精品解析：河南省新乡市部分校2025-2026学年高二下学期素养评价（三）数学试题（人教Ａ卷）

2025—2026学年度高二下学期素养评价（三） 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某高中高二年级要从1，2，3班中选取1名同学参加作文比赛，1班推荐了4人，2班推荐了6人，3班推荐了3人，则高二年级可选择的方案有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】C 【解析】 【详解】由题意，得若选中的同学来自1班，则有4种选择方案； 若选中的同学来自2班，则有6种选择方案； 若选中的同学来自3班，则有3种选择方案． 由分类加法计数原理，得共有种选择方案． 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，， ， ，解得． 3. 已知x，y是两个线性相关的变量，x，y的成对样本数据如下表所示．参数取整的经验回归方程为，则当时的残差为（ ） x 2 3 4 5 6 y 10 15 29 40 c A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据经验回归方程必过，可代入计算出表中的值，将带入计算预测值，根据残差的计算公式计算即可． 【详解】由题设条件，知． ∵点在经验回归直线上， ∴，∴，解得， ∴当时的残差为 ． 4. 会议室前排共有6个座位．某次会议，要从4名男性中选2人，从3名女性中选2人，共4人安排在前排就坐，则不同的安排方法有（ ） A. 5930种 B. 6480种 C. 6820种 D. 7660种 【答案】B 【解析】 【分析】从4名男性中选2人，从3名女性中选2人，再安排座位. 【详解】第一步，选人：从4名男性中选2人，从3名女性中选2人，有种选法． 第二步，安排座位：从6个座位中选4个安排选出的4人，有种安排方法． 由分步乘法计数原理，有种安排方法． 5. 函数 在区间上的零点情况是（ ） A. 有3个零点 B. 有2个零点 C. 有1个零点 D. 没有零点 【答案】D 【解析】 【分析】先根据导数研究函数在区间上的单调递增，再结合即可判断. 【详解】因为 ，， 所以． 当时，，所以函数在区间上单调递增． 因为 ，所以函数在区间上没有零点． 6. 某部武警官兵的身高指标．现要从一个大队400名战士中选取礼仪兵，要求礼仪兵的身高指标，估计这400名战士中符合“”的有（ ）（四舍五入到个位） 参考数据：若，则， A. 7人 B. 9人 C. 12人 D. 16人 【答案】B 【解析】 【详解】由题意，得， 所以 ． 因为，所以估计这400名战士中符合“”的有9人． 7. 小王、小李玩闯关游戏，该游戏一共有5关，小王、小李每关闯关成功的概率均为，小王和小李闯关成功相互独立．若事件A为“在完成闯关游戏后，小王闯关成功的次数恰好比小李多3”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据小王，小李两人闯关成功与否互不影响，每次试验小王，小李成功的概率都不变，可分析各自成功的次数满足二项分布，利用二项分布的概率模型进行分析对应随机变量的取值所满足事件A的情况，带入二项分布公式即可． 【详解】设小王、小李闯关成功的次数分别为X，Y，则X，Y均服从二项分布． 由题意，得事件， 且事件，，互斥， X与Y相互独立． 因为， 所以． 8. 已知函数在上的最小值为0，则实数a的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得在上恒成立，且能取等号，即，令 ，再利用导数得到 ，解方程即可． 【详解】由题意得在上恒成立，且能取等， 即在上恒成立，且能取等， 令 ，则的最小值为0， 因为， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； ，解得． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数 ，，则下列关于函数的描述正确的有（ ） A. 函数在上单调递增 B. 函数在上单调递增 C. 函数在上单调递减 D. 函数在上单调递减 【答案】ABD 【解析】 【详解】∵ ，， ∴ ．解，即，得或. 解，即，得． ∴函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 故ABD正确，C错误. 10. 已知，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据赋值法求二项式系数之和即可判断AB；根据二项式奇偶项系数的求法即可判断C；根据二项展开式求特定项系数即可． 【详解】对于A，令，得 ，故A正确． 对于B，令，得 ，故B错误． 对于C，式子与相加， 得，所以． 令，得 ，所以，故C正确． 对于D，因为，且展开式的第3项为， 所以 ，故D错误． 11. 现采用有放回与不放回两种取球方式，从装有12个不同小球（6个红球，6个黑球）的盒中逐次抽取5个小球．记有放回的取球方式取得黑球的个数为X，不放回的取球方式取得黑球的个数为Y，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 当时，最大 D. 两种取球方式第三次取到黑球的概率均为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据服从二项分布计算，根据服从超几何分布计算即可判断A，B；通过比较各二项式系数得大小关系，确定概率最大对应的值，可以判断C；分别计算有放回时每次取黑球概率和不放回时各次取到黑球的概率，对比判断D. 【详解】由题意，得采用有放回的取球方式，取得黑球的个数； 采用不放回的取球方式，取得黑球的个数Y服从超几何分布． ∴ ， ，故A正确，B错误． ∵ ， ∴当或时，最大，故C错误． 采用有放回的方式取球，每次取到黑球的概率均为． 采用不放回的方式取球，第三次取到黑球的情况有红红黑、红黑黑、黑红黑、黑黑黑，4种． 其中“红红黑”的概率为，“红黑黑”的概率为， “黑红黑”的概率为，“黑黑黑”的概率为， ∴第三次取到黑球的概率为， ∴两种取球方式第三次取到黑球的概率均为，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数为_______．（用数字作答） 【答案】5103 【解析】 【详解】的展开式的通项为，． 令，解得r＝5，∴展开式中的系数为． 13. 某科研所需要一种高端零件，根据设计所需的精度，加工该零件只有三种精密机床可用，分别是精密机床1、精密机床2、精密机床3．王师傅负责加工该零件，他选择精密机床1、精密机床2、精密机床3进行加工的概率分别为，且选择精密机床1、精密机床2、精密机床3进行加工能达到设计精度的概率分别为．王师傅完成零件加工后，零件能达到设计精度的概率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据全概率公式求解即可. 【详解】设事件A为“王师傅选择精密机床1进行加工”， 事件B为“王师傅选择精密机床2进行加工”， 事件C为“王师傅选择精密机床3进行加工”， 事件D为“加工完成的零件达到设计精度”， 则， ， ，， 所以 , 即王师傅完成零件加工后，零件能达到设计精度的概率为 14. 函数f（x）＝ 的最大值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先确定函数的定义域为，对求导后根据导数的符号变化判断的单调性，进而找到函数的最大值点，代入原函数计算即可得到最大值. 【详解】∵ ，， ∴． 设，则． 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 当时，取得极大值，也是最大值，即对， ， ∴ 在上恒成立． ∴当时，，单调递增；当时，，单调递减． ∴当时，函数取得极大值，也是最大值， ∴函数的最大值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 解答下列各题： （1）化简： （2）把5个相同的小球放入3个不同的盒子中，且每个盒子中至少有一个小球，共有多少种不同的放法？ 【答案】（1） （2）6 【解析】 【小问1详解】 ∵，， ∴．∵，∴． 【小问2详解】 方法一：相同物品分配用隔板法．5个小球中间形成4个空位， 选出2个放上隔板，形成3份，对应放入3个盒子中，有种放法，即有6种不同的放法． 方法二：根据盒子内小球的个数分成两类，一类是3，1，1；另一类是2，2，1． 按3，1，1放入：从3个盒子中选1个放入3个小球，其他2个盒子各放入1个小球， 有种选法，故有3种不同的放法． 按2，2，1放入：从3个盒子中选1个放入1个小球，其他2个盒子各放入2个小球， 有种选法，故有3种不同的放法． 由分类加法计数原理，得不同的放法有种． 16. 某传媒公司对“中学生性别和喜欢AI动漫是否有关”做了一次调查，参与调查的中学生有120人，调查后得到如下：2×2列联表． 性别 对AI动漫的态度 合计 喜欢 不喜欢 女生 24 36 60 男生 36 24 60 合计 60 60 120 （1）依据小概率值＝0.005的独立性检验，分析中学生对AI动漫的态度是否与性别有关联． （2）从参与调查的120名学生中随机抽取了8人，8人中有3名女生和5名男生，其中有2名女生和2名男生喜欢AI动漫．现从这8名学生中选派2名女生和3名男生参观该传媒公司动漫工作室，求这5人中恰有2人喜欢AI动漫的概率． 参考公式：，． 0.050 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）与性别无关 （2） 【解析】 【分析】（1）根据表格数据及公式，求出的值，即可推断是否有关联； （2）根据古典概型的概率公式求解，即可求得答案． 【小问1详解】 零假设为：中学生对AI动漫的态度与性别无关． 根据列联表中的数据，计算得， 根据小概率值＝0.005的独立性检验，没有充分证据推断不成立，即认为中学生对AI动漫的态度与性别无关． 【小问2详解】 从8名学生（3名女生和5名男生）中，任选2名女生和3名男生，不同的选法有种， 若2名女生喜欢AI动漫，0名男生喜欢AI动漫，有 种； 若1名女生和1名男生喜欢AI动漫，有 种， 所以选出的5人中恰有2人喜欢AI动漫的概率为． 17. 已知函数（）． （1）讨论函数的单调性； （2）若，且在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2） 【解析】 【分析】（1）求导，分和两种情况，结合导数的符号分析函数的单调性即可； （2）分和两种情况，再结合（1）即可求出的取值范围． 【小问1详解】 因为，，所以， 当时，恒成立，所以在上单调递减； 当时，令，解得， 若时，，所以在上单调递减； 若时，，所以在上单调递增， 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 【小问2详解】 当时，，且其值域为，不满足恒成立，不符合题意； 由（1）可知，当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值， 若要满足恒成立，则的最小值 ，解得， 所以实数的取值范围为． 18. 现有四人参加摄影作品有奖大赛，规定每人只能选取一幅作品参加比赛．每一幅作品都要通过三次评审，三次评审都通过才可获奖．每一幅作品第一次评审被淘汰的概率为，第二次评审被淘汰的概率为，第三次评审被淘汰的概率为，每次评审是否被淘汰相互独立． （1）求送审的每幅作品被淘汰的概率． （2）每幅送审作品，若能够通过三次评审，则该幅作品可获奖金9000元；若被淘汰，则该幅作品要亏损3000元的报名费．求这四幅作品所获奖金的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2）分布列如下表． Y P 期望为20000【解析】 【分析】（1）先计算单次评审通过的概率，再用独立事件同时发生的概率公式计算获奖概率，最后用对立事件概率公式得到作品被淘汰的概率； （2）根据四幅作品中获奖作品数量服从二项分布，写出获奖奖金的分布列，再利用期望公式求解期望. 【小问1详解】 设事件分别为“一幅送审作品在第一、二、三次评审时通过”， 事件A为“一幅送审作品通过了三次评审”， 事件B为“一幅送审作品被淘汰”，则． 由题意，得． 因为， 所以， 所以送审的每幅作品被淘汰的概率为． 【小问2详解】 设四幅作品中，获奖的作品数为随机变量X． 由题意知，X的可能取值为0，1，2，3，4，且． 设这四幅作品所获奖金为随机变量Y（单位：元）， 则， Y的对应可能取值为． 因为， ， ， ， 所以Y的分布列如下表． Y P 所以期望为：. 19. 已知函数 有两个不同的零点，且． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）求实数的取值范围； （3）证明：． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先代入计算得到切点坐标，再对求导得到处的切线斜率，最后用点斜式整理得到切线方程； （2）先确定的定义域，求导分析的单调性得到最小值，令最小值小于，再结合零点存在性验证区间端点函数的取值趋势，从而得到的取值范围； （3）利用零点性质将替换为的表达式，将待证不等式转化为关于的关系，再结合的单调性和范围放缩化简即可证明结论. 【小问1详解】 若a＝1，则 ，定义域为， ． ∵，∴． ∴曲线在点处的切线方程为． 【小问2详解】 ∵ ，， ∴． 当时，，单调递增；当时，，单调递减， ∴当时，函数取得极小值，也是最小值． ∵函数有两个不同的零点，且， 当时，，当时，， ∴，即，∴实数的取值范围是. 【小问3详解】 证明：∵是函数的两个零点，且， ∴，且，， ∴要证，即证，即证， ∴证 ，∵，∴， ∴转化为证，即证. 设，，则 ， 当且仅当时等号成立，∴函数在上单调递减， ∴ ，∴当时，， ∴，∵，∴， ∵，∴，又，且在上单调递增， ∴，即得证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度高二下学期素养评价（三） 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某高中高二年级要从1，2，3班中选取1名同学参加作文比赛，1班推荐了4人，2班推荐了6人，3班推荐了3人，则高二年级可选择的方案有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知x，y是两个线性相关的变量，x，y的成对样本数据如下表所示．参数取整的经验回归方程为，则当时的残差为（ ） x 2 3 4 5 6 y 10 15 29 40 c A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 会议室前排共有6个座位．某次会议，要从4名男性中选2人，从3名女性中选2人，共4人安排在前排就坐，则不同的安排方法有（ ） A. 5930种 B. 6480种 C. 6820种 D. 7660种 5. 函数 在区间上的零点情况是（ ） A. 有3个零点 B. 有2个零点 C. 有1个零点 D. 没有零点 6. 某部武警官兵的身高指标．现要从一个大队400名战士中选取礼仪兵，要求礼仪兵的身高指标，估计这400名战士中符合“”的有（ ）（四舍五入到个位） 参考数据：若，则， A. 7人 B. 9人 C. 12人 D. 16人 7. 小王、小李玩闯关游戏，该游戏一共有5关，小王、小李每关闯关成功的概率均为，小王和小李闯关成功相互独立．若事件A为“在完成闯关游戏后，小王闯关成功的次数恰好比小李多3”，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在上的最小值为0，则实数a的值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数 ，，则下列关于函数的描述正确的有（ ） A. 函数在上单调递增 B. 函数在上单调递增 C. 函数在上单调递减 D. 函数在上单调递减 10. 已知，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 现采用有放回与不放回两种取球方式，从装有12个不同小球（6个红球，6个黑球）的盒中逐次抽取5个小球．记有放回的取球方式取得黑球的个数为X，不放回的取球方式取得黑球的个数为Y，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 当时，最大 D. 两种取球方式第三次取到黑球的概率均为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数为_______．（用数字作答） 13. 某科研所需要一种高端零件，根据设计所需的精度，加工该零件只有三种精密机床可用，分别是精密机床1、精密机床2、精密机床3．王师傅负责加工该零件，他选择精密机床1、精密机床2、精密机床3进行加工的概率分别为，且选择精密机床1、精密机床2、精密机床3进行加工能达到设计精度的概率分别为．王师傅完成零件加工后，零件能达到设计精度的概率为_______． 14. 函数f（x）＝ 的最大值为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 解答下列各题： （1）化简： （2）把5个相同的小球放入3个不同的盒子中，且每个盒子中至少有一个小球，共有多少种不同的放法？ 16. 某传媒公司对“中学生性别和喜欢AI动漫是否有关”做了一次调查，参与调查的中学生有120人，调查后得到如下：2×2列联表． 性别 对AI动漫的态度 合计 喜欢 不喜欢 女生 24 36 60 男生 36 24 60 合计 60 60 120 （1）依据小概率值＝0.005的独立性检验，分析中学生对AI动漫的态度是否与性别有关联． （2）从参与调查的120名学生中随机抽取了8人，8人中有3名女生和5名男生，其中有2名女生和2名男生喜欢AI动漫．现从这8名学生中选派2名女生和3名男生参观该传媒公司动漫工作室，求这5人中恰有2人喜欢AI动漫的概率． 参考公式：，． 0.050 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 已知函数（）． （1）讨论函数的单调性； （2）若，且在上恒成立，求实数的取值范围． 18. 现有四人参加摄影作品有奖大赛，规定每人只能选取一幅作品参加比赛．每一幅作品都要通过三次评审，三次评审都通过才可获奖．每一幅作品第一次评审被淘汰的概率为，第二次评审被淘汰的概率为，第三次评审被淘汰的概率为，每次评审是否被淘汰相互独立． （1）求送审的每幅作品被淘汰的概率． （2）每幅送审作品，若能够通过三次评审，则该幅作品可获奖金9000元；若被淘汰，则该幅作品要亏损3000元的报名费．求这四幅作品所获奖金的分布列和数学期望． 19. 已知函数 有两个不同的零点，且． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）求实数的取值范围； （3）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $