6.1 数列的概念及表示 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“数列的概念及表示”专题，依据高考评价体系梳理了数列的概念、性质及通项公式三大核心考点，通过近五年全国卷及地方卷真题分析，明确“性质判断”占45%、“通项推导”占40%的高频考点分布，归纳特殊值法、周期分析等常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题解析+素养训练”的复习模式，如以2022全国乙理真题为例，用特殊值法突破数列大小比较，培养数学思维；通过累加法、累乘法推导通项公式，强化数学语言表达。特设“易错陷阱警示”和“答题模板”，助力学生掌握解题技巧，教师可据此精准指导，提升复习效率。

6.1　数列的概念及表示 返回目录 五年高考 考点1　数列的概念和性质 1.★★★(2022全国乙理,4,5分)嫦娥二号卫星在完成探月任务后,继续进行深空探测,成 为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星.为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的 比值,用到数列{bn}:b1=1+ ,b2=1+ ,b3=1+ ,…,依此类推,其中αk∈N*(k=1, 2,…).则 ( ) A.b1<b5　　    B.b3<b8　　     C.b6<b2　　    D.b4<b7     D     返回目录 解析　特殊值法　不妨取αk=1(k=1,2,…),则b1=1+ =2;b2=1+ =1+ =1+ = ;b3=1+  =1+ = ;b4=1+ =1+ = ;b5=1+ =1+ = ;b6=1+ =1+ = ;b7=1+ =1+ = ;b8=1 + =1+ = .对比选项,知选D. 返回目录 2.★★★(2021北京,10,4分)已知{an}是各项均为整数的递增数列,且a1≥3.若a1+a2+…+an =100,则n的最大值为 ( ) A.9　　     B.10　　     C.11　　    D.12     C     解析　因为数列{an}的三个特征是各项均为整数、单调递增、前n项和为100,所以欲 求n的最大值,需要保证数列{an}首项为较小的正整数,且ak+1-ak(k≤n-1)的值取最小的正 整数,故取a1=3,ak+1-ak=1,数列{an}的前10项可取值为3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,100-(3+4+5+6 +7+8+9+10+11+12)=25,若a11=13,则a12=25-13=12<a11,不成立.故a11=25,此时满足题意,故 n的最大值为11. 返回目录 3.★★★★(2022北京,15,5分)已知数列{an}的各项均为正数,其前n项和Sn满足an·Sn=9(n =1,2,…).给出下列四个结论: ①{an}的第2项小于3;②{an}为等比数列; ③{an}为递减数列;④{an}中存在小于 的项. 其中所有正确结论的序号是________. 　①③④     返回目录 解析　当n=1时,a1·a1=9,由a1>0,得a1=3, 当n=2时,a2·S2=a2(a2+3)=9,即 +3a2-9=0,解得a2= ,又a2>0,所以a2= ,所以a2< 3,故①正确. an+1-an= - = ,又知各项均为正数,所以Sn+1>Sn,所以Sn-Sn+1<0,即an+1-an<0,所以 an+1<an,所以数列{an}为递减数列,故③正确. 由Sn·an=9得Sn= ,当n≥2时,an=Sn-Sn-1= - ,两边同乘an得 =9- ,若{an}为等比数列, 设公比为q,则 =q(n≥2)为常数,则 也为常数,由③知{an}是递减数列,所以{an}不为 返回目录 等比数列,故②错误. 假设{an}中所有项均大于或等于 ,即an≥ ,取n>90 000,则Sn=a1+a2+…+an > × 90 000=900,∴an·Sn> ×900=9,与已知an·Sn=9相矛盾,所以④正确. 故正确结论的序号为①③④. 返回目录 三年模拟 1.★★(2025届甘肃庆阳一中等校联考(二),6)已知n∈N*,an= 若数列{an} 不是递增数列,则实数k的取值范围为 ( ) A. 　　    B.  C. 　　     D.      B     解析　若{an}不是递增数列,则只需k≤0或 综上得k≤ . 故选B. 返回目录 2.★★★(2025届湖北部分高中协作体二模,5)若数列{an}满足a1=2,an+1= (n∈N*),则 该数列的前2 025项的乘积是 ( ) A.-2　　    B.-1　　    C.2　　    D.1     C     解析　因为数列{an}满足a1=2,an+1= (n∈N*),所以a2= = =-3, a3=- ,a4= ,a5=2,……,所以数列{an}的周期为4,即an+4=an,且a1·a2·a3·a4=1,而2 025=506×4+ 1,所以a1·a2·a3·a4·…·a2 025=1506·a1=2.故选C. 返回目录 3.★★(2026届河北保定期中,5)已知数列{an}中,a1=-2, =an+1+7,则a2 025= ( ) A.-3　　    B.-2　　    C.2　　    D.3     C     解析　因为a1=-2,an+1= -7,所以a2= -7=4-7=-3,a3= -7=9-7=2, a4= -7=4-7=-3,a5= -7=9-7=2,……,所以数列{an}从第2项起,偶数项均为-3,奇数项均为 2,则a2 025=2.故选C. 返回目录 4.★★★(2025届吉林通化梅河口五中一模,5)数列{an}的通项公式为an= ,则该 数列的前50项中最大项是 ( ) A.a1　　    B.a44　　     C.a45　　    D.a50     C     解析　因为an=  =  =1+ , 返回目录 所以当n< ,即n≤44时, <0,所以an<1; 当n> ,即n≥45时, >0,所以an>1, 且n≥45时, 数列 为递减数列, 所以该数列的前50项中最大项是a45. 故选C. 返回目录 5.★★★(2026届广东肇庆调研,5)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,且anSn+1=an(Sn+1)-1, 则S2 025= ( ) A.1 012　　    B.2 024　　     C. 　　    D.2 025     C     解析　由anSn+1=an(Sn+1)-1可得an(Sn+1-Sn)=an-1,易知an≠0,故an+1= =1- , 由a1=2可得a2=1- = ,a3=1- =-1,a4=1- =2,……, 所以{an}是周期为3的周期数列,且a1+a2+a3= , 故S2 025=675(a1+a2+a3)=675× = .故选C. 返回目录 6.★★★(2026届湖北部分高中协作体联考,7)在正整数数列中,由1开始依次按如下规 则取该数列的项:第一次取1;第二次取2个连续的偶数2,4;第三次取3个连续的奇数5,7, 9;第四次取4个连续的偶数10,12,14,16;第五次取5个连续的奇数17,19,21,23,25.按此规 律取下去,得到一个数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17,19,…,则这个数列中的第2 025个数是  ( ) A.3 980　　    B.3 982　　    C.3 984　　    D.3 986     D     返回目录 解析　由题意可得,第n次取n个数,且奇数次取奇数个连续奇数,偶数次取偶数个连续偶 数, 前n次共取了1+2+3+…+n= 个数,且第n次取的最后一个数为n2, 当n=63时,由等差数列的求和公式得 =2 016,故第63次取时取了63个奇数,且 前63次共取了2 016个数,第2 016个数为632=3 969, 所以n=64时,取的数依次为3 970,3 972,3 974,3 976,3 978,3 980,3 982,3 984,3 986,…, 则第2 025个数为3 986.故选D. 返回目录 7.★★★★(2026届云南三校联考,8)已知数列{an}的通项公式为an=  若a7是{an}中唯一的最小项,则实数a的取值范围是 ( ) A.(14,16)　　    B.(15,16)　　    C.[15,16)　　    D.(14,16]     B     解析　由题意知a1=- ,a2=- ,a3=-7,a4=7,a5= , 故当n≤5时,{an}的最小项为a3=-7; 当n≥6时,an= n2- (a-1)n,对应函数图象的对称轴为直线n= ,因为a7是{an}中唯一的 最小项,所以 < < ,且a7=8-a<-7,解得14<a<16,且a>15,故15<a<16.故选B. 返回目录 8.★★★(2026届江苏南通海安实验中学月考,13)已知数列{an}中,a1=2,an+1+ =1,n∈N*, 则a1a2+a2a3+a3a4+…+a2 022a2 023=___________. 　-1 011     解析　由题意有an+1=1- ,又a1=2,所以a2=1- = ,a3=1- =-1,a4=1- =2=a1,所以数列 {an}是以3为周期的周期数列, 又由an+1+ =1有an+1an=an-1,所以a1a2+a2a3+a3a4+…+a2 022a2 023=(a1-1)+(a2-1)+…+(a2 022-1)=a1 +a2+…+a2 022-2 022=674(a1+a2+a3)-2 022=674× -2 022=-1 011. 返回目录 考点2　数列的通项公式 三年模拟 1.★★★(2025届浙江宁波三模,5)已知数列{an}中,a2=1,记Sn为{an}的前n项和,2Sn=nan,则 a2 025的值为 ( ) A.2 023　　    B.2 024　　    C.2 025　　    D.2 026     B     解析　因为2Sn=nan,所以当n=1时,a1=0,当n≥3时,2Sn-1=(n-1)an-1, 两式相减,可得2an=nan-(n-1)an-1,即(n-2)an=(n-1)an-1,所以 = ,n≥3. 又a2=1,则a2 025=a2× × ×…× =1× × ×…× =2 024.故选B. 返回目录 2.★★★(2025届四川绵阳第一中学模拟(二),6)已知数列{an}满足a1=1,an+1=an+n+2n(n∈ N*),则an= ( ) A. +2n-1-1　　    B. +2n-1 C. +2n+1-1　　    D. +2n+1-1     B     返回目录 解析　由题设得an+1-an=n+2n, 则an=an-an-1+…+a3-a2+a2-a1+a1 =(n-1)+2n-1+…+2+22+1+21+1,且n≥2, 所以an=(n-1+…+2+1)+(2n-1+…+22+21+1)= + = +2n-1,因为a1=1满 足上式, 所以an= +2n-1,n∈N*.故选B. 返回目录 3.★★★(2026届辽宁丹东一中等校联考,7)记Tn为数列{an}的前n项积,且a1=1,Tn+1-Tn=2n, 则a6= ( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      C     解析　由题意知T1=a1=1,Tn+1-Tn=2n, 所以当n≥2时,Tn-Tn-1=2(n-1),Tn-1-Tn-2=2(n-2),……,T2-T1=2×1, 累加得,当n≥2时,Tn=1+2×1+2×2+…+2(n-1)=1+2× =n2-n+1, 又当n=1时,T1=1也满足Tn=n2-n+1,所以Tn=n2-n+1, 所以a6= = = .故选C. 返回目录 4.★★★(2026届河北保定摸底,7)已知Sn为数列{an}的前n项和,a1=2,3Sn=(n+2)an,则 +  + + =( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      C     返回目录 解析　因为3Sn=(n+2)an,所以3Sn+1=(n+3)an+1,两式相减可得3an+1=(n+3)·an+1-(n+2)an,所以 nan+1=(n+2)an, 所以 = , 当n≥2时,an= · ·…· ·a1= · ·…· ×2=n(n+1), 当n=1时,a1=2符合上式, 所以an=n(n+1),n∈N*, 所以 = = - , 所以 + + + =1- + - + - + - = .故选C. 返回目录 5.★★★(2025届河南三门峡三模,7)已知数列{an}的前n项和是Sn,若Sn=(-1)n+1an+n(n≥2), n∈N*,则a2 025= ( ) A.-1　　    B.1　　    C.2　　    D.3     D     解析　由Sn=(-1)n+1an+n(n≥2),得 当n≥3时,Sn-1=(-1)nan-1+n-1, 两式相减可得an=(-1)n+1an-(-1)nan-1+1(n≥3), 当n=2 027时,a2 027=a2 027+a2 026+1,解得a2 026=-1, 当n=2 026时,a2 026=-a2 026-a2 025+1,解得a2 025=3.故选D. 返回目录 6.★★★(新定义理解)(2025届山东泰安适应性考试(二),7)定义数列{an}的“匀称 值”为Gn= ,若{an}的匀称值Gn=n,则a8= ( ) A. 　　     B. 　　     C. 　　    D.      D     解析    G8= =8⇒a1+2a2+3a3+…+8a8=64, G7= =7⇒a1+2a2+3a3+…+7a7=49, 两式相减得8a8=64-49=15,所以a8= .故选D. 返回目录 7.★★★(2025届重庆北碚拔尖强基联盟联考,7)数列{an}对任意的n∈N*有an+1=an+  成立,若a12= ,则a2= ( ) A.1　　    B.2　　    C.3　　    D.4     C     解析　依题意,得an+1-an= =1- = - +1, 则an+1- =an- +1,数列 是公差为1的等差数列, 于是a12- =a2- +10,又a12= ,所以a2=12-9=3.故选C. 返回目录 8.★★★(2025届天津河北二模,6)设Sn是数列{an}的前n项和,若Sn+3=2an+n,则S10=  ( ) A.3 059　　    B.2 056　　    C.1 033　　    D.520 C     解析　由题设得Sn+1+3=2an+1+n+1,则Sn+1+3=2(Sn+1-Sn)+n+1,【an+1=Sn+1-Sn】 所以Sn+1=2Sn-n+2,则Sn+1-(n+1-1)=2[Sn-(n-1)], 又S1+3=2a1+1⇒S1=2,则S1-(1-1)=2, 所以{Sn-(n-1)}是首项、公比均为2的等比数列,则Sn-(n-1)=2n, 所以Sn=2n+n-1,则S10=210+10-1=1 024+10-1=1 033.故选C. 返回目录 9.★★★(2025届山东青岛二模,12)记等差数列{an}的前n项和为Sn,且an+2SnSn-1=0(n≥2), a1= ,则Sn=_________. 解析　把an=Sn-Sn-1,n≥2代入已知可得Sn-Sn-1+2SnSn-1=0⇒ - +2=0⇒ - =2,n≥2, 所以 是公差为2的等差数列, 因为a1= ,所以 =2, 则 =2+(n-1)·2=2n,所以Sn= . 返回目录 10.★★★(2026届江苏无锡经开区太湖高级中学阶段测,13)设Sn是数列{an}的前n项和, Sn= an-3n+1,则an=__________________.     2(2n+1)×3n     解析　由题意可得,当n=1时,a1= a1-9⇒a1=18,当n≥2时,Sn-1= an-1-3n, 作差可得Sn-Sn-1=an= an- an-1-2×3n,移项整理可得an=3an-1+4×3n, 两边同时除以3n可得 = +4,故数列 是首项为 = =6,公差为4的等差数列, 所以 =6+(n-1)×4=4n+2,故an=2(2n+1)×3n. 返回目录 11.★★★(2026届安徽六校测试,15)已知数列{an}的前n项和为Sn,且3an-4Sn=3. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn= ,求数列{bn}的最大项与最小项. 返回目录 解析    (1)当n=1时,3a1-4S1=3a1-4a1=-a1=3,所以a1=-3, 当n≥2时,3an-4Sn=3,3an-1-4Sn-1=3, 两式相减得3an-3an-1-4an=0,整理得an=-3an-1, 因为a1=-3≠0,所以 =-3, 于是数列{an}是首项为-3,公比为-3的等比数列, 所以an=(-3)n. (2)由(1)知Sn= =- [1-(-3)n], 返回目录 所以bn= = + , 当n为奇数时,bn= = + 随着n的增大,其值减小, 所以当n=1时,b1=1,此时bn∈ , 当n为偶数时,bn= =- + 随着n的增大,其值增大, 所以当n=2时,b2= ,此时bn∈ , 因此数列{bn}的最大项为b1=1,最小项为b2= . 返回目录 $