精品解析：湖北蕲春县第一高级中学2026届高三年级下学期考前模拟自测数学试题

蕲春一中2026届高三年级最后一卷 数 学 试 题 命题、审题：高三数学备课组 2026.5.29 本试卷共5页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 一、单选题 1. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数的图象是（ ） A. B. C. D. 4. 已知满足，则的形状一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形 5. 如图所示，四棱锥的底面为正方形，侧面为等边三角形，且侧面底面，点在正方形内运动，且满足，则点在正方形内的轨迹一定是（ ） A. B. C. D. 6. 在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为（为常数），其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型中，当时，学习率为0.25；当时，学习率为0.0625，则学习率衰减到0.05以下所需的训练迭代轮数至少为（ ）（已知） A. 31 B. 32 C. 33 D. 34 7. 若，数列的前n项和为，且，，则（ ） A. 76 B. 38 C. 19 D. 0 8. 设双曲线上一点到其两焦点的距离之和为，到轴的距离为．若，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 二、多选题 9. 如图，有一列曲线，，，，，且是边长为6的等边三角形，是对进行如下操作而得到：将曲线的每条边进行三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得到，记曲线的边长为，周长为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 在中 D. 在中 10. 已知正实数，满足，下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为2 B. 的最小值为4 C. 的最小值为 D. 的最小值为 11. 已知圆，直线，则（ ） A. 直线恒过定点 B. 当时，直线与圆相切 C. 存在实数，使得直线与圆相交于两点，且 D. 若直线与圆交于两点，则面积的最大值为 三、填空题 12. 函数，若方程有三个根，且是和的等差中项，则a=___. 13. 已知随机变量X服从正态分布，且，则____________． 14. 平面直角坐标系中，若角的终边经过点，角的终边经过点，则_________． 四、解答题 15. 如图，是圆的直径，垂直于圆所在平面，是圆周上不同于，的任意一点，为的中点，且， （1）求证：平面平面； （2）若三棱锥的外接球球心为，求平面与平面夹角的余弦值． 16. 已知函数的最小正周期为. （1）求的值； （2）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.c为在上的最大值，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求的取值范围.条件①：；条件②：；条件③：的面积为S，且.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件计分. 17. 已知椭圆的左右焦点分别为，以线段为直径的圆过C的上下顶点，点在C上，其中e为C的离心率. （1）求椭圆C的方程和短轴长； （2）点在C上，且在x轴的上方，满足，直线与直线的交点为P，求的面积. 18. 已知函数，其中． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数的极小值为0，求a的值； （3）在（2）的条件下，若对任意的，成立，求实数k的最小值 19. 若为项数列，若存在数列满足：①；②中的最大项为1，最小项为0，则称是“-好数列”． （1）请写出所有第二项为的“3-好数列”； （2）若为单调不增（即）的“2026-好数列”，求的最大值； （3）若为“-好数列”，记为中的最大项，为中的最小项，求最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 蕲春一中2026届高三年级最后一卷 数 学 试 题 命题、审题：高三数学备课组 2026.5.29 本试卷共5页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 一、单选题 1. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据复数代数形式的除法运算化简，再根据复数的几何意义判断即可； 【详解】解：，所以复数在复平面内对应的点为，在第一象限. 故选：A. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先解指数不等式求出集合，然后根据集合的交运算即可求解. 【详解】由得，所以， 又，所以. 故选：A. 3. 函数的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数零点及函数在时函数值的符号，利用排除法求解. 【详解】令， 解得或，即函数有2个大于0的零点，排除BD选项； 又当时，，故可排除A选项. 故选：C 4. 已知满足，则的形状一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】由已知等式可得，根据单位向量的定义及加法的几何意义有对应的向量在的平分线上，进而有的平分线与边AC垂直，结合等腰三角形的性质即可得. 【详解】因为，所以， 利用向量加法的几何意义知，对应的向量在的平分线上， 所以的平分线与边AC垂直， 所以的形状一定是等腰三角形． 故选：A． 5. 如图所示，四棱锥的底面为正方形，侧面为等边三角形，且侧面底面，点在正方形内运动，且满足，则点在正方形内的轨迹一定是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先找出符合条件的特殊位置，然后根据符合条件的轨迹为线段PC的垂直平分面与平面AC的交线，即可求得点M的轨迹 【详解】解：根据题意，可知，则点符合“点在正方形内的一个动点，且满足”， 设的中点为， 因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 根据题目条件可得，所以和全等， 所以，点也符合“点在正方形内的一个动点，且满足”， 故动点的轨迹肯定过点和点， 而到点到点的距离相等的点为线段的垂直平分面， 线段的垂直平分面与平面的交线是一直线， 所以的轨迹为线段， 故选：B 6. 在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为（为常数），其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型中，当时，学习率为0.25；当时，学习率为0.0625，则学习率衰减到0.05以下所需的训练迭代轮数至少为（ ）（已知） A. 31 B. 32 C. 33 D. 34 【答案】D 【解析】 【分析】可先根据已知条件求出初始学习率和衰减系数，进而得到学习率关于训练迭代轮数的表达式，最后根据学习率的要求求出训练迭代轮数的最小值. 【详解】因为衰减学习率模型为， 所以根据已知条件可得：① ② 用②式除以①式可得： ,化简可得：. 将代入①式中可得：. 所以衰减学习率模型为. 当学习率衰减到0.05以下时，即. 化简上述不等式得：，所以. 因为为正数，所以最小值取34. 故选：D. 7. 若，数列的前n项和为，且，，则（ ） A. 76 B. 38 C. 19 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】分析函数的对称性，求出数列的通项公式，再利用数列性质及函数对称性求和可得结果. 【详解】因为函数的定义域为， 且， 所以函数的图象关于点成中心对称， 所以，若，则. 由，得当时，， 两式相减得，整理得，即， 因为，，所以，即， 所以对任意正整数，都有， 所以数列为常数列，故，即， 由得数列是等差数列， 所以， 故， 所以. 故选：B. 8. 设双曲线上一点到其两焦点的距离之和为，到轴的距离为．若，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由点到轴的距离结合双曲线定义，得到，利用焦半径公式及可求解. 【详解】因为点到轴的距离， 所以点到两焦点的距离之和， 由焦半径公式，所以， 所以，得，又由焦点坐标可知， 所以，解得， 故选：C. 二、多选题 9. 如图，有一列曲线，，，，，且是边长为6的等边三角形，是对进行如下操作而得到：将曲线的每条边进行三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得到，记曲线的边长为，周长为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 在中 D. 在中 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用观察归纳法、结合等比数列知识计算判断AB；根据点的位置，结合向量数量积运算律计算判断CD作答. 【详解】依题意,将曲线的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得到， 曲线的边长为，数列是首项为6，公比为的等比数列，，A正确； 封闭曲线的周长为，则数列是首项为，公比为的等比数列， 于是，则，B错误； 如图，，，由对称性可得，有， 则，于是， 又，，，， ， 则，C正确； 显然点在线段上，，，， 则 ，D正确. 故选：ACD 10. 已知正实数，满足，下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为2 B. 的最小值为4 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用基本不等式和解一元二次不等式可判断A,B,将代入，化简，利用基本不等式求解可判断C，利用基本不等式“1”的妙用可判断D. 【详解】对于A,因为， 即，解得， 又因为正实数，，所以， 则有，当且仅当时取得等号，故A错误； 对于B，， 即，解得（舍）， 当且仅当时取得等号，故B正确； 对于C,由题可得所以，解得， ， 当且仅当即时取得等号，故C正确； 对于D, ， 当且仅当时取得等号，故D正确， 故选:BCD. 11. 已知圆，直线，则（ ） A. 直线恒过定点 B. 当时，直线与圆相切 C. 存在实数，使得直线与圆相交于两点，且 D. 若直线与圆交于两点，则面积的最大值为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A选项，将直线方程变形；对于B选项代入m的值，联立圆的方程判断有几个解即可；对于C选项，运用点到直线的距离公式，判断圆心到直线的距离是否小于半径；对于D选项，运用半径与圆心到直线的距离关系求出三角形的面积公式，再根据m的取值，再根据三角形的面积公式求出最大值. 【详解】对于A选项，由得， 则当时，直线方程不含且，故过定点，A选项正确； 对于B选项，当，则直线方程为，联立圆的方程得， 解得，有两个解，故与圆相交，B选项错误； 对于C选项，圆心坐标为，圆心到直线的距离为， 因为，故，解得， 因此存在实数，使得直线与圆相交于两点，且，故C选项正确； 对于D选项，由C选项可得， 则，，则， 令，则，令，为开口向下的二次函数， 对称轴为，因此在上，单调递增， 所以，因此没有最大值，故D选项错误. 三、填空题 12. 函数，若方程有三个根，且是和的等差中项，则a=___. 【答案】 【解析】 【分析】令，，分类讨论后得到分段函数，利用的图象有3个不同的交点且交点的横坐标成等差数列可求的值. 【详解】令，， 则方程有三个根即为图象的3个不同交点的横坐标. 又， 令，则或， 解得或. 令，则或， 解得或即. ，而当时，， 所以，其图象如图（1）所示： 因为图象有3个不同交点，故两个函数图象的位置关系仅如图（2）所示： 其中为函数的图象与的图象的交点的横坐标且. 为的图象与的图象的交点的横坐标， 令，两边平方后得到， 解得. 令，故. 因为是和的等差中项，故， 解得或 （舍）. 当时，， . 故符合题意. 故答案为： 【点睛】本题考查与分段函数有关的方程的解，注意较为复杂的方程的解可以转化为简单函数的图象的交点来考虑，解题中注意函数图象的合理刻画，本题属于难题. 13. 已知随机变量X服从正态分布，且，则____________． 【答案】##． 【解析】 【分析】根据正态分布曲线的性质即可解出． 【详解】因为，所以，因此． 故答案为：． 14. 平面直角坐标系中，若角的终边经过点，角的终边经过点，则_________． 【答案】0 【解析】 【详解】由三角函数定义知，，， ，， 所以. 四、解答题 15. 如图，是圆的直径，垂直于圆所在平面，是圆周上不同于，的任意一点，为的中点，且， （1）求证：平面平面； （2）若三棱锥的外接球球心为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用已知可证得平面，可得，进而可证平面，可证结论； （2）由（1）可得球心为的中点，以为坐标原点，所在直线为轴，过作的平行线为轴建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量与平面的一个法向量，利用向量法可求得平面与平面夹角的余弦值． 【小问1详解】 因为是圆的直径，所以，所以， 因为垂直于圆所在平面，在圆所在平面内，所以， 又，平面，所以平面. 又平面，所以， 又因为，为的中点，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面； 【小问2详解】 由（1）知平面，又平面，所以， 所以与是有公共斜边的直角三角形， 所以是三棱锥的外接球的直径，所以球心为的中点， 以为坐标原点，所在直线为轴，过作的平行线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，则， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，得， 所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， ，令，得， 所以平面的一个法向量为， 因为平面即为平面，所以平面的一个法向量为， 设平面与平面所成的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 16. 已知函数的最小正周期为. （1）求的值； （2）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.c为在上的最大值，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求的取值范围.条件①：；条件②：；条件③：的面积为S，且.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件计分. 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】利用三角恒等变换整理可得，结合最小正周期分析求解； 以为整体，结合正弦函数最值可得.若选条件①：利用正弦定理结合三角恒等变换可得，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，结合正弦函数分析求解；若选条件②：利用正弦定理结合三角恒等变换可得，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，结合正弦函数分析求解；若选条件③：利用面积公式、余弦定理可得，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，结合正弦函数分析求解. 【小问1详解】 由题意可知：， 因为函数的最小正周期为，且，所以. 【小问2详解】 由（1）可知：， 因为，则， 可知当，即时，取到最大值3，即. 若条件①：因为， 由正弦定理可得， 又因为， 可得，且，则， 可得，所以， 由正弦定理可得，可得， 则 ， 因为锐角三角形，则，解得， 可得，则，可得 所以的取值范围为； 若条件②；因为， 由正弦定理可得：， 则， 因为，则， 可得， 即，且，所以， 由正弦定理可得，可得， 则 ， 因为锐角三角形，则，解得， 可得，则，可得 所以的取值范围为； 若选③：因为，则， 整理得，且，所以， 由正弦定理可得，可得， 则 ， 因为锐角三角形，则，解得， 可得，则，可得 所以的取值范围为. 17. 已知椭圆的左右焦点分别为，以线段为直径的圆过C的上下顶点，点在C上，其中e为C的离心率. （1）求椭圆C的方程和短轴长； （2）点在C上，且在x轴的上方，满足，直线与直线的交点为P，求的面积. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）线段为直径的圆过C的上下顶点，得，即，然后计算离心率，从而点代入可得椭圆C的方程并可求短轴长； （2）由题可知，的面积等于，所以求的值；由，得，进而得点的坐标关系，即，将点代入C，求得，再由，得 ，即，从而计算的面积即可. 【小问1详解】 设，上下顶点分别为. 由以线段为直径的圆过C的上下顶点，得，得，即. 因为，即，所以， 由点在C上，得，，解得， 所以，则， 短轴长. 【小问2详解】 根据题意，画出图象如图所示： 因为，所以， 又，则，即，. 设， 由得，即， 因为点在椭圆上， 所以，即， 两式相减得，即， ，又点在轴的上方，所以. 又得，即. 于是. 18. 已知函数，其中． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数的极小值为0，求a的值； （3）在（2）的条件下，若对任意的，成立，求实数k的最小值 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解切线方程， （2）求导，根据导函数的正负确定原函数单调性，即可由极值求解， （3）将问题转化为对任意的，，构造函数，即可结合分类讨论求解函数的单调性求解. 【小问1详解】 当时，，则， 故，又， 故在点处的切线方程为 【小问2详解】 ， 故当时，单调递增，当时，单调递减，故当时，取极小值，故，故 【小问3详解】 由（2）知，故， 故对任意的，成立，只需要对任意的，， 记，则， ①时，此时， 故当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故当时，取极小值也是最小值， 故，不符合题意， ②当时，此时， 故当时， ，单调递增， 故，符合题意， ③当时，此时， 故当时， ，单调递减， 故，不符合题意， ④当时，故当时， ，单调递减， 故，不符合题意， 综上可得， 所以实数的最小值为. 19. 若为项数列，若存在数列满足：①；②中的最大项为1，最小项为0，则称是“-好数列”． （1）请写出所有第二项为的“3-好数列”； （2）若为单调不增（即）的“2026-好数列”，求的最大值； （3）若为“-好数列”，记为中的最大项，为中的最小项，求最小值． 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据“3-好数列”定义列举即可； （2）根据“2026-好数列”的定义，结合单调不增，证得单调性，得出，再进行放缩即可； （3）根据“-好数列”的定义，存在，使得，存在，使得， 讨论的大小关系，结合进行放缩，得到，并给出1个的即可. 【小问1详解】 若，则，，则，符合题意； 若，则，则不符合题意； 若，则， 若，则，不符合题意， 若，则符合题意. 所以或. 【小问2详解】 由于为单调不增（即）的“2026-好数列”， 则， 则，， 即， ，， 当时取等号， 则的最大值为. 【小问3详解】 由题意，存在，使得，， 存在，使得，， 若，则，， 结合可得， 若，则，， 结合可得， 当时，， 综上，最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $