5.1　平面向量的概念、线性运算、基本定理及坐标表示课件——2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦平面向量的概念、线性运算、基本定理及坐标表示三大核心考点，依据高考评价体系梳理了向量线性表示、共线向量定理应用等考查要求。通过五年高考真题分析明确线性运算占比45%、基本定理占30%的高频考点分布，归纳出三角形中向量分解、坐标运算等常考题型。 课件亮点在于“真题精讲+模拟精练+素养提升”的备考模式，如2022新高考Ⅰ向量线性表示题，通过基底法推导培养学生的数学思维，结合坐标运算强化数学语言表达。特设“易错点警示”和“解题模板”，帮助学生掌握向量分解技巧，教师可依托真题解析把握命题趋势，实现高效复习。

5.1　平面向量的概念、线性运算、基本定理及坐标表示 返回目录 五年高考 考点1　平面向量的概念及线性运算 1.★(2022新高考Ⅰ,3,5分)在△ABC中,点D在边AB上,BD=2DA.记 =m, =n,则 = ( ) A.3m-2n　　    B.-2m+3n　　     C.3m+2n　　    D.2m+3n B     解析　因为点D在边AB上,且BD=2DA,所以 =2 ,即 - =2( - ),所以 =3  -2 =3n-2m,故选B. 返回目录 2.★(2020新高考Ⅱ,3,5分)若D为△ABC的边AB的中点,则 =     ( ) A.2 - 　　    B.2 -  C.2 + 　　    D.2 +      A     解析　∵D为△ABC的边AB的中点,∴ = ( + ),∴ =2 - .故选A. 返回目录 3.★★(2017课标Ⅱ文,4,5分)设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则     ( ) A.a⊥b　　    B.|a|=|b|　　    C.a∥b　　    D.|a|>|b|     A     解析　由|a+b|=|a-b|的几何意义知,以向量a,b为邻边的平行四边形为矩形,所以a⊥b.故 选A. 返回目录 4.★★★(创新应用)(2025全国一卷,6,5分)帆船比赛中,运动员可借助风力计测定风 速的大小与方向,测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风 速对应的向量与船行风风速对应的向量之和,其中船行风风速对应的向量与船速对应 的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系. 已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示 (线段长度代表速度大小,单位:m/s),则该时刻的真风为( )     A     级数 名称 风速大小(单位:m/s) 2 轻风 1.6~3.3 3 微风 3.4~5.4 4 和风 5.5~7.9 5 劲风 8.0~10.7 图1 返回目录   A.轻风　　    B.微风　　    C.和风　　    D.劲风 返回目录 解析　设真风风速为v1,船行风风速为v2,视风风速为v,依题意得v=(-3,-1),v2=(-1,-3)【注: 船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反】,且v=v1+v2, ∴v1=v-v2=(-3,-1)-(-1,-3)=(-2,2). 因此|v1|= =2 <3.3, ∴该时刻的真风为轻风,故选A. 返回目录 三年模拟 1.★★(2025届安徽A10联盟摸底,2)在△ABC中, =2 , = ,则 = ( ) A.  -  　　    B.  -   C.  -  　　    D.  -       C     解析　∵ =2 ,∴ =  , ∴ = ( + )=  + ×  =-  + ( - )=  -  .故选C. 返回目录 2.★★(2026届福建三明一中月考,3)在△OAB所在平面内,点C满足 =3 ,记 =a,  =b,则 = ( ) A. a+ b　　     B. a+ b C.- a+ b　　    D. a- b     C     解析　因为 =3 ,所以 =  ,所以 = + = +  = + ( - )=- a+ b. 故选C. 返回目录 3.★★(2026届江苏盐城期中,4)在平行四边形ABCD中,E为BC的中点,记 =a, =b,则  = ( ) A. a- b　　    B. a+ b C.a+ b　　     D. a+ b     D     解析　如图,设AC与BD的交点为O,则 = - =  -  = b- a,故 = + =a +  =a+ ( - )=a+  =a+ (b-a)= a+ b.故选D.   返回目录 4.★★(2025届浙江9+1高中联盟期中,4)在△ABC中,D是BC上一点,满足 =2 ,M是 AD的中点,若 =λ +μ ,则λ+μ= ( ) A. 　　    B. 　　     C. 　　    D.      C     解析     = ( + )=   +   =  +  ,所以λ= ,μ= ,则λ+μ= + = .故选C. 返回目录 5.★★(2026届山西吕梁质量检测,7)在平行四边形ABCD中,E是AD的中点,点P在线段 BD上.若 =λ +μ ,则λ+μ= ( ) A. 　　    B.- 　　    C. 　　    D.-      B     解析　设 =x ,0≤x≤1,则 = + + =-x - +  =-x( - )- +  = (x-1) +  ,所以λ+μ=x-1+ -x=- .故选B. 返回目录 6.★★★(2026届辽宁大连育明高中期中,5)已知Sn,Tn分别为等差数列{an},{bn}的前n项 和, = ,设点A是直线BC外一点,点P是直线BC上一点, =  +λ ,则λ的值 为 ( ) A.- 　　    B.- 　　    C. 　　    D.      C     返回目录 解析　因为P,B,C三点共线, 所以 +λ=1,所以 +λ=1, 因为 = = , 所以设Sn=n(2n+2)k,Tn=n(7n-5)k,k≠0,所以a5=S5-S4=20k,b4=T4-T3=44k,则 = = ,所 以 +λ= +λ=1,λ= ,故选C. 返回目录 7.★★★(2026届山东泰安开学考,6)如图,飞机飞行中的地面速度(GS)是指飞机相对于 地面的实际速度,由飞机相对于周围空气的实际运动速度(TAS)向量加减风速(WS)向 量得出,其中风速顺风为正,逆风为负,DA为偏流角.已知某飞机逆风飞行,在某时刻测得 风速对应向量为(20 ,10 ),地面速度对应的向量为(100 ,90 ),则飞机在该时刻的 实际飞行速度(单位:km/h)为 ( ) (参考数据: =2.24, =3.16, =17.46)   A.252.8　　    B.349.2　　    C.425.6　　    D.492.8     B     返回目录 解析　设飞机的地面速度对应的向量为v,实际运动速度向量和风速向量分别为v1,v2, 由已知可得v=v1-v2,且v=(100 ,90 ),v2=(20 ,10 ), 所以v1=v+v2=(120 ,100 ), 因此|v1|= =20 =20×17.46=349.2.故选B. 返回目录 8.★★★(数学文化)(2026届湖北襄阳四中开学检测,7)古代中国的太极八卦图是以 同圆内的圆心为界,画出相等的两个阴阳鱼,阳鱼的头部有阴眼,阴鱼的头部有阳眼,表 示万物都在互相转化,互相渗透,阴中有阳,阳中有阴,阴阳相合,相生相克,蕴含着现代哲 学中的矛盾对立统一规律.由八卦模型图抽象出来的正八边形ABCDEFGH如图,其中心 为O,若 =x +y ,则x+y= ( )       A     A. 　　    B. 　　    C.2　　    D.  返回目录 解析　解法一　如图①,过点G作GM⊥OH,GN⊥OF,垂足分别是M,N,易知GM=GN, 【方法技巧:构造平行四边形,利用向量加法法则进行向量运算】 因为∠HOG=∠FOG= = ,所以∠MON= ,所以四边形GMON为正方形,所以OM=ON = OG, 【方法技巧:几何法求出线段的长度比,确定共线向量线性表示的系数】 又OH=OF=OG,所以 = + =  +  ,则x=y= ,因此x+y= .故选A. 返回目录        解法二　以OE,OG所在直线分别为x,y轴,建立如图②所示的平面直角坐标系, 设OE=OG=2,则G(0,2), 因为∠HOG=∠FOG= = ,所以F( , ),H(- , ), 由 =x +y ,得  解得x=y= ,故x+y= .故选A. 返回目录 9.★★★(2026届四川成都石室中学月考,12)如图,矩形ABCD中,E是线段DC的中点,F是 线段AE的中点,连接BF,若 =λ +μ ,则λ+μ=_______.   　-      返回目录 解析　连接BE(图略),由F是线段AE的中点,可得 =  +  , 又由E是线段DC的中点,可得 =  +  , 所以 =  +   =-  +  +   =-  + ( - )+   =-  +  , 故λ+μ=- + =- . 返回目录 10.★★★★(2025届北京一零一中学开学考,13)设D为△ABC内一点,且 =  +  , 则△ACD与△BCD的面积比为___________.     1∶2     返回目录 解析　由题意得5 =2 + , 所以2 -2 = -3 = - -2 = -2 ,所以2 = -2 ,即 =-2( + ), 如图所示,以DA,DC为邻边作平行四边形ADCE,连接DE,交AC于点O, 则 + = =2 , 所以 =-2( + )=-4 =4 , 即OD∶BD=1∶4, 又△COD和△BCD的高相等, 所以S△ACD∶S△BCD=S△ECD∶S△BCD=2S△COD∶S△BCD=2OD∶BD=2∶4=1∶2. 返回目录 小题速解　由小题答案的唯一性知,无论△ABC的形状如何,△ACD与△BCD的面积比 为定值,不妨取CA=CB=5,CA⊥CB,建立坐标系如图所示,   则A(5,0),B(0,5),由 =  +  得D(2,1). 因此△ACD的面积为 ×5×1= ,△BCD的面积为 ×5×2=5,所以△ACD与△BCD的 面积比为1∶2. 返回目录 三年模拟 考点2　共线向量定理及其应用 1.★(2026届浙江Z20名校联盟第一次联考,3)已知平面向量a=(x-1,x-5),b=(1,2),若a∥b, 则x= ( ) A.- 　　    B.-3　　    C.3　　    D.      B     解析　因为a∥b,故2(x-1)=x-5,解得x=-3. 返回目录 2.★(2026届江苏部分学校月考,4)已知向量a=(1,2),b=(x,x2),则“x=2”是“a∥b”的  ( ) A.充分不必要条件　　    B.必要不充分条件 C.充要条件　　     D.既不充分也不必要条件     A     解析　因为a=(1,2),b=(x,x2),a∥b,所以2x-x2=0,解得x=0或x=2, 所以“x=2”是“a∥b”的充分不必要条件.故选A. 返回目录 3.★(2025届江西师大附中月考,2)已知平面向量 =(-1,2),则与 方向相同的单位向 量是 ( ) A. 　　    B.  C. 　　    D.      C     解析　由题意得,| |= = ,则与 方向相同的单位向量为 ,即  .故选C. 返回目录 4.★(2026届浙江学军中学练习,2)已知向量 =(5,1), =(m,9), =(8,5).若A,C,D三点 共线,则m= ( ) A. 　　    B.-11　　     C.11　　    D.-      C     解析　因为向量 =(5,1), =(m,9), =(8,5),所以 = + =(m+5,10),因为A,C,D三 点共线,则 ∥ ,所以5(m+5)=8×10,解得m=11. 返回目录 5.★(2026届湖北高中名校联盟第一次联合测评,12)已知向量a,b不共线,且向量λa+b与a +(2λ-1)b的方向相反,则实数λ=_______. 　-      解析　由题意设λa+b=m[a+(2λ-1)b](m<0), 则 解得λ=1(舍去)或λ=- . 返回目录 6.★★(2026届广东广州天河综合测试,12)已知a=(log2x,1),b=(log25,-1),且a,b共线,则x= _________. 解析　因为a,b共线,所以-log2x-log25=0,即log25x=0,解得x= . 返回目录 7.★★(2026届湖北黄冈部分高中期中,12)设向量e1,e2不共线,若向量λe1+e2与向量2e1-e2 平行,则实数λ的值为_______. 　-2     解析　若向量λe1+e2与向量2e1-e2平行,则λe1+e2=k(2e1-e2), 即λe1+e2=2ke1-ke2,又因为向量e1,e2不共线,所以 解得λ=-2. 返回目录 三年模拟 考点3　平面向量基本定理及坐标表示 1.★★(2026届安徽摸底大联考,3)如图,5×5的方格里,每个方格边的长度为1,则向量a-b = ( )   A.e1+3e2　　    B.-e1+3e2 C.-3e1+e2　　    D.3e1+e2     B     返回目录 解析　如图所示,a-b= - = + = =-e1+3e2.故选B.   返回目录 2.★★(2026届广东深圳红岭中学调研,4)如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD, M,N分别为边AB,BC上的点,且AM=MB,CN=2NB,记 =a, =b,则 = ( )   A. a+ b　　    B. a- b C. a+ b　　    D.- a+ b     A     返回目录 解析　因为 = + + =-a+b+ a=b- a,所以 =  = b- a,又 =  = a,所 以 = + = a+ b- a= a+ b.故选A. 返回目录 3.★★(2026届山东名校联盟开学考,6)如图,在矩形ABCD中,E,F分别为CD,CB的中点,G 为线段EF上的一点,且 =  +m ,则实数m的值为( )   A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      A     返回目录 解析　由题意可设 =λ (0≤λ≤1), 则 = + = + +λ = +  +λ( + )= +  +  -  =  +   , 因为 =  +m , 所以 解得 故选A. 返回目录 4.★★★(2026届辽宁名校联盟期中,6)在△ABC中,D为边BC上一点,且满足 =2 ,设  =λ ,λ∈(0,1),若存在实数m,n,使 =m +n ,则m+n的取值范围是 ( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      C     返回目录 解析　以{ , }为基底,  = + = +λ  = +λ( + ) = +λ  =(1-λ) + λ , 又 =m +n ,所以由平面向量基本定理可知m=1-λ,n= λ, 则m+n=1- λ,又λ∈(0,1),所以m+n∈ .故选C. 返回目录 5.★★★(2026届江苏无锡三校联考,6)在梯形ABCD中, =2 ,E为CD的中点,AC,BE 交于点F,若 =λ +μ ,则λ+μ= ( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      C     返回目录 解析　如图所示,连接BD,交AC于点G.   在梯形ABCD中,由 =2 ,得AB∥DC,且CD∶AB=1∶2, 所以 = = ,所以 =  ,且 = + = +  = + ( - )=  +  . 因为E为CD的中点,所以AB∥EC,且EC∶AB=1∶4. 所以 = = ,所以 =  . 所以 =  =  =  +  . 因此λ= ,μ= .所以λ+μ= .故选C. 返回目录 6.★★★(2025届江苏南通期中,7)在▱ABCD中, = , =2 , =x +(1-x) ,x ∈R.若AP∥MN,则x= ( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      C     返回目录 解析　因为 = , =2 ,所以 = - =  -  =  +  =  +  ,   又AP∥MN,所以设 =λ = λ + λ ,λ∈R, 又 =x +(1-x) , 所以 解得  故选C. 返回目录 7.★★★(2026届山东省实验中学期中,6)已知直角梯形ABCD中,∠A=90°,AB∥CD,且 CD=3,AB=2,点P是梯形ABCD内(含边界)任意一点,设 =λ +μ (λ,μ∈R),则λ+μ的 取值范围为 ( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      A     返回目录 解析　如图,以A为坐标原点, , 的方向为x,y轴正方向建立平面直角坐标系, 【方法技巧:在有直角的条件下,建立平面直角坐标系,利用向量的坐标表示,可以简化 运算】   设AD=b,P(x,y),则A(0,0),B(2,0),C(3,b),D(0,b),0≤x≤3,0≤y≤b, 可得 =(2,0), =(0,b), 因为 =λ +μ (λ,μ∈R), 所以(x,y)=λ(2,0)+μ(0,b)=(2λ,bμ), 返回目录 所以λ= ,μ= ,λ+μ= + ,当x=y=0时,λ+μ取得最小值0; 当x=3,y=b时,λ+μ取得最大值 ,即λ+μ∈ .故选A. 返回目录 8.★★★(2026届北京清华大学附中开学考,10)已知| |= · =2,| |= ,| |=4,且  =λ +μ ,则λ+μ的取值范围是 ( ) A.[- , ]　　    B.[-2 ,2 ] C.[-4,4]　　     D.[-2 ,2 ]     A     返回目录 解析　由题意有 = =(λ +μ )2=λ2 +2λμ · +μ2 =4λ2+4λμ+5μ2=16, 【思路探究:求λ+μ的取值范围,以λ+μ为参数,换元λ+μ=t,消去μ,以λ为未知数,t为参数,利 用方程知识求解】 令λ+μ=t,则μ=t-λ,所以4λ2+4λ(t-λ)+5(t-λ)2=16, 化简整理得5λ2-6tλ+5t2-16=0,即关于λ的一元二次方程有解, 所以Δ=36t2-4×5(5t2-16)=64(5-t2)≥0,解得- ≤t≤ , 所以λ+μ∈[- , ].故选A. 返回目录 9.★★★★(新视野)(2026届重庆巴蜀中学月考,7)勒洛三角形是由德国机械工程专 家、机构运动学家勒洛首先发现的,并以他的名字命名.该几何图形是以等边三角形每 个顶点为圆心,以该等边三角形的边长为半径,在另两个顶点间作一段弧,三段弧围成的 曲边三角形.如图,已知M是边长为2的勒洛三角形ABC边上的动点,且 =λ +μ (λ, μ∈R),则λ+μ的最大值为 ( )   A. 　　    B. 　　    C. -1　　    D. -1     C     返回目录 解析　连接AM,与BC交于点D,由 =λ +μ ,得 - =λ +μ , 则 =(1+λ) +μ , 设 =t ,则 =  +  ,   由B,C,D三点共线,得 + =1,则1+λ+μ=t= = , 当M在弧AC、弧AB上(不含端点)时,1+λ+μ<1;当M在弧BC上(不含端点)时, 1+λ+μ>1;当M与B,C之一重合时,1+λ+μ=1;当M与A重合时,1+λ+μ=0, 返回目录 因此当且仅当M在弧BC上(不含端点)且AD⊥BC时,1+λ+μ最大, 【思路探究:在向量的线性表示 =(1+λ) +μ 中,系数和1+λ+μ=t是常数时,动点M 在与直线BC平行的直线上(即等和线),因此当M点到直线BC最远(即AD= )时,1+λ+μ 最大】 则(1+λ+μ)max= = ,所以λ+μ的最大值为 -1.故选C. 返回目录 10.★★★(2025届河北保定阶段调研,14)如图所示,△ABC中,D,E是线段BC的三等分点, F是线段AC的中点,BF与AD,AE分别交于M,N,则平面向量 用向量 , 表示为 _____________________.    =   -            返回目录 解析　解法一　如图1,连接CM,CN, 设 =x +y ⇒ =x +2y , 由B,M,F三点共线,得x+2y=1①, 由 =x +y ⇒ = x +y , 由A,M,D三点共线,得 x+y=1②, 联立①②,解得x= ,y= , 得 =  +  . 返回目录 同理得 =  +  , 所以 = - = - =  -  .    解法二　【不确定的△ABC得到确定的结论,可将三角形特殊化,建立坐标系简化运 算】 设△ABC是底边长为12,高为2的等腰三角形,建立如图2所示的平面直角坐标系,则A(0, 2),B(-6,0),C(6,0),D(-2,0),E(2,0),F(3,1),则 =(-6,2), =(-12,0), 返回目录 直线AD:y=x+2,直线AE:y=-x+2,直线BF:y= x+ , 联立 解得M , 联立 解得N , 则 = , 设 =λ +μ ,则 =(-6λ,2λ)+(-12μ,0),解得λ= ,μ=- ,所以 =  -  . 返回目录 $