第12章 全等三角形 习题课件 2026-2027学年华东师大版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦“命题、定义、定理与证明”核心知识点，通过具体语句辨析命题与非命题，引导学生将命题改写为“如果……那么……”形式，搭建从具体实例到抽象概念的学习支架，衔接后续全等三角形证明的逻辑基础。 其特色在于以多样化题型（选择、填空、探究题）培养学生抽象能力、推理意识与应用意识。如通过不等式组合命题（第7题）训练逻辑推理，角的两边平行关系探究（第8题）发展几何直观，助力学生提升数学思维，教师可利用分层练习优化教学效果。

第12章　全等三角形 12．1 命题、定义、定理与证明 1 命题 1 返回 1．下列语句不是命题的是(　　) A．两点之间，线段最短 B．不平行的两条直线有一个交点 C．x与y的和等于0吗？ D．两个锐角的和一定是直角 C 1 基础提优题 2 返回 2. 把命题“同角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式：_____________________________________________________. 如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 1 基础提优题 3 返回 3．交换下列命题的题设和结论，得到的新命题是假命题的是(　　) A．所有的直角都是相等的 B．相等的角是对顶角 C．两直线平行，内错角相等 D．若a＝b，则a－1＝b－1 A 1 基础提优题 4 返回 4．如图，下列命题： ①若∠1＝∠2，则AB∥CD； ②若AB∥CD，则∠3＝∠4； ③若∠ABC＋∠BCD＝180°，则AD∥BC； ④若∠1＝∠2，则∠ADB＝∠CBD. 其中是真命题的是________(填序号)． ②④ 1 基础提优题 5 返回 5．能说明“锐角与锐角的和是锐角”是假命题的是(　　) C 1 基础提优题 6 6. 判断下列各命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举一个反例加以说明． (1)若a2>1，则a>1；      (2)锐角小于它的余角；   【解】假命题．举反例不唯一，例如：当a＝－2时，满足a2＞1，但a＜1. 【解】假命题．举反例不唯一，例如：45°角的余角为45°，但45°＝45°. 1 基础提优题 7 返回 (3)平行于同一条直线的两条直线平行；       (4)相等的角是对顶角． 【解】真命题． 【解】假命题．举反例不唯一，例如：如图，长方形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，但∠A与∠B不是对顶角． 1 基础提优题 8 返回 3 2 综合应用题 9 8. 探究问题：已知∠ABC，画∠DEF，使DE∥AB，EF∥BC，且DE交BC于点P.∠ABC与∠DEF有怎样的数量关系？ (1)①我们发现∠ABC与∠DEF有两种位置关系：如图①，∠ABC与∠DEF数量关系为_________________________；如图②，∠ABC与∠DEF数量关系为________________； ②由①得出一个真命题(用文字叙述)：_________________________________________________________． ∠ABC＋∠DEF＝180° ∠ABC＝∠DEF 如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补 2 综合应用题 10 返回 (2)应用②中的真命题，解决以下问题： 若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，请直接写出这两个角的度数． 这两个角的度数为30°，30°或70°，110°. 【点拨】设两个角的度数分别为x和2x－30°，由(1)得：x＝2x－30°或x＋2x－30°＝180°，解得x＝30°或x＝70°， ∴这两个角的度数为30°，30°或70°，110°. 2 综合应用题 11 7.用三个不等式a>b，ab>0，<中的两个不等式作为题设条件，余下的一个不等式作为结论，组成一个命题，可以组成真命题的个数为____个． 【点拨】①若a>b，ab>0，则<，真命题．理由：∵a>b，ab>0，∴>，∴<.②若ab>0，<，则a>b，真命题．理由：∵ab>0，＜，∴×ab<×ab，∴a>b.③若a>b，<，则ab>0，真命题．理由：∵<，∴－<0，即<0.∵a>b，∴b－a<0，∴ab>0.∴组成真命题的个数为3个． $第12章　全等三角形 12．4 逆命题和逆定理 2 线段垂直平分线 1 返回 1．如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°.用直尺和圆规在边AB上确定一点D，连结CD，则∠ACD的大小为(　　) A．60° B．75° C．65° D．70° B 1 基础提优题 2 2．如图，△ABC中，AB＝AE，且AD⊥BC于点D，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，若△ABC的周长为16，AC＝6，则DC的长为(　　) A．5 B．8 C．9 D．10 A 1 基础提优题 3 返回 1 基础提优题 3. 如图，在锐角△ABC中，∠A＝75°，DE和DF分别垂直平分边AB，AC，则∠DBC的度数为(　　) A．15° B．16° C．18° D．20° A 1 基础提优题 5 返回 1 基础提优题 4．如图，在△ABC中，E是BC边上一点，连结AE，BD垂直平分AE，垂足为F，交AC于点D，连结DE. (1)若△ABC的周长为18，△DEC的周长为6，则AB＝________； (2)若∠ABC＝30°，∠C＝45°，求∠CDE的度数． 6 1 基础提优题 7 返回 因为∠ABC＝30°，∠C＝45°， 所以∠BAC＝180°－30°－45°＝105°. 由题意易得AB＝EB，AD＝ED.又因为BD＝BD， 所以△BAD≌△BED(SSS)． 所以∠BED＝∠BAC＝105°. 所以∠CDE＝∠BED－∠C＝105°－45°＝60°. 1 基础提优题 返回 5. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC上的一点，O是AD上一点，且OB＝OC，若BC＝4，则BD的长是________． 2 1 基础提优题 9 返回 6. 风筝又称“纸鸢”，距今已有2 000多年的历史，如图是一款风筝骨架的简化图，已知AB＝AD，BC＝CD，AC＝90 cm，BD＝60 cm，则制作这个风筝需要的布料至少为________cm2. 2 700 1 基础提优题 10 7. 如图，P为∠MON平分线上一点，PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B，求证：OP垂直平分AB. 【证明】证法1(判定定理法)： ∵P为∠MON平分线上一点，∴∠AOP＝∠BOP. ∵PA⊥OM，PB⊥ON， ∴∠PAO＝∠PBO＝90°，PA＝PB， ∴△AOP≌△BOP(AAS)，点P在AB的垂直平分线上． ∴OA＝OB.∴点O在AB的垂直平分线上． ∴OP垂直平分AB. 1 基础提优题 11 1 基础提优题 返回 如图，设OP与AB相交于点C， ∵∠AOC＝∠BOC，OC＝OC， ∴△AOC≌△BOC(SAS)． ∴∠ACO＝∠BCO＝90°，AC＝BC. ∴OP⊥AB.∴OP垂直平分AB. 1 基础提优题 8. 如图，在△ABC中，AB＝2.5，AC＝6，CB＝6.5，EF垂直平分AC，点P为直线EF上的任一点，则△ABP周长的最小值是(　　) A．8.5 B．9 C．12 D．12.5 B 2 综合应用题 14 返回 【点拨】如图所示，设EF交BC于点D，连结AD，CP.∵EF垂直平分AC，∴DA＝DC，PA＝PC.∵△APB的周长为AB＋BP＋AP＝AB＋BP＋PC≥AB＋BC，∴当P点与D点重合时，△APB的周长最小，最小值为AB＋BC＝9. 1 基础提优题 返回 9. 如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝2α，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF(E在BC上，F在AC上)折叠，若点C与点O恰好重合，则∠OEC的度数为(　　) A．1.5α B．2α C．4α D．3α C 2 综合应用题 16 10. 如图，OE，OF分别是AC，BD的垂直平分线，垂足分别为E，F，且AB＝CD，∠ABD＝116°，∠CDB＝28°，则∠OBD的度数为________°. 44 2 综合应用题 17 返回 2 综合应用题 返回 11. 如图，在△ABC中，AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，点O是AC，BC的垂直平分线的交点，连结AO，BO，若∠AOB＝140°，则∠AIB的度数为________． 125° 2 综合应用题 19 12. 如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝10，CF平分∠ACB， D是BC的中点，E是AC上一点，连结DE交CF于点O. (1)若△CDE的周长与四边形ABDE的周长相等，求线段AE的长； 【解】∵D是BC的中点，∴BD＝CD.∵△CDE的周长与四边形ABDE的周长相等，∴CD＋DE＋CE＝BD＋DE＋AB＋AE，∴CE＝AB＋AE.∵AB＝6，AC＝10，∴CE＝6＋10－CE，∴CE＝8，∴AE＝2. 2 综合应用题 20 (2)若AC＝BC，DE⊥BC，∠ACB＝β，连结OA. ①求证：点O在线段AC的垂直平分线上； 【证明】连结OB. ∵DE⊥BC，D是BC的中点，∴OB＝OC. ∵CF平分∠ACB，AC＝BC，∴CF垂直平分AB， ∴OA＝OB，∴OA＝OC， ∴点O在线段AC的垂直平分线上． 2 综合应用题 21 返回 (2)若AC＝BC，DE⊥BC，∠ACB＝β，连结OA. ②求∠AOE的度数(用含β的式子表示)． 2 综合应用题 22 13. 课间，小鑫在草稿纸上画了一个直角三角形．如图①，在Rt△ABC中，他想到了作AC的垂直平分线ED，交AC于点E，交AB于点D.他和同桌开始探讨线段AD与BD的大小关系． (1)【尝试探究】当∠A＝30°时，线段AD与BD的大小关系为AD________BD.(填“＞”“＜”或“＝”) ＝ 3 创新拓展题 23 (2)【得出结论】若∠A为任意锐角，则线段AD与BD的大小关系是AD________BD，请说明理由．(填“＞”“＜”或“＝”) (3)【应用结论】利用上面的结论继续研究，如图②，P是△FHG的边HG上的一个动点，PM⊥FH于点M，PN⊥FG于点N，FP与MN交于点K.当点P运动到某处时，MN与FP正好互相垂直，此时FP平分∠HFG吗？请说明理由． ＝ 3 创新拓展题 24 FP平分∠HFG.理由如下： 如图，作线段MF的垂直平分线交FP于点O，连结OM. ∵PM⊥FH，PN⊥FG， ∴△MPF和△NPF都是直角三角形， 同理(2)可知OM＝OF＝OP. 连结ON，易得ON＝OP＝OF. ∴OM＝OF＝OP＝ON. ∵MN⊥FP，∴∠OKM＝∠OKN＝90°. 3 创新拓展题 返回 3 创新拓展题 26 【点拨】∵△ABC的周长为16，∴AB＋BC＋AC＝16.又∵AC＝6，∴AB＋BC＝10.∵EF垂直平分AC，∴EA＝EC.∵AB＝AE，AD⊥BC，∴BD＝DE，∴AB＋BD＝AE＋DE＝CE＋ED＝×(AB＋BC)＝5，∴DC＝DE＋EC＝5，故选A. 【点拨】如图，连结DA，DC， ∵∠BAC＝75°，∴∠ABC＋∠ACB＝180°－75°＝105°.∵DE和DF分别垂直平分边AB，AC，∴DA＝DB，DA＝DC，∴DB＝DC，∠DBA＝∠DAB， ∠DAC＝∠DCA，∴∠DBA＋∠DCA＝∠DAB＋∠DAC＝75°，∠DBC＝∠DCB， ∴∠DBC＝×(105°－75°)＝15°. 证法2(定义法)： ∵P为∠MON平分线上一点，PA⊥OM，PB⊥ON， ∴∠AOP＝∠BOP，PA＝PB，∠PAO＝∠PBO＝90°. 在Rt△PAO和Rt△PBO中， ∴Rt△PAO≌Rt△PBO(HL)． ∴OA＝OB. 【点拨】如图，连结OA，OC.∵OE，OF分别是AC，BD的垂直平分线，∴OA＝OC，OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB. 在△AOB和△COD中， ∴△AOB≌△COD(SSS)，∴∠ABO＝∠CDO. ∵∠ABD＝116°，∠CDB＝28°，∴∠ABO＋∠OBD＝116°，∠CDO－∠ODB＝28°，∴∠OBD＝44°. 【解】∵DE⊥BC，∴∠CDE＝90°，∴∠CED＝90°－∠ACB＝90°－β.∵CF平分∠ACB，∠ACB＝β，∴∠ACO＝∠ACB＝β. ∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠ACO＝β，∴∠AOE＝∠CEO－∠CAO＝90°－β－β＝90°－β. 在Rt△OKM和Rt△OKN中， ∴Rt△OKM≌Rt△OKN(HL)，∴MK＝NK. 在△FKM和△FKN中， ∴△FKM≌△FKN(SAS)，∴∠MFK＝∠NFK，即FP平分∠HFG. $第12章　全等三角形 12．1 命题、定义、定理与证明 2 定义、定理与证明 1 返回 1．下列属于定义的是(　　) A．两点确定一条直线 B．两直线平行，同位角相等 C．等角的补角相等 D．线段是直线上的两点和它们之间的部分 D 1 基础提优题 2 返回 2．“两点之间线段最短”是(　　) A．定义 B．假命题 C．基本事实 　D．定理 C 1 基础提优题 3 返回 3．有下列描述：①过点A作直线AF∥BC；②两直线平行，同位角相等；③垂直于同一直线的两条直线互相垂直．其中是定理的有(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 B 1 基础提优题 4 返回 4．试说明“若∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠D＝180°，∠A＝∠C，则∠B＝∠D”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为∠A＝∠C(已知)； ②因为∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠D＝180°(已知)； ③所以∠B＝180°－∠A，∠D＝180°－∠C(等式的性质)； ④所以∠B＝∠D(等量代换)； ⑤所以∠B＝180°－∠C(等量代换)． 正确的顺序是________________． ②③①⑤④ 1 基础提优题 5 5. 完成下面的推理填空： 已知：如图，E，F分别在AB和CD上，∠1＝∠D，∠2与∠C互余，AF⊥CE于G. 求证：AB∥CD. 证明：∵AF⊥CE(已知)， ∴∠CGF＝90°(垂直的定义)． ∵∠1＝∠D(已知)， ∴________∥________(_____________________________)， AF DE 同位角相等，两直线平行 1 基础提优题 6 返回 ∴∠4＝∠CGF(____________________________)， ∴∠4＝90°. 又∵∠2＋∠3＋∠4＝180°，∴∠2＋∠3＝______°. 又∵∠2与∠C互余(已知)， ∴∠C＝∠3(同角的余角相等)， ∴AB∥CD(____________________________)． 两直线平行，同位角相等 90 内错角相等，两直线平行 1 基础提优题 7 6. (1)如图，EF∥CD，数学课上，老师请同学们根据 图形的特征添加一个关于角的条件，使∠BEF＝∠CDG， 可以添加的条件是________________________________； (2)如图，请你从①DG∥BC；②DG平分∠ADC；③∠B＝∠BCD中任选出两个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题．并证明． 条件：________________________，结论：___________.(填序号) ∠B＋∠BDG＝180°(答案不唯一) (答案不唯一)①③ ② 证明：∵DG∥BC，∴∠ADG＝∠B，∠CDG＝∠BCD. ∵∠B＝∠BCD，∴∠ADG＝∠CDG，即DG平分∠ADC. 返回 2 综合应用题 8 7. 【探究】在研究两条角平分线的位置关系时，我们会发现有些角平分线的位置关系比较特殊：邻补角的平分线____________，一对对顶角的平分线______________________________．如果两条平行线被第三条直线所截，那么一对同位角的平分线____________，一对内错角的平分线__________，一对同旁内角的平分线____________； 互相垂直 共线(或在一条直线上) 互相平行 互相平行 互相垂直 2 综合应用题 9 【论证】如图①，已知AB∥CD，GH分别与AB，CD交于点E，F，EM，FN分别平分∠GEB，∠EFD，则EM________FN，请证明这个结论的正确性； ∥ 2 综合应用题 10 【应用】如图②，两条笔直的街道AB，CD相交于点O，街道OE，OF分别平分∠AOC，∠BOD，请应用“探究”中的结论说明街道EOF是笔直的． ∵OE，OF分别平分∠AOC，∠BOD，∠AOC与∠BOD是对顶角，∴根据“一对对顶角的平分线共线(或在一条直线上)”可得点E，O，F在同一条直线上，即街道EOF是笔直的． 返回 2 综合应用题 11 证明：∵AB∥CD，∴∠GEB＝∠EFD. ∵EM，FN分别平分∠GEB，∠EFD， ∴∠GEM＝∠GEB，∠EFN＝∠EFD， ∴∠GEM＝∠EFN，∴EM∥FN. $第12章　全等三角形 12．2 三角形全等的判定 2 边角边 1 返回 1．如图，AC和BD相交于O点，若OA＝OD，用“SAS”证明△AOB≌△DOC，还需(　　) A．AB＝DC B．OB＝OC C．∠C＝∠B D．∠AOB＝∠DOC B 1 基础提优题 2 返回 2．如图，已知△ABC，下面甲、乙、丙、丁四个三角形中，与△ABC全等的是(　　) A 1 基础提优题 3 返回 3. 如图，AC＝DB，AO＝DO，CD＝80 m，则A，B两点间的距离是(　　) A．60 m B．70 m C．80 m D．90 m C 1 基础提优题 4 返回 4. 在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“X型转动钳”按如图方法进行测量，其中OA＝OD，OB＝OC，测得AB＝a，EF＝b，用a和b表示圆形容器的壁厚是__________． 1 基础提优题 5 返回 5．如图，在3×3的方格中，每个小方格的边长均为1，则∠1与∠2的数量关系是_________________． ∠1＋∠2＝90° 1 基础提优题 6 6．如图，在△ABC和△BDE中，点C在线段BD上，AC与BE交于点F.若AC＝BD，∠ACB＝∠DBE，BC＝BE. (1)求证：AB＝DE； 1 基础提优题 7 返回 (2)若∠D＝58°，∠ABE＝52°，求∠ACB的度数． 【解】由(1)知△ABC≌△DEB，∴∠A＝∠D＝58°.∵∠A＋∠ABE＋∠FBC＋∠FCB＝180°，∠FBC＝∠FCB，∴58°＋52°＋2∠ACB＝180°，∴∠ACB＝35°. 1 基础提优题 8 返回 7. 如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC.点E为AD上一点，则图中全等三角形有(　　) A．1对　 B．2对　 C．3对　　 D．4对 C 2 综合应用题 9 返回 8．如图，在△ABC中，AB＝12，BC＝15，AC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，在AB上截取AE＝AC，则△BDE的周长为(　　) A．19 B．20 C．18 D．17 A 2 综合应用题 10 返回 9. 如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C，D，E均在小正方形方格的顶点上，线段AB，CD交于点F，若∠CFB＝α，则∠ABE等于(　　) A．180°－α B．180°－2α C．90°＋α D．90°＋2α C 2 综合应用题 11 返回 10. 如图，在长方形ABCD中，AB＝20 cm，点E在边AD上，且AE＝12 cm.动点P在边AB上，从点A出发以4 cm/s的速度向点B运动，同时，点Q在边BC上，以v cm/s的速度由点B向点C运动，若在运动过程中存在△EAP与△PBQ全等的时刻，则v的值为__________． 2 综合应用题 12 返回 11. 如图，在△ABC和△BCD中，BD，CA分别平分∠ABC和∠BCD，BD与AC相交于点E，若∠D＝89°，BC＝AB＋CD，则∠ABC等于________． 58° 2 综合应用题 13 12. 如图，小明在游乐场玩两层型滑梯，每层楼梯的高度相同(EH＝HD)，都为2.5米，他想知道左右两个滑梯BC和EF的长度是否相等，于是制定了如下方案： 课题 探究两个滑梯的长度是否相等 测量工具 长度为6米的卷尺 测量步骤 ①测量出线段FD的长度； ②测量出线段AB的长度 测量数据 DF＝2.5米，AB＝5米 2 综合应用题 14 (1)根据小明的测量方案和数据，判断两个滑梯BC和EF的长度是否相等，并说明理由； 【解】BC＝EF.理由： ∵EH＝DH＝2.5米，∴ED＝5米，∴AB＝DE. 易得CA＝DH＝2.5米， ∵DF＝2.5米，∴AC＝DF. 在△ABC和△DEF中， 2 综合应用题 15 2 综合应用题 返回 (2)猜想左右两个滑梯BC和EF所在直线的位置关系，并加以证明． 【解】BC⊥EF.证明：延长BC交EF于点M，如图． ∵∠EDF＝90°， ∴∠DFE＋∠DEF＝90°. ∵△ABC≌△DEF，∴∠B＝∠DEF， ∴∠B＋∠DFE＝90°， ∴∠BMF＝90°，∴BM⊥EF，即BC⊥EF. 2 综合应用题 17 13. 为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小红在组内做了如下尝试：如图①，在△ABC中，AD是BC边上的中线，延长AD到M，使DM＝AD，连结BM. 【探究发现】 (1)如图①，AC与BM的数量关系是____________，位置关系是____________； AC＝BM AC∥BM 3 创新拓展题 18 【初步应用】 (2)如图②，在△ABC中，若AB＝10，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围； 【解】如图①，延长AD到点M，使DM＝AD，连结BM， 易知△MDB≌△ADC，∴BM＝AC＝6. 在△ABM中，AB－BM<AM<AB＋BM， 即10－6<AM<10＋6，∴4<2AD<16，∴2<AD<8. 3 创新拓展题 19 【探究提升】 (3)如图③，AD是△ABC的中线，过点A分别向外作AE⊥AB，AF⊥AC，使得AE＝AB，AF＝AC，延长DA交EF于点P，判断线段EF与AD的数量关系和位置关系，并说明理由． 3 创新拓展题 20 【解】 EF＝2AD，EF⊥AD.理由如下： 如图②，延长AD到点M，使得DM＝AD，连结BM， 易知△BDM≌△CDA，∴BM＝AC. ∵AC＝AF，∴BM＝AF. 由(1)可知，AC∥BM，∴∠BAC＋∠ABM＝180°. ∵AE⊥AB，AF⊥AC，∴∠BAE＝∠FAC＝90°， ∴∠BAC＋∠EAF＝180°，∴∠ABM＝∠EAF. 3 创新拓展题 返回 3 创新拓展题 22 (b－a) 【点拨】在△AOB和△DOC中，∴△AOB≌△DOC(SAS)．∴CD＝AB＝a，∴圆形容器的壁厚为(EF－CD)＝(b－a)． 【点拨】如图，在△ABC与△DEF中， ∴△ABC≌△DEF(SAS)， ∴∠1＝∠CAB.∵∠CAB＋∠2＝90°，∴∠1＋∠2＝90°. 【证明】在△ABC与△DEB中， ∴△ABC≌△DEB(SAS)，∴AB＝DE. 4或 ，∴△ABC≌△DEF(SAS)． ∴BC＝EF，即BC和EF的长度相等． 在△ABM和△EAF中， ∴△ABM≌△EAF(SAS)，∴AM＝EF，∠BAM＝∠E. ∵AD＝DM，∴AM＝2AD，∴EF＝2AD. ∵∠EAM＝∠BAM＋∠BAE＝∠E＋∠APE， ∴∠APE＝∠BAE＝90°，∴EF⊥AD. $第12章　全等三角形 12．2 三角形全等的判定 5 斜边直角边 1 返回 1. 如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是(　　) A．AC＝A′C′，BC＝B′C′ B．∠A＝∠A′，AB＝A′B′ C．AC＝A′C′，AB＝A′B′ D．∠B＝∠B′，BC＝B′C′ C 1 基础提优题 2 2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，若∠B＝28°，则∠AEC＝(　　) A．28° B．59° C．60° D．62° B 返回 1 基础提优题 3 返回 3. 如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面竖直墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，若DF＝2 m，DE＝3 m，AD＝1 m，则BF的长为______m. 6 1 基础提优题 4 4. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，连结对角线AC，且AC＝AD，点E在边BC上，连结DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，若AB＝AF.求证： (1)∠DAC＝∠FAB； 返回 1 基础提优题 5 (2)DF＝CE＋EF. 1 基础提优题 6 返回 5．Rt△ABC和Rt△DEF如图所示，∠C＝∠F＝90°. (1)若∠A＝∠D，BC＝EF，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是“________”； (2)若∠A＝∠D，AC＝DF，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是“________”； (3)若AC＝DF，AB＝DE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是“________”； (4)若AC＝DF，CB＝FE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是“________”． AAS ASA HL SAS 1 基础提优题 7 6．如图，正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，则∠ACD＋∠BDC＝________°. 90 返回 1 基础提优题 8 7．如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE与CD交于点O，OB＝OC，连结OA，则图中全等的直角三角形共有(　　) A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 B 2 综合应用题 9 2 综合应用题 返回 2 综合应用题 8. 如图，C，D两点分别在射线OA，OB上，点P在∠AOB的内部，且CP＝DP，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为M，N，且CM＝DN，若DN＝3，CO＝7，则DO的长为(　　) A．10 B．13 C．15 D．17 B 2 综合应用题 12 返回 2 综合应用题 9. 如图，在△ABC中，P，Q分别是BC，AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是点R，S，若AQ＝PQ，PR＝PS，下面三个结论：①AS＝AR；②PQ∥AB；③△BRP≌△CSP，其中正确的是(　　) A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ A 2 综合应用题 14 返回 2 综合应用题 10. 如图，CA⊥AB，垂足为A，AB＝12 cm，AC＝6 cm，射线BM⊥AB，垂足为B，一动点E从点A出发以2 cm/s的速度沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着点E运动而运动，且始终保持ED＝CB，当点E离开点A后，经过____________s时，△DEB与△BCA全等． 3或9或12 2 综合应用题 16 【点拨】∵CA⊥AB，BM⊥AB，∴∠A＝∠DBE＝90°.①当点E在线段AB上，AC＝BE时，∵BC＝DE，∴Rt△ACB≌Rt△BED(HL)．∵AC＝BE，AC＝6 cm，∴BE＝6 cm，∴AE＝AB－BE＝12－6＝6(cm)，∴点E的运动时间为6÷2＝3(s)；②当点E在BN上，AC＝BE时，∵CB＝ED，∴Rt△ACB≌Rt△BED(HL)．∵AC＝BE，AC＝6 cm，∴BE＝6 cm，∴AE＝AB＋BE＝12＋6＝18(cm)，∴点E的运动时间为18÷2＝9(s)； 2 综合应用题 返回 ③当点E在线段AB上，AB＝EB时，这时点E与点A重合，不符合题意；④当点E在BN上，AB＝BE时，Rt△ACB≌Rt△BDE(HL)，则EB＝12 cm，∴AE＝AB＋BE＝24 cm，∴点E的运动时间为24÷2＝12(s)．综上所述，当点E经过3 s或9 s或12 s时，△DEB与△BCA全等． 2 综合应用题 18 11. 如图①，E，F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，若AB＝CD，BF＝DE，BD交AC于点G. (1)猜想AE与CF，GE与GF的数量关系，并说明理由． 2 综合应用题 19 2 综合应用题 (2)当E，F两点移动至如图②所示的位置时，其余条件不变，(1)中猜想的结论是否成立？若成立，给予证明；若不成立，请说明理由． 2 综合应用题 21 返回 2 综合应用题 12. 小刚准备证明这样一道题：若两个锐角三角形有两组边对应相等，且其中一组对应边上的高也相等，则这两个三角形全等．他已经画出图形，并写出了已知和证明，如下所示． 已知：如图，△ABC和△EFG中，AC＝EG，BC＝FG，AD，EH分别是边BC，FG上的高，且AD＝EH.求证：△ABC≌△EFG. 证明：∵AD和EH分别是△ABC和△EFG的边BC和FG上的高， ∴∠ADC＝∠EHG＝90°. 3 创新拓展题 23 3 创新拓展题 (1)如图，若将题目中的条件“两个锐角三角形”改成“两个钝角三角形”，已知不变，请你帮他求证该结论仍然成立； 3 创新拓展题 25 3 创新拓展题 (2)若将题目中的条件“两个锐角三角形”改成“两个三角形”，则该结论______________(填“成立”或“不成立”)． 不成立 【点拨】如图，若一个锐角三角形和一个钝角三角形有两组边对应相等，且其中一组对应边上的高也相等，则这两个三角形不全等． 返回 3 创新拓展题 27 【点拨】在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，且AE＝AE，∴Rt△CAE≌Rt△DAE(HL)，∴∠CAE＝∠DAE＝∠CAB. ∵∠B＋∠CAB＝90°，∠B＝28°，∴∠CAB＝90°－28°＝62°，∴∠AEC＝90°－∠CAB＝90°－31°＝59°. 【证明】∵AF⊥DE，∴∠AFD＝90°. 在Rt△AFD和Rt△ABC中， ∴Rt△AFD≌Rt△ABC.∴∠DAF＝∠CAB， ∴∠DAF＋∠CAF＝∠CAB＋∠CAF，即∠DAC＝∠FAB. 【证明】如图，连结AE，易知∠AFE＝90°. 在Rt△AEF和Rt△AEB中， ∴Rt△AEF≌Rt△AEB(HL)，∴EF＝BE. ∵Rt△AFD≌Rt△ABC，∴DF＝BC. ∵BC＝CE＋BE＝CE＋EF，∴DF＝CE＋EF. 【点拨】∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDO＝∠ADO＝∠AEO＝∠CEO＝90°.在△DOB和△EOC中，∴△DOB≌△EOC(AAS)，∴OD＝OE，BD＝CE.在Rt△ADO和Rt△AEO中， ∴Rt△ADO≌Rt△AEO(HL)，∴AD＝AE， ∴AB＝AC.在Rt△ADC和Rt△AEB中，∴Rt△ADC≌Rt△AEB(HL)．∴共有3对全等的直角三角形． 【点拨】∵PM⊥OA，PN⊥OB，∴△CPM，△DPN，△OPM，△OPN是直角三角形．在Rt△CPM和Rt△DPN中，∴Rt△CPM≌Rt△DPN(HL)， ∴PM＝PN.在Rt△OPM和Rt△OPN中，∴Rt△OPM≌Rt△OPN(HL)，∴OM＝ON，∴DO＝ON＋DN＝OM＋DN＝CO＋DN＋DN＝CO＋2DN.∵DN＝3，CO＝7，∴DO＝13. 【点拨】连结AP，在Rt△APR和Rt△APS中，∵∴Rt△APR≌Rt△APS(HL)，∴AS＝AR，∠BAP＝∠SAP，故①正确．在△AQP中，∵AQ＝PQ，∴易得∠QAP＝∠APQ，∴∠BAP＝∠APQ，∴PQ∥AB，故②正确．在Rt△BRP和Rt△CSP中，只有PR＝PS，∴不满足三角形全等的条件，故③错误． 【解】AE＝CF，GE＝GF.理由如下： ∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠AFB＝∠CED＝90°. 在Rt△ABF和Rt△CDE中，∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)，∴AF＝CE，∴AF－EF＝CE－EF，∴AE＝CF. 在△GFB和△GED中， ∴△GFB≌△GED(AAS)，∴GE＝GF. 成立．证明如下：∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠AFB＝∠CED＝90°. 在Rt△ABF和Rt△CDE中， ∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)，∴AF＝CE，∴AE＝CF. 在△GFB和△GED中， ∴△GFB≌△GED(AAS)，∴GE＝GF. 在Rt△ADC和Rt△EHG中， ∴Rt△ADC≌Rt△EHG(HL)，∴∠C＝∠G. 在△ABC和△EFG中， ∴△ABC≌△EFG(SAS). 【证明】∵AD和EH分别是△ABC和△EFG的边BC和FG上的高，∴∠ADC＝∠EHG＝90°. 在Rt△ADC和Rt△EHG中， ∴Rt△ADC≌Rt△EHG(HL)．∴∠ACD＝∠EGH，∴∠ACB＝∠EGF. 在△ABC和△EFG中， ∴△ABC≌△EFG(SAS)． $第12章　全等三角形 12．3 等腰三角形 2 等腰三角形的判定 1 1. 下列条件中，可以判定△ABC是等腰三角形的是(　　) A．2∠A＝∠B＋∠C B．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3 C．三角形的一个外角为60° D．∠B＝40°，∠C＝70° D 1 基础提优题 2 【点拨】A.∵2∠A＝∠B＋∠C，∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴3∠A＝180°，解得∠A＝60°，此时不能确定∠B和∠C的度数，故无法判定△ABC的形状；B.∵∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，∴可设∠A＝k，∠B＝2k，∠C＝3k.又∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴k＋2k＋3k＝180°，解得k＝30°，∴∠A＝k＝30°，∠B＝2k＝60°，∠C＝3k＝90°，故不能判定△ABC为等腰三角形；C.∵三角形的一个外角为60°，∴三角形的一个内角为120°，不能判定△ABC为等腰三角形；D.∵∠B＝40°，∠C＝70°，∴∠A＝180°－(∠B＋∠C)＝70°＝∠C，故能判定△ABC为等腰三角形． 返回 1 基础提优题 返回 2. 如图，∠B＝∠C＝36°，∠ADE＝∠AED＝72°，则图中的等腰三角形有(　　) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 D 1 基础提优题 4 3．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点D，过点D作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F.若AB＝12，AC＝8，则△AEF的周长是(　　) A．17 B．18 C．20 D．22 C 返回 【点拨】∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠DBC.∵BD平分∠ABC，∴∠EBD＝∠DBC，∴∠EDB＝∠EBD，∴ED＝EB.同理可得DF＝FC，∴△AEF的周长为AE＋AF＋EF＝AE＋AF＋ED＋DF＝AE＋BE＋AF＋CF＝AB＋AC＝20.故选C. 1 基础提优题 5 4．如图，在△ABC中，AB＝AC，点M在CA的延长线上，MN⊥BC于点N，交AB于点O，若AO＝3，BO＝4，则MC的长度为________． 返回 10 【点拨】∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵MN⊥BC，∴∠MNC＝∠MNB＝90°，∴∠B＋∠BON＝90°，∠C＋∠M＝90°，∴∠M＝∠BON.∵∠BON＝∠MOA，∴∠M＝∠MOA，∴AM＝AO＝3.∵BO＝4，∴AC＝AB＝AO＋BO＝7，∴MC＝AM＋AC＝10. 1 基础提优题 6 5．(1)如图①，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，过点D作BC的平行线，交AB于点E，请判断△BDE的形状，并说明理由． 【解】△BDE的形状是等腰三角形，理由如下： ∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD. ∵BC∥ED，∴∠EDB＝∠CBD，∴∠EDB＝∠ABD， ∴EB＝ED，∴△BDE是等腰三角形． 1 基础提优题 7 (2)如图②，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，交边AD于点E，过点A作AF⊥BE交DC的延长线于点F，交BC于点G. ①图中一定是等腰三角形的有(　　) A．3个 　B．4个 C．5个 D．6个 B 1 基础提优题 8 ②已知AB＝3，BC＝5，求CF的长． 由题可知AB∥CD，AD∥BC. 又∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBG＝∠AEB. ∴AB＝AE. ∵AF⊥BE，∴∠BAF＝∠EAF. ∵BC∥AD，∴∠EAG＝∠AGB，∴∠BAF＝∠AGB， ∴BG＝AB＝3.∵AB∥FD，∴∠BAF＝∠CFG. 又∵∠AGB＝∠CGF，∴∠CGF＝∠CFG，∴CG＝CF. ∵CG＝BC－BG＝5－3＝2，∴CF＝2. 返回 1 基础提优题 9 6．已知等腰三角形的一个外角是120°，则它是(　　) A．等腰直角三角形 B．一般的等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰钝角三角形 C 返回 1 基础提优题 10 7．将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α＝60°，点B，C表示的刻度分别为1 cm，3 cm，则线段AB的长为________cm. 2 【点拨】∵直尺的两对边互相平行，∴∠ACB＝∠α＝60°.∵∠A＝60°.∴∠ABC＝180°－∠ACB－∠A＝180°－60°－60°＝60°，∴∠A＝∠ABC＝∠ACB，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝3－1＝2(cm)． 返回 2 综合应用题 11 8. 如图，P是等边三角形ABC的边BC上的一点，若∠APC＝106°，在以线段AP，BP，CP的长为边长的三角形中，最小内角的度数是(　　) A．13°　 B．15° C．16° D．14° D 2 综合应用题 12 返回 【点拨】∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC.如图所示，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACQ，连结PQ，则∠PAQ＝60°，AP＝AQ，BP＝CQ，∠AQC＝∠APB，∴△PAQ为等边三角形，∴PQ＝AP，∠AQP＝60°，∴以线段AP，BP，CP的长为边长的三角形，即为△PCQ，最小的内角为∠PQC.∵∠APC＝106°， ∴∠APB＝180°－106°＝74°， ∴∠AQC＝∠APB＝74°， ∴∠PQC＝74°－60°＝14°. 2 综合应用题 9. 如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝1.若点M, N分别在OA, OB上，且△PMN为等边三角形，则满足条件的△PMN有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 D 【点拨】如图，过点P作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，连结MN.则∠PMO＝∠PNO＝90°.∴∠MPN＝360°－∠AOB－∠PMO－∠PNO＝60°.易得△PMO≌△PNO，∴PM＝PN.∴△PMN是等边三角形．当M向MO方向移动到点M1，N向NB方向移动到点N1，且∠MPM1＝∠NPN1时，∠M1PN1＝∠M1PN＋∠NPN1＝∠M1PN＋∠MPM1＝∠MPN＝60°. 2 综合应用题 14 返回 1 基础提优题 10. 如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点E，F分别在BA，BC的延长线上，∠ABC，∠ACF与∠EAC的平分线相交于点D.以下结论：①AD∥BC；②∠ACB＝2∠ADB；③△ABD和△ACD都是等腰三角形．其中正确的结论有(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 D 2 综合应用题 16 返回 1 基础提优题 11. 在△ABC中，AB＝AC，D是BC边的中点， E，F分别是AD，AC边上的点． (1)如图①，连结BE，EF，若∠ABE＝∠EFC，求证：BE＝EF； 【证明】连结CE，如图①.∵AB＝AC，D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∠ABC＝∠ACB.∴AD垂直平分BC.∴BE＝CE，∴∠EBC＝∠ECB， ∴∠ABC－∠EBC＝∠ACB－∠ECB，即∠ABE＝∠ACE. ∵∠ABE＝∠EFC，∴∠ACE＝∠EFC， ∴EF＝CE，∴BE＝EF. 2 综合应用题 18 (2)如图②，若B，E，F在一条直线上，且∠ABE＝∠BAC＝45°，探究BD与AE之间的数量关系，并说明理由． 【解】AE＝2BD.理由如下： 连结CE，如图②.易得∠ABE＝∠ACE＝45°. ∵∠ABE＝∠BAC＝45°，∴∠AFB＝∠CFE＝90°， ∴△ABF和△CEF都是等腰直角三角形， ∴AF＝BF，CF＝EF. 2 综合应用题 19 返回 2 综合应用题 20 12. 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16 cm，BC＝12 cm，AC＝20 cm，P，Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为1 cm/s，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为2 cm/s，它们同时出发，设运动的时间为t s. (1)BP＝________cm.(用含t的式子表示) (16－t) 【点拨】由题意可知AP＝t cm.∵AB＝16 cm，∴BP＝AB－AP＝(16－t)cm. 3 创新拓展题 21 (2)当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB是等腰三角形？ 3 创新拓展题 22 (3)当点Q在边CA上运动时，出发多少秒后，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形？ 3 创新拓展题 23 返回 ②如图②所示，当△BCQ是以BQ为底边的等腰三角形时，CQ＝BC＝12 cm， ∴BC＋CQ＝24 cm，∴t＝24÷2＝12. 综上所述，出发11 s或12 s后，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形． 3 创新拓展题 连结M1N1，在△PMM1和△PNN1中， ∴△PMM1≌△PNN1(ASA)．∴PM1＝PN1. ∴△M1PN1是等边三角形．∴存在无数个满足条件的等边三角形PMN.同理，当M向MA方向移动，N向NO方向移动时，也存在无数个满足条件的等边三角形PMN.综上，满足条件的△PMN有无数个． 【点拨】∵∠ABC＝∠ACB，∠ABC＋∠ACB＝∠EAC，∴∠ABC＝∠ACB＝∠EAC.∵AD是∠EAC的平分线，∴∠EAD＝∠CAD＝∠EAC，∴∠EAD＝∠ABC，∴AD∥BC，故①正确．∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC.又∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ADB＝∠DBC＝∠ABD＝∠ABC.∵∠ABC＝∠ACB，∴∠ADB＝∠ACB，即∠ACB＝2∠ADB，故②正确．∵∠ADB＝∠ABD，∴AB＝AD，∴△ABD是等腰三角形．∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠DCF.∵CD是∠ACF的平分线，∴∠ACD＝∠DCF，∴∠ADC＝∠ACD，∴AC＝AD，∴△ACD是等腰三角形，故③正确．故选D. 在△CBF和△EAF中， ∴△CBF≌△EAF(SAS)，∴BC＝AE. 易知BC＝2BD，∴AE＝2BD. 【解】由题意可知BQ＝2t cm.∵∠B＝90°，∴当点Q在边BC上运动，△PQB为等腰三角形时，有BP＝BQ，即16－t＝2t，解得t＝，∴出发 s后，△PQB是等腰三角形． ①如图①所示，当△BCQ是以BC为底边的等腰三角形时，CQ＝BQ，∴∠C＝∠CBQ.∵∠ABC＝90°，∴∠CBQ＋∠ABQ＝90°，∠A＋∠C＝90°，∴∠A＝∠ABQ，∴BQ＝AQ， ∴CQ＝AQ＝AC＝10 cm，∴BC＋CQ＝22 cm， ∴t＝22÷2＝11. $第12章　全等三角形 12．2 三角形全等的判定 3 角边角 1 返回 1. 如图，在△ABC和△DCE中，点A，D，C在同一直线上，已知∠ACB＝∠E，BC＝CE，添加以下条件后，仍不能判定△ABC≌△DCE的是(　　) A．AB＝CD B．AB∥DE C．AC＝DE D．∠B＝∠DCE A 1 基础提优题 2 返回 2. 被打碎的一块三角形玻璃如图所示，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，最省事的方法是(　　) A．带①④去 B．带②③去 C．带③④去 D．带②④去 A 1 基础提优题 3 返回 3．如图，点A，C，B，D在同一条直线上，BE∥DF，∠A＝∠F，AB＝FD.若∠FCD＝35°，∠A＝75°，则∠DBE的度数为________°. 110 1 基础提优题 4 返回 4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，DE＝4 cm，AD＝6 cm，则BE的长是(　　) A．2 cm B．1.5 cm C．1 cm D．3 cm A 1 基础提优题 5 返回 5．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC， 以B为圆心，BC长为半径画弧，与AD相交于点E，连结BE，过点C作CF⊥BE，垂足为F.若AE＝8，BC＝10，则EF的长为________． 2 1 基础提优题 6 返回 6．如图，将长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在平面上的F点处，DF交BC于点E.求证：△DCE≌△BFE. 【证明】∵四边形ABCD为长方形，∴AB＝CD，∠BAD＝∠C＝90°.∵将长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在平面上的F点处，∴BF＝AB＝CD，∠BFE＝∠BAD＝∠C＝90°.又∵∠DEC＝∠BEF，∴△DCE≌△BFE(AAS)． 1 基础提优题 7 返回 7. 在△ABC中，∠B＝∠C＝50°，将△ABC沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是(　　) D 2 综合应用题 8 8. 如图，EB交AC于点M，交CF于点D，AB交FC于点N，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF.下列结论：①∠1＝∠2；②CD＝BD；③△AFN≌△BDN；④AM＝AN.其中所有正确结论的有__________．(填序号) ①②④ 2 综合应用题 9 2 综合应用题 返回 2 综合应用题 9. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7 cm，BC＝3 cm，CD为AB边上的高，点E从点B出发，在直线BC上以2 cm/s的速度运动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F，当点E运动________s时，CF＝AB. 2或5 2 综合应用题 12 2 综合应用题 返回 2 综合应用题 返回 10. 如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，且BE，CD相交于点F. (1)求证：△BDF≌△CDA； 2 综合应用题 15 (2)若BE平分∠ABC，BF＝10，求CE的长． 返回 2 综合应用题 16 11. 如图，已知AC＝BC，D是BC上一点，∠ADE＝∠C.　 (1)如图①，若∠C＝90°，∠DBE＝135°，求证： ①∠EDB＝∠A；②DA＝DE. 【证明】①∵∠ADE＝∠C＝90°， ∴∠EDB＋∠ADC＝90°，∠A＋∠ADC＝90°， ∴∠EDB＝∠A. 【证明】在AC上截取CF＝CD，连结FD，如图①， ∵∠C＝90°，∴∠CFD＝∠CDF＝45°， ∴∠AFD＝135°＝∠DBE. 2 综合应用题 17 2 综合应用题 (2)如图②，请直接写出∠DBE与∠C之间满足什么数量关系时，总有DA＝DE成立． 2 综合应用题 19 返回 2 综合应用题 12. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝AC，D为直线BC上一动点，连结AD.在直线AC的右侧作AE⊥AD，且AE＝AD，过点E作AC的垂线，垂足为N. 【观察发现】 (1)如图①，当点D在线段BC上时，判断线段EN与BC之间的关系，并说明理由； 【探究迁移】 3 创新拓展题 21 2 综合应用题 (2)将如图①中的B，E连结，交直线AC于点M，我们很容易发现MN＝MC.如图②，当点D在线段BC的延长线上时，连结BE交直线CA于点M，线段EN和线段BC之间的关系有没有变化？此时MN＝MC吗？说明理由． 3 创新拓展题 23 2 综合应用题 【拓展应用】 (3)如图③，当点D在线段CB的延长线上时，连结BE交AC于点M，当AC＝8，CM＝3时，求△ABD和△ABE的面积． 3 创新拓展题 25 2 综合应用题 返回 2 综合应用题 【点拨】由题可知BE＝BC＝10.∵∠ABC＝90°，AD∥BC，∴∠A＝180°－∠ABC＝90°，∠AEB＝∠FBC.∵CF⊥BE，∴∠BFC＝90°，∴∠A＝∠BFC.在△AEB和△FBC中，∴△AEB≌△FBC(AAS)，∴BF＝AE＝8，∴EF＝BE－BF＝10－8＝2. 【点拨】①在△ABE和△ACF中， ∴△ABE≌△ACF(AAS)，∴∠EAB＝∠FAC，AB＝AC，∴∠EAB－∠BAC＝∠FAC－∠BAC，∴∠1＝∠2，故结论①正确；②在△AFN和△AEM中， ∴△AFN≌△AEM(ASA)，∴AN＝AM. ∵AB＝AC，∴AB－AN＝AC－AM，∴BN＝CM. 在△BND和△CMD中， ∴△BND≌△CMD(AAS)，∴CD＝BD，故结论②正确；③根据已知条件不能判定△AFN≌△BDN，故结论③不正确；④由②可知AN＝AM，故结论④正确． 综上所述，正确结论的序号是①②④. 【点拨】∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠CBD＝90°.∵CD为AB边上的高，∴∠CDB＝90°，∴∠BCD＋∠CBD＝90°，∴∠A＝∠BCD.∵∠BCD＝∠ECF，∴∠ECF＝∠A.∵EF⊥EC，∴∠CEF＝90°＝∠ACB.在△CEF和△ACB中，∴△CEF≌△ACB(AAS)，∴CE＝AC＝7 cm. ①如图，当点E在射线BC上移动时，BE＝CE＋BC＝7＋3＝10(cm)．∵点E从点B出发，在直线BC上以2 cm/s的速度运动， ∴点E运动了＝5(s)．②当点E在射线CB上运动时，BE′＝AC－BC＝7－3＝4(cm)．∵点E从点B出发，在直线BC上以2 cm/s的速度运动，∴点E运动了＝2(s)．综上所述，当点E运动5 s或2 s时，CF＝AB. 【证明】∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDF＝∠ADC＝∠FEC＝90°.∵∠BDF＝90°，∠ABC＝45°，∴∠BCD＝45°，∴△BDC是等腰直角三角形，∴BD＝CD.∵∠DBF＝90°－∠BFD，∠DCA＝90°－∠EFC，且∠BFD＝∠EFC，∴∠DBF＝∠DCA. 在△BDF和△CDA中，∴△BDF≌△CDA(ASA)． 【解】∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE. 在△BEA和△BEC中， ∴△BEA≌△BEC(ASA)，∴AE＝CE＝AC. 由(1)知△BDF≌△CDA，∴AC＝BF，∴CE＝AC＝BF＝5. ∵AC＝BC，∴AC－CF＝BC－CD，即AF＝BD. 在△AFD和△DBE中， ∴△AFD≌△DBE(ASA)，∴DA＝DE. 【解】当∠DBE＝90°＋∠C时，总有DA＝DE成立． 【点拨】如图②，在CA上截取CM＝CD，连结MD，∵AC＝BC，∴AM＝BD.∵∠ADB＝∠A＋∠C，∠ADB＝∠ADE＋∠BDE，∠ADE＝∠C，∴∠A＝∠BDE.易知∠CMD＝90°－∠C，∴∠AMD＝90°＋∠C，当∠DBE＝90°＋∠C时，∠DBE＝∠AMD， ∴△AMD≌△DBE(ASA)，∴AD＝DE. 【解】EN∥BC，EN＝BC.理由如下：∵EN⊥AC，∴∠ANE＝∠CNE＝90°. ∵∠C＝90°，∴∠C＝∠CNE.∴EN∥BC.∵AE⊥AD，∴∠DAE＝90°. 易知∠DAC＋∠ADC＝∠DAC＋∠EAN＝90°， ∴∠ADC＝∠EAN.在△ADC和△EAN中， ∴△ADC≌△EAN(AAS)，∴AC＝EN.∵AC＝BC，∴EN＝BC. 【解】线段EN与BC之间的关系不变，MN＝MC.理由如下： 易知∠DAC＋∠ADC＝90°，∠DAC＋∠EAN＝180°－∠DAE＝90°，∴∠ADC＝∠EAN. 同(1)可得，EN∥BC，△EAN≌△ADC，∴EN＝AC. ∵BC＝AC，∴EN＝BC. 在△MEN和△MBC中， ∴△MEN≌△MBC(AAS)，∴MN＝MC. 当点D在线段CB的延长线上时， 同理可得，△EAN≌△ADC，△MEN≌△MBC， ∴MN＝CM＝3，NE＝BC＝AC＝8，AN＝DC， ∴CN＝MN＋CM＝6. ∵AN＝AC＋CN＝8＋6＝14，∴DC＝14，∴BD＝DC－BC＝14－8＝6， ∴S△ABD＝BD·AC＝×6×8＝24. 又∵△MEN≌△MBC，∴S△MEN＝S△MBC. 根据图形面积割补法可得 S△ABE＝S△ABC＋S△MBC＋S△AEN－S△MEN＝S△ABC＋S△AEN， ∴S△ABE＝×8×8＋×8×14＝88， ∴△ABD和△ABE的面积分别为24和88. $第12章　全等三角形 12．4 逆命题和逆定理 3 角平分线 1 返回 1. 如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是点C，D，则下列结论不一定正确的是(　　) A．PC＝PD B．OC＝OD C．∠CPO＝∠DPO D．∠CPD＝∠DOC D 1 基础提优题 2 2．如图，CD是等腰三角形ABC底边上的中线，BE平分∠ABC，交CD于点E，AC＝6，DE＝2，则△BCE的面积是(　　) A．4 B．6 C．8 D．12 B 返回 1 基础提优题 3 3．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积是10，CD∶BD＝2∶3，DE＝2，则AC的长是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 C 1 基础提优题 4 返回 1 基础提优题 4．如图，点O是∠BAC和∠ACB的平分线的交点，OD⊥BC于点D，OD＝3，△ABC的周长是36，则△ABC的面积为________． 54 返回 1 基础提优题 6 返回 5．如图，直线a，b，c表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有(　　) A．一处 B．两处 C．三处 D．四处 D 1 基础提优题 7 6．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACE的平分线相交于点P，PD⊥AC于点D，PH⊥BA，交BA的延长线于点H. (1)若点P到直线BA的距离是5 cm，求点P到直线BC的距离； 【解】如图，过点P作PF⊥BE于点F. 由题意可知PH＝5 cm. ∵BP平分∠ABC，PH⊥BA，PF⊥BE，∴PF＝PH＝5 cm， 即点P到直线BC的距离为5 cm. 1 基础提优题 8 返回 6．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACE的平分线相交于点P，PD⊥AC于点D，PH⊥BA，交BA的延长线于点H. (2)求证：AP平分∠HAC. 【证明】∵CP平分∠ACE，PD⊥AC，PF⊥BE， ∴PF＝PD.由(1)知PH＝PF，∴PD＝PH. ∵PH⊥BA，PD⊥AC， ∴AP平分∠HAC. 1 基础提优题 9 7. 如图，∠ABC，∠ACB的平分线交于点P，过点P作PE⊥AB，PG⊥AC，PF⊥BC，垂足分别为E，G，F，若AB＝8，AC＝6，BC＝7，则AE＝(　　) A．4 B．3.5 C．3 D．5 B 1 基础提优题 10 返回 1 基础提优题 8. 如图，分别以△ABC的边AB，AC为直角边，向外作等腰直角三角形ABD，ACE，连结BE，CD，BE，CD交于点F，连结AF.下列结论中不一定成立的是(　　) A．BE＝CD B．∠EFC＝90° C．FA平分∠BFC D．∠DAF＝∠DCA D 返回 2 综合应用题 12 8 2 综合应用题 13 返回 2 综合应用题 10. 如图，点P是∠AOB的平分线OC上一点，PN⊥OB于点N，点M是线段ON上一点．已知OM＝3，ON＝5，点D为OA上一点，若满足PD＝PM，则OD的长度为________． 3或7 返回 2 综合应用题 15 返回 11. 如图，AE是∠CAM的平分线，点B在射线AM上，DE是线段BC的垂直平分线，交BC于D，EF⊥AM于F.若∠ACB＝26°，∠CBE＝25°，则∠AED＝________． 39° 2 综合应用题 16 2 综合应用题 17 2 综合应用题 (2)如图②，AD是△ABC的外角的平分线，判断(1)中的关系是否成立，并说明理由． 2 综合应用题 19 返回 2 综合应用题 13. 【教材呈现】下面是华师版八年级上册数学教材105页的部分内容． 【问题解决】(1)请写出证明PD＝PE的过程． 如图，OC是∠AOB的平分线，点P是OC上的 任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 点D和点E.求证：PD＝PE. 3 创新拓展题 21 2 综合应用题 【类比探究】 (2)如图①，∠AOB＝90°，OC是∠AOB的平分线，点M，N分别在OB，OA上，点P在射线OC上，连结PM和PN且PM⊥PN.求证：PM＝PN. 【证明】如图①，过点P分别作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F. ∵OC为∠AOB的平分线， PE⊥OA，PF⊥OB， ∴PE＝PF，∠PEO＝∠PEN＝∠PFO＝90°. ∵∠AOB＝90°，∴∠EPF＝360°－∠AOB－∠PEO－∠PFO＝90°. ∵PM⊥PN，∴∠NPM＝90°＝∠EPF， 3 创新拓展题 23 2 综合应用题 (3)如图②，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，点M，N分别在OB，OA上，连结PM和PN，若∠PMO＋∠PNO＝180°，判断线段PM与PN的数量关系，并证明． 【解】PM＝PN.证明：如图②，过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，∴∠PEN＝∠PFM＝90°.∵OC是∠AOB的平分线，PE⊥OA，PF⊥OB，∴PE＝PF. ∵∠PNO＋∠PNE＝180°，∠PMO＋∠PNO＝180°， ∴∠PNE＝∠PMO. 3 创新拓展题 25 返回 3 创新拓展题 26 【点拨】如图，过点D作DF⊥AC于F. ∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DF＝DE＝2.∵△ABC的面积是10，CDBD＝23， ∴S△ADC＝S△ABC＝×10＝4，∴S△ADC＝AC·DF＝AC×2＝4，解得AC＝4. 【点拨】如图，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，连结BO. ∵点O是∠BAC和∠ACB的平分线的交点，∴OE＝OF＝OD，∴S△ABC＝S△AOB＋S△BOC＋S△AOC＝AB·OE＋BC·OD＋AC·OF＝(AB＋BC＋AC)·OD＝×36×3＝54. 【点拨】∵∠ABC，∠ACB的平分线交于点P，且PE⊥AB，PG⊥AC，PF⊥BC，∴PE＝PF，PF＝PG.∴PE＝PG.在Rt△BEP和Rt△BFP中，∴Rt△BEP≌Rt△BFP(HL)，∴BE＝BF， 同理得CF＝CG，AE＝AG.设AE＝x(x＞0)，则AE＝AG＝x，∵AB＝8，AC＝6，∴BF＝BE＝8－x，CF＝CG＝6－x. ∵BC＝BF＋CF＝7，∴8－x＋6－x＝7，解得x＝3.5，∴AE＝3.5. 9.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC.以点A为圆心，任意长为半径作弧交AB，AC于D，E两点；分别以点D，E为圆心，大于DE长为半径作弧，在∠BAC内两弧相交于点P；作射线AP交BC于点F，过点F作FG⊥AB，垂足为G.若AB＝8 cm，则△BFG的周长等于________cm. 【点拨】在△ABC中，∵∠C＝90°，∴FC⊥AC.由作图方法可得AF平分∠BAC.∴∠BAF＝∠CAF，FC＝FG.在Rt△ACF和Rt△AGF中，∴Rt△ACF≌Rt△AGF(HL)，∴AC＝AG.∵AC＝BC，∴AG＝BC，∴△BFG的周长为GF＋BF＋BG＝CF＋BF＋BG＝BC＋BG＝AG＋BG＝AB＝8 cm. 12.(1)如图①，在△ABC中，AD是它的角平分线，求证：＝； 【证明】如图①，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F， ∵AD平分∠BAC，∴DE＝DF.∵S△ABD＝AB·DE， S△ACD＝AC·DF，∴＝＝. 过点A作AH⊥BC于点H，∵S△ABD＝BD·AH，S△ACD＝CD·AH， ∴＝＝.∴＝. 【解】(1)中的关系仍然成立．理由如下： 如图②，过点D作DF⊥AE于点F，DG⊥AC于点G， ∵AD平分∠CAE，∴DF＝DG. ∵△ABD的面积＝AB·DF，△ACD的面积＝AC·DG， ∴＝＝. 过点A作AH⊥BD于点H， ∴＝＝.∴＝. 【证明】∵OC是∠AOB的平分线， ∴∠BOC＝∠AOC.∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO＝∠PEO＝90°. 在△OPE和△OPD中， ∴△OPE≌△OPD(AAS)，∴PD＝PE. ∴∠EPF－∠EPM＝∠NPM－∠EPM， 即∠MPF＝∠NPE. 在△PNE和△PMF中， ∴△PNE≌△PMF(ASA)．∴PM＝PN. 在△PNE和△PMF中， ∴△PNE≌△PMF(AAS)，∴PM＝PN. $第12章　全等三角形 12．3 等腰三角形 1 等腰三角形的性质 第2课时　等腰三角形的性质 1 返回 1. 如图，直线l∥m，等边三角形ABC的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若∠ABE＝21°，则∠ACD的度数是(　　) A．45° B．39° C．29° D．21° B 1 基础提优题 2 105° 返回 1 基础提优题 3 3．如图，已知等边三角形ABC的高为7 cm，P为△ABC内一点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，则PD＋PE＋PF＝________． 7 cm 返回 1 基础提优题 4 4. 如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点B′处，DB′，EB′分别交边AC于点F，G，若∠ADF＝80°，则∠EGC的度数为(　　) A．60° B．70° C．80° D．82° C 返回 2 综合应用题 5 5. 如图，点C为线段BE上一点，分别以BC，CE为边，在BE同侧作等边三角形ABC和等边三角形DCE，连结AE，BD相交于点P，则∠BPE的度数为(　　) A．100° B．110° C．120° D．130° C 返回 2 综合应用题 6 6. 如图，在等边三角形ABC中，AC＝9，点O在AC上，且OA＝3，点P是AB上一动点，连结OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD，若使点D恰好落在BC上，求线段AP的长． 【解】如图，点D恰好落在BC上．∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠C＝60°，∴∠COD＋∠ODC＝180°－∠C＝120°.∵将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD，∴OD＝OP，∠DOP＝60°，∴∠COD＋∠AOP＝180°－∠DOP＝120°，∴∠ODC＝∠AOP. 2 综合应用题 7 返回 2 综合应用题 7. 如图，在等边三角形ABC的边AC上任取一点D，以CD为边向外作等边三角形CDE，连结BD，AE.求证： (1)△BCD≌△ACE； 【证明】因为△ABC和△CDE都是等边三角形，所以BC＝AC，DC＝EC，∠BCD＝∠DCE＝60°.所以△BCD≌△ACE(SAS)． 2 综合应用题 9 7. 如图，在等边三角形ABC的边AC上任取一点D，以CD为边向外作等边三角形CDE，连结BD，AE.求证： (2)∠ABD＝∠AED. 因为△BCD≌△ACE，所以∠BDC＝∠AEC. 因为∠AEC＝∠DEC＋∠AED，∠BDC＝∠BAC＋∠ABD， 所以∠BAC＋∠ABD＝∠DEC＋∠AED. 因为△ABC和△CDE都是等边三角形， 所以∠BAC＝∠DEC＝60°，所以∠ABD＝∠AED. 返回 2 综合应用题 10 2．如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，点E在AD上，且DE＝BC，则∠AFE的度数为________． 【点拨】∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°.∵AD是BC边上的中线，∴∠BAD＝∠BAC＝30°，AD⊥BC，BD＝CD＝BC，∴∠CDE＝90°.∵DE＝BC，∴DE＝DC，∴∠DEC＝∠DCE＝45°，∴∠AEF＝∠DEC＝45°，∴∠AFE＝180°－∠BAD－∠AEF＝180°－30°－45°＝105°. 【点拨】连结PA，PB，PC，作AB边上的高CG，如图所示，则CG＝7 cm.因为S△ABP＋S△BCP＋S△ACP＝S△ABC，所以AB·PD＋BC ·PF＋AC·PE＝AB·CG.因为△ABC是等边三角形，所以AB＝BC＝AC，所以AB(PE＋PF＋PD)＝AB·CG，所以PD＋PE＋PF＝CG＝7 cm. 在△AOP和△CDO中， ∴△AOP≌△CDO(AAS)， ∴AP＝OC.∵AC＝9，OA＝3，∴AP＝OC＝AC－OA＝9－3＝6. $第12章　全等三角形 12．4 逆命题和逆定理 1 互逆命题和互逆定理 1 返回 1．命题“如果a＜0，b＜0，那么ab＞0”的逆命题 是(　　) A．如果a＜0，b＜0，那么ab＜0 B．如果ab＞0，那么a＜0，b＜0 C．如果a＞0，b＞0，那么ab＜0 D．如果ab＜0，那么a＞0，b＞0 B 1 基础提优题 2 返回 2．下列命题的逆命题是真命题的是(　　) A．如果a＞0，b＞0，则a＋b＞0 B．直角都相等 C．两直线平行，同位角相等 D．若a＝6，则|a|＝|6| C 1 基础提优题 3 3. 写出下列命题的逆命题，并判断原命题与逆命题的真假． (1)如果|a|＝|b|，那么a＝b； 【解】如果|a|＝|b|，那么a＝b的逆命题为如果a＝b，那么|a|＝|b|；原命题为假命题，逆命题为真命题． 1 基础提优题 4 3. 写出下列命题的逆命题，并判断原命题与逆命题的真假． (2)如果a＞0，那么a2＞0； 【解】如果a＞0，那么a2＞0的逆命题为如果a2＞0，那么a＞0；原命题为真命题，逆命题为假命题． 1 基础提优题 5 返回 3. 写出下列命题的逆命题，并判断原命题与逆命题的真假． (3)同旁内角互补，两直线平行． 【解】同旁内角互补，两直线平行的逆命题为两直线平行，同旁内角互补；原命题和逆命题都是真命题． 1 基础提优题 6 返回 4．下列定理中没有逆定理的是(　　) A．内错角相等，两直线平行 B．直角三角形中，两锐角互余 C．等腰三角形两底角相等 D．对顶角相等 D 1 基础提优题 7 返回 5．下列命题写出逆命题后，两者是互逆定理的是(　　) A．若两条直线垂直，则两条直线有交点 B．若a＋b＝0，则a与b相等 C．同位角相等，两直线平行 D．若直线a⊥c，b⊥c，则a∥b C 1 基础提优题 8 6. 下列说法中错误的有(　　) ①任何一个命题都有逆命题； ②若原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题； ③任何一个定理都有逆定理； ④若原命题是真命题，则它的逆命题也是真命题． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 B 2 综合应用题 9 返回 【点拨】任何一个命题都有逆命题，故①正确；若原命题是假命题，则它的逆命题可能是假命题，也可能是真命题，故②错误；只有一个定理的逆命题是真命题时，这个定理才有逆定理，故③错误；原命题是真命题，它的逆命题可能是真命题，也可能是假命题，故④错误，∴错误的有②③④，共3个．故选B. 2 综合应用题 7. 对于下列命题：①若a2＞b2，则|a|＞|b|；②若a＋b＝0，则|a|＝|b|；③等边三角形的三个内角都相等．其中原命题与逆命题均为真命题的是(　　) A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ B 2 综合应用题 11 返回 【点拨】①若a2＞b2，则|a|＞|b|，为真命题，它的逆命题为若|a|＞|b|，则a2＞b2，为真命题，符合题意；②若a＋b＝0，则|a|＝|b|，为真命题，它的逆命题为若|a|＝|b|，则a＋b＝0，为假命题，不符合题意；③等边三角形的三个内角都相等，为真命题，它的逆命题为三个内角都相等的三角形为等边三角形，为真命题，符合题意．故选B. 2 综合应用题 返回 8. 分别写出符合下列要求的一个原命题及其逆命题． (1)原命题及其逆命题都是真命题． 原命题：______________________________________； 逆命题：______________________________________． (2)原命题是真命题，其逆命题是假命题． 原命题：______________________________________； 逆命题：______________________________________． 同位角相等，两直线平行 两直线平行，同位角相等(答案不唯一) 对顶角相等 相等的角是对顶角(答案不唯一) 2 综合应用题 13 返回 9. 已知命题“等腰三角形两腰上的高相等”． (1)写出逆命题． 【解】逆命题：两边上的高相等的三角形是等腰三角形． 2 综合应用题 14 返回 (2)逆命题是真命题还是假命题？如果是真命题，请画出“图形”，写出“已知”“求证”，再进行“证明”；如果是假命题，请举反例说明． 【解】真命题． 已知：如图，一个三角形ABC的两边AB，AC上的高CE，BD相等． 求证：这个三角形ABC是等腰三角形． 证明：∵BD，CE是△ABC的高， ∴CE⊥AB，BD⊥AC.∴∠AEC＝∠ADB＝90°. 又∵∠A＝∠A，BD＝CE，∴△ADB≌△AEC， ∴AB＝AC，∴三角形ABC是等腰三角形． “腰”是在等腰三角形的前提下才命名的，所以写逆命题时不能说“两腰”． 2 综合应用题 15 $第12章　全等三角形 12．3 等腰三角形 1 等腰三角形的性质 第1课时　等腰三角形的性质 1 返回 1．在△ABC中，已知∠A＝70°，若△ABC是等腰三角形，则∠B的度数是(　　) A．70° B．55° C．55°或70° D．40°或55°或70° D 1 基础提优题 2 返回 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，DA⊥AC，则∠ADB＝(　　) A．100° B．115° C．130° D．145° B 1 基础提优题 3 3. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在AC，AB边上，且BC＝BD，AD＝DE＝EB，则∠A的度数为________． 45° 返回 1 基础提优题 4 4. 如图，在△ABC中，D为边BC上一点，AB＝AD＝CD. (1)试说明∠ABC＝2∠C； 【解】∵AB＝AD＝CD，∴∠ABC＝∠ADB，∠C＝∠DAC.∴∠ADB＝∠C＋∠DAC＝2∠C. ∴∠ABC＝2∠C. 1 基础提优题 5 (2)过点B作AD的平行线交CA的延长线于点E，若AE＝AB，求证：AD平分∠BAC. 【证明】∵AE＝AB，∴∠E＝∠ABE. ∵BE∥AD，∴∠CAD＝∠E，∠BAD＝∠ABE， ∴∠CAD＝∠BAD，∴AD平分∠BAC. 返回 1 基础提优题 6 5. “一亭幽绝费平章，峡口清风赠晚凉．前度桃花斗红紫，今来枫叶染丹黄．饶将春色输秋色，迎过朝阳送夕阳．此地四时可乘兴，待谁招鹤共翱翔．”其中“一亭”指的是具有一座悠久历史的古典园林建筑——“爱晚亭”．如图，“爱晚亭”的顶部可看作等腰三角形ABC，AB＝AC，D是边BC上的一点．下列条件不能说明AD是△ABC的角平分线的是(　　) A．∠ADB＝∠ADC B．AD⊥BD C．BC＝2AD D．△ABD与△ACD的周长相等 C 返回 1 基础提优题 7 6．如图，△ABC的周长为20，且AB＝AC，AD⊥BC于点D，△ACD的周长为16，那么AD的长为________． 6 返回 1 基础提优题 8 7．如图，在△ABC中，∠ACB＝118°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，点C的对应点E恰好落在BC边的延长线上，则∠CAE的度数是(　　) A．56° B．58° C．60° D．62° A 【点拨】∵将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，∴△ABC≌△ADE，∴AC＝AE.∵B，C，E三点在同一直线上，∠ACB＝118°，∴∠AEC＝∠ACE＝62°，∴∠CAE＝180°－∠AEC－∠ACE＝56°，故选A. 返回 2 综合应用题 9 C 2 综合应用题 10 返回 2 综合应用题 返回 9. 如图，△ABC是等腰三角形，点O是底边BC上任意一点，OE，OF分别与两边垂直，等腰三角形的腰长为6，面积为15，则OE＋OF的值为________． 5 2 综合应用题 12 10. 如图，△ABC中，AB＝AC＝13，S△ABC＝65，AD是∠BAC的平分线，E是AD边上的动点，F是AB边上的动点，则BE＋EF的最小值为________． 10 2 综合应用题 13 返回 1 基础提优题 11. 如图，在△ABC中，BA＝AC＝20 cm，BC＝16 cm，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以2 cm/s的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上由点C向点A运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，当点Q的运动速度为__________cm/s时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等． 2或2.5 2 综合应用题 15 2 综合应用题 16 ②当△BDP≌△CQP时，BP＝PC，∵BC＝16 cm，∴BP＝PC＝8 cm，∴t＝8÷2＝4， 故点Q的运动速度为10÷4＝2.5(cm/s)． 综上，当点Q的运动速度为2 cm/s或2.5 cm/s时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等． 返回 1 基础提优题 12. (1)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在BC上，且BD＝BA，点E在BC的延长线上且CE＝CA，试求∠DAE的度数； 2 综合应用题 18 (2)如果把第(1)题中“∠BAC＝90°”的条件改为“∠BAC＞90°”，其余条件不变，那么∠DAE与∠BAC有怎样的数量关系？请说明理由． 2 综合应用题 19 返回 2 综合应用题 13. 问题情境一： 定义：如果两个等腰三角形的顶角互补，顶角的顶点又是同一个点，而且这两个等腰三角形的腰也分别相等，则称这两个三角形互为“顶补等腰三角形”． 问题情境二：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． (1)如图①，若△ABC与△ADE互为“顶补等腰三角形”，∠BAC＞90°，AM⊥BC于M，AN⊥ED于N， 求证：NE＝AM； 3 创新拓展题 21 【证明】如图①，将图中角进行命名． ∵△ABC与△ADE互为“顶补等腰三角形”， ∴AB＝AC＝AD＝AE，∠BAC＋∠DAE＝180°. ∴∠B＝∠C. ∵AM⊥BC，AN⊥ED，∴∠3＝∠4＝90°，∠1＝∠2， ∴∠BAC＋2∠1＝180°. ∵∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，∴∠BAC＋2∠B＝180°， ∴∠B＝∠1. 3 创新拓展题 2 综合应用题 (2)如图②，在四边形ABCD中，AD＝AB，CD＝BC，∠B＝90°，在四边形ABCD的内部是否存在点P，使得△PAB与△PDC互为“顶补等腰三角形”？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由． 3 创新拓展题 24 返回 ∴PB＝PA＝PC＝PD. 又∵DC＝BC，PC＝PC， ∴△PDC≌△PBC(SSS)，∴∠DPC＝∠BPC. ∵∠APB＋∠BPC＝180°，∴∠APB＋∠DPC＝180°， ∴△PAB与△PDC互为“顶补等腰三角形”． 3 创新拓展题 【点拨】设∠A＝x°.∵AD＝DE，∴∠AED＝∠A＝x°.∵DE＝EB，∴∠EBD＝∠BDE＝x°.∴∠BDC＝∠A＋∠EBD＝x°.∵BC＝BD，∴∠C＝∠BDC＝x°.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝x°.∴x＋x＋x＝180，解得x＝45.∴∠A＝45°. 8.如图所示，已知AB＝A1B，A1B1＝A1A2，A2B2＝A2A3，A3B3＝A3A4，…，若∠A＝70°，则∠An－1AnBn－1的度数为(　　) A. B. C. D. 【点拨】根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠B1A2A1，∠B2A3A2及∠B3A4A3的度数，找出规律即可得出∠An－1AnBn－1的度数．∵在△ABA1中，∠A＝70°，AB＝A1B，∴∠BA1A＝70°.∵A1A2＝A1B1，∠BA1A是△A1A2B1的外角，∴∠B1A2A1＝＝35°＝；同理可得∠B2A3A2＝17.5°＝，∠B3A4A3＝×17.5°＝，∴∠An－1AnBn－1＝.故选C. 【点拨】连结AO，如图．∵AB＝AC＝6，S△ABC＝S△ABO＋S△AOC＝AB·OE＋AC·OF＝15，∴×6×(OE＋OF)＝15，∴OE＋OF＝5. 【点拨】过点C作CG⊥AB于点G，连结CE，如图．∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，BD＝DC，∴易得△BED≌△CED，∴BE＝CE，∴BE＋EF＝CE＋EF.根据连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，可得CE＋EF≥CG，∴BE＋EF的最小值为CG的长．∵△ABC的面积为65，∴S△ABC＝AB·CG＝×13×CG＝65，∴CG＝10，∴BE＋EF的最小值为10. 【点拨】∵AB＝20 cm，点D为AB的中点，∴BD＝×20＝10(cm)．设点P，Q的运动时间为t s，则BP＝2t cm，PC＝(16－2t) cm， ∵BA＝AC，∴∠B＝∠C.∴分两种情况： ①当△BDP≌△CPQ时，BD＝PC，即10＝16－2t，解得t＝3，则BP＝CQ＝6 cm， 故点Q的运动速度为6÷3＝2(cm/s)； ∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°. ∵AB＝BD，AC＝CE，∴∠BAD＝∠BDA＝×(180°－45°)＝67.5°，∠E＝∠CAE＝∠ACB＝22.5°， ∴∠DAC＝∠BAC－∠BAD＝90°－67.5°＝22.5°， ∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE＝45°. ∠DAE＝∠BAC.理由： 设∠BAC＝α，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B＝(180°－α)． ∵BA＝BD，∴∠BAD＝∠BDA＝(180°－∠B)， ∴∠CAD＝α－(180°－∠B)＝α－90°＋∠B. ∵CA＝CE，∴易得∠CAE＝∠ACB＝∠B， ∴∠DAE＝α－90°＋∠B＋∠B＝α－90°＋∠B＝α－90°＋(180°－α)＝α， ∴∠DAE＝∠BAC. 在△ABM和△EAN中， ∴△ABM≌△EAN(AAS)，∴NE＝AM. 【解】存在．证明：如图②，当P为AC的中点时，△PAB与△PDC互为“顶补等腰三角形”．∵AD＝AB，CD＝CB，AC＝AC，∴△ADC≌△ABC(SSS)，∴∠ADC＝∠ABC＝90°.∵P是AC的中点， ∴PB＝PA＝PC＝AC，PD＝PA＝PC＝AC. $第12章　全等三角形 12．2 三角形全等的判定 4 边边边 1 返回 1. 尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法．如图，为了得到∠MBN＝∠PAQ，在用直尺和圆规作图的过程中，得到△ACD≌△BEF的依据是(　　) A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS B 1 基础提优题 2 返回 2．如图，在△ABC和△FED中，AC＝FD，BC＝ED，要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下面的4个条件中：①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE，可利用的是(　　) A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或④ A 1 基础提优题 3 返回 3．如图，已知△ABC. (1)用尺规利用SSS作△BAD，使得△BAD≌△ABC，且 △BAD和△ABC在直线AB的同一侧(不写作图过程，保留作图痕迹)； 【解】如图． 1 基础提优题 4 返回 (2)连结CD，求证：△ADC≌△BCD. 1 基础提优题 5 返回 4．如图，这是一把雨伞的示意图，支撑杆DE＝DF，支撑点E，F到伞顶A的距离相等(即AE＝AF)，若伞在开合的过程中，∠BAD＝α，则∠BAC的度数为________． 2α 【点拨】已知AE＝AF，DE＝DF.又因为AD＝AD，所以△AED≌△AFD(SSS)．所以∠EAD＝∠FAD＝α.所以∠BAC＝∠EAD＋∠FAD＝α＋α＝2α. 1 基础提优题 6 返回 5. 在如图所示的4×3网格中，△ABC是格点三角形(即顶点恰好是网格线的交点)，则与△ABC有一条公共边且全等(不含△ABC)的所有格点三角形的个数是________． 5 【点拨】如图，观察图象可知满足条件的三角形有5个． 1 基础提优题 7 6．如图，M为比赛出发点，P，Q两点为标志物，且到M点的距离相等，选手小明从M点出发，计划沿∠PMQ的平分线骑摩托车行驶，若小明沿射线MN行驶，在N点处经红外线设备测得他到标志物P，Q两点的距离相等，判断小明的行驶路线是否偏离预定路线，并说明理由． 【解】小明的行驶路线没有偏离预定路线．理由如下： 如图，连结PN，QN， 由题意得PN＝QN，PM＝QM. 1 基础提优题 8 返回 2 综合应用题 7．如图，D为等腰三角形ABC内一点，AC＝BC＝BP，AD＝BD，∠DBP＝∠DBC，∠C＝62°，则∠BPD的度数为(　　) A．20° B．28° C．30° D．31° D 2 综合应用题 10 返回 2 综合应用题 8．如图，在△ABC中，E，D分别是边AB，AC上的点，且AE＝AD，BD，CE交于点F，AF的延长线交BC于点H.若∠EAF＝∠DAF，则图中的全等三角形共有(　　) A．4对 B．5对 C．6对 D．7对 D 2 综合应用题 12 2 综合应用题 返回 2 综合应用题 3 2 综合应用题 15 返回 2 综合应用题 ①②③④ 2 综合应用题 17 2 综合应用题 返回 2 综合应用题 19 11. 如图，已知AB＝CD，点E，F在线段BD上，且AF＝CE.请从①BF＝DE；②∠BAF＝∠DCE；③AF＝CF中，选择一个合适的选项作为已知条件，使得△ABF≌△CDE.你添加的条件是：____________(只填写一个序号)． 添加条件后，请证明AE∥CF. 2 综合应用题 20 2 综合应用题 2 综合应用题 返回 2 综合应用题 23 12. (1)如图①，四边形ABCD中，∠ABC与∠ADC互补，BC＝CD，点E，F分别在线段AB，AD上，且BE＋DF＝EF.若∠A＝n°，求∠ECF的度数； 【解】(1)如图①，延长AD至点G，使DG＝BE，连结CG. ∵∠ABC与∠ADC互补，∠A＝n°， ∴∠ABC＋∠ADC＝180°，∠BCD＝180°－n°. ∵∠ADC＋∠CDG＝180°，∴∠ABC＝∠CDG. 3 创新拓展题 24 2 综合应用题 2 综合应用题 (2)如图②，若点E，F分别在线段AB，AD的延长线上，其余条件均不变，求∠ECF的度数． 【解】如图②，延长EA至点H，使BH＝DF，连结CH， ∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∠ADC＋∠CDF＝180°， ∴∠ABC＝∠CDF. 3 创新拓展题 27 2 综合应用题 2 综合应用题 返回 2 综合应用题 【证明】如图，∵△BAD≌△ABC，∴AD＝BC，BD＝AC. 在△ADC和△BCD中， ∴△ADC≌△BCD(SSS)． 在△PMN和△QMN中， ∴△PMN≌△QMN， ∴∠PMN＝∠QMN.∴MN是∠PMQ的平分线． ∴小明的行驶路线没有偏离预定路线． 【点拨】连结CD，如图．在△BCD和△ACD中，∴△BCD≌△ACD(SSS)，∴∠BCD＝∠ACD＝∠ACB＝31°.在△BCD和△BPD中，∴△BCD≌△BPD，∴∠BCD＝∠BPD＝31°，故选D. 【点拨】在△AEF和△ADF中， ∴△AEF≌△ADF(SAS)，∴EF＝DF，∠AEF＝∠ADF， ∴∠FDC＝∠FEB.在△EBF和△DCF中， ∴△EBF≌△DCF(ASA)，∴BE＝CD，BF＝CF，∠EBF＝∠DCF，∴易得AB＝AC，∠HFC＝∠HFB.在△HFC和△HFB中，∴△HFC≌△HFB(SAS)． 在△ABF和△ACF中，∴△ABF≌△ACF(SSS)，同理可得△ABH≌△ACH，△BEC≌△CDB，△ABD≌△ACE.故选D. 9.如图，CA＝CB，AD＝BD，M，N分别是CA，CB的中点，若△ADM的面积为，则图中阴影部分的面积为________． 【点拨】如图，连结CD，在△ACD和△BCD中， ∴△ACD≌△BCD(SSS)， ∴S△ACD＝S△BCD.∵M，N分别是CA，CB的中点，∴S△ADM＝S△CDM＝S△ACD，S△BDN＝S△CDN＝S△BCD，∴阴影部分的面积＝2S△ADM.∵△ADM的面积为，∴阴影部分的面积＝2×＝3. 10.两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD＝CD，AB＝CB，AC，BD交于点O，得到如下结论：①AC⊥BD；②AO＝CO＝AC；③△ABD≌△CBD；④S四边形ABCD＝AC·BD，其中正确的结论有____________(填序号)． 【点拨】在△ABD和△CBD中，∴△ABD≌△CBD(SSS)，故③正确．∴∠ADB＝∠CDB.在△AOD和△COD中，∴△AOD≌△COD(SAS)，∴AO＝CO，∠AOD＝∠COD.∵AO＋CO＝AC，∠AOD＋∠COD＝180°，∴AO＝CO＝AC，∠AOD＝∠COD＝90°，∴AC⊥BD，故①②正确． S四边形ABCD＝S△ABD＋S△CBD＝BD·OA＋BD·OC＝BD·(OA＋OC)＝AC·BD，故④正确．综上所述，正确的有①②③④. 【解法1】①　【证明】当选取①时， 在△ABF与△CDE中， ∴△ABF≌△CDE(SSS)，∴∠B＝∠D. ∵BF＝DE，∴BF＋EF＝DE＋EF，即BE＝DF. 在△ABE与△CDF中，， ∴△ABE≌△CDF(SAS)，∴∠AEB＝∠CFD， ∴AE∥CF. 【解法2】②　【证明】当选取②时， 在△ABF与△CDE中， ∴△ABF≌△CDE(SAS)，∴∠B＝∠D，BF＝DE， ∴BF＋EF＝DE＋EF，即BE＝DF. 在△ABE与△CDF中， ∴△ABE≌△CDF(SAS)，∴∠AEB＝∠CFD， ∴AE∥CF. 在△BCE和△DCG中， ∴△BCE≌△DCG(SAS)，∴CE＝CG，∠BCE＝∠DCG. ∵BE＋DF＝EF，∴DG＋DF＝FG＝EF. 在△CEF和△CGF中， ∴△CEF≌△CGF(SSS)，∴∠ECF＝∠GCF. ∵∠GCF＝∠DCG＋∠DCF＝∠BCE＋∠DCF， ∴∠ECF＝∠BCE＋∠DCF＝∠BCD＝(180°－n°)＝90°－n°. 在△BCH和△DCF中， ∴△BCH≌△DCF(SAS)，∴CH＝CF，∠H＝∠CFD. ∵BE＋DF＝EF，∴BE＋BH＝EH＝EF. 在△CEH和△CEF中， ∴△CEH≌△CEF(SSS)， ∴∠CEH＝∠CEF＝∠AEF，∠H＝∠CFE， ∴∠CFD＝∠CFE＝∠EFA. ∵∠A＝n°，∴∠AEF＋∠EFA＝180°－∠A＝180°－n°， ∴∠CEF＋∠CFE＝∠AEF＋∠EFA＝(∠AEF＋∠EFA)＝(180°－n°)＝90°－n°， ∴∠ECF＝180°－(∠CEF＋∠CFE)＝180°－＝90°＋n°. $第12章　全等三角形 12．2 三角形全等的判定 1 全等三角形的判定条件 1 返回 1．下列说法正确的是(　　) A．三个角对应相等的两个三角形全等 B．判定两个三角形全等的条件中至少有一个条件是边相等 C．面积相等的两个三角形全等 D．周长相等的两个三角形全等 B 1 基础提优题 2 返回 2．根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是(　　) A．∠C＝90°，AB＝6 B．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4 C．AB＝4，BC＝3，∠A＝30° D．AB＝3，BC＝4，CA＝8 B 1 基础提优题 3 返回 3．如图，将△ABC折叠，使点A与BC边的中点D重合，折痕为MN.若AB＝9，BC＝6，则△DNB的周长为(　　) A．12 B．13 C．14 D．15 A 1 基础提优题 4 返回 4．如图，把△ABC以点A为旋转中心逆时针旋转得到△ADE，点B，C的对应点分别是点D，E，且点E在BC的延长线上，连结BD，则下列结论一定正确的是(　　) A．∠CAE＝∠BED B．AB＝AE C．∠ACE＝∠ADE D．CE＝BD A 1 基础提优题 5 返回 5. 如图，将Rt△ABC沿着BC方向平移到Rt△DEF的位置，AB＝4，DO＝1，平移距离为2，则阴影部分面积为________． 7 1 基础提优题 6 6．图中的小正方形边长都相等，若△MNP≌△MEQ，则点Q是图中的(　　) A．点A B．点B C．点C D．点D 返回 D 1 基础提优题 7 2 综合应用题 8 返回 2 综合应用题 8. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9 cm，AC＝12 cm，AB＝15 cm，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3 cm/s.在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4 cm，DF＝5 cm，∠D＝∠A.在△ABC的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF， 求点Q的运动速度． 2 综合应用题 10 2 综合应用题 返回 2 综合应用题 12 【点拨】由题意得△ABC≌△DEF，BE＝2，∴DE＝AB＝4，∴OE＝DE－DO＝4－1＝3，∴S阴影＝S梯形ABEO＝(AB＋OE)·BE＝×(4＋3)×2＝7. 7.如图①，数轴上从左至右依次有B，O，M，A，N五个点，其中点B，O，A表示的数分别为－，0，4.如图②，将数轴在点O的左侧部分绕点O顺时针方向旋转90°，将数轴在点A的右侧部分绕点A逆时针方向旋转90°，连结BM，MN.若△OBM和△AMN全等，则点N表示的数为________________． 8－或4＋ 【点拨】依题意，知OB＝，OA＝4.∵△OBM和△AMN全等，∠O＝∠A＝90°，∴分两种情况讨论：①若△OBM≌△AMN，则AM＝OB＝，AN＝OM＝OA－AM＝4－，∴点N表示的数是4＋4－＝8－；②若△OBM≌△ANM，则AN＝OB＝.∴点N表示的数是4＋.综上所述，点N表示的数为8－或4＋. 【解】设点Q的运动速度为x cm/s，分两种情况讨论： ①如图①，当点P在AC上，点Q在AB上，△APQ≌△DEF时，AP＝DE＝4 cm，AQ＝DF＝5 cm， ∴4÷3＝5÷x，解得x＝. ②如图②，当点P在AB上，点Q在AC上，△APQ≌△DEF时，AP＝DE＝4 cm，AQ＝DF＝5 cm， ∴点P的运动路程为9＋12＋15－4＝32(cm)，点Q的运动路程为9＋12＋15－5＝31(cm)， ∴32÷3＝31÷x，解得x＝. 综上，点Q的运动速度为 cm/s或 cm/s. $