不与点B重合，PQ∥y轴，交直线l2于点Q．若PQ＝AB，求点P的坐标． 【分析】（1）把点C的坐标代入y＝﹣x﹣3，求出m的值，然后利用待定系数法求出直线的解析式； （2）P（b，﹣b﹣3），由PQ∥y轴，得Q（b，b+3），由PQ＝AB，得到关于b的方程，解方程求得b的值，从而求得点P的坐标． 【解答】解：（1）把y＝1代入y＝﹣x﹣3得x＝﹣4， ∴m＝﹣4， ∴C（﹣4，1）， 设直线l2的解析式为y＝kx+b， 把A（0，3），C（﹣4，1）代入得， 解得， ∴直线l2的解析式为yx+3； （2）在直线l1：y＝﹣x﹣3中，令x＝0，得y＝﹣3， ∴B（0，﹣3）， ∴AB＝3﹣（﹣3）＝6， 设P（b，﹣b﹣3），由PQ∥y轴，得Q（b，b+3）， PQ＝﹣b﹣3b﹣3＝AB＝6， 解得b＝﹣8， ∴P（﹣8，5）． 21．（2026•长春开学）如图，正比例函数y＝﹣3x的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点P（m，3），一次函数图象经过点B（1，1），与y轴的交点为D，与x轴的交点为C． （1）求一次函数表达式； （2）求△COP的面积； （3）不解关于x的方程（k+3）x+b＝0，直接写出方程的解． 【分析】（1）将点P（m，3）代入y＝﹣3x，求出m，得到P（﹣1，3），把P、B两点的坐标代入y＝kx+b，利用待定系数法即可求出一次函数解析式； （2）根据一次函数的解析式即可求出C点的坐标；根据三角形的面积公式列式即可求出△COP的面积； （3）两函数图象的交点横坐标即为两函数解析式联立得到的一元一次方程的解． 【解答】解：（1）∵将点P（m，3）代入正比例函数y＝﹣3x，得 ∴﹣3m＝3， ∴m＝﹣1， ∴P（﹣1，3）． ∵一次函数图象经过点B（1，1）， ∴’ 解得． ∴一次函数解析式是y＝﹣x+2． （2）由（1）知一次函数解析式是y＝﹣x+2， 令y＝0，得﹣x+2＝0， 解得x＝2， ∴C（2，0）， ∴OC＝2， ∵P（﹣1，3）， ∴△COP的面积为：． （3）由图象可知，正比例函数y＝﹣3x的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点P（﹣1，3）， ∴方程﹣3x＝kx+b的解为x＝﹣1， 即方程（k+3）x+b＝0的解为x＝﹣1． 22．（2026春•浦东新区校级月考）【问题背景】垃圾分类，人人有责，为响应国家号召推进垃圾分类工作，某小区物业在小区内引入了智能回收机供居民使用，为实现小区垃圾分类收益最优化，物业积极筹划． 背景 小区每日需处理可回收垃圾和厨余垃圾共15吨，收益如下： ①处理可回收垃圾：每吨收益50元（如废纸、塑料瓶）； ②处理厨余垃圾：每吨收益30元（如剩饭剩菜）； 环保约束 ①可回收垃圾量不超过厨余垃圾的2倍（避免积压）． ②厨余垃圾每天至少处理4吨（防止腐败，保障社区卫生）． 【问题建构】设每日处理可回收垃圾x吨，厨余垃圾y吨，此时总收益为W元． （1）用含x的代数式表示y，则y＝　15﹣x ；写出总收益W（元）关于x的函数关系式，W＝　20x+450　 ； 【优化决策】 （2）为使每日净收益W最大，物业应如何分配两类垃圾的处理量？ 【分析】（1）根据小区每日需处理可回收垃圾和厨余垃圾共15 吨可得y＝15﹣x；然后根据处理可回收垃圾每吨收益50元，处理厨余垃圾每吨收益30元可表示出W； （2）根据题意求出自变量x的取值，再根据一次函数的性质求解即可． 【解答】解：（1）∵每日需处理可回收垃圾和厨余垃圾共15 吨， ∴y＝15﹣x； ∵处理可回收垃圾每吨收益50元，处理厨余垃圾每吨收益30元， ∴W＝50x+30（15﹣x）＝20x+450； 故答案为：15﹣x，20x+450； （2）根据题意得：， 解得：0≤x≤10， 在W＝20x+450中，20＞0， ∴W随x的增大而增大， ∴当x＝10时，W有最大值为20×10+450＝650， 此时15﹣x＝15﹣10＝5， ∴应处理可回收垃圾10吨，厨余垃圾5吨，最大收益650元． 23．（2026春•门头沟区校级期中）有这样一个问题：探究函数的图象与性质小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究：下面是小明的探究过程，请补充完整 （1）函数的自变量x的取值范围是　全体实数　 ； （2）下表是y与x的几组对应值 x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 6 7 … y … 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0.5 m 1.5 2 2.5 … 求m的值； （3）如图，在坐标系中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象 （4）进一步探究发现该函数的性质：当x　＞2　 时，y随x的增大而增大． 【分析】（1）根据题目中的函数解析式，可以得到x的取值范围； （2）将x＝4代入函数解析式，即可得到y的值； （3）根据表格中的数据，可以画出相应的函数图象； （4）根据函数图象，可以写出当x为何值时，y随x的增大而增大． 【解答】解：（1）函数的自变量x的取值范围是全体实数， 故答案为：全体实数； （2）由表格中的数据可知，当x＝4时，， 即m的值是1； （3）由表格中的数据画出函数图象，如图， （4）由图象可得， 当x＞2时，y随x的增大而增大， 故答案为：＞2． 24．（2026•陕西校级开学）如图①，在平面直角坐标系中，直线与l2交于点E（e，﹣1），l1与x轴，y轴分别交于A，B两点，l2与x轴，y轴正半轴分别交于C，D两点，且． （1）求直线l2的表达式； （2）如图②，连接AD，若P为y轴负半轴上一点，Q是x轴上一动点，连接PE，PQ．当时，求△PEQ周长的最小值． 【分析】（1）先求出点E和点B的坐标，结合求出点C的坐标，再利用待定系数求解； （2）作P关于x轴的对称点P′，连接P′E交x轴于点Q，此时PQ+EQ＝P′Q+EQ＝P′E最小，则△PEQ的周长的最小值为P′E+PE，先求出点A和点D的坐标，利用三角形面积求得点P的坐标，进而求出P′的坐标，利用两点间距离公式求解． 【解答】解：（1）由条件可得：， 解得e＝2， ∴E（2，﹣1）， 把x＝0代入，得：y＝﹣2， ∴B（0，﹣2）， ∴OB＝2， ∵， ∴， ∴， 设直线l2的表达式为y＝kx+b， 将E（2，﹣1）和代入得， 解得， ∴直线l2的表达式为y＝﹣2x+3； （2）作P关于x轴的对称点P′，连接P′E交x轴于点Q， 此时PQ+EQ＝P′Q+EQ＝P′E最小， 则△PEQ的周长的最小值为P′E+PE， 由条件可得A（4，0）， 在y＝﹣2x+3中，令x＝0得y＝3， ∴D（0，3）， 又∵B（0，﹣2）， ∴BD＝5， ∵E（2，﹣1）， ∴， ∵， ∴， ∴DP＝4， ∴OP＝DP﹣OD＝4﹣3＝1， ∴P（0，﹣1）， ∴P′（0，1）， ∴，PE＝2﹣0＝2， ∴△PEQ的周长的最小值为． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $