11.1.4 棱锥与棱台课件-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第四册

11.1.4 棱锥与棱台 32999 1.结合所学棱柱的知识，了解棱锥、棱台的定义和结构特征； 2.结合平面几何知识，会计算棱锥、棱台的棱长、斜高与高； 3.知道棱锥、棱台的表面积计算公式，能用公式解决简单的实际问题.（重点） 学 习 目 标 32999 根据棱柱的定义，如果两个平行平面中的一个收缩成一个点，可以形成什么样的图形？（也就是将棱柱的底面缩成一个点） 棱柱转化成了棱锥 情 景 导 入 32999 棱锥的底面 棱锥的侧面 棱锥的顶点 棱锥的侧棱 S A B C D E O 棱锥的高 棱锥所有侧面的面积之和称为棱锥的侧面积 2.棱锥 1.棱锥的概念：如果一个多面体有一个面是多边形，且其余各面都是有一个公共顶点的三角形，则称这个多面体为棱锥. 概念辨析：有一个面是多边形，其余各面都是三角形的立体图形一定是棱锥吗？ 知 识 梳 理 32999 3.表示方法 （1）用表示顶点和底面各顶点的字母表示，如棱锥S-ABCD; （2）用表示顶点和底面的一条对角线端点的字母来表示， 如棱锥S-AC. S A B C D 4.分类 棱锥按底面是三角形、四边形、五边形……分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥…… 三棱锥 四棱锥 五棱锥 知 识 梳 理 32999 （1）侧棱：每条侧棱的长都相等 （2）侧面：都是全等的等腰三角形 （3）斜高：(等腰三角形底边上的高):都相等 5.正棱锥：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面，这样的棱锥为正棱锥. 知 识 梳 理 32999 例1：如图，是底面边长为1且侧棱长为 的正六棱锥. (1)写出直线PA与直线CD，直线PA与面ABCDEF之间的关系； (2)求棱锥的高和斜高； (3)求棱锥的侧面积. 解析：(1)直线PA与直线CD异面，直线PA∩面ABCDEF=A. (2)作出棱锥的高PO，因为是正六棱锥，所以O是底面的中心，连接OC，可知OC=1.在Rt△POC中，可知：PO==1. 典 型 例 题 32999 方法归纳 (1)要求锥体的侧面积及表面积，要利用已知条件寻求公式中所需的条件，一般用锥体的高、斜高、底面边心距等量组成的直角三角形求解相应的量． (2)空间几何体的表面积运算，一般是转化为平面几何图形的运算，往往通过解三角形来完成． 设BC的中点为M，由△PBC为等腰三角形可知，PM⊥MC ， 因此PM为斜高，从而 (3)因为△PBC的面积为 故棱锥的侧面积为 典 型 例 题 32999 二、棱台 观察下图，是如何将棱锥变换成棱台? 用平行于棱锥底面的平面去截棱锥 问 题 探 究 32999 上底面 侧面 侧棱 高 下底面 2.棱台的元素 3.棱台的性质：两底面是相似的多边形，侧棱的延长线交于一点. 1.棱台的定义：棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面间的多面体叫做棱台. 斜高 知 识 梳 理 32999 4.棱台的表示 可用上底面与下底面的顶点表示. 如图所示的棱台ABC-A'B'C'. 5.棱台的分类 按底面的形状分为三棱台(底面是三角形)、四棱台(底面是四边形)…… 知 识 梳 理 32999 下图中的几何体是不是棱台?为什么? 不是，因为棱台是用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥得到的，所以棱台的各侧棱延长后必须交于一点 问 题 探 究 32999 三、棱锥和棱台的侧面积 棱锥的侧面展开图是由三角形组成的平面图形，棱台的侧面展开图是由梯形组成的平 面图形.这样，求它们的表面积的问题就可转化为求平行四边形、三角形、梯形的面积问题. S正棱锥侧= c，S正棱台侧= h' （c,c'分别表示上、下底面周长，h'代表斜高） 知 识 梳 理 32999 例2：正三棱台的上、下底面边长分别是2和6,侧棱长是5,则下列说法正确的是(   ) A.该正三棱台的上底面积是 B.该正三棱台的侧面面积是60 C.该正三棱台的表面积是12+10 D.该正三棱台的高是 解析：因为正三棱台的上底面为正三角形，其边长为2,所以上底面面积为S1= × 2× =， 所以A正确； A 典 型 例 题 32999 正三棱台的侧面为等腰梯形，所以侧面积为S2=3×=12. 所以 B 错误； 该正三棱台的下底面面积为S3= ×6× =9. 所以该三四棱台的表面积为S=S₁+S₂+S₃=12+10, 所以 C 正确； 对于选项D:设h 为正三棱台的高，根据勾股定理可得52=h2+, 解得h= , 所以 D 错误. 典 型 例 题 32999 1.能保证棱锥是正棱锥的一个条件是( ) A.底面为正多边形 B.各侧棱都相等 C.各侧面与底面都是全等的正三角形 D.各侧面都是等腰三角形 解析：A:如果顶点不在底面中心的铅垂线上，即使底面是正多边形，它也不是正棱锥. B:侧棱相等只能说明顶点在底面的射影是底面多边形的外心.如果底面不是正多边形（例如一个非正方形的矩形），即使侧棱相等，它也不是正棱锥. C:“底面是正三角形”满足了底面为正多边形的条件. D: 即使侧面都是等腰三角形，底面也可能不是正多边形（例如底面是菱形），或者顶点投影不在中心，无法保证是正棱锥. C 当 堂 检 测 32999 2.下面说法中，正确的是(　　) A.上下两个底面平行且是相似四边形的几何体是四棱台 B.棱台的所有侧面都是梯形 C.棱台的侧棱长必相等 D.棱台的上下底面可能不是相似图形 解析：A错误：除了要求上下底面平行且相似外，棱台还必须满足各侧棱的延长线交于一点这一关键条件. B正确：棱台由平行于棱锥底面的平面截得，因此其所有侧面都是梯形. C错误：只有正棱台的侧棱长才相等，一般棱台的侧棱长不一定相等. D错误：棱台的上下底面是由平行平面截取棱锥形成的，因此它们一定是相似图形. B 当 堂 检 测 32999 1.棱锥、棱台的定义与几何特征； 2.棱锥、棱台的棱长、斜高与高之间的关系； 3.棱锥、棱台的棱长的侧面积. 课 堂 总 结 32999 $