10.3　二项分布、超几何分布及正态分布课件——2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦二项分布、超几何分布及正态分布三大核心考点，依据高考评价体系梳理概率统计考查要求，通过近五年真题分析明确二项分布占比约40%、超几何分布30%、正态分布30%的考点权重，归纳出概率计算、期望方差、分布列等常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题溯源+题型归类+素养提升”策略，如以2022浙江卷超几何分布题为例，解析“分类计数法”突破概率计算，培养数学思维的推理能力，通过正态分布对称性应用强化数学眼光的抽象能力。特设“易错点警示”如二项分布与超几何分布辨析，帮助学生掌握得分技巧，教师可据此精准指导，助力高考冲刺。

10.3　二项分布、超几何分布及 正态分布 返回目录 三年模拟 考点1　二项分布 1.★★(2025届湖南长沙三模,4)已知某个群体中对某活动持满意态度的人数占比为 90%,从该群体中随机抽取10人,设这10人中持满意态度的人数为X,随机变量Y=2X+3,则 D(Y)= ( ) A.1.8　　    B.3.6　　    C.4.2　　    D.4.8     B     返回目录 解析　已知从群体中随机抽取10人,对某活动持满意态度的人数占比为90%=0.9, 设这10人中持满意态度的人数为X,那么X服从参数为n=10(试验次数),p=0.9(每次试验 成功的概率)的二项分布,即X~B(10,0.9). 则D(X)=10×0.9×(1-0.9)=10×0.9×0.1=0.9. 根据方差的性质D(aX+b)=a2D(X), 得D(Y)=D(2X+3)=22D(X)=4×0.9=3.6.故选B. 返回目录 2.★★★(2025届山东齐鲁名校教研共同体第六次联考,7)小王到某公司面试,一共要回 答3道题,每道题答对得2分,答错倒扣1分,设他每道题答对的概率均为p(0<p<1),且每道 题答对与否相互独立,记小王答完3道题的总得分为X,则当E(X)+D(X)取得最大值时,p=  ( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      C     返回目录 解析　设答对题的个数为Y,由已知可得Y~B(3,p), 所以E(Y)=3p,D(Y)=3p(1-p), 因为每道题答对得2分,答错倒扣1分,X为小王答完3道题的总得分, 所以X=2Y-(3-Y)=3Y-3, 所以E(X)=3E(Y)-3=9p-3, D(X)=9D(Y)=9×3p(1-p)=27p(1-p), 所以E(X)+D(X)=-27p2+36p-3=-27 +9,又0<p<1, 所以当p= 时,E(X)+D(X)取最大值,故选C. 返回目录 3.★★★(多选)(2026届湖南名校联盟联考,9)已知随机变量X~B(4,p),则下列说法正确的 是 ( ) A.P(X=4)=p4 B.若P(X=3)=4P(X=1),则p=  C.若p= ,则E(X)=1 D.存在p,使得D(X)=2     ABC     返回目录 解析　对于A,P(X=4)= p4(1-p)0=p4,故A正确; 对于B,P(X=3)= p3(1-p)1=4p3(1-p),P(X=1)= p1(1-p)3=4p(1-p)3, 若P(X=3)=4P(X=1),则p3(1-p)=4p·(1-p)3, 因为0<p<1,所以0<1-p<1,所以p2=4(1-p)2,即p=2(1-p),解得p= ,故B正确; 对于C,若p= ,则E(X)=4× =1,故C正确; 对于D,D(X)=4p(1-p)=-4(p2-p)=-4 =-4 +1, 当且仅当p= 时,D(X)有最大值,为1,故D错误.故选ABC. 返回目录 4.★★★(多选)(2026届江苏南京中华中学模拟,9)下列命题中正确的是 ( ) A.若随机变量X服从二项分布B(6,p),且E(X)=2,则D(X)=  B.若P(AB)=0.34,P(B)=0.71,则P( B)=0.37 C.设随机变量ξ服从正态分布N(0,4),若P(ξ>2)=p,则P(-2<ξ<0)= -p D.某人在10次射击中,击中目标的次数X服从二项分布B(10,0.8),则X=8的概率最大     BCD     返回目录 解析　对于A,由E(X)=6p=2,解得p= ,所以D(X)=6× × = ,A错误; 对于B,因为P(B)=P(A)·P(B|A)+P( )·P(B| )=P(AB)+P( B),所以P( B)=P(B)-P(AB)=0.71 -0.34=0.37,B正确; 对于C,由ξ~N(0,4)知该正态分布曲线关于直线x=0对称,可知P(ξ>2)=P(ξ<-2)=p, 所以P(-2<ξ<0)= [1-P(ξ<-2)-P(ξ>2)]= (1-2p)= -p,C正确; 对于D,由已知得P(X=k)= 0.8k·0.210-k(k=0,1,2,…,10), 由  返回目录 得  即 即 解得7 ≤k≤8 ,又k∈Z,所以k=8,即X=8的概率最大,D正 确. 故选BCD. 返回目录 5.★★★(2025届天津九校联考二模,13)为帮助学生减压,高三某班准备了“幸运抽奖 箱”,箱中共有10张卡片,其中6张为“获奖卡”.每位同学随机抽取3张,抽到获奖卡可 兑换奖品,每人抽完后箱中恢复原先10张卡片.甲同学参加了一次抽奖活动,则甲同学恰 好抽到2张“获奖卡”的概率为_________;若该班有60名同学,每人都恰参加一次抽奖活 动,则至少抽到1张“获奖卡”的人数的均值是__________.     58     解析　甲同学恰好抽到2张“获奖卡”的概率为P1= = . 至少抽到1张“获奖卡”的概率为P2=1- = , 设至少抽到1张“获奖卡”的人数为X,则X~B ,所以E(X)=60× =58. 返回目录 6.★★★★(创新情境)(2026届广东佛山S6高质量发展联盟联考,18)不同AI大模型各 有千秋,适用领域也各有所长.为了解某高校甲、乙两个学院学生对A,B两款不同AI大 模型是否使用,对学生进行简单随机抽样,获得数据如下表: 甲学院 乙学院 使用 不使用 使用 不使用 A款 40人 80人 60人 20人 B款 70人 50人 30人 50人 返回目录 假设所有学生对A,B两款大模型是否使用相互独立,用频率估计概率. (1)分别估计该校甲学院学生使用A款大模型的概率、该校乙学院学生使用A款大模型 的概率; (2)从该校甲学院全体学生中随机抽取2人,从乙学院全体学生中随机抽取1人,记这3人 中使用A款大模型的人数为X,求X的分布列及数学期望E(X); (3)从该校甲学院全体学生中随机抽取2人,记这2人中使用B款大模型的人数为Y1,其方 差估计值为D(Y1),从该校乙学院全体学生中随机抽取2人,记这2人中使用B款大模型的 人数为Y2,其方差估计值为D(Y2),比较D(Y1)与D(Y2)的大小. 返回目录 解析    (1)由题表可知:该校甲学院学生使用A款大模型的概率为 = , 该校乙学院学生使用A款大模型的概率为 = . (2)由题意可知X的可能取值为0,1,2,3, 则P(X=0)= × = , P(X=1)=  × × + × = , P(X=2)= × +  × × = , 返回目录 P(X=3)= × = , 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P         返回目录 所以E(X)=0× +1× +2× +3× = . (3)该校甲学院学生使用B款大模型的概率为 = , 该校乙学院学生使用B款大模型的概率为 = , 易知Y1~B ,Y2~B , 由二项分布的方差公式可知D(Y1)=2× × = = , D(Y2)=2× × = , 所以D(Y1)>D(Y2). 返回目录 五年高考 考点2　超几何分布 1.★★★(2022浙江,15,6分)现有7张卡片,分别写上数字1,2,2,3,4,5,6.从这7张卡片中随 机抽取3张,记所抽取卡片上数字的最小值为ξ,则P(ξ=2)=_________,E(ξ)=_________. 返回目录 解析　所抽取的3张卡片上数字的最小值为2可分两种情况:(1)3张卡片中恰有1张卡片 上数字为2;(2)3张卡片中恰有2张卡片上数字为2,所以P(ξ=2)= + = = . 而P(ξ=1)= = ,P(ξ=3)= = , P(ξ=4)= = ,所以E(ξ)=1× +2× +3× +4× = . 返回目录 2.★★★(2023全国甲理,19,12分)一项试验旨在研究臭氧效应,试验方案如下:选40只小 白鼠,随机地将其中20只分配到试验组,另外20只分配到对照组,试验组的小白鼠饲养在 高浓度臭氧环境,对照组的小白鼠饲养在正常环境,一段时间后统计每只小白鼠体重的 增加量(单位:g). (1)设X表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数,求X的分布列和数学期望. (2)试验结果如下: 对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为 15.2    18.8    20.2    21.3    22.5    23.2    25.8 26.5    27.5    30.1    32.6    34.3    34.8    35.6 返回目录 35.6    35.8    36.2    37.3    40.5    43.2 试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为 7.8    9.2    11.4    12.4    13.2    15.5    16.5 18.0    18.8    19.2    19.8    20.2    21.6    22.8 23.6    23.9    25.1    28.2    32.3    36.5 (i)求40只小白鼠体重的增加量的中位数m,再分别统计两样本中小于m与不小于m的数 据的个数,完成如下列联表: 返回目录 <m ≥m 对照组 试验组 (ii)根据(i)中的列联表,能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环 境中体重的增加量有差异? 附:K2= ,  . 返回目录 解析    (1)依题意得,X的所有可能取值为0,1,2, 则P(X=0)= = , P(X=1)= = , P(X=2)= = , ∴X的分布列为 X 0 1 2 P       返回目录 ∴E(X)=0× +1× +2× =1. (2)(i)依题意可得m= =23.4. 则对照组样本中小于m的数据的个数为6, 试验组样本中小于m的数据的个数为14, 则列联表为 <m ≥m 对照组 6 14 试验组 14 6 返回目录 (ii)由(i)中列联表可得 K2= =6.4>3.841, ∴有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差 异. 返回目录 三年模拟 1.★★★(2026届广东湛江调研,8)有甲、乙两个盒子,甲盒中有且仅有1个白球,乙盒中 有k(k>3)个白球和(k+1)个黑球,现从乙盒中随机抽取i(i=1,2)个球放入甲盒中,设放入后 在甲盒中随机抽取一个球是白球的概率为pi,甲盒中含有白球个数的期望为Ei,则  ( ) A.p1>p2,E1>E2　　    B.p1>p2,E1<E2 C.p1<p2,E1>E2　　    D.p1<p2,E1<E2 B     返回目录 解析　当i=1时,从乙盒取出白球和黑球的概率分别为 和 , 放入甲盒后,取出白球的概率分别为1和 , 故p1= ·1+ · = ,E1= ·2+ ·1= . 当i=2时,从乙盒取两个球,此时取出的白球数X服从超几何分布, 取出两个白球的概率P1= ,此时从甲盒中取出白球的概率为1; 取出两个黑球的概率P2= ,此时从甲盒中取出白球的概率为 ; 取出一白一黑的概率P3= ,此时从甲盒中取出白球的概率为 , 返回目录 则p2=P1·1+P2· +P3· = , 且放入的两个球中白球数的期望E(X)=2· = , 则E2=1+E(X)=1+ = , 则p1-p2= -  = >0,所以p1>p2, 又E1= ,E2= ,故E1<E2.故选B. 返回目录 2.★★★(2026届江苏南京金陵中学月考,13)从3名男生和3名女生中随机选择2人,设选 到男生的人数为X,则3X+2的方差为_________. 解析　由题意,知X满足超几何分布,且X的取值为0,1,2, 则P(X=0)= = ,P(X=1)= = ,P(X=2)= = , 则E(X)=0× +1× +2× =1, D(X)= ×(0-1)2+ ×(1-1)2+ ×(2-1)2= , 所以D(3X+2)=32D(X)=9× = . 返回目录 3.★★★(2026届江苏南京学情调研,15)袋中有8个大小相同的球,其中有3个黄球、5个 白球,从中随机地连续抽取2次,每次取1个球. (1)若每次抽取后都放回,设取到黄球的个数为X,求P(X≥1); (2)若每次抽取后都不放回,设取到黄球的个数为Y,求Y的分布列和数学期望. 返回目录 解析    (1)每次抽取后都放回,则取到黄球的个数X~B , 所以P(X=1)= × × = , P(X=2)= × = , 所以P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2)= + = . (2)每次抽取后都不放回,则取到黄球的个数Y的可能取值为0,1,2. P(Y=0)= = ,P(Y=1)= = , 返回目录 P(Y=2)= = . 所以Y的分布列为 Y 0 1 2 P       所以E(Y)=0× +1× +2× = = . 返回目录 4.★★★(2024届广东潮州期末,18)2023年9月26日晚,位于潮州市南春路的南门古夜市 正式开业了,首期共有70个摊位,集聚了潮州各式美食!南门古夜市的开业,推动潮州菜 产业发展,是潮州美食产业的又一里程碑.为了解游客对潮州美食的满意度,随机对100 名游客进行问卷调查(满分100分),这100名游客的评分分别落在区间[50,60),[60,70), [70,80),[80,90),[90,100]内,统计结果如频率分布直方图所示. (1)根据频率分布直方图,求这100名游客评分的平均值(同一区间的数据用该区间数据 的中点值为代表); (2)为了进一步了解游客对潮州美食的评价,采用分层抽样的方法从满意度评分位于区 间[50,60),[60,70),[80,90)的游客中抽取10人,再从中任选3人进行调查,求抽到满意度评 分位于[80,90)的人数ξ的分布列和数学期望. 返回目录   返回目录 解析    (1)根据频率分布直方图得 =(55×0.01+65×0.02+75×0.045+85×0.02+95×0.005)×10=74. 故这100名游客评分的平均值为74分. (2)由题图可知满意度评分位于区间[50,60),[60,70)和[80,90)的频率之比为1∶2∶2, 故抽取的10人中位于区间[50,60),[60,70)和[80,90)的分别为2人,4人,4人, 随机变量ξ的取值可以为0,1,2,3, P(ξ=0)= = ,P(ξ=1)= = , P(ξ=2)= = ,P(ξ=3)= = , 返回目录 故ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P         所以E(ξ)=0× +1× +2× +3× = . 返回目录 5.★★★★(2026届广东广州天河综合测试,18)为了弘扬中国优秀的传统文化,某校将 举办一次剪纸比赛,共进行7轮比赛,每轮比赛结果互不影响.比赛规则如下:每一轮比赛 中,参赛者在30分钟内完成规定作品2幅和创意作品1幅,若有不少于2幅作品入选,将获 得“巧手奖”.7轮比赛中,至少获得6次“巧手奖”的同学将进入决赛.某同学经历多次 模拟训练,指导老师从训练作品中随机抽取规定作品和创意作品各4幅,其中有3幅规定 作品和2幅创意作品符合入选标准. (1)从这8幅训练作品中,随机抽取规定作品2幅和创意作品1幅,记抽出的3幅作品中符合 入选标准的幅数为X,求X的分布列和数学期望; (2)以上述两类作品各自入选的频率作为该同学参赛时每幅作品入选的概率,经指导老 返回目录 师对该同学进行赛前强化训练,规定作品和创意作品入选的概率共增加了 ,以获得 “巧手奖”的次数期望为参考,试预测该同学能否进入决赛. 解析    (1)由题可知,X的所有可能取值为1,2,3, 所以P(X=1)= = , P(X=2)= = , P(X=3)= = , 故X的分布列为 X 1 2 3 P       返回目录 所以E(X)=1× +2× +3× =2. (2)设强化训练后,规定作品入选的概率为p1,创意作品入选的概率为p2, 则p1+p2= + + = , 由已知可得,强化训练后该同学某一轮可获得“巧手奖”的概率为 p= p1(1-p1)p2+ p2+ (1-p2) =2p1(1-p1)p2+  =2p1(1-p1) +  =2 -  + p1, 返回目录 ∵p1+p2= ,且p1≥ ,p2≥ , ∴ -p1≥ ,故可得 ≤p1≤ . 设f(x)=2x3- x2+ x , ∴f '(x)=6x2- x+ =6 + >0, ∴f(x)在 上单调递增, ∴f(x)≤f  =2× - × + × = . ∵该同学在7轮比赛中获得“巧手奖”的次数ξ~B(7,p), 返回目录 ∴E(ξ)=7p≤7× = <6, 故预测该同学不能进入决赛. 返回目录 五年高考 考点3　正态分布 1.★★★(2021新高考Ⅱ,6,5分)某物理量的测量结果服从正态分布N(10,σ2),则下列结论 中不正确的是( ) A.σ越小,该物理量一次测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大 B.该物理量一次测量结果大于10的概率为0.5 C.该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等 D.该物理量一次测量结果落在(9.9,10.2)内的概率与落在(10,10.3)内的概率相等     D     返回目录 解析　因为该物理量的测量结果服从正态分布N(10,σ2),所以正态曲线关于直线x=10对 称,且方差σ2越小,分布越集中.对于A,σ越小,测量结果越集中在10左右,则该物理量一次 测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大,故选项A中结论正确;对于B,测量结果大于10的 概率为0.5,故选项B中结论正确;对于C,由于正态曲线关于直线x=10对称,所以测量结果 大于10.01的概率与小于9.99的概率相等,故选项C中结论正确;对于D,测量结果落在 (9.9,10.2)内的概率大于落在(10,10.3)内的概率,故选项D中结论错误.故选D. 返回目录 2.★★★(多选)(2024新课标Ⅰ,9,6分)随着“一带一路”国际合作的深入,某茶叶种植 区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入(单位:万元)情况,从该种植区抽 取样本,得到推动出口后亩收入的样本均值 =2.1,样本方差s2=0.01,已知该种植区以往 的亩收入X服从正态分布N(1.8,0.12),假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N( ,s2), 则(若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(Z<μ+σ)≈0.841 3) ( ) A.P(X >2)>0.2　　    B.P(X >2)<0.5 C.P(Y >2)>0.5　　    D.P(Y >2)<0.8     BC     返回目录 解析    X~N(1.8,0.12),Y~N(2.1,0.12), 对于A,μ+2σ=1.8+2×0.1=2,P(X >2)=P(X >μ+2σ)<P(X >μ+σ)≈1-0.841 3=0.158 7,故A错误; 对于B,P(X >2)<P(X >1.8)=0.5,故B正确; 对于C,μ-σ=2.1-0.1=2,P(Y >2)>P(Y >2.1)=0.5,故C正确; 对于D,P(Y >2)=P(Y >μ-σ)=P(Y<μ+σ)≈0.841 3>0.8,故D错误.故选BC. 返回目录 3.★★(2022新高考Ⅱ,13,5分)已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(2<X≤2.5)= 0.36,则P(X >2.5)=____________.     0.14     解析　∵随机变量X服从正态分布N(2,σ2),∴μ=2. 由正态分布的性质可知P(X≤2)=P(X >2)=0.5, ∴P(2<X≤2.5)+P(X >2.5)=0.5, ∴P(X >2.5)=0.5-0.36=0.14. 返回目录 三年模拟 1.★★(2026届四川成都摸底(零诊),3)已知甲、乙两批袋装食盐的质量(单位:g)分别服 从正态分布N(μ甲, )和N(μ乙, ),其正态曲线如图所示,则( ) A.μ甲>μ乙,σ甲>σ乙　　    B.μ甲>μ乙,σ甲<σ乙 C.μ甲<μ乙,σ甲>σ乙　　    D.μ甲<μ乙,σ甲<σ乙     C     解析　从题图可以看出μ甲<μ乙, 又乙“高瘦”,甲“矮胖”,所以乙数据更加集中,方差比甲小,即σ甲>σ乙.故选C. 返回目录 2.★★(2026届江苏常州期中,4)已知随机变量X~N(μ,9),若P(X<1-a)=P(X>7+a)(a∈R),则 ( ) A.E(X)=3,D(X)=3　　    B.E(X)=4,D(X)=3 C.E(X)=3,D(X)=9　　    D.E(X)=4,D(X)=9     D     解析　由题意及正态分布的对称性得1-a+7+a=2μ,则μ=4,所以E(X)=4,D(X)=9.故选D. 返回目录 3.★★(2026届广东六校联盟第二次联考,3)已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(2 ≤X<6)=0.4,则P(X<2||X|>2)= ( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      C     解析　由题可知该正态分布曲线的对称轴为直线x=2, 则P(X<2)=P(X >2)=0.5, 又P(2≤X<6)=0.4, 所以由对称性可知P(X<-2)=P(X≥6)=0.5-0.4=0.1, 则由条件概率公式得P(X<2||X|>2)= = = .故选C. 返回目录 4.★★(2026届浙江金华十校一模,5)已知随机变量X~N(2,σ2),且P(X<0)=0.3,则P(0<X<4) 的值为 ( ) A.0.2　　    B.0.4　　     C.0.7　　    D.0.35     B     解析　由题设得P(X<2)=0.5,且P(X<0)=0.3,则P(0<X<2)=0.2, 由正态分布曲线关于直线x=2对称,得P(0<X<4)=0.4.故选B. 返回目录 5.★★★(多选)(2026届河南安阳调研,9)在临床试验中某基因编辑疗法能用于治疗遗 传性高血压,治疗后患者血压降低值X(mmHg)服从正态分布N(20,52),则 ( ) A.P(X<15)>P(X >25) B.10位患者治疗后血压降低值大于20的人数一定不小于5 C.2位患者治疗后血压降低值都大于20的概率为  D.3位患者治疗后至少有1位的血压降低值大于20的概率为      CD     返回目录 解析　对于A,P(X<15)=P(X >25),A错误; 对于B,根据正态分布可知1位患者血压降低值大于20的概率为 ,但不能得到10位患者 治疗后血压降低值大于20的人数一定不小于5,故B错误; 对于C,根据正态分布可知1位患者血压降低值大于20的概率为 ,则2位患者治疗后血 压降低值都大于20的概率为 ,故C正确; 对于D,3位患者治疗后血压降低值都不大于20的概率为 = ,则3位患者治疗后至 少有1位的血压降低值大于20的概率为1- = ,故D正确. 故选CD. 返回目录 6.★★★(多选)(2026届陕西西安新城联考,9)已知随机变量X~N(8,4),若P(X≤6)=a,P(8< X<10)=b,则 ( ) A.P(X≥10)=a　　    B.a+b=  C.E(2X-1)=13　　    D.D(2X-2)=14     AB     解析　因为随机变量X~N(8,4),所以P(X≥10)=P(X≤6)=a,A正确;a+b=P(X≤6)+P(8<X< 10)=P(X≥10)+P(8<X<10)=P(X>8)= ,B正确;因为随机变量X~N(8,4),所以E(X)=8,D(X)= 4,E(2X-1)=2E(X)-1=2×8-1=15,C错误;D(2X-2)=4D(X)=16,D错误. 返回目录 7.★★★(多选)(2026届广西柳州一模,10)下列结论正确的是 ( ) A.若随机变量X~N(3,4),则P(X≤-1)=P(X≥7) B.已知随机变量X,Y满足X+2Y=6,若X~B(4,0.5),则E(Y)=2,D(Y)=0.25 C.数据:0,7,5,1,6,11,12的第70百分位数为6 D.离散型随机变量X服从两点分布,且P(X=0)=2-3P(X=1)=a,则a=      ABD     返回目录 解析　对于A,∵X~N(3,4), ∴P(X≤-1)=P(X≥7),A正确; 对于B,∵X~B(4,0.5),∴E(X)=4×0.5=2,D(X)=4×0.5×0.5=1, ∵X+2Y=6,∴Y= =3- X, ∴E(Y)=3- E(X)=3- ×2=2,D(Y)=D = D(X)= ×1=0.25,B正确; 对于C,将数据从小到大排列为0,1,5,6,7,11,12,7×70%=4.9,∴第70百分位数为7,C错误; 对于D,∵2-3P(X=1)=P(X=0)=a,∴P(X=1)= ,∵随机变量服从两点分布,∴a+ =1, 解得a= ,D正确.故选ABD. 返回目录 8.★(2026届黑龙江大庆教学质量检测,12)已知随机变量X~N(3,σ2),且P(0<X≤3)=0.4,则 P(X≥6)=___________.     0.1     解析　因为正态曲线关于直线x=3对称,P(0<X≤3)=0.4,所以P(3<X<6)=0.4,所以P(X ≥6) =P(X ≥3)-P(3<X<6)=0.5-0.4=0.1. 返回目录 9.★★★(2026届重庆南开中学月考,15)近期我校被评为全国首批智能研修平台规模化 应用领航培育校,中央电教馆在我校举办项目启动活动,并特设南开专场活动.为了了解 AINK人工智能对学生学习的助力情况,学校组织了高一学生参加“AINK人工智能” 知识竞赛(满分100分),并从中随机抽查了100名学生的成绩(单位:分),将他们的成绩分 成以下6组:[40,50),[50,60),[60,70),…,[90,100],统计结果如下面的频数分布表所示. 组别 [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 频数 10 15 20 30 15 10 返回目录 已知高一学生的这次竞赛成绩X近似服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似取为样本平均数  的整数部分,σ近似取为样本标准差s的整数部分,并已求得σ=14(同一组中的数据用该 组区间的中点值为代表). (1)从高一年级随机抽取一个学生的竞赛成绩,试估计他的竞赛成绩在区间(56,98]内的 概率(结果保留一位小数); (2)现从高一年级随机选取n名同学的竞赛成绩,根据(1)的结果,若他们的成绩均在(56,98] 内的概率不低于1%,求n的最大值(n为正整数). 参考数据:lg 2≈0.301,若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.954 5. 返回目录 解析    (1)由题意可知6个分组区间的中点值分别为45,55,65,75,85,95, 则样本平均数估计值 = =70.5,可得μ=70. 由σ=14,得μ-σ=70-14=56,μ+2σ=70+2×14=98, 因为X~N(μ,σ2), 所以P(56<X≤98)=P(μ-σ<X≤μ+2σ) =P(μ-σ<X≤μ)+P(μ<X≤μ+2σ) ≈ + =0.818 6≈0.8. (2)设“从高一年级随机选取一名学生的竞赛成绩在(56,98]内”为事件A,则P(A)=0.8, 返回目录 可得从高一年级随机选取n名同学的竞赛成绩,他们的成绩均在(56,98]内的概率为P= 0.8n. 由0.8n≥0.01,两边取常用对数可得 nlg 0.8≥lg 0.01. 因为lg 0.8=lg =3lg 2-1≈3×0.301-1=-0.097,lg 0.01=-2, 所以n≤ ≈20.6,因为n为正整数,所以n的最大值为20. 返回目录 10.★★★(2025届河南平许济洛三模,16)为丰富学生的课余生活,某地举办了2025年数 学文化知识挑战赛,举办方从中随机抽取了100名学生的成绩,并进行统计整理,现将成 绩(满分100分)划分为四个分数段:[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].已知m=2n,各分数段 人数的频数统计如表: 分数段 [20,40) [40,60) [60,80) [80,100] 频数 10 30 m n 返回目录 (1)求m,n的值; (2)按成绩进行分层,采用分层随机抽样的方法从这100人中抽取10人,再从这10人中随 机抽取4人,设抽到的4人中成绩在[60,100]内的人数为X,求X的分布列与期望; (3)由以往比赛成绩的数据分析可知,学生成绩T~N(64,121).已知今年该地共有20 000名 学生参加比赛,估计成绩在[86,97]内的学生人数. 参考数据:若T~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤T≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤T≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ ≤T≤μ+3σ)≈0.997 3. 返回目录 解析    (1)因为10+30+m+n=100,m=2n,所以m=40,n=20. (2)由分层随机抽样可知,抽取的10人中,成绩在[60,100]内的人数为 ×10=6,抽到 的4人中成绩在[60,100]内的人数X的可能取值为0,1,2,3,4, P(X=0)= = , P(X=1)= = = , P(X=2)= = = , P(X=3)= = = , 返回目录 P(X=4)= = = , X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P           E(X)=0× +1× +2× +3× +4× = + + + = =2.4. (3)已知T~N(64,121),则μ=64,σ= =11.μ+2σ=64+2×11=86,μ+3σ=64+3×11=97, 则P(86≤T≤97) = ≈ =0.021 4, 所以成绩在[86,97]内的学生人数约为20 000×0.021 4=428. 返回目录 $