2.5 指数函数与对数函数 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦指数与对数运算、指数函数、对数函数三大核心考点，依据高考评价体系梳理考查要求，通过五年高考真题分析明确指数对数运算占比45%的高频考点，归纳出计算题、比较大小等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题精讲+方法归纳+素养提升”策略，如2021天津卷“2^a=5^b=10求1/a+1/b”题，解析换底公式应用培养数学思维和符号意识，特设易错点分析（如对数底数混淆），帮助学生掌握得分技巧，教师可据此高效指导复习。

2.5　指数函数与对数函数 返回目录 五年高考 考点1　指数与对数运算 1.★★(2021天津,7,5分)若2a=5b=10,则 + =( ) A.-1　　    B.lg 7　　    C.1　　    D.log710     C     解析　解法一　∵2a=5b=10,∴a=log210,b=log510, ∴ + = + =lg 2+lg 5=1. 解法二　由题意可得2ab=10b①,5ab=10a②,①×②可得10ab=10a+b,故ab=a+b⇒ = ⇒  + =1. 返回目录 2.★★(2022浙江,7,4分)已知2a=5,log83=b,则4a-3b=     ( ) A.25　　    B.5　　    C. 　　    D.      C     解析　由题意知b=log83=lo 3= log23,又2a=5,所以4a-3b=22(a-3b)=22a-6b=(2a)2·2-6b=25× = 25× =25×3-2= ,故选C. 返回目录 3.★★★(2024全国甲理,15,5分)已知a>1且 - =- ,则a=__________.     64     解析　∵ - =- ,∴loga8- =- ,即3loga2- =- ,设t=loga2,∵a>1,∴t>0, 则3t- =- ,整理得6t2+5t-1=0,即(t+1)·(6t-1)=0, ∵t>0,∴t= ,即loga2= ,∴ =2,∴a=26=64. 返回目录 三年模拟 1.★(2026届江苏如皋中学阶段测试,1)设函数f(x)= 则f(-2)+f(log210)=  ( ) A.4　　    B.5　　    C.6　　    D.7     D     解析    log210>log22=1, 所以f(-2)+f(log210)=log24+ =2+ =2+5=7.故选D. 返回目录 2.★(2026届江苏南京金陵中学月考,3)已知alog169=1,则3-a= ( ) A. 　　    B.16　　    C.4　　    D.      D     解析　因为alog169=1,所以a= =log916=lo 42=log34,所以3-a=  = =4-1= .故选D. 返回目录 3.★★(2026届四川绵阳第一次诊断,5)已知x+log23=0,则2x+2-x= ( ) A. 　　    B. 　　    C.2 　　    D.3     B     解析　由x+log23=0得x=-log23,则2x+2-x= + = +3= .故选B. 返回目录 4.★★(2025届江苏如东开学考,5)已知a=log2( + ),则4-a= ( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      D     解析　因为a=log2( + ),所以2a= + ,所以4a=(2a)2=( +  )2=10,因此4-a= = ,故选D. 返回目录 5.★★(2026届浙江金华十校模拟,4)已知 + = ,则a= ( ) A.3　　    B.9　　    C.27　　    D.81     C     解析     + =loga9+loga27=loga35= ,所以 =35,则a5=(35)3=275,解得a=27.故选C. 返回目录 6.★★★(2025届江苏海安高级中学月考,7)已知a>0,b>0,log9a=log12b=log16(a+b),则 =  ( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      D     解析　设log9a=log12b=log16(a+b)=k, 则有a=9k=32k,b=12k=3k×4k,a+b=16k=42k,可得32k+3k×4k=42k,即 + -1=0,解得 =  (舍负),所以 = = = . 故选D. 返回目录 7.★★★(2026届湖南长沙长郡中学开学检测,6)若a=log2 ,b=log4 ,c=log63,则  ( ) A.a=b=c　　    B.a<b<c　　    C.b<c<a　　    D.c<b<a     D 返回目录 解析　由题意得2a=log23, 2b=log46=log2 = = , 2c=log69= = , ∵3> ,∴a>b,  =  =  < =1, 又c,b都大于0,∴c<b.∴c<b<a,故选D. 返回目录 8.★★★(多选)(2025届江苏苏北七市三模,9)已知a=log210,b=log3 ,则 ( ) A.ab<0　　     B.4a·9b=1 C. - >1　　    D.log56=      ABD     解析　因为a=log210>log21=0,b=log3 <log31=0,所以ab<0,因此A正确; 因为4a·9b= · =( · )2= =1,因此B正确; 因为 - =lg 2-(-lg 3)=lg 6<lg 10=1,因此C错误; 因为 = = = =log56,因此D正确.故选ABD. 返回目录 9.★(2026届湖南新高考教学教研联盟联考,12)已知2x=12y=3,则 - =_________.     1     解析　由2x=12y=3知,x=log23, =log32,同理, =log312.所以 - =log312-2log32=log312-log34 =log3 =log33=1. 返回目录 10.★(2026届重庆巴蜀中学适应性考试,12)已知log45=a,log252=b,则ab=_________. 解析　∵a= log25,b= log52,∴ab= . 返回目录 11.★★(2026届河北保定部分高中质检,12)已知( )x=3,log43=y,则2x+2y=__________.     27     解析　易知4y=22y=3,( )x= =3, 所以2x=9,所以2x+2y=2x·22y=27. 返回目录 12.★★(2026届甘肃金昌月考,15) (1)已知x+x-1=5,求x2+x-2的值; (2)计算: +2lg -lg 25+ ; (3)已知2a=9,3b=16,求ab的值. 返回目录 解析    (1)由x+x-1=5,得(x+x-1)2=x2+x-2+2=25,即x2+x-2=23. (2) +2lg -lg 25+ = -2lg 2-2lg 5+2 =- -2(lg 2+lg 5)+2=- -2+2=- . (3)因为2a=9,3b=16,所以a=log29,b=log316, 所以ab=log29×log316= ×  = × =8. 返回目录 五年高考 考点2　指数函数 1.★★(2025北京,4,4分)为了得到函数y=9x的图象,只需把函数y=3x的图象上所有点的  ( ) A.横坐标变为原来的 (纵坐标不变) B.横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变) C.纵坐标变为原来的 (横坐标不变) D.纵坐标变为原来的3倍(横坐标不变)     A     解析    y=9x=32x,故应将y=3x图象上所有点的横坐标变为原来的 ,纵坐标不变,故选A. 返回目录 2.★★★(2025上海,14,4分)设a>0,s∈R.下列各项中,能推出as>a的一项是 ( ) A.a>1,且s>0　　     B.a>1,且s<0 C.0<a<1,且s>0　　    D.0<a<1,且s<0     D     解析　∵a>0,as>a,∴as-1>1=a0, 当a∈(0,1)时,y=ax在定义域上严格单调递减,此时若s-1<0,则一定有as-1>1=a0成立,故D正 确,C错误; 当a∈(1,+∞)时,y=ax在定义域上严格单调递增,要满足as-1>1=a0,需s>1,即A,B错误.故 选D. 返回目录 3.★★★(2023全国甲文,11,5分)已知函数f(x)= .记a=f  ,b=f  ,c=f  ,则 ( ) A.b>c>a　　    B.b>a>c　　    C.c>b>a　　    D.c>a>b     A     解析　∵f(x)= 是由y=eu和u=-(x-1)2两个函数复合而成的,∴f(x)在(-∞,1)上单调递 增,在(1,+∞)上单调递减,又知f(2-x)= = = =f(x), ∴f(x)的图象关于直线x=1对称, ∴f  =f  , 又∵ <2- < <1,∴f  <f  <f  ,即a<c<b,故选A. 返回目录 三年模拟 1.★★(2026届江苏南京学情调研,5)要得到函数y=3·2x的图象,只需将函数y=2x的图象  ( ) A.向左平移log23个单位长度 B.向右平移log23个单位长度 C.向上平移log23个单位长度 D.向下平移log23个单位长度     A     解析    y=3·2x= ·2x= ,所以只需将y=2x的图象向左平移log23个单位长度.故选A. 返回目录 2.★★(2026届湖北高中名校联盟联合测评,4)若函数f(x)= 在区间(0,2)单调递增, 则a的取值范围是 ( ) A.(-∞,4]　　     B.[4,+∞) C.[-4,+∞)　　    D.(-∞,-4]     D     解析　由复合函数的单调性,得- ≥2,解得a≤-4.故选D. 返回目录 3.★★★(2025届陕西咸阳旬邑中学段考,7)设函数f(x)=a-x-2(a>0且a≠1)的图象经过第 二、三、四象限,若不等式f(mx-1)>f(x2)恒成立,则实数m的取值范围为 ( ) A.⌀　　     B.(-2,2) C.(-∞,-2]∪[2,+∞)　　    D.(-∞,2)∪(2,+∞)     B     解析　∵f(x)=a-x-2= -2的图象经过第二、三、四象限, ∴0< <1,解得a>1,∴f(x)在R上单调递减,则由f(mx-1)>f(x2)得mx-1<x2,即x2-mx+1>0恒成 立,∴Δ=m2-4<0,解得-2<m<2,∴实数m的取值范围为(-2,2).故选B. 返回目录 4.★★★(2025届河北保定部分学校联考,5)已知指数函数f(x)=ax为增函数,且图象过点  ,(b,mb-1),则2a+4b满足 ( ) A.当b>0时,有最大值25  B.当b<0时,有最大值5 C.当b>0时,有最小值32 D.当b<0时,有最小值2     C     返回目录 解析　因为f(x)=ax为增函数,所以a>1,又 =m,ab=mb-1, 所以m>1,ab=( )b-1,所以b= (b-1),即(a-2)b=a,当a=2时等式不成立,故a≠2,则b=1+ ,b ∈(-∞,-1)∪(1,+∞),所以a= , 则2a+4b= +4b=4( +4b-1), 当b<0时,b<-1,b-1<-2,故2a+4b=4( +4b-1)>8× , 由对勾函数的性质知y= +b-1在(-∞,-1)上单调递增,故2a+4b> . 又由于y=4b-1单调递增,y= 单调递减,且0<4b-1< , < <1,则2a+4b=4( +4b-1)<4× 返回目录  = ,B,D错误. 当b>0时,b>1,b-1>0,故2a+4b=4( +4b-1)≥8× ≥8×22=32,当且仅当b=2时等号成立, A错误,C正确.故选C. 返回目录 5.★★★(2026届湖北孝感月考,7)已知函数f(x)= -ax3,a>1,则关于x的不等式f(x2)+ f(5x-6)>1的解集是 ( ) A.(-6,1)　　    B.(2,3)　　    C.(-∞,1)　　    D.(2,+∞)     A     解析　设g(x)=f(x)- = - -ax3= -ax3,x∈R, 则g(-x)= -a(-x)3=-g(x),因此函数g(x)是奇函数, 又a>1,因此g(x)= - -ax3在R上是减函数, 因此f(x2)+f(5x-6)>1⇔g(x2)+g(5x-6)>0⇔g(x2)>g(6-5x),可得x2<6-5x,则(x+6)(x-1)<0,解得-6 <x<1.故选A. 返回目录 6.★★★★(多选)(2026届湖南石门一中入学考,11)已知函数f(x)=ln +ex-e2-x,则  ( ) A.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称 B.y=f(x)的图象关于直线x=1对称 C.f(x)在(0,1)上单调递增 D.函数y=|f(x)|-ex有两个零点 ACD     返回目录 解析　函数f(x)的定义域为(0,2),又f(x)=ln +ex-e2-x=ln +ex-e2-x, 令y=ln ,x∈(0,2),因为t=-1+ 在(0,2)上单调递增,y=ln t在(0,2)上单调递增, 所以y=ln 在(0,2)上单调递增,又y=ex,y=-e2-x在(0,2)上单调递增,所以f(x)在(0,2) 上单调递增,因此C正确; 因为f(1-x)=ln +e1-x-e1+x=- =-f(1+x), 所以函数f(x)的图象关于点(1,0)对称,因此A正确,B错误; 因为f(1)=0,所以x∈(0,1)时,y=|f(x)|=-f(x),x∈(1,2)时,y=|f(x)|=f(x),所以y=|f(x)|在(0,1)上单 返回目录 调递减,在(1,2)上单调递增,又函数y=ex在R上为增函数, 则函数y=|f(x)|与函数y=ex的图象如图所示,   所以函数y=|f(x)|与函数y=ex的图象在区间(0,2)上有两个交点,即函数y=|f(x)|-ex有两个零 点,因此D正确.故选ACD. 返回目录 7.★★(2026届黑龙江齐齐哈尔质量检测,13)已知函数y=ax-4+7(a>0,且a≠1)的图象恒过 定点P,且点P在幂函数y=f(x)的图象上,则f(x)=_________. 解析　令x-4=0,解得x=4,此时y=a0+7=8,所以函数y=ax-4+7(a>0,且a≠1)的图象恒过定点P (4,8),设f(x)=xa,则8=4a,解得a= ,所以f(x)= . 返回目录 8.★★(2025届河南濮阳阶段练习,13)定义运算a ⊗b= 已知函数f(x)=(6-x)⊗2x, 则f(x)的最大值为_________.     4     解析　令6-x=2x,得x=2, 所以当x<2时,2x<6-x,当x>2时,2x>6-x, 所以f(x)=  当x<2时, f(x)∈(0,4),当x≥2时, f(x)∈(-∞,4], 所以f(x)max=f(2)=4. 返回目录 9.★★★(2026届江苏启东中学测试,17)已知定义在实数集R上的偶函数f(x)和奇函数 g(x)满足f(x)+g(x)=2x+1. (1)求f(x)与g(x)的解析式; (2)求证:f(x)在区间[0,+∞)上单调递增; (3)设h(x)=x2+2mx+m2-m+1(其中m为常数),若h(g(x))≥m2-m-2对于x∈[1,3]恒成立,求m的 取值范围. 返回目录 解析    (1)因为f(x)+g(x)=2x+1, 所以f(-x)+g(-x)=2-x+1, 因为f(x)为偶函数,g(x)为奇函数, 所以f(x)-g(x)=2-x+1, 所以f(x)=2x+2-x,g(x)=2x-2-x. (2)证明:任取x1,x2∈[0,+∞),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)= + - -  = - + =( - ) , 返回目录 因为 - <0,1- >0, 所以f(x1)-f(x2)<0, 所以f(x)在[0,+∞)上单调递增. (3)因为y=2x,y=- 在[1,3]上单调递增, 所以g(x)=2x- 在[1,3]上单调递增, 令t=g(x),t∈ , 所以t2+2mt+m2-m+1≥m2-m-2对于t∈ 恒成立,所以2mt≥-3-t2, 返回目录 则m≥ 对于t∈ 恒成立,即m≥ ,t∈ , 因为 =- ≤-2 =- ,当且仅当t= 时等号成立, 所以m≥- . 返回目录 五年高考 考点3　对数函数 1.★★(2021新高考Ⅱ,7,5分)若a=log52,b=log83,c= ,则 ( ) A.c<b<a　　    B.b<c<a　　    C.a<c<b　　    D.a<b<c     C     解析　∵log52<log5 = ,log83>log8 = ,∴a<c<b.故选C. 返回目录 2.★★(2024天津,5,5分)设a=4.2-0.2,b=4.20.2,c=log4.20.2,则a,b,c的大小关系为 ( ) A.a<b<c　　    B.a<c<b　　    C.c<b<a　　    D.c<a<b     D     解析　因为y=4.2x在R上单调递增,且-0.2<0<0.2, 所以0<4.2-0.2<4.20.2,即0<a<b, 因为y=log4.2x在(0,+∞)上单调递增, 所以log4.20.2<log4.21=0,即c<0, 所以c<a<b,故选D. 返回目录 3.★★★(2024北京,9,4分)已知(x1,y1),(x2,y2)是函数y=2x的图象上两个不同的点,则 ( ) A.log2 < 　　    B.log2 >  C.log2 <x1+x2　　     D.log2 >x1+x2     B 解析    log2 =log2 ≥log2 = , 当且仅当 = ,即x1=x2时“=”成立. 又(x1,y1),(x2,y2)是函数y=2x图象上不同的两点, ∴x1≠x2,∴log2 > .故选B. 返回目录 4.★★★★(2025全国一卷,8,5分)已知2+log2x=3+log3y=5+log5z,则x,y,z的大小关系不可 能为 ( ) A.x>y>z　　    B.x>z>y　　    C.y>x>z　　    D.y>z>x     B     解析　解法一　图象法　由题意可得,2+ =3+ =5+ , 则 -1= =2+ , 令t1=ln x,t2=ln y,t3=ln z, 则 -1= =2+ , ∵  ≈1.4,  ≈1,  ≈0.6, ∴可令y1=1.4t-1,y2=t,y3=2+0.6t, 返回目录 如图.   ①此时t1>t2>t3,即ln x>ln y>ln z,即x>y>z; ②此时t2>t1>t3,即ln y>ln x>ln z,即y>x>z; ③此时t2>t3>t1,即ln y>ln z>ln x,即y>z>x; ④此时t3>t2>t1,即ln z>ln y>ln x,即z>y>x. 综上,选项B不可能.故选B. 解法二　特殊值法　令2+log2x=3+log3y=5+log5z=t, 返回目录 当t=3时,x=2,y=1,z= ,则x>y>z,选项A成立; 当t=5时,x=8,y=9,z=1,则y>x>z,选项C成立; 当t=8时,x=64,y=243,z=125,则y>z>x,选项D成立. 故选B. 返回目录 三年模拟 1.★★(2026届江苏南京一中月考,4)函数f(x)=loga(2x-3)+5(a>0,a≠1)的图象过定点A,则 A的坐标为 ( ) A.(1,0)　　    B.(1,5)　　    C.(2,5)　　    D.(2,6)     C     解析　令2x-3=1,则x=2,此时f(x)=loga1+5=5,故A的坐标为(2,5).故选C. 返回目录 2.★★(2026届福建百校联合测评,4)设a=50.3,b= ,c=log0.50.6,则a,b,c的大小关系为  ( ) A.b<a<c　　    B.c<a<b　　    C.b<c<a　　    D.a<b<c     B     解析    b= =50.4>a=50.3>50=1=log0.50.5>c=log0.50.6,故c<a<b.故选B. 返回目录 3.★★(2026届湖南长沙长郡中学检测,1)已知函数f(x)=ln(ax+2)在区间(1,2)上单调递减, 则实数a的取值范围是 ( ) A.(-∞,0)　　    B.[-1,0) C.(-1,0)　　     D.[-1,+∞)     B     解析　令t=ax+2,则y=ln t, 因为函数f(x)=ln(ax+2)在区间(1,2)上单调递减,且y=ln t在定义域内单调递增, 所以 解得-1≤a<0,故选B. 返回目录 4.★★★(2026届山东省实验中学一诊,6)已知a,b>0且a≠1,b≠1,若logab>1,则 ( ) A.(a-1)(b-1)<0　　    B.(a-1)(a-b)>0 C.(b-1)(b-a)<0　　    D.(b-1)(b-a)>0     D     解析　若a>1,则由logab>1得logab>logaa,则b>a>1, 此时b-a>0,b>1,即(b-1)(b-a)>0; 若0<a<1,则由logab>1得logab>logaa,则b<a<1,此时b-a<0,b<1,即(b-1)(b-a)>0. 综上,(b-1)(b-a)>0,故选D. 返回目录 5.★★★(2026届河北NT20名校联合体联考,6)已知a=log53,b=log64,c=log75,则a,b,c的大 小关系为 ( ) A.a<b<c　　    B.b<a<c　　    C.c<b<a　　    D.a<c<b     A     解析　由题意得log35=1+log3 ,log46=1+log4 ,log57=1+log5 , 【方法技巧:利用对数运算,取倒数分离“1”之后,结合底数大于1时底数(真数相同,底 数越大函数值越小)、真数(底数相同,真数越大函数值越大)的大小关系,画出图象进行 比较】  > > ,而3<4<5. 画出y=log3x,y=log4x,y=log5x的图象,如图, 返回目录 由图可知,log3 >log4 >log5 , 【一题多解:log3 >log4 >log4 >log5 >log5 】那么log35>log46>log57>0, 则 > > >0,则log53<log64<log75,即a<b<c.故选A. 返回目录 6.★★★(2025届安徽江淮十校第一次大联考,7)已知函数f(x)=ln x-mx2+x,若不等式f(x)> 0的解集中恰有两个不同的正整数解,则实数m的取值范围是( ) A. 　　    B.  C. 　　    D.      C     返回目录 解析　函数f(x)=ln x-mx2+x的定义域为(0,+∞),则不等式f(x)>0化为mx-1< ,令h(x)=mx- 1,g(x)= . 对g(x)求导得g'(x)= , 故函数g(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减. 画出g(x),h(x)的图象,如图.   而不等式f(x)>0的解集中恰有两个不同的正整数解,故正整数解为1,2. 返回目录 故 即  故 ≤m< . 方法技巧　将不等式f(x)=ln x-mx2+x>0变形为mx-1< (x>0),利用两函数图象的关系解 不等式. 返回目录 7.★★★★(2026届福建泉州质量监测,7)若实数x,y,z满足2x-2=3y-3=5z-5,则x,y,z的大小关 系不可能是 ( ) A.x=y=z　　    B.x>y>z　　    C.z>y>x　　    D.z>x>y     D     解析　令2x-2=3y-3=5z-5=t,得x=log2(t+2),y=log3(t+3),z=log5(t+5),t>-2, 在同一坐标系内作出函数f(t)=log2(t+2),g(t)=log3(t+3),h(t)=log5(t+5),t>-2的图象,   则x,y,z分别是函数y=f(t),y=g(t),y=h(t),t>-2的图象与直线t=a(a>-2)交点的纵坐标, 观察图象得,当-2<a<0时,z>y>x;当a=0时,x=y=z;当a>0时,x>y>z, 因此ABC都可能,D不可能.故选D. 返回目录 8.★★★(多选)(2026届山东烟台期中,9)已知函数f(x)=lg(x2-2x+m),则下列结论正确的有  ( ) A.f(x)在(1,+∞)上单调递增 B.f(x)的图象关于直线x=1对称 C.若f(x)有两个零点,则m<2 D.若f(x)的值域为R,则m>1     BC     返回目录 解析　设t=x2-2x+m=(x-1)2+m-1,且Δ=4(1-m),图象的对称轴为直线x=1, 当Δ≤0,即m≥1时,t=x2-2x+m在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,而y=lg t单调递 增,则f(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, 当Δ>0,即m<1时,若x1,x2是t=0的两个根,且x1<x2,则在(-∞,x1),(x2,+∞)上t>0,此时t=x2-2x+m 在(-∞,x1)上单调递减,在(x2,+∞)上单调递增,而y=lg t单调递增, 则f(x)在(-∞,x1)上单调递减,在(x2,+∞)上单调递增. 综上,当m<1时, f(x)在(x2,+∞)上单调递增,且其图象关于x=1对称,A错误,B正确; 令f(x)=lg(x2-2x+m)=0,即x2-2x+m-1=0, 若f(x)有两个零点,则4-4(m-1)>0,可得m<2,C正确; 若f(x)的值域为R,则Δ≥0,此时m≤1,D错误.故选BC. 返回目录 9.★★(2026届江苏苏州调研,13)函数f(x)=lg(2x)·lg(5x)-lg 2·lg 5的最小值为_______. 　-      解析    f(x)=(lg x+lg 2)(lg x+lg 5)-lg 2·lg 5=(lg x)2+lg x(lg 5+lg 2)+lg 2·lg 5-lg 2·lg 5=(lg x)2 +lg x= - , 因为lg x∈R,所以f(x)min=- . 返回目录 10.★★★(2026届河南郑州外国语学校调研,13)若函数f(x)=lo (-x2+4x+5)在区间(2m-1, m+1)内单调递增,则实数m的取值范围为_________. 返回目录 解析　要使函数f(x)=lo (-x2+4x+5)有意义,则-x2+4x+5>0,解得-1<x<5,令u(x)=-x2+4x+5= -(x-2)2+9, 则函数u(x)在(-1,2)上单调递增,在[2,5)上单调递减, 又因为y=lo u在(0,+∞)上单调递减,所以由复合函数的单调性可知: 函数f(x)=lo (-x2+4x+5)在[2,5)上单调递增. 又因为函数f(x)=lo (-x2+4x+5)在区间(2m-1,m+1)内单调递增, 所以(2m-1,m+1)⊆[2,5), 则有 解得 ≤m<2. 返回目录 11.★★★★(2025届重庆八中开学考,15)已知函数f(x)=logm(x-m)+logm(x-2m)(m>0且m≠ 1). (1)若对于任意的x∈[3m,4m],都有f(x)≤1,求实数m的取值范围; (2)在(1)的条件下,是否存在α,β∈ ,使f(x)在区间[α,β]上的值域是[logmβ,logmα]? 若存在,求实数m的取值范围;若不存在,说明理由. 返回目录 解析    (1)由题意可得对于任意的x∈[3m,4m], f(x)max≤1. f(x)=logm[(x-m)(x-2m)]=logm(x2-3mx+2m2)(x∈[3m,4m]), 设t(x)=x2-3mx+2m2= - (x∈[3m,4m]), 则t(x)在[3m,4m]上单调递增, 当0<m<1时, f(x)在[3m,4m]上单调递减,【复合函数单调性法则】 则f(x)max=f(3m)=logm(2m2)≤1,解得 ≤m<1; 当m>1时, f(x)在[3m,4m]上单调递增, 返回目录 则f(x)max=f(4m)=logm(6m2)≤1,解得0<m≤ ,与m>1矛盾,故舍去. 综上,可得实数m的取值范围为 . (2)因为 ≤m<1,所以f(x)在 上单调递减, 所以  可得  可得关于x的方程(x-m)(x-2m)=x在 上有两个不等的实根, 设h(x)=(x-m)(x-2m)-x=x2-(3m+1)x+2m2, 返回目录 则  解得m∈⌀. 综上,不存在这样的α,β满足条件. 返回目录 $