精品解析：云南昆明市第一中学等校2026届高三下学期2月复习诊断数学试题

昆明市第一中学2026届高三第7次月考 数学学科 命题：昆一中数学命题小组 审题：杨昆华 刘皖明 莫利琴 毛孝宗 凹婷波 王佳文 顾先成 丁茵 张远雄 蔺书琴 本试卷共4页，22题.全卷满分150分.考试用时120分钟 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的对称轴可以是（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，下列式子错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 在的展开式中，二项式系数的和是16，则展开式中各项系数的和为（ ） A. 243 B. 81 C. 64 D. 32 4. 现有6名同学，包含2名男生､4名女生，分2排3列（第1排3人､第2排3人），其中第1排是3名女生A､B､C，第2排是2名男生甲､乙和1名女生D，要求女生A和男生甲在同一列，则不同的排法种数为（ ） A. 12 B. 36 C. 48 D. 72 5. 已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 在正方体中，分别是的中点，，则过点的平面截该正方体所得的截面周长为（ ） A. B. C. D. 7. 已知正实数满足，则的最大值是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 8. 复数满足，则（ ） A. B. C. D. 5 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 有一组样本数据，由这组数据得到新样本数据，其中，则下列选项中正确的是（ ） A. 两组样本数据的样本平均数相同 B. 两组样本数据的样本标准差相同 C. 两组样本数据的样本中位数相同 D. 两组样本数据的样本极差相同 10. 设分别是双曲线的左､右焦点，过作轴的垂线与交于两点，若的周长为12，则下列选项中正确的是（ ） A. B. 的焦距为 C. 的离心率为 D. 的面积为 11. 甲､乙､丙三人玩报数游戏，规则如下： 第一轮：甲报数字1，乙报数字2，3，丙报数字4，5，6； 第二轮：甲报数字，乙报数字，丙报数字； …… 依次循环，直到报到数字5000为止，则下列说法正确的是（ ） A. 甲在第五轮共报了15个数 B. 前十轮乙一共报了155个数 C. 至游戏结束，一共报了三十三轮 D. 数字2026是甲报的 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 班级手工活动需要从甲､乙､丙､丁四名同学中选2人组成搭档小组，那么甲同学被选中的概率为__________. 13. 已知等比数列的前项和为，若，则__________. 14. 已知圆和抛物线，若圆与抛物线在公共点处有相同的切线，且直线的纵截距为，则实数的值为__________. 四､解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16､17题15分，第18､19题17分，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，. （1）求角的值； （2）若边上的高等于，求. 16. 如图，在四棱锥中，平面平面，. （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 17. 某公司研发了一种智能语音客服系统，在测试时，当语音输入的问题表达清晰时，智能语音客服的回答被采纳的概率为，当语音输入的问题表达不清晰时，智能语音客服的回答被采纳的概率为.已知语音输入的问题表达清晰的概率为，且智能语音客服每次回答是否被采纳相互没有影响. （1）求智能语音客服的回答被采纳的概率； （2）在某次测试中输入了4个问题，设表示智能语音客服的回答被采纳的次数，求的分布列､数学期望和方差. 18. 证明： （1）； （2）. 19. 已知椭圆与椭圆称为“共轭”椭圆，记它们的交点依次为，且四点均在圆上， （1）求曲线的离心率； （2）若直线与“共轭”椭圆与的交点分别为和，记. （i）判断直线是否平分四边形的面积，并说明理由； （ii）若存在使得有解，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昆明市第一中学2026届高三第7次月考 数学学科 命题：昆一中数学命题小组 审题：杨昆华 刘皖明 莫利琴 毛孝宗 凹婷波 王佳文 顾先成 丁茵 张远雄 蔺书琴 本试卷共4页，22题.全卷满分150分.考试用时120分钟 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的对称轴可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦型函数的图象和性质，得出对称轴应满足条件，进而求解． 【详解】正弦型函数的对称轴满足， 解得， 当时，，故D正确 故选：D． 2. 已知集合，下列式子错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出可判断A；空集是任何集合的子集可判断B；结合常用集合的记法及补集的运算可判断C；根据集合间的关系可判断D. 【详解】解方程得，所以，根据元素与集合的关系故A正确； 空集是任何集合的子集，所以，故B正确； 表示无理数组成的集合，均为无理数，所以，故C正确； 表示的是集合，所以，故D错误. 故选：D. 3. 在的展开式中，二项式系数的和是16，则展开式中各项系数的和为（ ） A. 243 B. 81 C. 64 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项式系数和公式求出，再利用赋值法求各项系数的和. 【详解】因为二项式系数的和是16，所以，解得， 令得展开式中各项系数的和为. 故选：B. 4. 现有6名同学，包含2名男生､4名女生，分2排3列（第1排3人､第2排3人），其中第1排是3名女生A､B､C，第2排是2名男生甲､乙和1名女生D，要求女生A和男生甲在同一列，则不同的排法种数为（ ） A. 12 B. 36 C. 48 D. 72 【答案】A 【解析】 【分析】按先选出女生A和男生甲所在的一列、接着排女生B和C、再排男生乙和女生D的顺序结合组合数和排列数的运算即可计算求解. 【详解】当女生A和男生甲在同一列时，先选出女生A和男生甲所在的一列、接着排女生B和C、再排男生乙和女生D， 则排法总数为. 故选：A 5. 已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分段函数的值域和对数函数的性质列出不等式，进行求解即可. 【详解】因为函数的值域为， 所以，所以 故选：C. 6. 在正方体中，分别是的中点，，则过点的平面截该正方体所得的截面周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定四点共面，进而计算结果即可. 【详解】取线段的中点为，的中点为，，如图， 因为正方体中，分别是棱的中点， 所以，所以四点共面. 由正方体的棱长为2，可得，， 所得截面周长为， 故选：B. 7. 已知正实数满足，则的最大值是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据基本不等式的性质进行求解即可. 【详解】解析：因为正实数满足，即 ，所以，即， 当且仅当时等号成立，联立可得， 所以当时，取最大值，， 故选：A 8. 复数满足，则（ ） A. B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据和分别得到到两点的距离相等从而在线段的垂直平分线上， 由两条垂直平分线的交点得到复数对应的点的坐标，进而得到复数和. 【详解】由得复数对应的点到点和距离相等，所以复数对应的点在直线上； 由得复数对应的点到点和距离相等，所以复数对应的点在直线上； 因为直线和直线的交点为，所以，所以. 故选：C. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 有一组样本数据，由这组数据得到新样本数据，其中，则下列选项中正确的是（ ） A. 两组样本数据的样本平均数相同 B. 两组样本数据的样本标准差相同 C. 两组样本数据的样本中位数相同 D. 两组样本数据的样本极差相同 【答案】BD 【解析】 【分析】根据平均数、标准差、中位数、极差的概念依次判断即可. 【详解】对于A，，故平均数不同，A错误； 对于B，，故标准差相同，B正确； 对于C，若第一组数据的中位数为， 则第二组数据的中位数为，中位数显然不相同，C错误； 对于D，由极差的定义知，若第一组数据的极差为， 则第二组数据的极差为，故极差相同，D正确， 故选：BD. 10. 设分别是双曲线的左､右焦点，过作轴的垂线与交于两点，若的周长为12，则下列选项中正确的是（ ） A. B. 的焦距为 C. 的离心率为 D. 的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知求出点坐标，根据双曲线的定义得到，，再根据的周长求出，再根据双曲线的性质判断BCD选项. 【详解】由题意可知，因为，所以， 设代入双曲线方程，解得，所以，即， 又由双曲线定义可知，，所以，同理， 对于A，的周长为， 所以，A正确； 对于B，焦距为错误； 对于C，离心率为正确； 对于D，，D正确， 故选：ACD. 11. 甲､乙､丙三人玩报数游戏，规则如下： 第一轮：甲报数字1，乙报数字2，3，丙报数字4，5，6； 第二轮：甲报数字，乙报数字，丙报数字； …… 依次循环，直到报到数字5000为止，则下列说法正确的是（ ） A. 甲在第五轮共报了15个数 B. 前十轮乙一共报了155个数 C. 至游戏结束，一共报了三十三轮 D. 数字2026是甲报的 【答案】BD 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式，再结合等差数列前n和公式计算求解. 【详解】设甲､乙､丙三人报数的个数分别为，则， 对于A，，则甲在第五轮共报了13个数，A错； 对于B，前十轮乙报的数共有个数，B对； 对于C，D，设前轮一共报了个数，则，令，解得，所以至游戏结束，一共报了三十四轮， 令，解得，即第二十一轮后甲乙丙一共报了2016个数， 在第二十二轮，甲需要报个数，所以数字2026是甲报的，则C错D对， 正确答案:BD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 班级手工活动需要从甲､乙､丙､丁四名同学中选2人组成搭档小组，那么甲同学被选中的概率为__________. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据组合公式求解即可. 【详解】. 故答案为：. 13. 已知等比数列的前项和为，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列片段和性质求解. 【详解】根据等比数列的性质，当时，也成等比数列， 不妨设，则， 即是以为首项，3为公比的等比数列， 所以，， 可得，则. 故答案为：. 14. 已知圆和抛物线，若圆与抛物线在公共点处有相同的切线，且直线的纵截距为，则实数的值为__________. 【答案】4 【解析】 【分析】设切点，求导得到切线方程，根据纵截距为-2得到，根据圆的切线的性质列方程，解方程得到. 【详解】设切点，因为切线斜率为， 则切线，即切线， 因为直线的纵截距为，所以，即 又因为切点与圆心的连线与直线垂直，即，所以， 由上式可得，，解得. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16､17题15分，第18､19题17分，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，. （1）求角的值； （2）若边上的高等于，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形内角和与两角和的正切公式得到，再结合已知条件求出，根据角的范围求解； （2）根据等面积法得到，利用正弦定理将边化角，再利用两角和的正弦公式求出，最后利用同角三角函数的平方关系求出. 【小问1详解】 因为，所以， 所以， 由已知得， 因为，所以，，所以. 【小问2详解】 设角所对应的边分别为， 因为的面积，则， 由正弦定理得， 因为，所以， 即，由，得， 所以， 所以，因为，解得. 16. 如图，在四棱锥中，平面平面，. （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的夹角公式求出答案； （2）设，求出向量的坐标，根据，求出的值，即可得出结论. 【小问1详解】 选取中点为，连结，因为，所以，因为，所以，又因为平面平面，所以平面， 以为原点，分别为轴､轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系. 所以， 则， 设为平面的法向量，令. ，设与平面所成角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问2详解】 假设在棱上存在点，使得平面， 设， 设，由， 所以，即 所以，所以， 因为平面为平面的法向量， 所以，即，所以，而， 所以，在棱上不存在点，使得平面. 17. 某公司研发了一种智能语音客服系统，在测试时，当语音输入的问题表达清晰时，智能语音客服的回答被采纳的概率为，当语音输入的问题表达不清晰时，智能语音客服的回答被采纳的概率为.已知语音输入的问题表达清晰的概率为，且智能语音客服每次回答是否被采纳相互没有影响. （1）求智能语音客服的回答被采纳的概率； （2）在某次测试中输入了4个问题，设表示智能语音客服的回答被采纳的次数，求的分布列､数学期望和方差. 【答案】（1） （2）分布列见解析，3， 【解析】 【分析】（1）设出基本事件并求出概率，再利用全概率公式求解即可. （2）结合题意得到，再求出对应取值的概率，进而得到分布列和数学期望即可. 【小问1详解】 设表示事件“智能语音客服的回答被采纳”；表示事件“语音输入的问题表达清晰”， 由题意可知，， 所以， 即智能语音客服的回答被采纳的概率为. 【小问2详解】 依题意得，的所有可能取值为，且. 所以 所以的分布列为 0 1 2 3 4 18. 证明： （1）； （2）. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）对函数求导判断单调性，然后构造新函数，求导判断单调性，进而证明结论. （2）根据（1）的结论，右侧不等式可构造数列后使用作差法证明，左侧不等式可对通项进行放缩证明. 【小问1详解】 设，所以， 当时，，所以在单调递增， 所以当时，； 令，所以， 当时，，所以单调递减，所以， 所以，综上可得. 【小问2详解】 由（1）可知， 取得：，令， 则，当时，， 因此，所以； 而， ， 所以，即， 所以. 19. 已知椭圆与椭圆称为“共轭”椭圆，记它们的交点依次为，且四点均在圆上， （1）求曲线的离心率； （2）若直线与“共轭”椭圆与的交点分别为和，记. （i）判断直线是否平分四边形的面积，并说明理由； （ii）若存在使得有解，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）直线不平分四边形的面积，理由见解析；（ii）. 【解析】 【分析】（1）联立曲线与的方程，化简后结合，然后根据求解即可； （2）（i）画图利用对称性分析即可；（ii）由题意可设曲线，曲线，联立与以及弦长公式求出，同理联立与以及弦长公式求出，进一步得出的取值范围，若存在使得有解，即有解，即，设函数，然后利用函数导数求解即可. 【小问1详解】 由题意知，如图所示： 联立曲线与的方程，， 所以，所以， 所以曲线的离心率为. 【小问2详解】 （i）由题意知，如图所示： 由图知椭圆与的图象关于原点对称， 所以交点与与关于原点对称， 由直线关于原点对称， 根据对称性，直线平分四边形的面积， 直线横坐标不变，纵坐标向上平移一个单位， 得到直线，所以不平分四边形的面积. （ii）由题意如图所示： 由（1）可知，， 所以可设曲线，曲线，， 所以直线与联立，，消去整理得： ， 由，解得，① 所以， 所以 ， 同理直线与联立，， 消去整理得：， 由，即，② 所以， 所以 ， 由①②可知， 所以， 因为， 所以，即， 若存在使得有解，即有解， 所以 设函数， 所以， 所以当，所以函数在上单调递增， 又因为，， 所以函数在单调递增， 所以 所以， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $