12.3.1 等腰三角形的性质（课件）-2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

该初中数学课件涵盖全等三角形HL判定定理及等腰三角形性质，通过剪等腰三角形纸片对折的动手操作导入，承接SSS、SAS等通用全等判定，构建从一般到特殊的知识脉络，为学生提供直观探究支架。 其亮点在于结合动手操作发展几何直观，通过例题与中考题培养推理能力，结构化小结强化模型意识。如HL练习题规避易错点，等腰三角形“三线合一”证明规范步骤，助力学生规范推理，教师可借分层练习与中考资源提升教学效率。

华东师大版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年5月31日 12.3.1 等腰三角形的性质 第12章 全等三角形 第12章 全等三角形 12.2.5 斜边直角边（HL）同步练习题（含答案解析） 本次练习题围绕12.2.5斜边直角边（HL）判定定理编写，是专门适用于直角三角形的特殊全等判定方法，承接SSS、SAS、ASA、AAS通用判定定理。重点考查HL定理的专属适用条件、斜边与直角边的对应识别、利用HL证明直角三角形全等、区分HL与普通三角形判定定理、结合公共边推导全等、规避“普通三角形用HL判定”等易错点。题型搭配选择、填空、解答证明题，难度循序渐进，贴合八年级几何推理节奏，帮助学生掌握直角三角形专属全等判定方法，完善全等判定知识体系，规范几何证明书写步骤。 一、选择题（每题3分，共15分） 1. 斜边直角边定理（HL）适用的三角形是（） A. 任意三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 2. HL定理判定直角三角形全等的条件是（） A. 两条直角边对应相等 B. 一斜边、一直角边对应相等 C. 两锐角对应相等 D. 斜边对应相等 3. 下列关于HL定理的说法正确的是（） A. HL可以判定任意三角形全等 B. HL是直角三角形专属全等判定定理 C. 直角三角形只能用HL判定全等 D. 一锐角一边相等即可用HL判定 4. 在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，已知AB=DE，补充下列哪个条件可用HL判定全等（） A. ∠A=∠D B. AC=DF C. ∠B=∠E D. BC=EF 5. 不能判定两个直角三角形全等的是（） A. 一斜边和一直角边对应相等 B. 两条直角边对应相等 C. 三个角对应相等 D. 一锐角和一条直角边对应相等 二、填空题（每题3分，共15分） 1. 斜边直角边定理简记为________，仅适用于________三角形。 2. HL定理的判定条件：两个直角三角形的________和一条________对应相等，则两三角形全等。 3. 直角三角形全等，除HL外，还可使用________、________、________、AAS通用判定定理。 4. 在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠ACB=∠ADB=90°，AB为公共斜边，补充条件________，可利用HL证明全等。 5. 判定直角三角形全等时，优先观察是否满足HL条件，可________（填“简化”或“复杂”）证明步骤。 三、解答题（共20分） 1. 判断正误（对的打√，错的打×）（8分） （1）HL定理只能用于直角三角形全等判定。（） （2）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。（） （3）两个直角三角形仅有斜边相等，即可用HL判定全等。（） （4）锐角三角形和钝角三角形不能使用HL判定全等。（） 2. 补全证明过程（6分） 已知：在Rt△ABC和Rt△DCB中，∠A=∠D=90°，AB=DC，求证：Rt△ABC≌Rt△DCB。 3. 完整规范证明（6分） 已知：AC⊥BC，AD⊥BD，AC=AD，求证：Rt△ABC≌Rt△ABD。 四、参考答案与解析 一、选择题 1. B 解析：HL（斜边直角边）是直角三角形专属的全等判定定理，不适用于其他三角形。 2. B 解析：HL定理核心条件：斜边与任意一条直角边对应相等，即可判定直角三角形全等。 3. B 解析：HL仅限直角三角形使用，直角三角形既可以用HL，也可以用普通三角形四种判定定理。 4. B 解析：AB、DE为斜边，补充一组直角边AC=DF，满足斜边+直角边，符合HL判定条件。 5. C 解析：三角对应相等只能证明三角形相似，无法确定边长大小，不能判定全等。 二、填空题 1. HL；直角 2. 斜边；直角边 3. SSS；SAS；ASA 4. $$AC=AD$$（或$$BC=BD$$） 5. 简化 三、解答题 1. 解：（1）√ （2）√ （3）× （4）√ 2. 证明：∵ △ABC和△DCB均为直角三角形，∠A=∠D=90°， 在Rt△ABC和Rt△DCB中，$$\begin{cases} BC=CB（公共斜边）\\ AB=DC（已知） \end{cases}$$，∴ Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）。 3. 证明：∵ $$AC\perp BC，AD\perp BD$$，∴ $$\angle C=\angle D=90^\circ$$，即△ABC、△ABD为直角三角形。 在Rt△ABC和Rt△ABD中，$$\begin{cases} AB=AB（公共斜边）\\ AC=AD（已知） \end{cases}$$，∴ Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）。 核心易错总结：1. HL专属直角三角形，绝对不能用于锐角、钝角三角形；2. HL条件缺一不可：必须同时满足斜边+一条直角边对应相等；3. 直角三角形全等判定优先选HL，步骤更简洁，无需多用普通定理；4. 区分HL与SAS：两边相等若为两直角边用SAS，若为斜边+直角边用HL；5. 仅有角相等、仅有斜边相等，均无法判定直角三角形全等。 理解并掌握等腰三角形的性质.(重点) 经历等腰三角形的探究过程，能初步运用等腰三角形的性质解决有关问题.(难点) 这些图形有什么共同点？它们属于哪种三角形？ 探究新知 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. A B C 腰 腰 底边 顶角 底角 底角 剪一张等腰三角形的半透明纸片，每人所剪的等腰三角形的大小和形状可以不一样，如图，把纸片对折，让两腰AB、AC重叠在一起，折痕为AD. 你能发现什么现象吗? A B C D 我们可以发现： A B C D 1.等腰三角形是轴对称图形. 折痕 AD 所在直线是等腰三角形的对称轴. 2.∠B=∠C. 你能试着写出证明过程吗？ 已知：如图，在△ABC中，AB=AC. 求证：∠B=∠C. B C 分析：由上述操作可以得到启发，即添加等腰三角形的顶角平分线 AD，然后证明△ABD≌△ACD. 证明：如图，作∠BAC的平分线AD. D A 1 2 在△ABD和△ACD中， ∵AB=AC，∠1=∠2，AD=AD， ∴△ABD≌△ACD(SAS). ∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等). 在证明过程中，为了需要，在原来的图形上添加的线叫做辅助线，辅助线通常作成虚线. 由此得到以下等腰三角形的性质： 等腰三角形的两个底角相等. 简写成“等边对等角”. B C D A 1 2 几何语言 ∵AB=AC(已知)， ∴∠B=∠C(等边对等角). 【注意】“等边对等角”的前提是在同一个三角形中. 例1 在△ABC中，已知AB=AC，∠B=80°.求∠C和∠A的度数. 解：∵ AB=AC， ∴ ∠C=∠B= 80°（等边对等角）. 又∵∠A+∠B+∠C= 180°（三角形的内角和等于180°）， ∴∠A= 180°−∠B−∠C = 180°−80°−80°=20°. 由前面的“做一做”，你还可以发现什么结论？ B C D A 重合的线段 重合的角 AB=AC ∠B=∠C BD=CD ∠BAD=∠CAD AD=AD ∠ADB=∠ADC 由此可得： 等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线重合. 简写成“等腰三角形的三线合一”. 几何语言 B C D A 1 2 （1）∵AB=AC，BD=CD(已知)， ∴∠BAD=∠CAD，AD⊥BC(三线合一). （2）∵AB=AC，∠BAD=∠CAD (已知)， ∴BD=CD，AD⊥BC(三线合一). （3）∵AB=AC，AD⊥BC(已知)， ∴∠BAD=∠CAD，BD=CD(三线合一). 【注意】（1）“三线合一”是等腰三角形所特有的性质； （2）“三线合一”可以帮助我们解决线段的垂直、相等以及角的相等问题.（简记“知一推二”） 例2 如图，在△ABC中，AB=AC，点D是边BC上的中点，∠B=30°. （1）求∠ADC的度数；（2）求∠1的度数. 解：（1）∵AB=AC，BD=DC， ∴AD⊥BC(等腰三角形的三线合一). ∴∠ADC=∠ADB=90°. （2）∵∠1+∠B+∠ADB=180°(三角形的内角和等于180°)， ∠B=30°， ∴∠1=180°−∠B−∠ADB = 180°−30°−90°=60°. 如图所示，我们曾利用尺规作图作出一条线段 AB 的垂直平分线 PQ，现在你能证明所得的直线 PQ 确实是已知线段 AB 的垂直平分线吗？ A O B P Q 例3 按如图所示的尺规作图的作法，证明直线PQ是已知线段AB的垂直平分线. A O B P Q 证明：如图，设AB与PQ相交于点O，连结PA、PB、QA、QB. 在△APQ和∠BPQ中， ∵AP=BP，AQ=BQ，PQ=PQ， ∴△APQ≌△BPQ(SSS). ∴∠APQ=∠BPQ(全等三角形的对应角相等). 又∵AP=BP， ∴ AO=BO且PQ⊥AB(等腰三角形的三线合一). 因此直线PQ是已知线段AB的垂直平分线. 如图所示，我们还曾利用尺规作图过点C作出已知直线AB的垂线CP. 当点C在直线AB上时，垂线CP即是平角ACB的平分线所在的直线，那么当点C在直线AB外时，你能证明所作的直线CP确实是直线AB的垂线吗？ 点C在直线AB上 P C A B 点C在直线AB外 C A B M N P 点C在直线AB上 P C A B 点C在直线AB外 C A B M N P 类似 相当于作线段 MN 的垂直平分线 类似垂直平分线的证明 就可以证明过点C所作的直线CP确实是已知直线AB的垂线 A B C A B C AB=AC 等腰三角形 AB=AC=BC 等边三角形 三条边都相等的三角形叫做等边三角形. 在等边三角形中，每个角的度数是多少呢？ A B C 显然，AB=AC，根据“等边对等角”，可以得到∠B=∠C， 同理可得∠A=∠B， 所以∠A=∠B=∠C. 而∠A+∠B+∠C=180°. 所以∠A=∠B=∠C=60°. 由此可得等边三角形的性质： 等边三角形的各个角都相等，并且每一个角都等于60°. 等边三角形的三条边都相等，三个角都相等，也称为正三角形. 等边三角形也是轴对称图形，它有几条对称轴？ 3条对称轴 返回 1．在△ABC中，已知∠A＝70°，若△ABC是等腰三角形，则∠B的度数是(　　) A．70° B．55° C．55°或70° D．40°或55°或70° D 中考考法 19 返回 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，DA⊥AC，则∠ADB＝(　　) A．100° B．115° C．130° D．145° B 中考考法 20 3. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在AC，AB边上，且BC＝BD，AD＝DE＝EB，则∠A的度数为________． 45° 返回 中考考法 21 4. 如图，在△ABC中，D为边BC上一点，AB＝AD＝CD. (1)试说明∠ABC＝2∠C； 【解】∵AB＝AD＝CD，∴∠ABC＝∠ADB，∠C＝∠DAC.∴∠ADB＝∠C＋∠DAC＝2∠C. ∴∠ABC＝2∠C. 中考考法 22 (2)过点B作AD的平行线交CA的延长线于点E，若AE＝AB，求证：AD平分∠BAC. 【证明】∵AE＝AB，∴∠E＝∠ABE. ∵BE∥AD，∴∠CAD＝∠E，∠BAD＝∠ABE， ∴∠CAD＝∠BAD，∴AD平分∠BAC. 返回 中考考法 23 5. “一亭幽绝费平章，峡口清风赠晚凉．前度桃花斗红紫，今来枫叶染丹黄．饶将春色输秋色，迎过朝阳送夕阳．此地四时可乘兴，待谁招鹤共翱翔．”其中“一亭”指的是具有一座悠久历史的古典园林建筑——“爱晚亭”．如图，“爱晚亭”的顶部可看作等腰三角形ABC，AB＝AC，D是边BC上的一点．下列条件不能说明AD是△ABC的角平分线的是(　　) A．∠ADB＝∠ADC B．AD⊥BD C．BC＝2AD D．△ABD与△ACD的周长相等 C 返回 中考考法 24 6．如图，△ABC的周长为20，且AB＝AC，AD⊥BC于点D，△ACD的周长为16，那么AD的长为________． 6 返回 中考考法 25 7．如图，在△ABC中，∠ACB＝118°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，点C的对应点E恰好落在BC边的延长线上，则∠CAE的度数是(　　) A．56° B．58° C．60° D．62° A 【点拨】∵将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，∴△ABC≌△ADE，∴AC＝AE.∵B，C，E三点在同一直线上，∠ACB＝118°，∴∠AEC＝∠ACE＝62°，∴∠CAE＝180°－∠AEC－∠ACE＝56°，故选A. 返回 中考考法 26 C 中考考法 27 返回 中考考法 课堂小结 等腰三角形 底与腰不相等 定义 等边对等角→证明角相等 三线合一 底与腰相等→等边三角形 定义 等腰三角形的所有性质 特有性质：三边相等；三个角都等于60° 【点拨】设∠A＝x°.∵AD＝DE，∴∠AED＝∠A＝x°.∵DE＝EB，∴∠EBD＝∠BDE＝x°.∴∠BDC＝∠A＋∠EBD＝x°.∵BC＝BD，∴∠C＝∠BDC＝x°.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝x°.∴x＋x＋x＝180，解得x＝45.∴∠A＝45°. 8.如图所示，已知AB＝A1B，A1B1＝A1A2，A2B2＝A2A3，A3B3＝A3A4，…，若∠A＝70°，则∠An－1AnBn－1的度数为(　　) A. B. C. D. 【点拨】根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠B1A2A1，∠B2A3A2及∠B3A4A3的度数，找出规律即可得出∠An－1AnBn－1的度数．∵在△ABA1中，∠A＝70°，AB＝A1B，∴∠BA1A＝70°.∵A1A2＝A1B1，∠BA1A是△A1A2B1的外角，∴∠B1A2A1＝＝35°＝；同理可得∠B2A3A2＝17.5°＝，∠B3A4A3＝×17.5°＝，∴∠An－1AnBn－1＝.故选C. $