2.7 函数的零点与方程的根 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“函数的零点与方程的根”核心考点，依据高考评价体系梳理了零点存在性判断、零点个数分析、参数取值范围三大考查维度，通过近五年高考真题统计明确零点区间问题占25%、参数综合题占40%的高频考点分布，归纳出选择填空及解答题常考题型，构建完整备考体系。 课件亮点在于“真题溯源+方法提炼+素养落地”，如2024新课标Ⅱ卷第6题通过构造偶函数转化交点问题，培养数学思维的推理能力与数学眼光的几何直观，提炼“零点三步分析法”帮助学生掌握解题技巧，教师可据此精准把握考点权重，助力学生高效冲刺高考。

2.7　函数的零点与方程的根 返回目录 五年高考 考点　函数的零点 1.★★(2025天津,7,5分)函数f(x)=0.3x- 的零点所在的一个区间是 ( ) A.(0,0.3)　　    B.(0.3,0.5)　　    C.(0.5,1)　　    D.(1,2)     B     解析    f(0)=1>0, f(0.3)=0.30.3- =0.30.3-0.30.5>0, f(0.5)=0.30.5- =0.30.5-0.50.5<0, f(1)=0.31- <0, f(2)=0.32- <0, 所以f(x)的零点在区间(0.3,0.5)内,故选B. 返回目录 2.★★★(2024新课标Ⅱ,6,5分)设函数f(x)=a(x+1)2-1,g(x)=cos x+2ax.当x∈(-1,1)时,曲线y =f(x)与y=g(x)恰有一个交点.则a= ( ) A.-1　　    B. 　　    C.1　　    D.2     D     解析　令h(x)=f(x)-g(x)=ax2-cos x+a-1.将曲线y=f(x)与y=g(x)在(-1,1)上恰有一个交点转 化为当x∈(-1,1)时,函数h(x)只有一个零点,由y=ax2+a-1和y=-cos x在(-1,1)上为偶函数知 h(x)为偶函数,故h(0)=0,则a=2.故选D. 返回目录 3.★★★★(2024新课标Ⅱ,8,5分)设函数f(x)=(x+a)·ln(x+b).若f(x)≥0,则a2+b2的最小值为  ( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.1     C     解析    f(x)≥0⇔x+a≥0与ln(x+b)≥0的解集相同,① 或x+a≤0与ln(x+b)≤0的解集相同.② 由①得,x≥-a与x≥1-b的解集相同, 因此,-a=1-b,即b=1+a, 由②得,-b<x≤-a与-b<x≤1-b的解集相同,【f(x)的定义域为(-b,+∞)】 因此,-a=1-b,即b=1+a, 返回目录 综上所述,b=1+a. ∴a2+b2=a2+(1+a)2=2 + ≥ ,故选C. 思路点拨　两个各自仅有一个变号零点的函数,若乘积恒大于或等于0,则两个函数的 零点一定相等. 返回目录 4.★★★(2021北京,15,5分)已知函数f(x)=|lg x|-kx-2,给出下列四个结论: ①当k=0时, f(x)恰有2个零点; ②存在负数k,使得f(x)恰有1个零点; ③存在负数k,使得f(x)恰有3个零点; ④存在正数k,使得f(x)恰有3个零点. 其中所有正确结论的序号是________. 　①②④     返回目录 解析    令f(x)=|lg x|-kx-2=0,得|lg x|=kx+2,令g(x)=|lg x|,h(x)=kx+2,所以f(x)的零点个数即 函数g(x)与h(x)图象的交点个数. 当k=0时,如图a,g(x)与h(x)的图象有2个交点,则f(x)有2个零点,故①正确; 当k>0时,如图b,存在h(x)=k0x+2的图象与函数g(x)=|lg x|(x>1)的图象相切的情况,此时 h(x)与g(x)的图象有2个交点,当0<k<k0时,g(x)与h(x)的图象有3个交点,则f(x)有3个零点,故 ④正确; 当k<0时,如图c,g(x)与h(x)的图象最多有2个交点,g(x)与h(x)的图象相切时有1个交点,如 图d,故②正确,③不正确. 返回目录 综上,正确结论的序号为①②④.            返回目录 5.★★★★★(2022天津,15,5分)设a∈R,对任意实数x,用f(x)表示|x|-2,x2-ax+3a-5中的较 小者.若函数f(x)至少有3个零点,则a的取值范围为_______________.     [10,+∞)     解析　设g(x)=|x|-2,h(x)=x2-ax+3a-5, 第一步,分析h(x)的零点情况. ∵g(x)有2个零点, f(x)至少有3个零点,∴h(x)必有零点. 第二步,讨论h(x)的零点个数. 对于h(x)=x2-ax+3a-5. (1)当Δ=0时,a=2或10. ①当a=2时,h(x)=x2-2x+1,如图1. 此时, f(x)=|x|-2,有2个零点,不符合题意. 返回目录 ②当a=10时,h(x)=x2-10x+25,如图2. 此时, f(x)有3个零点,符合题意.   (2)当Δ>0时,a<2或a>10.设h(x)的两个零点为x1,x2,且x1<x2. 返回目录 ①当a<2时,要使f(x)至少有3个零点,h(x)的两个零点x1,x2需满足x1<x2≤-2,如图3, ∴ 不等式组无解. ②当a>10时,要使f(x)至少有3个零点,需h(x)的两个零点x1,x2满足2≤x1<x2,如图4, ∴ 解得a>4,∴a>10.   返回目录   综上,a的取值范围为[10,+∞). 返回目录 三年模拟 1.★★(2026届湖南师大附中月考,7)函数f(x)= -log0.25x的零点所在区间为 ( ) A.(0,0.25)　　    B.(0.25,0.5) C.(0.5,1)　　     D.(1,2)     B     解析　易知y= 在(0,+∞)单调递增,y=log0.25x在(0,+∞)单调递减,∴f(x)在(0,+∞)单调递 增,又∵f(0.25)= -log0.250.25<0, f(0.5)= -log0.250.5= - >0,∴零点所在区间为 (0.25,0.5).故选B. 返回目录 2.★★(2026届河北唐山摸底,7)正数a,b,c分别为函数f(x)=2x-3,g(x)=x2-3,h(x)=log2(x-1)+1 的零点,则 ( ) A.a<b<c　　    B.c<b<a　　    C.a<c<b　　    D.c<a<b     D     解析　在同一平面直角坐标系中作出函数f(x)=2x-3,g(x)=x2-3,h(x)=log2(x-1)+1的图象,如 图,由图可知c<a<b.   返回目录 3.★★(2025届重庆巴蜀中学期末,3)已知x0是函数f(x)=ex+x-2的零点,则 ( ) A.x0>1　　     B.ln(2-x0)=x0 C.x0- >0　　    D. -e<0     B     解析　对于A, f(x)=ex+x-2为增函数,且f(0)=-1<0, f(1)=e-1>0,所以x0∈(0,1),A错误.对于B, 由x0是函数f(x)=ex+x-2的零点,得 +x0-2=0,则 =2-x0,两边同时取对数可得ln(2-x0)=x0,B 正确.对于C,由 +x0-2=0,得x0=2- ,故x0- =2- - =2-( + ),又x0∈(0,1),则 ∈(1, e),根据对勾函数的性质知 + >2,则x0- <0,C错误.对于D,由x0∈(0,1),得2-x0∈(1,2), 则 >e,D错误,故选B. 返回目录 4.★★★(2026届广东深圳中学段考,5)已知函数f(x)= 则方程f(f(x))= 的解 的个数为 ( ) A.3　　    B.4　　    C.5　　    D.6     B     返回目录 解析　函数f(x)的图象如图所示,   设f(x)=t,则方程f(f(x))= ,即f(t)= ,由图象可知,直线y= 与y=f(x)的图象有三个交点, 设横坐标分别为t1,t2,t3(t1<t2<t3),其中t1<0,0<t2<1,t3>1, 方程f(f(x))= 解的个数转化为方程f(x)=t1, f(x)=t2, f(x)=t3解的个数之和, 由图象可知,直线y=t1与y=f(x)的图象有一个交点,直线y=t2与y=f(x)的图象有三个交点,直 线y=t3与y=f(x)的图象没有交点, 所以方程f(f(x))= 的解的个数为1+3=4.故选B. 返回目录 5.★★★(创新知识交汇)(2026届辽宁重点高中沈阳市郊联体考试,8)已知函数f(x)= m2cos x-m·2x+1的图象和函数g(x)= -3的图象有唯一交点,则实数m的值为 ( ) A.1　　    B.3　　    C.1或3　　    D.-1或3     C     解析　因为函数f(x)=m2cos x-m·2x+1的图象和函数g(x)= -3的图象有唯一交点,所以方 程m2cos x-m·2x+1= -3有唯一解, 即m2cos x-2m(2x+2-x)+3=0有唯一解. 令h(x)=m2cos x-2m(2x+2-x)+3, 则h(x)在R上有唯一零点, 因为h(-x)=m2cos(-x)-2m(2-x+2x)+3=m2cos x-2m(2x+2-x)+3=h(x), 返回目录 所以h(x)为偶函数. 因为h(x)在R上有唯一零点,所以h(x)唯一的零点为x=0,所以h(0)=0, 即m2cos 0-2m(20+20)+3=0, 得m2-4m+3=0,解得m=1或m=3. 故选C. 方法点睛　方程变形后构造偶函数,利用偶函数有唯一零点的特殊性(x=0是唯一零点) 解决问题. 返回目录 6.★★★★(2026届山东名校联盟期中,8)已知函数f(x)= 若函数g(x)= f 2(x)-af(x)+6有8个不同的零点,则实数a的取值范围是( ) A.(2 ,5]　　    B.(2 ,5)　　    C.(4,5]　　    D.(4,5)     B     解析　作出f(x)的大致图象如图.   设f(x)=t,则g(x)=t2-at+6有8个不同的零点,需t2-at+6=0有两个不同的解t1,t2,不妨设t1<t2, 同时f(x)=t1, f(x)=t2分别有4个解, 返回目录 若t1,t2∈(2,3),则  解得2 <a<5. 若t1=2,则t2∈(2,3),此时a=5,t2=3,不符合题意,舍去. 综上,2 <a<5.故选B. 返回目录 7.★★★(多选)(创新风向·多想少算)(2025届山东A7联盟开学考,10)已知不等式(ax+ 3)(x2-b)≤0对任意x∈(0,+∞)恒成立,其中a,b是整数,则a+b的取值可以为 ( ) A.-4　　    B.-2　　    C.0　　    D.8     BD     返回目录 解析　当b≤0时,由(ax+3)(x2-b)≤0得ax+3≤0在x∈(0,+∞)上恒成立,则a不存在; 当b>0时,设f(x)=ax+3,g(x)=x2-b,g(x)的大致图象如图.   由题意可知 【x>0时, f(x)·g(x)≤0,因此f(x)与g(x)的零点重合】 由a,b是整数得 或  因此a+b=8或-2.故选BD. 返回目录 8.★★★★(多选)(2025届陕西多校期末,11)对任意两个实数a,b,定义max{a,b}=  若f(x)=1-x2,g(x)=log2|x|,函数F(x)=max{f(x),g(x)}-k,则下列说法正确的有 ( ) A.函数F(x)是偶函数 B.函数F(x)可能有5个零点 C.若函数F(x)只有3个零点x1,x2,x3,且x1<x2<x3,则x1x3=-4 D.若k=0,则函数F(F(x))有3个零点     ACD     返回目录 解析　作出f(x)=1-x2,g(x)=log2|x|的图象,如图,   则h(x)=max{f(x),g(x)}= 其图象如图. 对于A,F(x)=h(x)-k,则由图象可知,F(x)为偶函数,故A正确; 返回目录 对于B,令F(x)=0,即k=h(x),由图象可知, 当k<0时,F(x)无零点, 当k=0和k>1时,F(x)有2个零点, 当0<k<1时,F(x)有4个零点, 当k=1时,F(x)有3个零点,故B错误; 对于C,由B选项可知,k=1,此时x1<-1,x2=0,x3>1,且log2(-x1)=log2x3=1, 解得x1=-2,x3=2,则x1x3=-4,故C正确; 对于D,当k=0时,F(x)=max{f(x),g(x)},令F(F(x))=0, 可得F(x)=-1或F(x)=1, 返回目录 当F(x)=-1时,函数F(F(x))无零点, 当F(x)=1时,函数F(F(x))有3个零点. 综上,函数F(F(x))有3个零点,故D正确. 故选ACD. 返回目录 9.★★(2026届北京大学附中开学考,19)已知函数f(x)=|2x-2|-m有且只有一个零点,则实 数m的取值范围是___________________.     {m|m=0或m≥2}     解析　当x<1时,2x-2∈(-2,0),当x>1时,2x-2∈(0,+∞). 作出y=|2x-2|的图象如图所示,   f(x)=|2x-2|-m只有一个零点等价于y=|2x-2|的图象与直线y=m只有一个交点,由图可知m=0 或m≥2. 返回目录 10.★★★(2025届上海同济大学附中月考,12)对于定义在集合D上的函数f(x),若存在实 数x0满足f(x0)=x0,则把x0叫做f(x)的一个不动点.已知f(x)=x2+2mx+4,D=[1,2]没有不动点,则 实数m的取值范围是_________________.     (-∞,-2)∪      返回目录 解析　依题意知f(x)=x在x∈[1,2]上无实数根,即x2+(2m-1)x+4=0在x∈[1,2]上无实数根, 即2m=-x- +1在x∈[1,2]上无实数根, 令g(x)=-x- +1,x∈[1,2], 则g(x)在x∈[1,2]上单调递增, 又g(1)=-4,g(2)=-3, 所以g(x)∈[-4,-3], 所以2m>-3或2m<-4,解得m>- 或m<-2, 即实数m的取值范围是(-∞,-2)∪ . 返回目录 $