广东汕头金南实验学校2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

2025-2026(下)高二年级期中考数学科试题 考试时间：120分钟：满分：150分；命题人：许林河2026.5 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分。 1.设集合A=1,3,5,7},B={xx2<10},则A∩B=() A.{0,2} B.{1,3} C.{5,7} D.{1,3,5,7} 2.已知复数z满足z=3+5i(1为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于（) A.第一象限B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.己知等差数列{a}中a=10,其前n项和为Sn,则S,=() A.80 B.90 C.100 D.110 4.若一个等比数列的前3项和等于3，前6项和等于-21，则该等比数列的第4项等于() A.16 B.8 C.-4 D.-8 5.已知x=1是函数f()=x-3+3的极小值点，那么函数f(x)的极大值为（) A.-1 B.1 C.4 D.5 6.在一次社区志愿服务活动中，由甲、乙、丙、丁4名志愿者负责物资分发、秩序维护、便 民讲解三个服务岗位，每名志愿者只负责一个岗位，且每个服务岗位至少有一名志愿者负责」 若甲、乙两人不负责同一个服务岗位，则不同的安排方案共有() A.18种 B.24种 C.30种 D.36种 7.李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间， 经数据分析得到：坐公交车平均用时30nin,样本方差为36；骑自行车平均用时34min,样本 方差为4.假设坐公交车用时X(单位：min)和骑自行车用时y(单位：min)都服从正态分 布，正态分布(4，σ)中的参数4用样本均值估计，参数σ用样本标准差估计，则() A.P(Y<30)<P(Y>45) B.若某天只有34min可用，李明应选择自行车 C.P(X<24)<P(Y>35) D.若某天只有40min可用，李明应选择公交车 8.已知函数x)和f(x)的定义域为D=(-oo,0)U(0,十o),x)为偶函数，且对任意实数x∈D,都 有xf(x)2x)0恒成立，1)=2，则不等式x-1)>2x2-4x+2的解集为() A.(-0,0)U(2,+oo) B.(0,2) C.(0,1)U(1,2) D.(-0,0) 试卷第1页，共4页 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分。在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 9.已知(1-2x)'=4+a4x+42x2+.+4x’,则下列结论正确的是（) A.a。=1 B.4=280 C.4+42+43++41=-1 D.4+2a+34+-+7a1=-14 10.已知函数f(x)=x-+2(a∈R),则下列说法正确的是() A.当a<0时，函数f(x)不存在极值点 B.当a=3时，函数f(x)有三个零点 C.点(0,2)是曲线y=f(x)的对称中心 D.若y=2x是函数f(x)的一条切线，则a=1 11.己知数列{a}的前n项和为Sn,且a#1=2S+1,b,log34#1,则下列说法正确的是（) A.数列{an}为等比数列 B.若a=l,在a,与a+1之间插入n个数，使这t2个数组成一个公差为d,的等差数列，则 C.若a,=l,cb,cos2,则数列{4n)的前2026项的和为-号 D.若a=1,在数列{an}的a,和a+1项之间插入i个数，使得这计2个数成等差数列，其中 F12,3m将所有插入的数由小到大组成新数列(e,则e2026- 13 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.（1-+的展开式中的系数为 （用数字作答). 13.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，用X表示所选3人中女生的人数，则 E(X)= 14.用1,2,3,4组成四位数，数字i最多用1次，其中i=1,2,3,4,则满足条件的四位数共有 个. 试卷第2页，共4页 四、解答题：共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本题满分13分)在△ABC中，内角A,B,C所对的边长分别是a,b,c,2c-2 acos B=5b (1)求角A; (2)若a=1,bc=2W3,c>b,求AB边上的高 16.(本题满分15分)如图1，等腰直角△ABC的斜边BC=4,D为BC的中点，沿BC上的高AD 折叠，使得二面角B-AD-C为60°，如图2，M为CD的中点. B 图1 图2 (1)证明：BM⊥AC; (2)求平面MAB和平面DAB所成角的余弦值！ 17.(本题满分15分)某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智 能客服的回答被采纳的概率为。；当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率 为；，已知输入的问题表达不清晰的概率为·每次回答是否被采纳相互独立. (I)求智能客服的回答被采纳的概率： (2)在某次测试中输入了3个问题(3个问题相互独立)，设X表示智能客服的回答被采纳的次 数，求X的分布列、期望及方差： (3)公司为了测试该系统是否值得推广，随机抽取了10个问题，智能客服的回答每被采纳1次 计10分，不采纳则不计分.记被采纳的回答数的总得分为Y,若E(Y)≥75，则推广该系统.试 推断该系统是否会得到推广，请说明理由. 试卷第3页，共4页 18.(本题满分17分)已知F为抛物线C:y=2x(0<p<4)的焦点，点P在抛物线C上，且点P的 纵坐标为2，以线段？为直径的圆与直线x相切。 (1)求抛物线C的方程； (2)设直线l交抛物线C于A,B两点，作PD1I于点D,若直线PA,PB的斜率之积为1，则是否存 在定点R,使得DR为定值？若存在，求出点R坐标；若不存在，请说明理由. 19.(本题满分17分)已知函数f(x)=c-2lnx (I)当a=2时，求函数f(x)的最小值： (2)讨论函数f(x)的单调性： (3)当x>1时，不等式f(x)<(x-2)nx+2x+a-1恒成立，求整数a的最大值 试卷第4页，共4页 2025-2026(下)高二年级期中考数学科试题参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 10 答案 B D B D D C c A AD ACD 题号 11 12 13 14 答案BCD -28 1 175 1.B【详解】B={xx2<10}=-0<x<0},A=1,3,5,7},所以AnB=红，3} 2.D【分析】根据除法运算可得：=5-3i,结合复数的几何意义运算求解 【详解】因为正=3+51，则z=3+51=5-3引，所以z在复平面内对应的点为(5，-3列，位于第 四象限」 3.B【详解】因为数列{a,}是等差数列，所以4+4，=24，=20，可得S, 9(4+-90. 2 4.D【分析】设等比数列为{an},其公比为9，且前n项和为S,分q=1和q≠1两种情况， 结合前n项和公式计算可得结论， 【详解】设等比数列为{a},其公比为q,且前n项和为Sn, 若q=1,则S3=3%=3,所以4=1，又S6=64=6≠-21，故q=1不符合题意， 若71，则根起流知及4-g且41-9.， 1-q 1-q 解得4=1，q=-2,故a4=4=-8.故选：D. 5.D【分析】先根据x=1是函数f(x)的极小值点求出a的值，再列出表格求出f(x)的极大 值【详解】f(x)=x-3ax+3,∴.f"(x)=3x2-3a 又x=1是函数f()=x-3+3的极小值点，f')=3-3a=0,a=1 经检验a=1符合题意.f(x)=3x2-3. 令(x)=0,x=+1,列表如下 （-0,-1) (-1,1) 1 (1,+0) f'(x) 0 0 极大值 极小值 f(x) 个 个 f(-1)=5 f0)=1 答案第1页，共11页 f(x)的极大值为f(-1)=5 6.C【分析】根据分组分配问题，先求出无限制条件的方法数，再求出安排甲、乙在同一 个岗位的方法数，进而求解。 【详解】因为4个人分配到3个不同的岗位，且每个岗位至少1名， 所以必有一个岗位2人，另2个岗位各一人，其有CCCA=36种方法 A 若安排甲、乙在同一个岗位，为2人组，而丙、丁各为一人一组， 3个小组全排列到3个不同的岗位，共有A=6种方法， 所以安排甲、乙不在同一个岗位有36-6=30种方法.故选：C 7.C【分析】利用正态分布曲线的意义以及对称性，对四个选项逐一分析判断即可. 【详解】对于A,依题意随机变量X的均值为E(X)=30,方差为D(X)=36,即X~N(30,62), 4=30,01=6, 随机变量Y的均值为()=34，方差为D)=4,则Y~N(34,22),山=34，σ2=2； 所以P(Y<30)=P(Y>38)>P(Y>45),故A错误： 对于C,P(X<24=P(x<30-6)=1-P4-o<X<4+) 2 PC>35)>PW>36=PW>34+2)=1-P4-<X<4+a 因为P(4-O1<X<H+o)=P(5-o?<X<4+o), 所以P(X<24)<P(Y>35),故C正确： 对于B,X与Y的密度曲线大致如下， Y的密 X的密 度曲线 度曲线 26303438t/min 若某天只有34mn可用，由图可知P(X≤34>P心≤3网子所以李明应选择公交车，故B 错误。 对于D,若某天只有40min可用，由图可知P(X>40)>P(Y>40), 答案第2页，共11页 所以P(X≤40)=1-P(X>40)<P(Y≤40)=1-P(Y>40),所以李明应选择自行车，故D错 误.故选：C 8.A根据条件f)2w>0,构造函数：g)积，对g)求导：得g)在(0，+o）上单调递 增；在(-o,0)上单调递减 己知x)为偶函数，因此gx)为偶函数 由)-2，得1)四-2，对不等式变形：81>g)一x11 解得不等式的解集为(-o,0)U(2,+o),答案选A。 9.AD【分析】对二项式展开式赋值以及利用求导的方法来求解各项系数的值或系数之间的 关系 【详解】根据二项式定理，当我们令展开式中x=0时，此时展开式中除了这一项，其余 含有x的项都为0， 所以(1-2×0)=+4×0+马×02+.+4×03，即1’=4，可得a。=1,故选项A正确； 二项式(1-2x)其展开式的通项公式为T=C1-(-2x)=(-2)Cx', 要求4，也就是当r=3时的系数，将r=3代入通项公式中，4=(-2)C 7 7x6x5=35, 先计算组合数CG=37-3y3x2×1 则4=(-2)×35=-8×35=-280，故选项B错误； 令x=1,则(1-2×1)=4+4×1+4×12++4×1， 即(1)=+4+42++4，所以a+a4+a+4+…+4,=-1 又因为前面已经求得=1，那么4+4+4++4=-1-1=-2，故选项C错误； 对(1-2x)=+4x+a,x2+…+4x两边同时求导。 左边求导为-14(1-2x)°，右边求导为4+2a,x+…+74x,即 -141-2x)°=4+2a.x+.…+7a.x6 令x=1,则-141-2×1)°=4+2a×1+…+7a×1 答案第3页，共11页 即-14(-1)°=4+2%+…+74，所以4+2%+3a+…+7a=-14,故选项D正确. 10.ACD 【详解】对于A,当a<0时，可知y=x,y=-r+2均在R上单调递增， 则f(x)=x-ax+2在R上单调递增，所以f(x)不存在极值点，A正确： 对于B,当a=3时，f(x)=x-3x+2,求导得f(x)=3x-3=3(x-1)(x+1), 令f'(x)=0得x=-1或1，又当x∈(-m,-1)U(1,+∞)时f'(x)>0, 当x∈(-1,1)时f'(x)<0,所以x=1,-1分别为极大和极小值点， 且f(-3)=(-3)-3(-3)+2=-16<0,f(-1)=(-1)-3(-1)+2=4>0, f(1)=13-3×1+2=0,所以f(x)只有两个零点，B错误： -1O1 对于C,因为f(0+x)+f(0-x)=(x-ac+2)+(-x)3-a(←x)+2=4=2x2, 所以点(0,2)是曲线y=∫(x)的对称中心，C正确： 对于D,设y=2x与f(x)的切点坐标为(t,t-t+2),因为f'(x)=3x2-a, 所以f(x)在x=t处的切线方程为y-(t-at+2)=(3t2-a(x-t), 即y=(3t2-ax-2f+2,依题意有3t2-a=2,-2t+2=0,得a=1,D正确」 11、选项A已知4#1=2S+1①当22时.4，=2S,1+1② ①式减②式得：a+1-a,=2a整理得4+13a,0心2)。 该递推关系仅在22时成立，若40，则数列a,不满足等比数列定义。因此选项A错误。 选项B若a1=1,代入递推式得2=2S1+1=24+1=3。 结合4+1=3a,022),可确定数列an是首项为1、公比为3的等比数列，通项公式为4，=3”1。 在a,与a+1之间插入个数构成等差数列，该数列总项数为什2，根据等差数列公差公式： 因此选项B正确。 答案第4页，共11页 选项C由a,3m1可得a+13”,代入对数式得b,=lg:a1。因此c,司icos。 根据三角函数性质，cos周期为3，且取值为：设k∈N,一个周期内三项和为： 因为2026=3×675+1，前2026项和为因此选项C正确。 选项D由4，=3-1得4=3-1，a+1=3。在4与a+1间插入i个数构成等差数列，公差为： 前k组插入数字的总个数为等差数列求和：1+2++k)。代入数值验证： -63时，总个数为2016，=64时，总个数为2080 2026-2016=10,说明e2026是第64组插入的第10个数。 第64组中，43，公差d:=2”因此选项D正确 12.28【分析】1-(x+可化为x+-+,结合二项式展开式的通项公式 求解【详解】因为1-+y旷-(+-兰（x+。 所以1-}(x+y的展开式中含的项为cCy=-28y, 〔1-)6：+的展开式中)的系数为-28，放答案为：28 13.1【分析】先由题意得到X的可能取值为0,1,2，分别求出其对应概率，进而可求出其 期望.【详解】由题意，X的可能取值为0,1,2， C 441 由题中数据可得：P(X=0)-6x4: 3×2 P(x=1)=CC」 65x420,P(x=2)-Cg 6×2123 4 41 C86×5×4205, 3×2 3×2 所以26x)=写0+13+2×写1 5 14.175【分析】分四个不同数字各出现一次，一个数字出现两次，一个数字出现三次，两 个不同数字各出现两次和一个数字出现四次，五种情况讨论即可. 【详解】当四个不同数字各出现一次时，有A=24个： 当一个数字出现两次，其他两个数字各出现一次时，则重复出现的数字只能是2,3,4， 则有CCA=108个： 答案第5页，共11页 当一个数字出现三次，另一个数字出现一次时，则重复出现的数字只能是3,4， 则有CCA4=24个： 当两个不同数字各出现两次时，则重复出现的数字只能是23,4，则有℃：A么12个， 当一个数字出现四次时，则仅有数字4符合条件，则有1个， 综上所述，满足条件的四位数共有24+108+24+12+1=175个.故答案为：175. 15、【分析】(1)根据正弦定理得，2sinC-2 sinAcos B=√3sinB,通过角的转化及两角和 的正弦公式化简即可求得A; (2)根据余弦定理得到b2+c2的值，联立bC=2√3可解得b,c,进而可判断△ABC的形状， 从而求解 【详解】(1)因为2c-2 acos B=V5b, 根据正弦定理得，2sinC-2 sinAcos B=√3sinB.1分 因为C=π-(A+B),所以sinC=sin(A+B), 所以2sin(A+B)-2 sinAcos B=V3sinB, 所以2 cos Asin B=V3sinB,4分 因为8e0,),所以sinB≠0，所以cos4= 2 5分 因为A0,网，所以A=石…7分 (2)根据余弦定理得，d-b2+c2-2 bc cos亚 ’8分 将a=1,bc=2√5代入上式整理得，b2+c2=7,9分 又因为bc=25且b<C,解得b=5,C=2,.11分 所以a2+b2=c2,所以△ABC为以AB为斜边的直角三角形， 所以斜边AB上的高为h=b_1xV5_⑤ 13分 c22 16、【分析】(1)根据线面垂直的判定定理和线面垂直的性质定理，证明线线垂直即可； (2)根据几何体的性质，建立空间直角坐标系，进而写出点的坐标和向量，求出平面法向 量，根据面面角的向量方法，求出结果 答案第6页，共11页 【详解】(1)因为AD⊥BD,AD L DC,所以∠BDC是二面角B-AD-C的平面角， 即∠BDC=元 .1分 因为BDOCD=D,BDC面BDC,CDC面BDC, 所以AD⊥面BDC,所以AD⊥BM, 因为D为BC的中点，所以BD=DC,所以△BDC是等边三角形， 因为M为CD的中点，所以BM⊥DC, 因为AD∩DC=D,ADC面ADC,DCC面ADC, 所以BM⊥面ADC,所以BM⊥AC..6分 (2)如图所示，作AC中点N, 因为M,N分别为DC,AC中点，所以NAD, 由(1)知AD⊥面BDC,所以MN1面BDC, 由(1)知BM⊥DC, 则以点M为坐标原点，以MB,MC,MN分别为x,y,z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， ZA 7分 C x 因为等腰直角△ABC的斜边BC=4,所以AD=DB=DC=2, 由(1)知△BDC是等边三角形，所以BM=√5， 所以M(0,0,0),A(0,-1,2),B（5,0,0)D0,-1,0), 所以MA=(0,-12),MB=(5,0,0）DA=00,2)DB=(（61,0）,9分 设面MAB的一个法向量为m=(a,b,c), [m.MA=0-b+2c=0 则 m.MB=0 即{5a=0, 令c=1,解得a=0,b=2,所以面MAB的一个法向量为m=(0,2,1),11分 答案第7页，共11页 设面DAB的一个法向量为n=(x,y,=), nDA=0 f2c=0 则 即 n.D8=0' V3a+b=0' 令a=5,解得b=-3,c=0,所以面D4B的一个法向量为=（3，-3,0)，13分 设平面MAB和平面DAB所成角为&， n.n 则cosa= -6 √3+9√4+15 所以平面B和平面DAB所成角的余弦值为西 15分 17、【分析】(1)利用全概率公式，结合问题清晰与不清晰两种情况的采纳概率即可求解； (2)由二项分布概率模型，计算各可能次数的概率及期望、方差： (3)根据二项分布期望公式求出10个问题的总得分期望，并与75比较得出结论 【详解】（1)设事件A表示回答被采纳，事件B表示问题表达清晰，1分 则P=青（画=5P助=P4回=分 3分 则P(A=P(4B)P(8)+P(AE)P(国)=了×4+x4 8×5+255 5分 (2)由(1)知每个问题的回答被采纳的概率p= 5:且每次回答是否被采纳相互独立， 因此随机变至x服从二现分布X~心导，则4心=)=C())”。6分 xo)gGsx)cgG品 x周xe周 8分 X的分布列为： X 0 1 2 3 12 48 64 125 125 125 125 412 E(X)=p=3×= 12 11分 (3)随机抽取10个问题，设被采纳的次数为5，则有5~80，孕， 总得分Y=105, 答案第8页，共11页 则B(Y)=10B(⑤)=10×10×4=80≥75，满足推广条件，因此该系统会得到推广…15分 18、【分析】(1)求出PR中点M到y轴的距离为)P,得以PF为直径的圆与y轴相切， 再根据以PF为直径的圆与直线x= 于P的方程，求出2 (2)设1方程为x=y+m,与抛物线方程联立，韦达定理代入直线PA,PB的斜率之积为1 的等式，可得直线I过定点G(0,-2).设R为线段GP的中点，则由DR-1GP-=5为定值 可得答案. 【e1)思，A层可P[任即中a刘经P时号 所以点M到y轴的距离u= on. 因此以PF为直径的圆与y轴相切. 义因为以收为宜径的四与直线x-相切，所以9：弓号子， 解得p=1或p=4.结合0<p<4,得p=1. 所以抛物线C的方程为y2=2.x:7分 Γ2 (2)存在，为(1,0)，理由如下， 由(1)知，P(2,2).易知直线1斜率不为0，设1方程为x=y+m. x=y+m y2=2x，得y2-2-2m=0. 由 设A(3,),B(6,为)，则4+=2y1=-2. 因为直线PA,PB的斜率之积为1， 答案第9页，共11页 所以64kB=当26-22y-2)20,-2) 4 名-25-2为-4-4+2)6+21. 因此(y+2)(5+2)=4,y+2(片+乃2)+4=4，-2+4t=0,m=2t. 于是直线1方程为x=t(y+2),由此可得直线l过定点G(0,-2). 因为PD⊥I于点D,所以△PGD为直角三角形，其中GD⊥DP. 设R为线段GP的中点，则D-GP川-号V2-0+(2+2-5为定值. 因为P(2,2),G(0,-2),所以PG中点坐标为(1,0)， 所以存在定点R,其坐标为(1,0)，使得DR为定值√5.17分 19、【分析】(1)求导，利用导数判断f(x)的单调性和最值： (2)求出原函数的导函数，对α进行分类讨论即可得出原函数的单调区间； （何题转化为于>0恒定立，令新商激，稠 导数求其最小值的范围，即可求得整数a的最大值， 【详解】(1)当a=2时，则f(x)=2x-2nx, 可知/)的定义域为(0，+m),且f(x)=2-2-2-山 1分 令'(x)<0,解得x∈(0,1)：令f"(x)>0,解得x∈(1，+o): 可知f(x)的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1，+o…)；3分 所以函数f(x)的最小值为f(1)=24分 （2)由题意可知f)的定义域为(0，+），且f(四=a-2=-2(>0）,5分 xx 当a≤0时，f'(x)<0恒成立， 所以f(x)的单调递减区间是(0，+o),无单调递增区间；6分 答案第10页，共11页 当a>0时，令f"(x)=0解得x=2 a 令∫"()<0，解得xaC2:令了田)>0，解得x日+nB a 所以∫(x)的单调递减区间是 02, 单调递增区间是2+切）： 、a1 8分 综上所述：当a≤0时，f(x)的单调递减区间是(O,+o),无单调递增区间： 当a>0时，f(9)的单调递减区间是0,2) 单调造媚区间是后一 9分 (3)当x>1时，不等式f(x)<(x-2)x+2x+a-1恒成立， 即x-2nr<(x-2)lhr+2x+a-1,整理可得a<lnr+1 x-1x-1 +2,10分 原题意等价于a<血x+】+2对任意x>1恒成立， x-1x-1 令8(x)=xlnr+1 -1-1+26>10, 则g'(g-l+血xc-)-xhx1=x-hr-2 (x-1)2 (c-1(-1y,12分 令(x)=x-nx-2,x>1,则()=1-1--1>0， 所以h(x)在区间(1，+o)上单调递增， 因为h(3)=1-ln3<0,h(4)=2-h4>0, 所以h(x)在区间(1，+o)内存在唯一零点x∈(3,4)， 即-h0-2=0,所以hx=-2,14分 当x∈(L,x)时，h(x)<0,即g'(x)<0: 当x∈(，+o)时，h(x)>0,即g(x)>0: 可知8(x)在区间(1，)上单调递减，在区间(x,+∞)上单调递增： 所以0g）=n士一+2=-1++2=6+1,16分 龙-16-1 因为x∈(3,4)，则x+1∈(4,5)，即8(x)mme(4,5), 且a为整数，则a≤4，所以整数a的最大值是4.…17分 答案第11页，共11页