第54讲　二项分布与超几何分布、正态分布课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“计数原理、概率及其分布”专题，覆盖二项分布、超几何分布、正态分布三大核心考点，依据高考评价体系明确概率计算、分布列构建、期望方差求解等考查要求，通过教材经典题与2025-2026年模拟题分析，归纳出“二项分布独立重复试验”“超几何分布不放回抽样”“正态分布3σ原则”等高频题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题解析+素养培养”双轨模式，如以2026南京期初题为例，通过对比放回与不放回抽样，培养学生数学思维中的逻辑推理能力，结合正态分布例题强化数学语言表达（分布列规范书写）。特设“易错点警示”（如二项分布与超几何分布混淆）和“答题模板”，助力学生掌握得分技巧，教师可据此系统开展专题复习，提升备考效率。

第十章 第54讲　二项分布与超几何分布、正态分布 计数原理、概率及其分布 1 1．(教材经典题)将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，X表示“正面朝上”出现的次数，则E(X)＝_____，D(X)＝_____． 【解析】 2 1 2．(教材经典题)某市高二年级男生的身高X(单位：cm)近似服从正态分布N(170，52)，随机选择一名该市高二年级的男生，则P(165≤X≤175)＝___________． 【解析】 　　　　由题可得身高X作为变量符合μ＝170，σ＝5的正态分布，P(165≤X≤175)＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＝0.682 7． 0.682 7 3．(教材经典题)学校要从12名候选人中选4名同学组成学生会，已知有4名候选人来自甲班．假设每名候选人都有相同的机会被选到，则甲班恰有2名同学被选到的 概率是______． 【解析】 4．(教材经典题)若某射手每次射击击中目标的概率为0.9，每次射击的结果相互独立，则在他连续4次的射击中，恰好有一次未击中目标的概率是____________． 【解析】 0.291 6 5．(教材经典题)袋装食盐标准质量为400 g，规定误差的绝对值不超过4 g就认为合格．假设误差服从正态分布，随机抽取100袋食盐，误差的样本均值为0，样本方差为4，可估计这批袋装食盐的合格率为___________． 【解析】 　　　　设误差为X，则X～N(0，4)，所以P(|X|≤4)＝P(－4≤X≤4)＝P(μ－2σ≤X ≤μ＋2σ)≈0.954 5，故合格率约为95.45%． 95.45% 一、二项分布 1．伯努利试验 只包含________可能结果的试验叫做伯努利试验．将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为__________________． 两个 n重伯努利试验 2．二项分布 3．两点分布与二项分布的均值、方差 (1) 若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝______，D(X)＝___________． (2) 若X～B(n，p)，则E(X)＝_______，D(X)＝_____________． X～B(n，p) p p(1－p) np np(1－p) 二、超几何分布 1．定义：一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，那么X的分布列为P(X＝k)＝ __________，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布． 2．超几何分布的均值与方差(*) X～N(μ，σ2) x＝μ x＝μ 3．3σ原则：假设X～N(μ，σ2)，则 (1) P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7； (2) P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5； (3) P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3． 4．正态分布的均值与方差 若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝______，D(X)＝______． μ σ2 目标 1 二项分布 　　　(2026·南昌期初)某科研院所成立攻关研究小组，准备攻克一个“卡脖子”难题，研究分两个阶段，第一阶段研究三个基础问题，第二阶段研究三个应用问题．若该攻关研究小组第一阶段内能解决这三个问题中的至少两个，就可以进入第二阶段，研究应用性问题，否则该攻关研究小组解散．假设该小组在第一阶段内解决每个基础问题的概率均为0.5，若该攻关研究小组进入了第二阶段，该攻关研究小组能解决每个应用问题的概率均为0.4(假设各个阶段的每个问题均相互独立)． (1) 求该攻关研究小组能进入第二阶段研究的概率； 1 【解答】 　　　　该攻关研究小组能进入第二阶段研究的概率为p＝0.53＋C×0.52×(1－0.5)＝0.5． 　　　(2026·南昌期初)某科研院所成立攻关研究小组，准备攻克一个“卡脖子”难题，研究分两个阶段，第一阶段研究三个基础问题，第二阶段研究三个应用问题．若该攻关研究小组第一阶段内能解决这三个问题中的至少两个，就可以进入第二阶段，研究应用性问题，否则该攻关研究小组解散．假设该小组在第一阶段内解决每个基础问题的概率均为0.5，若该攻关研究小组进入了第二阶段，该攻关研究小组能解决每个应用问题的概率均为0.4(假设各个阶段的每个问题均相互独立)． (2) 在该攻关研究小组进入第二阶段研究的前提下，记该攻关研究小组解决应用问题的个数为X，求随机变量X的分布列和期望； 1 【解答】 X 0 1 2 3 P 0.216 0.432 0.288 0.064 其数学期望E(X)＝3×0.4＝1.2． 　　　(2026·南昌期初)某科研院所成立攻关研究小组，准备攻克一个“卡脖子”难题，研究分两个阶段，第一阶段研究三个基础问题，第二阶段研究三个应用问题．若该攻关研究小组第一阶段内能解决这三个问题中的至少两个，就可以进入第二阶段，研究应用性问题，否则该攻关研究小组解散．假设该小组在第一阶段内解决每个基础问题的概率均为0.5，若该攻关研究小组进入了第二阶段，该攻关研究小组能解决每个应用问题的概率均为0.4(假设各个阶段的每个问题均相互独立)． (3) 第一阶段，该攻关研究小组能获得1亿元启动经费，第二阶段，每解决一个应用问题，该攻关研究小组能获得5亿元费用．记该攻关研究小组在这两阶段获得的总费用和为Y(单位：亿元)．求随机变量Y的期望值． 1 【解答】 　　　　记进入第二阶段前提下，获得的费用为随机变量Z(单位：亿元)，则Z＝5X，所以E(Z)＝5E(X)＝6，所以E(Y)＝1＋p·E(Z)＋(1－p)×0＝4． (1) 在求n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定n和k的值，再准确利用公式求概率；(2) 在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n和变量的概率，从而求得概率． (1) 求初学者滑雪入门的概率； 【解答】 (2) 现有一旅行团到宜春明月山冰雪体验中心游玩，其中有30人参加滑雪培训，且均为初学者，每个人滑雪条件相当，令X为滑雪入门的人数，求E(X)及这30人中滑雪入门概率最大的人数． 【解答】 目标 2 超几何分布 　　　(2025·石家庄三模)某短视频平台在2025年上半年推出了新一代的“AI推荐算法”，为了检测受众情况，该公司从点赞的用户中随机选取100名志愿者统计他们的年龄，并按年龄差异绘制如图所示的频率分布直方图． 2 (1) 估计这100名志愿者年龄的中位数(结果精确到0.01)和平均数； 【解答】 由频率分布直方图可知，样本平均数的估计值为20×0.01×10＋30×0.015×10＋40×0.035×10＋50×0.03×10＋60×0.01×10＝41.5．故估计这100名志愿者年龄的中位数和平均数分别为42.14和41.5． 　　　(2025·石家庄三模)某短视频平台在2025年上半年推出了新一代的“AI推荐算法”，为了检测受众情况，该公司从点赞的用户中随机选取100名志愿者统计他们的年龄，并按年龄差异绘制如图所示的频率分布直方图． 2 (2) 依据上述调研结果，按照各年龄段人数的比例，用分层随机抽样的方法从这100名志愿者中随机选取20名志愿者参加座谈会，为了更好地了解年轻人群体，需要从参加座谈会的年龄在[25，45)的人中随机选出3人作为代表发言，设随机变量X表示代表年龄在[25，35)的志愿者人数，求X的分布列及期望． 【解答】 　　　　由题可知从中选取的20名志愿者中，年龄在[25，45)的有20×(0.015＋0.035)×10＝10人，其中年龄在[25，35)的有20×0.015×10＝3人． 目标 3 二项分布与超几何分布的识别 　　　(2026·南京期初)袋中有8个大小相同的球，其中有3个黄球，5个白球，从中随机地连续抽取2次，每次取1个球． (1) 若每次抽取后都放回，设取到黄球的个数为X，求P(X≥1)； 3 【解答】 　　　(2026·南京期初)袋中有8个大小相同的球，其中有3个黄球，5个白球，从中随机地连续抽取2次，每次取1个球． (2) 若每次抽取后都不放回，设取到黄球的个数为Y，求Y的分布列和数学期望． 3 【解答】 在n次试验中，某事件A发生的次数X可能服从超几何分布或二项分布． 区别 ①当这n次试验是独立重复试验时(如有放回摸球)，X服从二项分布； ②当n次试验不是独立重复试验时(如不放回摸球)，X服从超几何分布 联系 在不放回n次试验中，如果总体数量N很大，而试验次数n很小，此时超几何分布可近似转化成二项分布 目标 4 正态分布 　　　(1)(2025·青岛二测)(多选)若随机变量X服从正态分布N(0，22)，随机变量Y服从正态分布N(2，32)，则 (　　　) A．E(2X＋1)＝1 B．D(2Y＋1)＝12 C．P(X≤－2)＋P(X≤2)＝1 D．P(|X|≤2)＞P(|Y|≤2) 4 【解析】 　　　　对于A，E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝1，故A正确；对于B，D(2Y＋1)＝4D(Y)＝4×9＝36，故B错误； ACD 　　　(2)(2025·湛江二模)某林业科学院培育新品种草莓，新培育的草莓单果质量ξ(单位：g)近似服从正态分布N(50，4)，现有该新品种草莓10 000个，估计其中单果质量超过52 g的草莓有 (　　) 附：见聚焦知识 A．228个　 B．456个 C．1 587个　 D．3 174个 4 【解析】 C 解决正态分布问题有三个关键点：(1) 正态密度曲线的对称轴x＝μ；(2) 标准差σ；(3) 分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．注意只有在μ＝0时正态密度曲线的对称轴才为x＝0． 变式4　(2025·宣城期末)(多选)宣城市开展国家体育健康测试抽测工作，某校高三年级甲、乙两个班级被抽中，甲班的成绩X与乙班的成绩Y均服从正态分布，且X～N(120，100)，Y～N(140，160)，则 (　　　) A．E(X)＝120 B．D(Y)＝40 C．P(X＜80)＋P(X≤160)＝1 D．P(X＜160)＞P(Y＜160) 【解析】 　　　　对于A，由X～N(120，100)，得E(X)＝120，故A正确； 对于B，由Y～N(140，160)，得D(Y)＝160，故B不正确； 对于C，由于随机变量X服从正态分布，该正态曲线的对称轴为直线X＝120，所以P(X＜80)＋P(X≤160)＝P(X＞160)＋P(X≤160)＝1，故C正确； 【答案】ACD　 1．(2025·九江一模)教育局准备了9个教育相关问题(含问题A)到某校调研教职员工的学习情况，从该校随机抽取了6名教师，每名教师相互独立地随机抽取3个问题并作答，且每个问题被抽取的可能性相等．记X表示抽到问题A的教师人数，则E(X)＝ (　　) 【解析】 D 2．根据现行国家标准，PM2.5日均值(单位：μg/m3)在35以下，空气质量为一级；在35～75，空气质量为二级；在75以上，空气质量为超标．工作人员从某自然保护区2024年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示： PM2.5日均值 (25，35] (35，45] (45，55] 频数 3 1 1 PM2.5日均值 (55，65] (65，75] (75，85] 频数 1 1 3 从这10天的数据中任取3天数据，记X表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，则X的均值是 (　　) 【解析】 A 3．(2026·蚌埠期初)(多选)已知随机变量X～N(μ，σ2)，随机变量Y～B(3，p)，若P(X≤1)＝0.5，E(X)＝E(Y)，D(X)＝D(Y)，则下列说法正确的是 (　　　) 【解析】 　　　　对于A，因为随机变量X～N(μ，σ2)，且P(X≤1)＝0.5，所以结合正态曲线的对称性可得μ＝1，故A正确； 【答案】ACD 【解析】 1 配套练习题 一、单项选择题 【解析】 B 2．(2025·邵阳联考)为了推广一种新产品，某公司开展了有奖促销活动：将6件这种产品装一箱，每箱中都放置2件能够中奖的产品．若从一箱中随机抽出2件，能中奖的概率为 (　　) 【解析】 B 3．将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，则正面朝上出现的频率在[0.4，0.6]内的概率是 (　　) 【解析】 C 【解析】 A 【解析】 C 【解析】 【答案】ACD 7．已知一袋中有大小、质地相同的4个红球和2个白球，则下列结论中正确的有 (　　　) 【解析】 【答案】ABD 三、填空题 8．已知随机变量X～B(6，p)，且E(X)＝3，则P(X＝1)＝______． 【解析】 9．某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过三次射击，此人至少有两次击中目标的概率为_________． 【解析】 0.648 【解析】 四、解答题 11．(2026·漳州一检)2025年某市创新创业大赛吸引了众多优质项目参与，经评审，某领域有10个项目进入最终角逐，其中科技类项目6个，文创类项目4个． (1) 为分析项目研发投入与最终得分的关系，收集了该领域5个项目的研发投入x(单位：万元)和最终得分y(单位：分)，数据如下表： 研发投入x 20 30 40 50 60 最终得分y 66 69 76 79 84 【解答】 11．(2026·漳州一检)2025年某市创新创业大赛吸引了众多优质项目参与，经评审，某领域有10个项目进入最终角逐，其中科技类项目6个，文创类项目4个． (2) 从上述10个项目中随机抽取3个进行路演展示，记抽中的科技类项目个数为X，求X的分布列和数学期望． 【解答】 12．(2026·唐山期初)甲、乙两人各有一个乒乓球袋，袋内均装有10个规格相同的乒乓球，其中4个黄球，6个白球，两人从各自袋中摸球． (1) 甲无放回摸出两个球，用X表示摸出黄球的个数，求X的分布列和数学期望； 【解答】 12．(2026·唐山期初)甲、乙两人各有一个乒乓球袋，袋内均装有10个规格相同的乒乓球，其中4个黄球，6个白球，两人从各自袋中摸球． (2) 甲、乙两人玩游戏，规则如下：甲无放回摸球，乙有放回摸球，若两人各自都摸两次，每次摸出一个球，谁摸出的黄球个数多谁就获胜，判断谁获胜的概率较大，并说明理由． 【解答】 【解析】 D 2．数学老师从6道题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格．某同学只能正确求解其中的4道题，则该同学能及格的概率为 (　　) 【解析】 A 3．(2025·厦门一模)已知随机变量X服从正态分布N(1，σ2)，若P(X≤a)＝0.3，且P(a≤X≤a＋2)＝0.4，则a＝ (　　) 【解析】 　　　　由题意知随机变量X服从正态分布N(1，σ2)，P(X≤a)＝0.3，如图所示，结合P(a≤X≤a＋2)＝0.4，得P(X≥a＋2)＝0.3，可知a，a＋2关于x＝1对称，所以a＋a＋2＝2×1，解得a＝0． C 【解析】 D 5．(2025·清远二模)已知随机变量X服从正态分布N(10，σ2)，下列结论中正确的是 (　　) A．P(X＜9.9)＋P(X≤10.1)＞1 B．当σ＝0.1时，D(2X＋1)＝0.4 D．随机变量X落在(9.9，10.2)与落在(9.8，10.1)的概率相等 【解析】 　　　　对于A，P(X＜9.9)＋P(X≤10.1)＝P(X＞10.1)＋P(X≤10.1)＝1，故A错误； 对于B，当σ＝0.1时，D(2X＋1)＝4D(X)＝0.04，故B错误； 对于C，由正态分布密度曲线可知E(X)＝μ＝10，故C错误； 对于D，由正态分布密度曲线的对称性可知，随机变量X落在(9.9，10.2)与落在(9.8，10.1)的概率相等，故D正确． 【答案】D 二、多项选择题 6．(2025·潍坊期末)为了解某地区推广新农业技术后的农作物亩产量(单位：千克) 情况，从该地区抽取样本，得到推广新技术后农作物的平均亩产量为510，样本方差为4．已知该地区以往农作物的平均亩产量为500，样本方差为36，假设以往农作物的亩产量X和推广新技术后的亩产量Y都服从正态分布，则 (　 　) A．X～N(500，362) B．Y～N(510，22) C．P(X≤510)＞P(Y≤510) D．P(X≤514)＜P(Y≤514) 【解析】 　　　　由题意得X～N(500，62)，Y～N(510，22)，故A错误，B正确； 因为P(X≤510)＞0.5，P(Y≤510)＝0.5，所以P(X≤510)＞P(Y≤510)，故C正确； 因为P(X≤514)＞P(X≤512)＝P(X≤μ＋2σ)，P(Y≤514)＝P(Y≤μ＋2σ)，所以P(X≤514)＞P(Y≤514)，故D错误． BC 7．(2025·保定二模)若0＜p＜1，随机变量X～B(6，p)，Y～N(6，p2)，则(　　　) 【解析】 【答案】ACD 【解析】 【解析】 【解析】 四、解答题 11．(2026·丽水、湖州、衢州检测)已知甲、乙两个袋子，其中甲袋内有1个红球和3个白球，乙袋内有2个红球和2个白球．根据下列规则进行连续有放回地摸球(每次只摸1个球)：先随机选择一个袋子摸球．若选中甲袋，则后续每次均选择甲袋摸球；若选中乙袋，则后续再随机选择一个袋子摸球． (1) 按照上述规则摸球3次，当第1次选中的是甲袋，求摸到红球的个数X的分布列及期望E(X)； 【解答】 故X的分布列为 11．(2026·丽水、湖州、衢州检测)已知甲、乙两个袋子，其中甲袋内有1个红球和3个白球，乙袋内有2个红球和2个白球．根据下列规则进行连续有放回地摸球(每次只摸1个球)：先随机选择一个袋子摸球．若选中甲袋，则后续每次均选择甲袋摸球；若选中乙袋，则后续再随机选择一个袋子摸球． (2) 按照上述规则进行连续摸球，若摸到2次红球则停止摸球，求3次之内(含3次)停止摸球的概率． 【解答】 　　　　设事件M＝“3次之内(含3次)停止摸球”，事件A＝“第1次摸到红球，第2次摸到红球”，事件B＝“第1次摸到红球，第2次摸到白球，第3次摸到红球”，事件C＝“第1次摸到白球，第2次摸到红球，第3次摸到红球”，事件Di＝“首次选择甲袋是第i次摸球”(i＝1，2，3)，事件D0＝“一直没有选择甲袋”． 12．(2025·景德镇三模)2025年1月下旬，Deep-Seek的R1模型发布，该模型在全球范围内引发广泛关注．现为了对其产品用户的使用行为进行统计分析，收集了1 000名用户的每日使用时长(单位：分钟)，得到如图所示的频率分布直方图，每日使用时长不小于60 min的用户称为“忠实粉丝”． 【解答】 12．(2025·景德镇三模)2025年1月下旬，Deep-Seek的R1模型发布，该模型在全球范围内引发广泛关注．现为了对其产品用户的使用行为进行统计分析，收集了1 000名用户的每日使用时长(单位：分钟)，得到如图所示的频率分布直方图，每日使用时长不小于60 min的用户称为“忠实粉丝”． (2) 现采用分层随机抽样的方法从样本中使用时长在[40，60)，[80，100)的用户中随机抽取7人，并从中随机抽取2人作进一步分析，记X为2人中“忠实粉丝”的人数，求X的分布列和期望； 【解答】 12．(2025·景德镇三模)2025年1月下旬，Deep-Seek的R1模型发布，该模型在全球范围内引发广泛关注．现为了对其产品用户的使用行为进行统计分析，收集了1 000名用户的每日使用时长(单位：分钟)，得到如图所示的频率分布直方图，每日使用时长不小于60 min的用户称为“忠实粉丝”． (3) 用样本的频率估计概率，从该产品所有用户中抽取5人，ξ为忠实粉丝的人数，记ξ＝k时对应的概率为Pk，则k为多少时，Pk最大？ 【解答】 X 0 1 2 3 P Y 0 1 2 P X 0 1 2 3 P 　　　　X的可能取值为0，1，2，P(X＝0)＝×＝，P(X＝1)＝×＋×＝＝，P(X＝2)＝×＝．因此，X的分布列为 X 0 1 2 P 10．(2025·苏锡常镇二模)已知随机变量X，Y相互独立，且X～N(4，4)，Y～B，则P(X≤4，Y≤4)＝______；若Z＝X＋Y，则 (Z≤t)＝______． X 0 1 2 3 P 　　　　由频率分布直方图可知，[40，60)与[80，100)的用户人数之比为3∶4，所以分层随机抽样抽取的7人中，有4人是忠实粉丝，从7人中任取2人，X的取值为0，1，2，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，所以X的分布列为 X 0 1 2 P $